第10章 積分學(xué)在幾何學(xué)

第1O章積分學(xué)在幾何學(xué)、力學(xué)與物理學(xué)中

的應(yīng)用

§1.弧長

329曲線長的計算設(shè)在平面上用參數(shù)方程

x=中3，y="(t)(t0<t<T)

給定連續(xù)的簡單曲線AB.在第一卷已經(jīng)建立了曲線長的概念：它是作為內(nèi)接于曲線的折線的

周長的上確界S而定義的：

S=s{p}.

假定函數(shù)(1)有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，已證明[248],曲線是可求長的，即曲線長是有限的.不僅如此，如

果考慮不定弧AM,其中M是曲線上任意一點，這點相應(yīng)于參數(shù)t,那么有弧長

AM=s=s(t)

是t的可微函數(shù)，其導(dǎo)數(shù)可表為：

S<t)=+[火(t)]2

或更簡明些：

>=+堵

[248,(10)],并且顯然它也是連續(xù)的.掌握了積分概念，我們現(xiàn)在能來計算曲線AB的長.按照

微積分基本公式，立刻得到

s(r)-sQo)=fs[dt

J(o

或者

翁=s=[J.2+ypdt=[+W(t)「dt.

前面所說的不定弧AM的長度，易于理解，可用公式

=s=s(t)力2+H2dt

表示，可能會出現(xiàn)把任意內(nèi)點Mo取為計算弧長的起始點的情況.如果t0仍然即是確定此點

（在這種情況下t0已不是區(qū)間的端點，在端點t是變動的），則顯然公式（5）給出帶有符號的

弧俞的值一若t>%點M位于計算弧長起始點Mo的正側(cè)，則取正號；若t<%點

M位于計算弧長起始點Mo的反側(cè)，則取負號.

若曲線在直角坐標系中由顯式方程給出：

y=f（x）Go《X4X）,

則取X作為參數(shù)作為特殊情況，由公式（4）得

rX______rX__________

S=I，]+嵬2dx=IJl+-）]2dx.

%%

最后，曲線是以極坐標的形式

r=9（。）（篇《。40）

給定的，如所知，同樣可借助于一般變換公式歸結(jié)為參數(shù)式：

x=rcos0=g（8）cos0,y=rsin0=g（9）sin0,

這里e起著參數(shù)的作用，對這種情況

S=j喑g=[-g⑻]2+一，（肛2一

對于這兩種特殊情形，容易寫出表示不定弧AM量值的表示式，若M對應(yīng)于橫坐標x或極

角9,則

AM=s=s(x)=I^/14-y^dx

或，相應(yīng)地

AM=s=s（8）=IJr2+暗d8

JBo'

330定義曲線長度的概念及計算曲線長度的另一種途徑在定義簡單連續(xù)曲線長度概念本

身時，我們從等式（2）出發(fā).現(xiàn)在我們證明-在非閉曲線的情形一一其長度S不僅

是內(nèi)接于曲線的折線長的集合偽｝的上確界，而且在折線（p）所有邊（或更確切地

說，是這些邊中長度最大者矛）趨于零的條件下，逕直就是P的極.限：

S=limp.

同時，求出確定曲線上折線（P）的各端點位置的參數(shù)t的值：

to<<-<ti<ti+1<-<tn=T

并假定所有增量A4=。+1-〃(或者更確切地，它們中的最大者A=maxAtz)趨于零更為

方便.245目的兩個引理保證了極限過程兩個特性的等價性.這樣，應(yīng)當證明極限關(guān)系

S=limp

首先指出周長P的如下重要性質(zhì)：若P對應(yīng)于區(qū)間［t0,T］的某個分法，然后我們還增補一

個新的分點t:

tk<t<tfc+1,

則周長P增加，但同時它的增加不超過(p(t)與ip(t)振幅的加倍和.事實上，添加新點f,

是把一項(邊長)

J-k+l)-*)］2+M&+1)-W(tk)12

用兩項(兩邊長度之和)

-尹(。)］2+必汁-W(tQ］2+〃9(最+1)-⑴①)+則。+1)-Q?)

來代替.⑼式在任何情況下都不小于(8)式.

