高等數(shù)學(xué)上冊(cè)習(xí)題答案

習(xí)題1-1

(A)

1.填空題.

(1)函數(shù))'="6-『的定義域?yàn)?4xM4;

(2)函數(shù)y=的定義域?yàn)閤*±3;

x-9------

(3)函數(shù)y=3g5,j的定義域?yàn)?4xW4;

(4)函數(shù)y=嚕衛(wèi)的定義域?yàn)閤<=3；

嚴(yán)

(5)函數(shù)/(xXsii?2x的周期為g

2.設(shè)/(sin：)=cosx+l,求/(x)及/(cos/.

Y

解：/(sin—)=cosx+l

=l-2sin2—+1

2

=2-2sin2-

2

于(x)=2-2x2則/(cos^)=2-2cos2]=1-cosx

、r|2+x,x<0,,

3.設(shè)即3—求心,〃。),—5).

解：/(-1)=2-1=1

/(0)=2+0=2

"3)=33=27

2+(x-5),x<5x-3,x<5

/(x-5)=<

3”",%>5一,3,7,%>5

4.將函數(shù)y=3-|4x-l|用分段形式表示，并做出函數(shù)圖形.

3-(4x-l),x>—4-4x,x>—

解：y=?4=<4

3+(4x-l),x<—4x+2,x<—

4I4

5.判斷下列函數(shù)的奇偶性.

(l)y=x2(l-x2);

解:y(-x)=/(x),則為偶函數(shù).

e~x-l

⑵山)=廠不

x\--x

解：ee⑸'則為奇函數(shù).

(3)/w=(_j_r+(_j_r；

解:…小T尸=(2-V3)-'+(2+V3r=/(x),則為偶函數(shù).

6.設(shè)y,且當(dāng)x=l時(shí)，y=一f+g,求/(x).

解：當(dāng)x=l時(shí)，-r-t+-=-f(t-l)

222

則：/(x)=x2.

7.求下列函數(shù)的反函數(shù).

2—x

(i)y=--;

2+x

解：2y+xy=2-x

2-2y

x=----

i+y

則反函數(shù)為：y=(x^l)

\+x

3X

⑵>=k

解：3、y—y=3'

y

X=log―-

3y-i

Y

則反函數(shù)為：y=log—(x>IMKX<0)

3x-1

x2,-l<x<0

(3)y=<Inx,0<x<1;

2ex~]A<x<2

解：一1〈％<0時(shí)，x=-y[y,則反函數(shù)為：y=-4x(0<x<l)

0<x<1IfJ,x=ey,則反函數(shù)為：y=ex(-00<x<0)

l<x<2Bt，x=ln—+1,則反函數(shù)為:y=In—+1(2<x<2e)

22

y=-Vx,0<x<1

則其反函數(shù)為：y=\y=ex,-oo<x<0

x

y=ln—+1,2<x<2e

2

8.證明：函數(shù)/(x)在(a,b)內(nèi)有界的充分必要條件是在(a,b)內(nèi)既有上界，又有

下界.

證明：首先來(lái)看必要性

設(shè)在(a,b)內(nèi)有界，且nWf(x)<m

f(x)<m,則/(x)有上界m；n<f(x),則/(x)有下界n；

再來(lái)看充分性

設(shè)/(x)上界和下界分別是m和n,?。輁4=max||m|)|n||

n<f(x)<m,則f(x)有界。

9.某廠生產(chǎn)某產(chǎn)品1200t,每噸定價(jià)100元，銷售量在900t以內(nèi)時(shí)，按原價(jià)出

售；超過(guò)900t時(shí)，超過(guò)的部分打8折出售，試將銷售總收入與總銷售量的函數(shù)

關(guān)系用數(shù)學(xué)表達(dá)式表示.

解：依題意，設(shè)總銷售量為x噸，銷售總收入為y元

100x,x<900

V—*

[900x+(x-900)x80,900<x<1200

_100x,x<900

-<980x+72000,900<x<1200

10.在半徑為r的球內(nèi)嵌入一圓柱，試將圓柱的體積表示為其高h(yuǎn)的函數(shù)，并確

定此函數(shù)的定義域.

解：設(shè)圓柱底面半徑為R

由幾何關(guān)系得：/?2+h2=r2即R=戶記

圓柱體積為：V=7rRzh=^-(r2-h2)//=7vr2h-\v(0</?<Vr)

12.填空題.

