重慶長壽實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三數(shù)學(xué)理摸底試卷含解析

重慶長壽實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三數(shù)學(xué)理摸底試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有是一個符合題目要求的1.點(diǎn)在內(nèi)，滿足，那么與的面積之比是A.

B.

C.

D.參考答案：B2.已知拋物線的焦點(diǎn)與雙曲線的右焦點(diǎn)的連線交于第一象限的點(diǎn)，若在點(diǎn)處的切線平行于的一條漸近線，則A.

B.

C.

D.參考答案：D3.f（x）=sin(ωx+φ)+cos(ωx+φ)

(ω＞0，＜的最小正周期為π，且f（-x）=f（x），則下列關(guān)于g（x）=sin（ωx+φ）的圖象說法正確的是

（

）A．函數(shù)在x∈[]上單調(diào)遞增

B.關(guān)于直線x=對稱C.在x∈[0,]上，函數(shù)值域?yàn)閇0，1]

D.關(guān)于點(diǎn)對稱參考答案：B，因?yàn)樽钚≌芷跒椋?，又因?yàn)?，所以，所以，所以，因此選B。4.下列函數(shù)在其定義域內(nèi)既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的是A．

B．

C．

D．參考答案：C5.李冶（1192﹣1279），真定欒城（今屬河北石家莊市）人，金元時期的數(shù)學(xué)家、詩人、晚年在封龍山隱居講學(xué)，數(shù)學(xué)著作多部，其中《益古演段》主要研究平面圖形問題：求圓的直徑，正方形的邊長等，其中一問：現(xiàn)有正方形方田一塊，內(nèi)部有一個圓形水池，其中水池的邊緣與方田四邊之間的面積為13.75畝，若方田的四邊到水池的最近距離均為二十步，則圓池直徑和方田的邊長分別是（注：240平方步為1畝，圓周率按3近似計算）（）A．10步、50步 B．20步、60步 C．30步、70步 D．40步、80步參考答案：B【考點(diǎn)】三角形中的幾何計算．【分析】根據(jù)水池的邊緣與方田四邊之間的面積為13.75畝，即方田面積減去水池面積為13.75畝，方田的四邊到水池的最近距離均為二十步，設(shè)圓池直徑為m，方田邊長為40步+m．從而建立關(guān)系求解即可．【解答】解：由題意，設(shè)圓池直徑為m，方田邊長為40步+m．方田面積減去水池面積為13.75畝，∴（40+m）2﹣=13.75×240．解得：m=20．即圓池直徑20步那么：方田邊長為40步+20步=60步．故選B．【點(diǎn)評】本題考查了對題意的理解和關(guān)系式的建立．讀懂題意是關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．6.在平面直角坐標(biāo)系中，若不等式組（為常數(shù)）所表示的平面區(qū)域內(nèi)的面積等于2，則a的值為（）A.-5

B.1C.2

D.3參考答案：D略7.函數(shù)在區(qū)間上有零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）（A）

（B）（C）

（D）參考答案：D8.角α的終邊經(jīng)過點(diǎn)P（sin10°，﹣cos10°），則α的可能取值為（）A．10° B．80° C．﹣10° D．﹣80°參考答案：D【考點(diǎn)】任意角的三角函數(shù)的定義．

【專題】計算題；三角函數(shù)的求值．【分析】算出r=|OP|=1，根據(jù)三角函數(shù)的定義得cosα==sin10°且sinα==﹣cos10°，再由誘導(dǎo)公式加以計算，可得α=﹣80°+k?360°（k∈Z），k=0可得答案．【解答】解：∵sin10°＞0，﹣cos10°＜0，∴點(diǎn)P（sin10°，﹣cos10°）是第四象限的點(diǎn)，∵r=|OP|==1，∴cosα==sin10°=cos80°=cos（﹣80°），sinα==﹣cos10°=﹣sin80°=sin（﹣80°），滿足條件的α=﹣80°+k?360°（k∈Z），取k=0，得α=﹣80°．故選：D【點(diǎn)評】本題給出點(diǎn)P為角α的終邊上一點(diǎn)，求滿足條件的一個α值．著重考查了任意角三角函數(shù)的定義與誘導(dǎo)公式等知識，屬于基礎(chǔ)題．9.命題對任意恒成立，則

（

）

A．“”為假命題

B．“”為真命題

C．“”為真命題

D．“”為真命題參考答案：答案：D10.在△ABC中，有命題:①；②；③若，則△ABC是等腰三角形；④若，則△ABC為銳角三角形．上述命題正確的是…………（

）

(A)②③

(B)①④

(C)