另一方面，任何和式(9)都不超過和

-<p(tfc)l+-奴4)1+l<p(tk+i)-<p(t)l+IWQk+1)-

因此周長P的增加更不會超過這個數(shù)值，P的增加顯然小于上面提到的振幅的加倍和.

以下的討論僅限于有限的s的情況.對任意小的數(shù)￡>0,按上確界的定義，存在區(qū)間

這樣的分法：用點

<t；<弓<,,,<―=r

把［3方分割成部分，使得相應(yīng)的周長P*滿足不等式

p*>S-

由于函數(shù)(p(t)與山(t)的一致連續(xù)性，存在這樣的小數(shù)<5>0,使得只要-就有

|“(『)一<一，hxt〃)-3(t')i<言.

oTTloTH

用(7)式中的點把區(qū)間［tOlT］分割成部分，使得A<5(即所有的At；<5),組成相應(yīng)的

和P.

考慮把區(qū)間分割成部分的第三種分法，在此分法中，分法(7)中所有的點”及分法

(10)中所有的點t；都是分點，設(shè)與此分法相應(yīng)的周長是p0.因為這個分法是從(10),用增

加新點得到的，由先前所說的，

Po》P*-

另一方面這一分法也是從(7)用增加點t；得到的，增加每個點tip增長不超過相應(yīng)于函數(shù)

(p(t)與叭t)振幅的加倍和.即小于言.因為這個過程不超過m次.于是po超過P小于

￡

2?

8

Po<P+

由不等式(13),(12),(11)推出

P>S—￡

因此0<S—p〈邑由此推出所要證明的斷言(6-),這意味著(6)式成立.

因為由(6)式可反推出(2)式，于是等式(6)可看作與前述曲線長定義等價的定義.

附注然而不難看出，在閉曲線的情形下，這樣的

定義卻不能無條件地采用：須知即便符合了所指出的條件，也毫不能防止折線縮向一點，而其

周長趨近于0(圖8).其中的要點就在于:開曲線的情形下，只要折線(p)的每一段都遞減以

至于0,就已經(jīng)保證了每一段

圖8與其對應(yīng)的部分弧越來越靠得緊密；正是基于這一點，取其周長p的極限作為整個的弧

長才是理之當然.而在閉曲線的情形就不是這樣了.

[我們指出，若代替要求折線各邊趨于0,而是要求對于相應(yīng)各弧的直徑趨于0,則新的定義可

同樣地既應(yīng)用于非閉曲線，又可應(yīng)用于閉曲線.]

現(xiàn)在我們證明由定義(6)或(6*)可直接推出曲線長的表達式(4).我們將從折線長p的現(xiàn)

成表達式出發(fā)[參看248,(7)]:

H-1

P=2/即'(q)]2+["'(一)]?-Atj,

i=0

其中Tt.fi是區(qū)間[ti,ti+J中的某些值.

如若在根號下的第二項中，把虧一一換成則改造成的表達式

顯然正是積分(4)的積分和.當A趨近于0時，這個和將以積分(4)(1)為極限.為了要證

明折線周長P也趨于此極限，只需表明差P-a趨近于0即可.

因此，我們對這個差進行估值：

IP—。14]I，/")-+[我(耳中-，—]2+山缶洲A&.

我們?nèi)绻鸦静坏仁?/p>

y/a2+b2—<I6-^112

分別應(yīng)用到以上所寫的和中的每一項，便得

IP--vWW(q)-“(虧

i

根據(jù)函數(shù)W'(t)的連續(xù)性，對于任意給定的￡>0,可找出這樣的5>0,使得只要|t-f|<

S,即有@'(t)一少①|(zhì)<&假如取A<5(即所有的Atf<<5),則匕一引更<8,于是

W'H)一它(每)1<&并且

|p-<r|《eWAt,=s(T-t0).

這就證明了公式(4).

331例

1懸鏈線y=ach；(圖9).

(1)它的存在毫無疑義，因為積分號下的函數(shù)是連續(xù)的[第298目

⑵這個不等式于a=0時是顯然的；而若a#0,則可從恒等式

b+人

(b-瓦)

y/a2+b2+y/a2+b1

直接推得，因為(匕-瓦)前的系數(shù)絕對值小于1.

/------X

4+y?=ch..

于是根據(jù)公式(5a),如果取曲線頂點A作為弧的起算點，則

___rxxx

s=AM=ch—dx=ash—.

