新教材人教A版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊課時練習(xí)-用空量研究距離、夾角問題

課時練習(xí)（八）

（建議用時：40分鐘）

［4組基礎(chǔ)鞏固練］

一、選擇題

1.如圖，在正四棱柱ABCD-AICbDi中，AAi=2AB,則異面直線AbB與ADi

所成角的余弦值為（）

B

1234

A.§B.§c5D.5

D［以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA,DC,DDi所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間

直角坐標(biāo)系D-盯z(圖略)，設(shè)A3=l.

則8(1,1,0),4(1,0,2),A(1,0,0),D(0,0,2),A^B=(0,1,~2),ADi=(~1,0,2),

4

.,.異面直線Ai3與A￡h所成角的余弦值為亍］

2.在空間直角坐標(biāo)系中有長方體A3CD-4BCLDI,AB=1,BC=2,AAi=3,

則點(diǎn)3到直線4c的距離為（）

B［過點(diǎn)3作3E垂直AC,垂足為E,設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為(x,y,z),則Ai(0,0,3),

B(1,0,0),C(1,2,0),啟=(1,2,-3),A^E=(x,y,z—3),BE=(x-l,y,z).

DJC,

AB

\AiE//AiC

因?yàn)閖_，

[BE-A?C=Q

任=衛(wèi)=士

所以J12-3

lx—l+2y—3z=0

解得vy=y,所以靛=(一,,y,勺,

所以點(diǎn)3到直線4C的距離I盛產(chǎn)斗5]

3.已知長方體ABCD-ALBCLDI中，AD=AAi=l,AB=3,E為線段AB上一

點(diǎn)，且AE=14B,則DQ與平面DiEC所成角的正弦值為()

AE

MHR量「近

?3573

A[以。為原點(diǎn)，DA,DC,防1的方向分別為x軸，y軸，z軸的正方向建

立空間直角坐標(biāo)系(圖略)，則C(0,3,0),￡(1,1,0),￡)i(0,0,1),Ci(0,3,l),￡)(0,0,0),DCi

=(0,3,1),ZXE=(1,1,-1),求=(0,3,-1),設(shè)平面DEC的法向量為n=(x,y,

IDiE-n=Q,

z),貝q_可得平面DLEC的一個法向量為"=(2,1,3),

C〃=0,

所以DCi與平面D1EC所成角的正弦值為

_6_3A/35

sin8=cos(DCi,n)一9*?—35J

\n\-\DCi\

4.如圖所示，在長方體A3CD-431GD1中，AD=AAi=l,AB=2,點(diǎn)E是

棱A3的中點(diǎn)，則點(diǎn)E到平面ACDi的距離為（）

1

-

2

A.

C1

-

3

C［以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，以D4,DC,DD1分別為x軸、y軸、z軸建立空間直

角坐標(biāo)系，如圖所示：

則4(1,0,1),01(0,0,1),￡(1,1,0),A(l,0,0),C(0,2,0)

:石為A3的中點(diǎn)，

：.DiE=(l,l,-1),AC=(-1,2,0),ADi=(~l,0,l)

設(shè)平面ACDi的法向量為〃=(a,b,c),

n-AC=O-a+2b=Q

即4

叫l(wèi)n-A_Di=O[—6/+c=0

a=2b

可得《

1<7=C

可取”=(2,1,2)

.?.點(diǎn)E到面ACDi的距離為公端嘰2；2』

5.如圖所示，已知四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是菱形，且以，平面ABCD,

必=AD=AC,點(diǎn)R為PC的中點(diǎn)，則二面角C-3RD的正切值為（）

C

A立B近

A?64

C近D”

J3D.3

D[如圖所示，設(shè)AC與BD交于點(diǎn)0,連接OF.以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，OB,0C,

QF所在直線分別為1，y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系。-孫z.

設(shè)出=AD=AC=1,則小，所以。（0,0,0）,3母，0,oj,《0,0,

C（0,I，0）,元=（0,I，oj,易知元為平面BDF的一個法向量，由詼=

[-坐,0）,麗=惇，0,一",可得平面BCR的一個法向量為”=（1,小，

l一\[21一2s一2s

y]3）.所以cos〈〃，0C）=7，sin〈〃，0C）=7,所以tan（n,OC）=3.

故二面角C-BF-D的正切值為手.］

二、填空題

6.若直線/的方向向量a=(—2,3,1),平面a的一個法向量"=(4,0,1),則直

線I與平面a所成角的正弦值為.