①②

(D)②③④參考答案：A因?yàn)?，所以①錯誤。排除B,C.②正確。由得，即，所以△ABC是等腰三角形，所以③正確。若，則，即為鈍角，所以△ABC為鈍角三角形，所以④錯誤，所以上述命題正確的是②③，選A.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.曲線y=cosx+ex在點(diǎn)（0，f（0））處的切線方程為．參考答案：x﹣y+2=0【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．【專題】導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．【分析】由f（x）=cosx+ex，知f（0）=cos0+e0=2，f′（x）=﹣sinx+ex，由此利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義能求出f（x）=cosx+ex在x=0處的切線方程．【解答】解：∵f（x）=cosx+ex，∴f（0）=cos0+e0=2，f′（x）=﹣sinx+ex，∴f′（0）=1，∴f（x）=cosx+ex在x=0處的切線方程為：y﹣2=x，即x﹣y+2=0．故答案為：x﹣y+2=0．【點(diǎn)評】本題考查函數(shù)在某點(diǎn)處的切線方程的求法，解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意導(dǎo)數(shù)的幾何意義的靈活運(yùn)用．12.出下列命題

①若是奇函數(shù)，則的圖象關(guān)于y軸對稱；

②若函數(shù)f(x)對任意滿足，則8是函數(shù)f(x)的一個周期；

③若，則；

④若在上是增函數(shù)，則。

其中正確命題的序號是___________.參考答案：124略13.定義一種運(yùn)算，在框圖所表達(dá)的算法中揭示了這種運(yùn)算

“”的含義。那么，按照運(yùn)算“”的含義，計算

．參考答案：1略14.已知單位向量，的夾角為60°，則__________參考答案：15.已知函數(shù)的最大值為，則實(shí)數(shù)的值是

.參考答案：16.在正三角形中，是上的點(diǎn)，，則

。參考答案：本題考查向量數(shù)量積的運(yùn)算，難度中等.由題意可知.17.已知有兩個極值點(diǎn)、，且在區(qū)間（0，1）上有極大值，無極小值，則的取值范圍是

參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.如圖，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，且AB=AD=2，CD=4，四邊形ADE1F1是正方形，且平面ADE1F1⊥平面ABCD，M是E1C的中點(diǎn)．（1）證明：BM∥平面ADE1F1；（2）求三棱錐D﹣BME1的體積．參考答案：【考點(diǎn)】棱柱、棱錐、棱臺的體積；直線與平面平行的判定．【分析】（1）根據(jù)線面平行的判定定理進(jìn)行證明即可．（2）根據(jù)條件求出三棱錐的高，利用三棱錐的體積公式進(jìn)行求解即可．【解答】（1）證明：取E1D的中點(diǎn)N，連接MN，AN，在△E1DC中，M，N分別為E1C，E1D的中點(diǎn)，∴MN∥CD，MN=CD，∵AB∥CD，AB=CD，∴MN∥AB，MN=AB．則四邊形ABMN是平行四邊形，則BM∥AN，∵AN?平面ADE1F1，BM?平面ADE1F1，∴BM∥平面ADE1F1．（2）由平面ADE1F1⊥平面ABCD，E1D?平面ADE1F1，平面ADE1F1∩平面ABCD=AD，E1D⊥AD，E1D⊥平面ABCD，∵AD?平面ABCD，E1D∩CD=D，∴AD⊥平面E1DC，∵AB∥CD，CD?平面E1DC，AB?平面E1DC，∴AB∥平面E1DC，則B到平面E1DC的距離就是A到平面E1DC的距離，即B到平面E1DC的距離是AD，由=，則=?AD=，即三棱錐D﹣BME1的體積V=．19.設(shè)函數(shù)f（x）=x2+x+aln（x+1），其中a≠0．（1）若a=﹣6，求f（x）在[0，3]上的最值；（2）若f（x）在定義域內(nèi)既有極大值又有極小值，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（3）求證：不等式（n∈N*）恒成立．參考答案：考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的條件；導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用．專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．分析：（1）當(dāng)a=﹣6時，由f′（x）=0得x=2，可判斷出當(dāng)x∈（0，1）時，f（x）單調(diào)遞減；當(dāng)x∈（1，3]時，f（x）單調(diào)遞增，從而得到f（x）在[0，3]上的最值．（2）要使f（x）在定義域內(nèi)既有極大值又有極小值，即f（x）在定義域內(nèi)與X軸有三個不同的交點(diǎn)，即使f′（x）=0在（﹣1，+∞）有兩個不等實(shí)根，即2x2+3x+1+a=0在（﹣1，+∞）有兩個不等實(shí)根，可以利用一元二次函數(shù)根的分布，即可求a的范圍．（3）先構(gòu)造函數(shù)h（x）=x3﹣x2+ln（x+1），然后研究h（x）在[0，+∞）上的單調(diào)性，求出函數(shù)h（x）的最小值，從而得到ln（x+1）＞x2﹣x3，最后令x=，即可證得結(jié)論．解答：解：（1）由題意知，f（x）的定義域?yàn)椋ī?，+∞），a=﹣6時，由f'（x）=2x+1﹣==0，得x=1（x=﹣舍去），當(dāng)x∈（0，1）時，f′（x）＜0，當(dāng)x∈（1，3]時，f′（x）＞0，所以當(dāng)x∈（0，1）時，f（x）單調(diào)遞減；當(dāng)x∈（1，3]時，f（x）單調(diào)遞增，所以f（x）min=f（1）=2﹣6ln2，f（x）max=f（3）=12﹣12ln2，（2）由題意f'（x）=2x+1+==0在（﹣1，+∞）有兩個不等實(shí)根，即2x2+3x+1+a=0在（﹣1，+∞）有兩個不等實(shí)根，設(shè)g（x）=2x2+3x+1+a，則，解之得0＜a＜；（3）對于函數(shù)g（x）=x2﹣ln（x+1），令函數(shù)h（x）=x3﹣g（x）=x3﹣x2+ln（x+1）則h′（x）=3x2﹣2x+=，∴當(dāng)x∈[0，+∞）時，h′（x）＞0所以函數(shù)h（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增，又h（0）=0，∴x∈（0，+∞）時，恒有h（x）＞h（0）=0即x2＜x3+ln（x+1）恒成立．取x=∈（0，+∞），則有l(wèi)n（+1）＞﹣恒成立．即不等式（n∈N*）恒成立點(diǎn)評：本題以函數(shù)為載體，考查函數(shù)的最值，考查函數(shù)的單調(diào)性．第一問判斷f（x）在定義域的單調(diào)性即可求出最小值．第二問將f（x）在定義域內(nèi)既有極大值又有極小值問題轉(zhuǎn)化為f（x）在定義域內(nèi)與X軸有三個不同的交點(diǎn)是解題的關(guān)鍵，第三問的關(guān)鍵是構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)證明不等式．20.如圖，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，∠ABC＝∠ADC＝90°，∠BAD＝120°，AD＝AB＝1，AC交BD于O點(diǎn)．