JQQQ

我們回想tga=y；=sh*故我們又有s=atga,這

圖9樣一來，在&MPS(圖9)中直角鄰邊MS=atga恰與弧s相等(就長度而論).我們

便得出了測量懸鏈線弧長的簡單圖解法.

2拋物線y弋.

取定頂點。(》=0)作為弧的起算點，對于橫坐標為x的任意點M,我們有

[rX______]]______^2______'X

S=OM=pJ+p2dx=.+p2+彳]"(%++p2)

2p2p

3星形線x=acos3t,y=asin3t.

利用已經(jīng)計算得的[第224目4)]x；與y；的值，我們有

Jx/2+久2=3asintcost(假設(shè)0《t4]).

根據(jù)公式(4),在點4(a,0)與B(0,a)之間的四分之一星形線基長為

TCn

(23a|23a

AB=3aIsintcostat=—sin9zt=—,

Jo2I。2

于是整個曲線的長便是6a.

4旋輪線x=a(t-sint),y=a(l-cost).

此處(當0<t<2n時)

Jx.+久2-°J(1—cost)2+sin2t=2asing;

根據(jù)公式(4),旋輪線的一拱的長度為

產(chǎn)tt產(chǎn)

2asin-dt=-4acos-=8a.

Jo22l0—

5圓的漸伸線x=a(tsint+cost),y=a(sint—tcost).

我們有(當t>0時)

222

x't+yj—ayJ(tcost)+(tsint)=at.

于是從點4。=0）到任意點M（t>0）的不定弧AM可表為:

當t<0時，僅需在上式右端加一負號.

6阿基米德禳線r=a6.

根據(jù)公式（56）,計算從極點。到任意點M（對應(yīng)于0角）的弧長，我們得出

麗=ajyjl+92de=]網(wǎng)1+*+ln(0+Vl+6>2)].

有趣的是，此處代入后，戈們得出的表達式形式上與擾物線弧長表達式相類似［參看

2）］.

7對數(shù)螺線r=aem8（圖10）.

因為r'e=mr,所以并且仍根據(jù)公式（56）,對于在坐標為（加拆）與（心。）的兩點

間的弧帥，我們有

TgdO=1+^(r-ro),

假如記起，對于對數(shù)螺線tg3=5則所得結(jié)果可以改寫成這樣：

s==-———.

COSCO

將點Mo逼近于極點0,亦即使％趨向。，并取此時所得的硒弧長極限作為0M弧長,

我們便得出比較更簡單的結(jié)果

s=0M=----.

COS3

借此公式之助，從△MOT(見圖)中就不難看出，弧長s等于極坐標中的切線長tt:

0M=TM⑴.

我們便得到了對數(shù)螺線測長的最簡單的圖示法.

8橢圓為+3=1.

不過較方便一些的是把橢圓方程取為參數(shù)型x=asint,y=bcost.易見

x［2+堵=yja2cos2t+b2sin2t=^/a2—(a2—b2)sin2t=a>Jl—f2sin2t,

此處￡二三三是橢圓離心率.

(1)對數(shù)螺線的這個性質(zhì)，使得可以很容易地做出這樣的命題：當這曲線毫無滑動地沿著直線

MT滾動時，極點。(假如認定它是始終和曲線連接著的)就描出了某一條直線.我們把證明

留給讀者.自短軸的頂點到第一象限中它的任一點，計算橢圓的弧長，我們得到

s=ay/1-c2sin2tdt=aE(s,t).

Jo

這樣一來，橢圓的弧長就被表成了橢圓積分的第二種類型［參看第293目及第305目］;如曾

指出的，此一事實正是“橢圓”積分這一名稱的由來.

特別是橢圓周的四分之一的長度可表成全橢圓積分⑴

7T

aIy/1—￡2sin21dt=aE(￡).

Jo

而整個的周長便是

S=4aE(e).

有趣的是注意對于正弦曲線y=csin式此處c=必F)的一個波的長，恰恰一絲不差

地也得到這樣的結(jié)果.這種幾何上的契合，并不難解釋.設(shè)想一個正圓柱，用一個和它的母線相

傾斜的平面截一下，柱面的截口就是個橢圓。如果通過短軸的一端，順著母線把柱面剖開，并

展平，則橢圓周就變成了正弦曲線.