⑴對(duì)一切實(shí)數(shù)x,有/(；+x)=；+J/(x)_/2(x),則/(x)是周期為L(zhǎng)的周期函

數(shù)；

(2)函數(shù)/(x)=Jx-3+arcsin，的定義域?yàn)閤N3；

(3)已知/(x)=sinx,/(°(x))=l—?jiǎng)t°(x)的定義域?yàn)樾l(wèi)三三正.

13.計(jì)算題.

⑴已知/(x)=J,/3x))=l-x,且9(x)Z0,求e(x),并寫(xiě)出它的定義域;

解：\-x=冽",則9(x)=Jln(l-x)

定義域?yàn)椋?/p>

f\x+h)-f\x)

⑵設(shè)令g(無(wú))求g(M；

(x+/?)~—x~2,hx+//~

解：g(x)=-2x+h

則：g(x2)=2x2+/2.

⑶設(shè)質(zhì)一，W=""⑼…）），并討論的的奇偶性和有界性;

以此類推：工。）=二工二

，1+九廣

/,(-%)=-T=I==-/,(x),為奇函數(shù)

當(dāng)x=0時(shí)，fnM=O

當(dāng)xw0時(shí),則以冰擊

AW=-y/TT^+nx

.??/“(x)有界.

(4)設(shè)/(x)=<試將F(x)=/(x)-/(x-l)表示成分段函數(shù);

1,x>0,

[1-1,x>l[0,x>l

解：F(x)=/(x)-/(x-l)=<1-0,0<x<1=<1,0<x<l.

[o-O,x<0[o,x<0

(5)求y=暇+Jl+J的反函數(shù).

.)*=%+Jl+x~+x—Jl+——3(#.+Jl+1~+Nx-Jl+x')

=2x-3y

_/+3y

xr——

2

x3+3x

則反函數(shù):y=(ye/?)

2

14.證明題.

(1)若周期函數(shù)/(x)的周期為T(mén)且aW0,則/(ax+b)得的周期為-；

a

證明：由已知：/(x)=/(x+T)

貝ij：f(ax+b+T)-f[a(x+—)+b]

a

得證.

(2)若函數(shù)f(x)滿足

I

af(x)+bf(-)=-c,x^Q,\a\^\b\,

則/(x)為奇函數(shù).

1r

證明：af(x)+bf(-)=-(1)

XX

則，af(-)+bf(x)=cx(2)

X

(D+(2)得：(?+&)[/(-)+/(%)]=c(x+i)

XX

由同*\b\,則(a+。).0

[/(--)+/(-%)]=-—^―(X+-)=-[/(-)+/(%)]

X(〃+。)XX

即/(x)為奇函數(shù).

習(xí)題1-2

(A)

1.觀察下列一般項(xiàng)為居的數(shù)列的變化趨勢(shì)，判斷它們是否有極限？若存在

極限，則寫(xiě)出它們的極限.

(1)x?=i+(-ir-；有極限，極限為1；

n

(2)=cos—；有極限，極限為1；

n

(3)七="；有極限，極限為0；

〃一]

(4)-；有極限，極限為1

〃+1;

(5)x?=(-l)n；無(wú)極限;

(6)xn=sinn；無(wú)極限.

2.利用數(shù)列極限的定義證明.

小3〃+13

(1)r11m-------=—；

“T8472-14

證明：令=3〃+1,由于

472-1

3H+1371

---------------------<------，

4〃—1416/2-1n-1

于是，對(duì)于W￡>0,(不妨設(shè)￡<1),要使

-^―<8只須〃>,+1,

〃一1￡

'113

因此，對(duì)上述，取N=一+1,則當(dāng)〃〉N時(shí)，就有％--<￡成立,

_￡J4

l.3//+13

故44rIim-------=—?

〃->84H-14

(2)lim1+(-1)n^0；

〃T8fl

證明：令x.=1+(D,由于

n

1+(—1)"1+,1

un=<一,

n------------nn

于是，對(duì)于X/￡>0,(不妨設(shè)￡<1),要使

-<￡,只須

n￡

因此，對(duì)上述，則當(dāng)〃>N時(shí)，就有氏-0|<￡成立，

故nmtej.