嚕［由題意，得直線,與平面a所成角的正弦值為慌舟而=

叵

34」

7.在空間直角坐標(biāo)系中，定義：平面a的一般方程為At+3y+Cz+D=0(A,

B,C,DGR,且A,3,C不同時為零)，點(diǎn)P(xo,yo,20)到平面a的距離d=

|Axo+By。+Czo+￡>|

,則在底面邊長與高都為2的正四棱錐中，底面中心。到側(cè)面

y/A2+B2+C2

的距離等于

苧［作出正四棱錐P-A'B'C'D',如圖,

以底面中心0為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz,則(1,1,0),B'(~

1,1,0),P(0,0,2),設(shè)平面必?的方程為Ax+3y+Cz+D=0,將以上3個坐標(biāo)代入

計(jì)算得A=0,B=~D,C=所以平面RV夕的方程為一.一5%+。=0,

|2Xp+012|2小

即2y+z-2=0,所以點(diǎn)0到側(cè)面的距離d=卷+Q=5?1

8.如圖，已知E,R分別是棱長為1的正方體ABCD-AbBCiDi的棱3C,CCi

的中點(diǎn)，則截面AEFDx與底面ABCD的夾角的正弦值為

方-［以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，以D4,DC,DDi所在直線分別為x軸,軸，z軸

建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示.

則A(1,O,O),心0)，Di(0,0,D,

.*.ADi=(—1,0,1),AE=(一/1,0

設(shè)平面AERDi的一■個法向量為〃=(x,y,z),

-x+z=0,

n-ADi=0,

則j_??x=2,y=z.

ln-AE=0,-]+y=0,

取y=l,則”=(2,1,2).

又平面A3CD的一個法向量為w=(0,0,1),

?/\2■■/\或1

..cos\n,u)=§,..sin\n,u)=3」

三'解答題

9.如圖，直四棱柱ABCD-ALBICLDI的底面是菱形，AAi=4,AB=2,ZBAD=

60°,E,M,N分別是3C,BBi,4。的中點(diǎn).

(1)證明：MN〃平面CLDE；

(2)求面AMAi與面MAiN的夾角的正弦值.

［解］(1)連接BC,ME.因?yàn)镋分別為BBi,3c的中點(diǎn)，所以ME〃BiC,

且AfE=；3iC.又因?yàn)镹為A\D的中點(diǎn)，所以ND=1ALD.

由題設(shè)知A\B\aDC,可得BiC=^AiD,故MEaND,因此四邊形MNDE為

平行四邊形，MN〃ED.又MNQ平面EDCi,所以MN//平面CiDE.

(2)由已知可得DE,DA以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，D4的方向?yàn)閤軸正方向，DE為y

軸正方向，DDi為z軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D-xyz,則

42,0,0),4(2,0,4),Ml,小,2),Ml,0,2),AiA=(0,0,—4),AiM=(-l,

小，-2),Q=(—1,0,-2),加=(0,一小，0).

設(shè)TM=(X,y,z)為平面的法向量，貝U

―>

mAiM=0,

―?

m-AiA=Q.

—x-\-y[3y-2z=0,f-

所以1可取根=(餡，1,0).

「4z=0.

設(shè)〃=(/?,q,r)為平面AiMN的法向量，則

\n-MN=Q,

[“.AiN=0.

一小q=0,

所以《可取”=(2,0,-1).

—p—2r=0.

于是cos〈》i,n)=?"：：，=c:—,所以面AMAi與面MAiN的夾角的

\m\\n\2X455

pn、/*-/.VlO

正弦值為^^一.

10.如圖，四棱錐P-A3CD中，必，底面A3CD,AB〃CD,AD=CD=1,ZBAD

=120°,ZACB=9Q°.

⑴求證：5C,平面以C；

⑵若二面角D-PC-A的余弦值為生，求點(diǎn)A到平面PBC的距離.

［解］(1)證明：?.?孫，底面A3CD,3CU平面ABC。，：.PALBC,

'：ZACB=90°,：.BC±AC,又R4AAC=A,

.?.3C，平面PAC.