類似的，雙曲線的弧長計算也得出橢圓積分（兩類）.

9)蝸線T=acos9+b.

此處w--asin0,并且

4ab

r2+T'Q=a2+2abcos0+b2=(a+b)21—

(a+b)2s嗎?

因此（當匕Wa時），對于從0=0的點到任意的9<n的點的弧長，我們得出（第二種類型）

橢圓積分形式的表達式：

e4ab8

s=(a+/?)I1------sin2-d0

Jo(a+b)22

4ab2^ab0\

=2(a+力)1-s-i-n-2-t-d-t--=2(a+b)Ea+b刃，

(a+b)2

整個曲線的長就表成了全橢圓積分

S=4(a+b)E

然而在特種情形一心臟線（b=a）,問題就大大的簡化了.此時

Q

r2+T'Q=4a2cos2—

所以(0<0<7T)

(dee

s=2aIcos—d0=4asin-.

Jo22

如果（圖11）以2a為半徑，從極點。作弧a,與向徑OM的延長線相交，則易見AL弦

即等于弧s=病.整個心臟線的長就是8a.

10雙紐線r2=2a2cos2a

我們來計算雙紐線的弧長，從頂點（對應(yīng)0=0）到任意點（極角0<；）.

我們有

,o,.—2a2sin20

TVQ——2a2sin26,由此r。=----------

r

此時

aV2

Vcos20

并且根據(jù)公式(56)

6d0ed6

s=

Vcos20y/l-2s\n2G，

我們就又一次得出了(第一種類型)橢圓積分.因為sin20的因子k2小于1時的積分表已

經(jīng)算出了，所以我們來做一個變量變換.命2sin2d=sin2</>(因為0<J故2sin20<1,由

此可見0角確是可以定出的)；于是

11

sin0=夜sincosOdO——cos(pd(f),

1cos

dO=--Ji—2sin26=cos</>

V21—^sin2?

最后

s=a

Jo>Jl-扣/</>

在極限情形⑴下，令8=3,而。=三雙紐線的四分之一的長度就表成了全橢圓積分.

7T

2d(b

S=Q■-z=aK

1。>jl-|sin2</>

整個雙紐線的長度便是5=4。1<(a)

可注意的是：求曲線弧的長度的問題時常正巧得出橢圓積分.

11最后，在建立曲線漸伸線［第256目］方面，我們引一個應(yīng)用弧長公式的例子.

我們來研究懸鏈線.若以f/(與第256目表示法一致)表示它的點現(xiàn)在的坐標，以。表示

它的弧長(從頂點起算)，則曲線方程可寫成：

n=ach-

a

(1)我們不得不把這個情形，當作Or?或0T三時$的表達式取極限的情形來研究，因為

9=1時導(dǎo)數(shù)%=8,于是公式(55)就不能直接應(yīng)用.而弧長可表成公式［參看1)］:

a=ash—.

a

由此，f與4可直接表成O的函數(shù)

f=a[in()+y/o2+a2)-InQ],〃=Jo?+a2.

現(xiàn)在根據(jù)第256目公式(17),注意到此處[參看(18)]

ao

cosB=一；“:,sin/?=.；.

Va2+a2yjo2+a2

就可寫出任意漸伸線的參數(shù)方程

[圖12

x=Qpn(0+y/a2+a2j—Inaj

a

+(c-。)/2?虧，

Ver2+a2

y=Ja2+a2+(c—a)，,

)iS+Q2

我們來看對應(yīng)-T"=0的這一條漸伸線；富鏈線的頂點起始.并且在道塹/一歧點（圖

12）,消去5此申線（稱為曳物線）就表成了顯方程

X=±

如果記起“切線長”的表達式為［第230目（4）］:

則由此易得：t=a.這表示出了重物線的很值得注意的特性：它的切線長為一常量.

從懸鏈線的性質(zhì)中，也很容易推出這個結(jié)果［參看1)中懸鏈線的弧長的求法，圖9］.

332平面曲線的內(nèi)蘊方程以曲線上的點的(對于某一坐標系而說的)坐標之間的方程來表

示曲線，做開這種表示法的全部功用不論，畢竟是時常具有人為的性質(zhì)，因為坐標并不

是曲線的基本幾何因素.反之，這種基本因素乃是曲線(從某一初始點依一確定方向

起算的)弧長s及曲率半徑R(或者就是曲率k=g)［參看第250目，第251目］.