“—>8〃

；

(3)“l(fā)—i>m8----〃-----=1

證明：令怎=至二由于

n

于是，對(duì)于V￡>0,（不妨設(shè)￡<1）,要使

-<￡,只須〃>L

n￡

因此，對(duì)上述，取2閆,則當(dāng)時(shí)，就有氏-1|<￡成立,

故=1.

M—>00〃

cos—

（4）lim——2_=（）：

〃T8幾

n/r

cos——

證明：令％=----,由于

n

n7t

COS——1

一J

nn

于是，對(duì)于V￡>0,（不妨設(shè)￡<1）,要使

-<￡y只須

ns

因此，對(duì)上述，WN=［（］則當(dāng)〃>'時(shí)，就有瓦-0|<￡成立,

n/r

cos——

故lim------=0.

3.證明：若期x“=a,則呵氏|=|4,并舉例說(shuō)明：數(shù)列｛同｝有極限，但數(shù)列

卜“｝未必有極限.

證明：由lim%。及數(shù)列極限定義，對(duì)V￡>0,存在正整數(shù)N,當(dāng)n>N時(shí)，

“—>8

有|%一同<￡,則：同一同<氏一同<￡.

故!皿聞T4?

舉例：數(shù)列｛|x,J｝的極限為1,

而數(shù)列卜,｝1,-1,1,-1,--,(-1嚴(yán),-一無(wú)極限.

5.設(shè)limx2“_]=a,limx-a,證明：limx“=a.

“Toon->oo2n〃T8

證明：由極限定義可知，V￡,m叫，使當(dāng)2"-1>N]時(shí),卜2"_|一《<￡

三N2,使當(dāng)2〃>N2時(shí),\x2n-a\<￡,

；.〃〉也擔(dān)〃＞組

22

M+1

取N=max?

2

則當(dāng)n>N時(shí)，|x"-a|<￡,貝ijlimx“=a

1M->00

7.求極限lim〃(一^-+———+…+———)

?〃~+2乃n"+n7i

n111n

解：由于〃J——)<H(--+丁丁+…+f——)<H(--)

幾~+〃~+乃rT+2?！?+〃萬(wàn)獷+乃

.n1

而limn(-----)=lim----=1

00

/TOO“-]+工

n

〃1

limn(----)=lim-----=1

“T8%“->871

1+-

n

由夾逼準(zhǔn)則可得lim〃(‘一+一一+???+一一)=1.

〃+0"~+乃〃~+2萬(wàn)n~+iiTi

8.設(shè)范=力，X2=亞二方，…，x"="^二，證明：數(shù)列卜“｝的極限存在，并求其

極限.

證明：顯然々＞司

設(shè)對(duì)某正整數(shù)忙有>4,則

%2=，2+%|>y/2+^=xk+i

由歸納法可知，對(duì)任意的正整數(shù)〃21,有即數(shù)列單調(diào)遞增.

又易知該數(shù)列有上界2,所以由單調(diào)有界準(zhǔn)則可知：數(shù)列｛%｝收斂.

設(shè)limx“=a,且a>0.在兩端=j2+x“_］取極限得:a=12+a

rt->ooY

求得a=2,故limx〃=2.

“—>8

10.求下列極限.

「2n2+3/1-4

(1)hm---z-----

“T8n+2

..2H2+3W-4..24-4

解:lim---------=limn_?C-2

“TOO〃」+2“TOO2

n9

「2/-/i2-5〃+6

⑵lim----z-------

〃f°04〃-2n+l

56

2〃%/-5〃+62---

解:lim---l-i-m-------1__L

~~2

〃->84/7-2n+l〃一*oO,21

(〃+1)(〃+2)(〃+3)

⑶lim

n->co3/

(1+-)(1+-)(1+-)

(n+l)(n+2)(n+3)

解:lim=lim---n

〃一>83/“—>833

1+2+3H---\-n

lim

(4)2

n—>oon

1+2+3+…+〃〃(1+〃)

解:limlim

22

/I—>COnM—>002n"Tg22

(5)lim(l+-+-+---+—)；

…242n

if

解:lim(l+—+—+???+—)=lim

…242n“T8

1-----

2

］帚〃+“°(2〃？嚴(yán)

(6)

"Too(2〃+1)”

(〃+1嚴(yán)(2〃+1產(chǎn)(1+?2+/1

解:uni---------------11m---------------——rr

…(2〃+1)3°…。上1、302'°

1/十一)

n

12.設(shè)數(shù)列卜“｝收斂，證明：卜“｝中必有最大項(xiàng)或最小項(xiàng).