(2)設(shè)AP=/z,取CD的中點(diǎn)E,貝UAELCD,.?.AELAA又以，底面A3CD,

：.PA±AE,PALAB,故建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則4(0,0,0),P(0,0,h),

吟2>4

底=［乎,i-“，詼=(。，1，。),

設(shè)平面PD。的法向量“1=(x1,yi,zi),

ni-PC=0,

則

m-DC=0,

S1

方■冗i+?i—/zzi=0,

即

Ji=0,

取Xl=/l,

n\=\h,0,

-1,oj,

由（1）知平面R1C的一個法向量為3C=

|cos(m,BC)|=

/I2+|X^35，

解得〃=小，

同理可求得平面P3C的一個法向量“2=（3,事,2）,

所以，點(diǎn)A到平面P3C的距離為

f\AP-n2\2^/3^3

d~\m\-4-2，

［B組素養(yǎng)提升練］

11.（多選題）如圖，ABCD-AIiCiDi為正方體，下面結(jié)論正確的是（）

A.3?！ㄆ矫鍯B\D\

B.ACi±BD

C.AC平面CBDi

D.異面直線AD與CBi所成的角為60。

ABC［以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以D4,DC,DDi所在方向?yàn)閤,y,z軸的正

半軸，建立空間直角坐標(biāo)系（圖略），設(shè)正方體棱長為1,則可以證明AC」面CBiDi,

...AC可以作為面CBLDI的法向量，；.C正確.（-1,-1,0）,ACi=（-

1,1,1),：.BDACi=l-l=O,

3?！鍯BLDI即AB正確.又,.?AD=(-1,0,0),CBi=(l,0,l),

一fADCB\\l2

Acos(AD,CBi〉=_==一勺,???的＞與C3i所成的角為45。,

\AD\\CBi\

.?.D錯，故應(yīng)選ABC.]

12.如圖所示，在正四棱柱A3CD-A山1CD1中，A4i=2,AB=BC=1,動點(diǎn)P,

Q分別在線段QD,AC上，則線段PQ長度的最小值是()

\JC

2

3專

C[建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，貝UA(1,0,0),5(1,1,0),C(0,l,0),

Cl(0,1,2).設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,k,2k),CW[0,1],點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(1一〃,〃，0),附0,1],

_C,

\PQ\=^(l-//)2+C?-A)2+4A2

2/z2+5A2—2A/z—2//+1

=錯誤！，

當(dāng)且僅當(dāng)X=1,〃奇時，

2

線段PQ的長度取得最小值，為

13.(一題兩空)如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，平面ABCD

且尸。=AD=1,AB=2,點(diǎn)E是線段A3上一點(diǎn)，當(dāng)面PEC與面ABCD的夾角為

:時，AE=,這時，點(diǎn)。到面PEC的距離為

I—A~-?-?

2一季普[設(shè)AE=a(0WoW2),以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA,DC,DP的方向

分別為x,y,z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系。-盯z(圖略)，貝U。(0,0,0),EQ,

a,0),C(0,2,0),尸(0,0,1),則無=(1,a,-1),丘=(0,2,-1),設(shè)平面PEC的法

m±PEx+ay-z=0

向量為m=(x,y,z),貝Uj_,即'令y=l,可得x=2—a,

[2y~z=Q

Lm±PC

z=2,則加=(2—a,l,2),易知平面DEC的一個法向量為防=(0,0,1),貝力cos〈孫

-21—,—I-

DP)|='q—4+5=4"，解得。=2一也或2+小(舍去)，所以AE=2-y]3.

這時，平面PEC的法向量可以取(小，1,2),又因。尸=(0,0,1)..?.點(diǎn)。到平面PEC

的距離為公師=擊著」

\m\2^2X12

14.在空間中，已知平面a過點(diǎn)(3,0,0)和(0,4,0)及z軸上一點(diǎn)(0,0,a)(a>0),

如果平面a與平面xOy的夾角為45。，貝Ua=.

12

-y[平面xOy的法向量為〃=(OQ1),設(shè)平面a的法向量為〃=(%,y,z),

—3x+4j7=O,

則1

、―3x+az=0,

即3x=4y=az,

,(aa

取z=l,則"=|j,不1

又：。>。，.*.a=-y.]

［C組思維提升練］

15.如圖，在三棱臺DEFA3C中，AB=2DE,G,“分別為AC,3c的中點(diǎn).

(1)求證：平面RGH；

(2)若CfU平面ABC,ABLBC,CF=DE,NA4c=45。，求平面RGH與平面

ACED所成的角(銳角)的大小.

［解］(1)法一：連接GD,CD,設(shè)C￡>nGb=O,連接。H.

在三棱臺DER-ABC中，