對于每一條曲線，都可以在這兩個因素之間建立起

F(s,R)=0

(1)電物線的名稱正是和這個相關(guān)連著的(起源于拉丁文的動詞trahere--引，曳)：如果一個

在水平線上移動著的點T,用TM線在它后面白引點M,則點M就會恰好描出了曳物線.

形式的依從關(guān)系，此方程即稱為曲線的內(nèi)蘊方程(1).

我們證明:具有同一內(nèi)蘊方程的各曲線，只能在其平面上的位置上有所不同，于是內(nèi)藁方程便

完全唯一的確定了曲線的形狀.

設(shè)(I)與(II)兩條曲線具有同一內(nèi)蘊方程，這內(nèi)蘊方程我們?nèi)〕上铝行问剑?/p>

1

R=

為了要證這兩條曲線全等，首先我們將其中一條移動一下，使得兩條曲線上的弧長起算點重合,

然后再將這條曲線轉(zhuǎn)動一下，使得在這點上的切線正向重合.

我們用指標Q與2)來標記對應(yīng)于同一s值的兩條曲線的各項元素：

動點的坐標：(內(nèi),%)與(x2,y2).

切線與x軸的交角：的與a2,

曲率半徑：心與&.

由于(14),我們便對所有的s都有：?=白亦即［第250目(2)］

darda2

dsds

不僅如此，依假定，當s=0時

X1=%2，丫1=、2，

并且

劭=a2.

根據(jù)第131目系理，從(15)推知心與網(wǎng)僅差一常量；但是我們\cjkstart已已經(jīng)看見，當

5=0時這兩個量相同，因之等式(17)總是成立的.此時對于所有的is值就有［第249

臼，(15)］

dxdx

-3—r=cos=cosa=-r—2,

as2as

dyi.dy

-3—=sin=sina=-r2-,

as2as

由此以類似的方式我們便得出結(jié)論，即等式(16)也總是成立的，這就是說曲線重合了.

現(xiàn)在我們來說明，如何根據(jù)曲線的內(nèi)蘊方程(14)還原出它的坐標表示法來.首先，從(14)中

我們有S=g(s)，于是

a=g(s)ds+a0,...

JQ

⑴德文術(shù)語naturlicheGleichung的譯文；而法文術(shù)語equationintrinseque(即是"固有方

程”)亦頗得要領(lǐng).此處劭為常量，然后從等式

dx=cosads,dy=sinads

出發(fā)，做積分，便得到

x=Icosads+x0,y=Isinads+y0,

Jr,Jo

此處%o與yo是新的常量.

不難了解，曲線的轉(zhuǎn)動年連常量劭的變化，而曲線的平移牽連常量出,%的變化(1).這些

常量的等于0,顯然就是意味著曲線的位置是這樣的：起算弧長的初始點與坐標原點重合，并

且在這點上的切線的正向與X軸的正向重合.

現(xiàn)在設(shè)方程(14)是任意取定的［我們只假定函數(shù)g(s)是連續(xù)的］.則先用公式(18)確定了

再以方程(20)確定了x與％我們便得出某條曲線的參數(shù)表示法.微分(20),就回到了

(19),從(19)我們首先看出

ds2=dx2+dy2

于是ds實際上就是這條曲線的弧微分，而s就是弧長(假如適當?shù)倪x擇起算的初始點).其次

等式(19)還導(dǎo)出結(jié)論，即a是這條曲線的切線與x軸的交角.最后，微分(18),我們便得

出，曲率即等于

da

石=。⑸，

圖13

的)，可以看成是某條曲線的內(nèi)蘊方程.

讀者注意，由于曲線弧長起算的初始點與方向的選擇，可能在曲線的內(nèi)蘊方程中引起變化(雖

然是非主要的).

最后我們還需注意，兩條位置對稱的曲線(2)(圖13),它們的(14)型的內(nèi)蘊方程僅在右端差

一符號

1一1

P=g(s)與石=-g(s>

KK

實際上，對稱的選擇兩條曲線弧長的起算初始點與方向時，它們的曲率半徑符號相反.反之,

兩條分別具有(21)中的方程的曲線，可借平面上的移動化成對稱的位置.可以認為這樣的兩條

曲線在形狀上沒有基本的不同.