證明：由數(shù)列卜“｝收斂，則此數(shù)列有界，即同

則卜“｝中必有最大項(xiàng)或最小項(xiàng).

13.設(shè)limx“=a,月.a>b,證明：存在某正整數(shù)N,使得當(dāng)n>N時(shí)，有〉b.

”一>8

證明：由limx“=a,存在某正整數(shù)N,使得當(dāng)n>N時(shí)，

〃一>8

對(duì)Ve>0,有一。|<￡，貝必一七,<|x?-a\<￡

xn>a-￡

取￡為無(wú)窮小，則xn>a>b.

16.設(shè)％=也/的=J3+2x“，〃=1,2,…，證明:數(shù)列｛x“｝收斂，并求其極限.

證明:顯然工2>/

設(shè)對(duì)某正整數(shù)有Xi>“，則

xk+i~J3+2X*+I>J3+2X]=x*+]

由歸納法可知，對(duì)任意的正整數(shù)"NL有x,用>4,即數(shù)列單調(diào)遞增.

又易知該數(shù)列有上界3,所以由單調(diào)有界準(zhǔn)則可知：數(shù)列｛%｝收斂.

設(shè)limx“=a,月一a>0.在兩端=j3+2x“_]取極限得：a=」3+2a

n->ooY

求得。=3,故limx=3.

〃T8n

17.設(shè)七=(1+》sin芋，證明：數(shù)列｛%｝發(fā)散.

證明：數(shù)列卜.｝有兩個(gè)子數(shù)列：

x2k=0(k-1,2,…),

X”M=(1+I)(T產(chǎn)(％=1,2,…)，

n

而limx2&=0,數(shù)列積+i發(fā)散

?->00

數(shù)列卜.｝發(fā)散.

習(xí)題1.3(P47)

1.答案：D

x2-1

解：例：lim-----=2在x=l處沒(méi)有定義但是有極限。

HX-1

、，—x2,x>0

2.設(shè)/(x)=2

x+1,x<0

(1)作出函數(shù)/(X)的圖形

(2)根據(jù)函數(shù)圖形寫(xiě)出/((T)J(O+);

(3)極限lim/(x)存在么？

x->0

解：

(1)略

(2)/(0~)=limf(x)=lim(x+1)=1

.r—>0".v—>0~

/((r)=lim/(x)=lim&x2)=0

x->0+X”2

(3)因?yàn)椤?一)w/(0+),所以極限lim/(x)不存在

XT0

3.解：當(dāng)x-0時(shí)，函數(shù)y=e；的極限不存在。

VM>0(不論它多么大)，m3=」一>0,使得當(dāng)0<lx—01④時(shí),

\nM

11

有」/(x)l=l"l>〃=M,故它的極限不存在。

4.解：/(2-)=limf(x)-lim(x+2)=4

x12-XT2-

/(2+)=limf(x)=lim(4x-3)=5

x->2+12+

5.解：

(1)/(x)=2.-X=xQx.D,當(dāng)Xf0時(shí),無(wú)窮小

x+3x+3

(2)f(x)=----=-----------------當(dāng)X-—3時(shí)，無(wú)窮大

%2-9(x-3)(x+3)

(3)/(x)=lnx,當(dāng)x->0+時(shí)，無(wú)窮大

(4)/(x)=ln(l+2x),當(dāng)x->0時(shí)，極限為0,無(wú)窮小

TT

(5)/(x)=y-arctanx,當(dāng)xfoo時(shí)，極限為0,無(wú)窮小

.1八

xsin-,x>0

6.設(shè)/(x)=<x

〃+x<0

解：/(0~)=lim/(x)=lim(〃+x2)=a

x-?0~xf(F

.1

1sin一

/(0+)=lim/(x)=lim(xsin—)=Iim(--^)=0

x->0+A->0+XXT°+1

X

因?yàn)榇嬖?，則/((r)=/(0+),則a=0,lim/(x)=0

7.解：(1)lim(-)x=0

XT+CO2

(2)lim(—)x=+oo

XT—2

8.證：因?yàn)閘im/(x)=A,則Ve>0,3^)>0,使得當(dāng)0<lx—/IW時(shí)，有

"(x)—Al<￡,則

+71)(77^-VX)/(x)-4/(x)-A1<￡

iV7w-V^1=1|=|k|

47W+4A~VAVX

則limJ/(x)=JA

XfX。

9.解:

(1)W￡>0,3^^->0,使得當(dāng)0<lx—II3時(shí),

2

有"(x)—1IT2x-1-11=21x—11<25=￡，故lim(2x-1)=1

If1

(2)V￡>0,m5=￡>0,使得當(dāng)0<lx—(—2)IW時(shí),

x2-4…/+4x+4,,(X+2)2

有"(元)—(-4)IT-------+41=1--------------1=1-------—ITx+21<b=￡,

x+2x+2x+2

2.4

故lim-X——=-4

?~2x+2

(3)\/￡>0,ms=￡>o,使得當(dāng)0<lx—II3時(shí)，有

ic/、ctix-1.x—2Jx+1,,(Vx—1)~.I-11ix—1

l/(x)-21=1-j=-------21=1—m--------IT'.>1=1Vx_11=1-f=—\<\x-U<3=

yjx-1yjX-1yjx-1+1

x—1

故lim三」-二2

eVx-1

(4)W￡>o,ms=￡>o,使得當(dāng)0<lx—Ol<b時(shí)，有

.i

Isin-

I/(x)-01=1xsin4-01=1-l<l'1=1xl<K=￡,故limxsin'=O

x11iox

XX

⑸V￡〉o,mx=正>0,使得當(dāng)x>X時(shí)，有

，

iA/、ct?1+2x~.11,,1+2

l/(x)_2l=l____21=_=<-7=￡，故hm----------=2

2

X…x2

(6)Vf>0,3X=s2>0,使得當(dāng)x>X時(shí)，有

einx1,,sinx

l/(x)-OH^-OI<l—1=<--=g、故vlim—尸"0

JxXTXJY

10.解：VM>0,=—>0,使得當(dāng)0<lx—Ol<3時(shí)，有

M

1-4-r1+x

l/wIT」l<ll+-hl+l-l>l+-=l+M,故lim---------=00

xXX3XTOX

11.解:

2

(1)A.Icos—l<1,故limx=0

XXTO

11

(2)C.limIarctan—1=—,故limtan尤arctan—=0

x->0X2XTOX

(3)A.考慮a=0的情況，BCD錯(cuò)誤。

習(xí)題1.4(P54)

1.解：

(1)lim(x3-2x-4)=23-2x2-4=0

x->2

limV~3v+4==-2

(2)

ox—20—2

22

「X2-13

(3)lim——

121+2x-l23+2x2-111

x?2-l，=(…x-D-(x+，〃l)=~(x+〃D=2

(4)lim

吧2x2-x-\~(x-l)(2x+1)-(2x+l)-3

，2+x—3J2+x—31

(5)lim

.r—7X—7(j2+x-3)(j2+x+3)(J2+X+3)6

yIT+X-l(Vl+X-1)((V1+X)2++X+1)((Vl+X)2+Vr+X+1)

(6)lim

x->0VT+x-1(Vi+x-i)(VT+x+i)(VT+x+1)

1+1+1=3

1+1~2

11-2

(7)limx2(-)=limx"9(------------------

X->8x+1x-1-(x+l)(x-l)

X

2x2+32+”i

(8)lim----2-------------=hm-------「；=—

x-??)4X_3X_ix_83_12

xx2

(2X-3)2(3X+1)3(2-$(3+與

(2X-3)2(3X+1)3x522X3327

limlim-----------------

555

i(2x+l)A—>CO(2x+l)-1c28

(2+-)x5

x5X

222

X2-4(x-4)(-\/x+x-3+5/x-1)