(1)求證：平面PBD⊥平面PAC；(2)求三棱錐D－ABP和三棱錐B－PCD的體積之比．參考答案：略21.（本小題滿分14分）

已知函數(shù)．（Ⅰ）求函數(shù)的最小值；（Ⅱ）比較與e的大?。?，e是自然對數(shù)的底數(shù)）；（Ⅲ）對于函數(shù)和定義域上的任意實(shí)數(shù)，若存在常數(shù)，，使得不等式和都成立，則稱直線是函數(shù)和的“分界線”．設(shè)函數(shù)，，試問函數(shù)和是否存在“分界線”？若存在，求出常數(shù)，的值．若不存在，說明理由．參考答案：解：（Ⅰ），．當(dāng)時，，是減函數(shù)；當(dāng)時，，是增函數(shù)．

2分在上的極小值也為最小值，且最小值為．··························4分（Ⅱ）據(jù)（Ⅰ）知，知當(dāng)時，，·················6分故當(dāng)時，．故．·········································································8分（Ⅲ）令（），則（），當(dāng)時，，是減函數(shù)；當(dāng)時，，是增函數(shù)．的最小值，則與的圖象在處有公共點(diǎn)．··········································10分設(shè)函數(shù)和存在“分界線”，方程為，有在時恒成立，即在時恒成立，由，得，則“分界線”方程為．··································································································································12分記（），則（），當(dāng)時，，函數(shù)是增函數(shù)；當(dāng)時，，函數(shù)是減函數(shù)．當(dāng)時，函數(shù)取得最大值，即在時恒成立．綜上所述，函數(shù)和存在“分界線”，其中，．··············14分略22.（本小題14分）已知f(x)=(x∈R)在區(qū)間[－1，1]上是增函數(shù)，（1）求實(shí)數(shù)a的值組成的集合A；（2）設(shè)關(guān)于x的方程f(x)=的兩個非零實(shí)根為x1、x2。試問：是否存在實(shí)數(shù)m，使得不等式m2＋tm＋1≥|x1－x2|對任意a∈A及t∈[－1，1]恒成立？若存在，求m的取值范圍；若不存在，請說明理由.參考答案：（14分）解：（1）f＇(x)==，∵f(x)在[－1，1]上是增函數(shù)，∴f＇(x)≥0對x∈[－1，1]恒成立，即x2－ax－2≤0對x∈[－1，1]恒成立.

①設(shè)j(x)=x2－ax－2，①

－1≤a≤1，

∵對x∈[－1，1]，f(x)是連續(xù)函數(shù)，且只有當(dāng)a=1