(1)將這些斷言稍加變通，不難得出前述定理的新的證明.

(2)在平面中的移動是不可能把它們疊合的，這須得在空間中轉(zhuǎn)動才成333.例1)試求對應(yīng)于

內(nèi)蘊方程R2=2as的曲線.我們有

da12sa

石=溫'。=/瓦⑴’5=嚴’

于是ds=aada.取a作為參數(shù)然后我們便得到

dx=cosads=aacosada,dy=sinads=2asinada,

從而

x=a(cosa+asina),y=a(sina-acosa).

曲線就成了圓的漸伸線[第225目,8)].

2同樣的問題——對于內(nèi)蘊方程R2+s2=16a2.

此處

da1s

-7-=——a=arcsin—,s=4asina,ds=4acosada.

dsV16a2-s2f4a

于是

dx—cosads=4acos2ada,dy—sinads—4asinacosada,

并且做積分，便得出

x=2a(a+[sin2a)=a(2a+sin2a),

y——acos2a—a—a(l+cos2a).

如果換成參數(shù)t=2a-nt則得出的曲線方程成為這樣

x=7TQ+a(t—sint),y=a—a(l—cost),

我們便得到了旋輪線[第225目，6)],僅僅與它的通常位置比較起來是移動并翻轉(zhuǎn)了下下.

3同樣的問題對于內(nèi)蘊方程R=ms.

昆而易見

以=—,a=-^,s=ema,ds=memada,

asmsm

dx=cosa?memada,dy=sina-memada,

并且最后

m

ma

x=]+勿2(mcosa+sina)e,

m

y=y-j---(msina-cosa)ema.

我們化為極坐標.首先

r=Jx2+y2=pma.

(1)因為我們只簫求出一條曲線即可，所以選擇積分常數(shù)的時候，我們可以只考慮如何便利.這

個注對于下文也是適用的.然后，引人以條件tg3=*所確定的常量角3,便有

ymsina-cosatga

----7----=tg(a-3)

xmcosa+sina

1H—tga

mb

于是可取極角。等于a-3,由此a=3+"最后，得出的曲線極坐標方程就是這樣：

丁二7九7n3cme

V1+m2

此系對數(shù)螺線[226,3)],6小的系數(shù)的大小不起作用，極軸轉(zhuǎn)動一下可把它化為1.

4現(xiàn)在我們來從事另一類的問題：從給定的曲線出發(fā)，確立它的內(nèi)搽方程.

⑶對于懸鏈線，y=ach；已有[331,1);252,1)]

xf—----y2

s=ash-=yjy2—a2,R=—

從而R=aH—.

a

(5)對于星形線x=acos3t.y=asin3t,如果把它在第一象限的一支的中點，取作弧長起算的

開始，便有[參看第331目,3)]

3a3a

s=—sin7t———,R=3asintcost.

24

因此

2

93a03a9/3a\/3a\9a0

R2=4.—sin2t?—cos2t=4（彳+si—sj=———4s2,

并且最后，星形線的內(nèi)蘊方程可以寫成R2+4s2=的形狀.

（B）在心臟線的情形下，我們已有［331,9）;252,6）］

040

s=4asin—,R=^acos-;

易見，9R2+s2=16a2.

(r)上兩個結(jié)果是下面的個別情形.對于圓外旋輪線與圓內(nèi)旋輪線[225,7)],內(nèi)蘊方程為

(1+2m)2/?2+s2=167n2(1+m2)a2.

。)不難重新得出自1)至3)中我們業(yè)已知道了的圓的漸伸線、旋輪線與對數(shù)螺線的內(nèi)蘊方

程.

5)根據(jù)曲線的內(nèi)蘊方程可以確定它的漸屈線的內(nèi)蘊方程，我們已有關(guān)系式[255,15)]

dR

P=R/

as

假如這樣來選擇漸屈線上的弧長起算初始點，使得有R=a[參看255,2。],則從這兩個關(guān)系

式與給定的曲線的內(nèi)蘊方程中，消去R與s,便得出p與。之間的依從關(guān)系，也就是得出了

漸屈線的內(nèi)謖方程.⑻對于對數(shù)螺線R=ms-,于是。=m/?=血，我們便在符號上又回到

了以前的方程；由此我們作出結(jié)論，漸屈線也是這樣一根對數(shù)螺線，和原來的對數(shù)螺線僅在位

置上不同置看254,5)].