(10)lim=lim

xf27x2+x-3-yjx2-1xf2(y]x2+x-3--^x2+X-3+4X2-1)

j.(x—2)(x+2)(J廠+x-3+4x，-1)

lim(x+2)心+x-3+7x2-1)=873

12X-2

sinx

1-

sinx八x-sinxx

(11)因?yàn)镮sinxKl有界，則lim-------=0,故hm-------------lim——1

XT8xisx+sinxX->CO,sinx

1+------

X

(12)因?yàn)镮cosxVl,lime~x=0,貝!]limcosx=0

x—>4-00KT+00

2.解

(1)令〃=&，X=w3,X-1=>〃-1,則

-lim^-=lim(>-呼+?=屈=2

xfJx-lM->I(7M-1)((V?)2+y/U+})M->,((Vw)2+VW+1)1+1+13

(2)令〃=爪，x=w4,x—>16n〃f2,則

lim=lim-^-=lim———

2

36-4TU-4“T2(W+2)(〃-2)“f2〃+24

(3)令〃=Vx,x=/,x-1=〃-i,則

tr2u+

1而"―2守+[=]im~}=lim----------------7=lim^——?

Xfl"f(w-1)■5+〃+l)~“Tl(〃-+〃+l)~9

(4)令〃=如1+.,x—>0=>w—>1,則

..加+x—1..1..(w—1)(〃~+〃+l)..〃~+〃+l3

hm.：——=lim-=lim------------；=hm--------；=—

…朗+工一1M->1u-1"—I(〃一1)(〃+1)(〃+1)++1)4

3.ft?：Hm(l+x)(l+/)(l+/)…。+—)=帚j)a+W+ma+/)i+『)

〃T8n-><Xi1一X

(l-x2)(l+x2)(l+x4)---(l+x2")1-x2"1

=lim--------------------------------=lim-------=-----

“T81-X281_X1-X

.*?,./d+i.*+\~otx~-ctx—Bx—B.(1—tn)—(<z+ff)x+1—B

4.解：hm(----ax-/?)=hm-------------------=hm----------------------—=0

fx+1**x+1xxx+1

則l—a=0,a+￡=0,故a=l,(3=-\

5.解：x-/時(shí)，/(x)有極限，g(x)沒(méi)有極限。當(dāng)x—x0,/(x)士g(x)沒(méi)有極限,

/(x)g(x)不一定有極限(X。=oo,/(%)=—,g(x)=x)。

X

6.解：XfX。時(shí)，/(x),g(x)都沒(méi)有極限。/(x)±g(x)不一定有極限(例如：

/(X)=干g(x)),/(x)g(x)不一定有極限(當(dāng)X—8時(shí),f(x)=g(x)=x時(shí)

/(x)g(x)沒(méi)有極限；當(dāng)X-8時(shí)，/(〃)=(_1)"，g(〃)==(-1)"+1

/(?)§(?)=(-1)2"+1=-1,〃=1,2,3…)。

7.解：

7xz13X~+X4-1-3].(x—1)(%+2)x+2

(1)rlim(------------)=lim------------=lim=lim=1

11X-1X-1XT1X-1x-1(X-1)(%+X+1)e1X+X+1

(2)1加。+')一》=lim(2x+/z)/?］加(2犬+h)=2x

/：—>0hh->oh=/?—>o

n

X_1

(3)lim-----=lim(l+%+...+xH~)=n

nx—li

...1］、2,x"—x+1c

(z4)lim(2——H)=lim-----；----=2

x—>8X7x—>00

(Jl+2x-3)(Jx-2+揚(yáng)(Jl+2x+3)

(5)lim心1+-3=Jim

x-4Vx-2-V23(Vx—2—V2)(Vx—2+V^)(J1+2x+3)

1.c(x-4)(J尢—2+V2)Jx-2+V22V2

=lim2--------,----=lim2/----=-----

I(x-4)(J1+2x+3)I，J1+2X+33

/八EIx1I71-arctanx八

(6)因?yàn)镮arctanxl<—,lim-------=0

2isx

力刀「x2-2x^k..(x-3)(x+a)...、o(

8o.解;lim----------=lim-------------=hm(x+。)=3+。=4

x->3X—313%—313

則3+a=4且(冗一3)(元+。)=--2x+Z,貝ija=l,k=-3

習(xí)題1-5

(A)