(6)對于圓的漸伸線

a2

a=R=V2as,s=—,

2a

dR［alaa

ds2^=afP=a'a=a

(這是應(yīng)該預(yù)料到的結(jié)果)

⑻假如曲線的內(nèi)蘊方程形為R2+k2s2=c2,則其漸屈線也是這祥的曲線，但在長度上增加

到k倍.

實際上，我們有

a=R=y]c2—k2s2,ks=yjc2—a2,

dRk2sfcVc2—a2

dsVc2—k2s20

并且最后，

p=—a-------------=—kyjc2-O2或p2+k2G2=(fcc)2.

a

由此便推出了前述的斷言.

所得到的結(jié)果可應(yīng)用到旋輪線［參看254,4)］,圓外旋輪線與圓內(nèi)旋輪線，特別言之，可應(yīng)用到

心臟線與星形線［參看254,3)］.

附注在所有情形下，所指出的方法僅僅能夠決定漸屈線的形狀，而關(guān)于它的位置的問題，則

仍為懸案.

334空間的曲線的弧長對于空間的曲線

x=9(t),y=W(t),z=/(t)

(沒有重點)，可用和對平面曲線同樣的形式［249目，附注］給出弧長的定義.此處也得到與(4)

相類似的弧長公式

s5M-

以及其他等等.在這個情形下，差不多可以毫無變化的把對于平面曲線所講的種種都移植過來.

在這個上面就母庸冗言了，我們來看例子.

1螺旋線x=acost,y=asint,z=ct.

因為此處

+y；2+z；2=+c2,

所以曲線從點A(t=0)到點M(t為任意的)的弧長為

s=AM=［y/a2+c2dt=y/a2+c2t

Jo

如果想一下，當把圓柱面展平時，它上面的螺旋線就變成了斜的直線，那么這便是顯然的結(jié)果

To

2維維亞尼曲線》=Rsin2t,y=Rsinteast,z=Reost

我們有

J.2+久2+z；2=/?71+sin2t.

此時曲線的全長可用第二種類型的全橢圓積分表達

nn

S=4R「Ji+sin?tdt=4R「Ji+cos?tdt

JoJo

2

=4&Rintdt=4V2RE弓）

§2.面積與體積

335面積概念的定義、可加性介于一條或數(shù)條封閉折線之間的任意有限（還可能是不相連

接的）平面圖形，我們稱之為多邊的區(qū)域，或簡稱多邊形.對于這種圖形的面積概念,

在中學(xué)的幾何課程中已經(jīng)充分研究過了，我們現(xiàn)在把它當作基礎(chǔ)42

現(xiàn)在我們在平面上，取出代表一個有界封閉區(qū)域的任意圖形（P）.它的界線或

47因為平面圖形面積的一般定義依賴于多邊形面積的概念，我們來簡短地講一下這后一

概念.

首先明確多邊形的定義.如果沒有特殊的約定，那么所指的是這個術(shù)語的堤寬泛可能的解釋,

這意味著把多邊形理解為平面上任何有界圖形，它的邊界點含于某個有限的一組線段中（從而

容許把自己相交的及退化的折線作為不同類型的邊界線；此外空集同樣可規(guī)定為多邊形）.我

們指出，原則上，邊界點可以屬于，也可以不屬于多邊形，或者部分地屬于它（例如三角形可

以是開的、閉的、包括其內(nèi)部及一邊或包括其內(nèi)部及半條邊，等等）.

在初等數(shù)學(xué)教程中證明（讀者可以獨立地進行）：平面圖形，當且僅當它可以表為有限多個三角

形（可能有退化的）的并時是多邊形.這個命題是計算面積的“初等方法”的基礎(chǔ).由定義同

樣易于推出，兩個任意多邊形的并、交及差仍是多邊形.這一事實今后不止一次會用到.

根據(jù)中學(xué)的幾何教程，具有如下性質(zhì)的非負數(shù)S（P）稱為多邊形（P）的面積：

1若多邊形（P）被分割成（或分解成）兩個多邊形（PJ與。2）［這意味著，多邊形

（PJ與

2若（P）是邊長為a.b的矩形，則S（P）=ab,若（P）=0（空集）,則S（P）=0.

3）'若多邊形（P）包含于多邊形（PJ與。2）的并，則S（P）4S（Pi）+S（P2）;若（P）包含

于（PJ

［此處性質(zhì)3）與4）加了做，因為它們可以從性質(zhì)1）,2）推出，所以它們不一定要加在定義中.］

今后，所有談及的有關(guān)多邊形及其面積都在沒有特殊約定的情形下加以應(yīng)用.周線（K）,我們

總設(shè)想是（一條或數(shù)條）⑴封閉曲線48）

我們先來研究所有可能的整個被包含在（P）里的多邊形（力），與整個包含了（P）的多邊形

（B）（圖14）.若4與8分別代表它們的面積，則永遠44B.任意一個B都是數(shù)集合｛4｝

的一個上界，故有一上確界P,［第11目］,并且P,<B,同樣的，由于數(shù)P*、數(shù)集合｛B｝有

下界，故有一下確界P*》4此二界數(shù)的第一個可稱為圖形（P）的內(nèi)面積，第二個可稱為

圖形（P）的外面積.

假若兩個界數(shù)只=sup｛4｝與P*=inf｛B｝相等，則其共同值P稱為圖形（P）的面積.此時

圖形（P）稱為可求積的.

易見，若要面積存在，必要而且只要：對于任意的￡>0可找出這樣的兩個多邊形（力）與

（B）,使得B-A<￡.

實際上，這個條件的必要性從確界的基本性質(zhì)［第11目］便可推知：若面積P存在，則可找

得4>P-|與B<P+|.充分性則由不等式

44只《P*《B

立即可以得到.

現(xiàn)在設(shè)圖形（P）分解成了兩個圖形（P1）與（P2）⑵；例如，可以想象這是借助于連接其周線

上二點的一條曲線，或借助于整個含在（P）內(nèi)的一條曲線而分成的（圖15,a與5）,我們證

明：

圖15

從這三個圖形（P）,（P）（P2）中兩個是可求積的，可以推知第三個也是可求積的，并且永遠

（1）在本節(jié)中，講到曲線，我們總是指連續(xù)曲線，具有參數(shù)表示法并且沒有重點.如若爾當

（CJordan）所曾證明的，這樣類型的封閉曲線永遠是把平面分為兩個區(qū)域，內(nèi)部的與外部的，而

此封閉曲線為它們的公共界線.

（2）它們可能在局部上有公共界線，但是彼此不相覆蓋，也就是說沒有公共內(nèi)點.

43當定義圖形（P）的面積時，其有界性的假定是本質(zhì)上的；有關(guān)（P）的閉合性及邊界一周

線（K）-的形狀的假定，僅僅是為了加強敘述的直觀性.

P=Pi+P2>

就是說，面積有可加性.

為了明確起見，假定圖形（P1）與（P2）有面積.我們來研究對應(yīng)于它們的內(nèi)含的與外包的多

邊形（&）,（%）與（A2）,（B2）.由彼此不相覆蓋的多邊形041）,（%）組成多邊的區(qū)域（4）,面

積為4=a+42,而且整個被含在區(qū)域（P）里.再由多邊形（BJ與（%）（可能是彼此覆蓋

的）組成區(qū)域（B）,面積為84a+B2,而且整個包含著區(qū)域（P）.易見

4+&=%&B4&+B2,

因為其中Bi與AltB2與A2,可以相差任意少，所以B與4也可以相差任意少，由此便推

出了區(qū)域（P）是可求積的.

另一方面，我們同時有

&+A2=%《P《B&+之

以及

&+424P1+02（8]+B2,

于是數(shù)P與P1+P2被包含在同一對而且是任意近的界數(shù)①+%與B1+B2之間，因此,

這兩個數(shù)是相等的.證完.

336面積看作極限前目所述的可求積的條件可以改述如次：

1為了要使圖形（P）是可求積的，必要而且只要，存在這樣的兩個多邊形序列｛（4.）｝與

｛（&）｝，分別是被包含在（P）里的及包含著（P