l.(DD(2)B

1/22x+1

2.(l)e-(2)e(3)3/4(4)e⑸(-1)°^些(6)e

n

3.(1)原式=lim=何±±-W=3

io3xsin4x44

2x2

⑵原式=limQ2

—O(5X)225

⑶原式=limcosx=1

x->0sinx

(4)原式=lim-in(xF)=_i

xfnx—71

原式小丑

9

⑸

xfox-2x4

(6)原式=lim([.2sinx)=]-lim---——=0

x—0x+sinxx1x

sinx

x2-x

(7)原式=lim[1+(——)]，"=一

x->ooxe

(8)原式=lim二"=-2

xfo2x

x-2a4ax

4.解：原式=lim(l+'——)4ax~2a=e4a=8

x->8x-2a

3,日

a=—In2

4

5.(1)錯(cuò)，無(wú)窮小是極限為零的變量，無(wú)窮大是其值無(wú)限增

大的變量

(2)錯(cuò)

(3)正確

(4)正確

(5)錯(cuò)，反例見(jiàn)例3.8

(6)錯(cuò)，反例：limxsin—=1

x->ooX

(7)錯(cuò)，

l-x

6.解：lim再=扁手&=1，故它們是等價(jià)無(wú)窮小

.V—>11+^\/XX—>11+X

22

“、2(1X)

7.解：lim—~c；sx)=]jm=o,故(l-cosx/是sin?x的|Wj階無(wú)

iosinxx->ox

窮小

,I2

8.解：lim=4==lim(l+Q+x§)=3，故1-x與1-孤是同階無(wú)窮小

X->11—^JxX->1

lim--—=lim=1,故與!(1-凸是等價(jià)無(wú)窮小

x—>11(]尤2)xf11+X2

X1

9.(1)

rO,m<n

原式=lim—=<

(2),n1,m=n

x-ox

6,m>n

1--X2+o(x2)-[l--(2x)2+o(4x2)]

(3)原式=lim——--------------------------=3

…興+小)

(4)原式=lim螞譽(yù)竽』=lim一￡=一3

3

I。1X2.J_Xx-0x

32,

(5)原式=lim**-=-2

，嗎.(-昌

2

(6)原式=lim/?，(工產(chǎn)=。

〃->82n2

(B)

10.(1)D(2)B(3)D

11.(1)原式=lim-----=—

x—l"(x-l)71

,不了1

(2)原式=lim——^—7----=limJ-=-

XT。X，x->0X，4

x-35x

(3)原式=lim(l+---)5x-3=e5

x—3

1-2x~

(4)原式=lim(1-2y)-2/sin。=6。=1

X->CO

1-3x

(5)原式=lim(l-3x)-3xsinx=1

x->0

I1

(6)原式=lim[9*(1+—)卜=9e°=9

Xf+83X

11

12.證明：?.?lim(l+x)v-elim(l-x)A=e~]

x-0，10-

...原極限不存在

12癡;/2+e*sinx.,

13.解：lim(-------+------)=0n+1=1

xf0*iX

l+ex

x

..,2+esinxo.

lim(——2----------)=2—1=]

xf0「±X

l+ex

原式=1

t-\x-t111

14.解:f(x)=lim(l+---y~1f~[x~r=lim〃T=ex~[

t—1Ift

15.證明：(1)設(shè)t=arctanx,則x.0時(shí)，t.0

「arctanx

lim----------=lim------=1

x-^0X-otant

??arctanxx

.———1

[.seex_11.cosX1-COSX

⑵lim----------=lim3*——lim=1

x―>0Xx―>0x10

22

?x

??secx—1t—

2

16.證明：⑴因?yàn)?加色=1,故有aa

a

⑵由limq=1有a-/3+o(j3)

p

所以lim2=lim—————=lim-----^-=1,故有6a

aJ3+O(/3)i+°^l

P

⑶因?yàn)閍/3,所以a=/?+o(￡)

因?yàn)?7，所以/B，所以7，+。⑶

所以峭=嗎黑=1,故有ay

習(xí)題1-6

(A)

l.(l)B(2)C(3)A(4)D

2.(1)-1,1⑵k?c

3.(1)原式=(sin2?()2=1

(2)原式=lim"=k

x—^0X

(3)原式=lnl=0

x2x1

(4)原式=lim(1+—)5x4==&

x->coX

x^-3

(5)原式=lim(1+—y)-3%2=e0=1

xf+oox

(6)原式=limln(l+—)"=limln(l+—)2"=lne2=2

nsnn—gn

i^(3+>—