2017-2018學(xué)年安徽省六安一中高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷（理科）

2017-2018學(xué)年安徽省六安一中高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷（理科）

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的.

1.（5分）（2016秋?黃山期末）已知橢圓C：胃+，=l（a>b>0）的一個焦點與拋物線y2=

4Kx的焦點重合，長軸長等于圓15=0的半徑，則橢圓C的方程為（）

x2y2x2y2

A.-4--=1B.—+—=1

431612

x2x2y2

C.—+y2?=iD.—+—=1

4,164

2.（5分）（2016?新課標(biāo)I）△ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c.己知〃=聰,

c=2,cosA=可則b=（）

A.V2B.V3C.2D.3

3（5分）（2017?新課標(biāo)I）記S〃為等差數(shù)列｛斯｝的前〃項和.若44+〃5=24,56=48,則

｛如｝的公差為（）

A.1B.2C.4D.8

4.（5分）（2016秋?安徽期末）已知命題p：VJIG（0,+8）,3x-cosx>0,則下列敘述正

確的是（）

A.「p：VxG（0,+8）,3*-cosxWO

B.「p：BxE（0,+8）,3%-cosx<0

C.3x6（-8,0],3X-cosx^O

D.「〃是假命題

219

5.（5分）（2012春?黃岡期末）函數(shù)）=r法（x>l）的最小值是（）

A.2V3+2B.2V3-2C.273D.2

6.（5分）（2017秋?金安區(qū)校級期末）“雙曲線漸近線方程為y=±2r”是"雙曲線方程為

/一?=入（入為常數(shù)且入W0）”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

7.（5分）（2017秋?金安區(qū)校級期末）已知點0、A、B、C為空間不共面的四點，且向量

a=OA+OB+OC,向量]=OA+OB-OC,則與2、己不能構(gòu)成空間基底的向量是（）

&或兀

A.OAB.OBc.ocD.

8.（5分）（2016秋?桐城市期末）已知拋物線C：7=2），的焦點為F,A（x（）,>>（））是C上

一點，|A/n=|yo，則即=（）

A.1B.-1或1C.2D.-2或2

%2y2

9.（5分）（2010?江蘇模擬）橢圓一+—=1上的點到直線x+2y-&=0的最大距離是

164

（）

A.3B.VTTC.2V2D.V10

10.（5分）（2017秋?金安區(qū)校級期末）在三棱錐P-A8C中,ABL8C,48=BC=PA=&,

點O,D分別是AC,PC的中點，OP_L平面ABC,則直線0D與平面PBC所成角的正

弦值為（）

11.（5分）（2017秋?金安區(qū)校級期末）過拋物線『=2px（p>0）的焦點F作不與坐標(biāo)軸

垂直的直線，交拋物線于M,N兩點，弦MN的垂直平分線交x軸于點4,若明川=20,

則尸（）

A.10B.8C.6D.4

x2y2

12.（5分）（2018?衡陽二模）設(shè)雙曲線"-三=l（a>0,b>0）的右頂點為A,右焦點為

F（c,0）,弦尸。的過尸且垂直于x軸，過點P,。分別作直線AP,AQ的垂線，兩垂

線交于點3,若8到直線PQ的距離小于2（a+c）,則該雙曲線離心率的取值范圍是（）

A.（1,V3）B.（V3,+8）C.（0,V3）D.（2,V3）

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.

0%2

13.（5分）（2017秋?金安區(qū)校級期末）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線x=5與雙曲線工?-

/3

y2=1的兩條漸近線分別交于點P,Q，雙曲線的左，右焦點分別是Fi，F(xiàn)i，則四邊形

FiPFiQ的面積是.

14.（5分）（2017秋?金安區(qū)校級期末）正方體A8C￡>-AIBICQI的棱長為1,E,F分別為

BB\,C￡>的中點，則點尸到平面A1QE的距離為.

15.（5分）（2017秋?金安區(qū)校級期末）若對任意xWR,不等式（a2-1）?-（a-1）x-1

<0恒成立，則實數(shù)“值范圍是.

x2y2

16.（5分）（2017秋?金安區(qū)校級期末）設(shè)戶為橢圓一+—=1的右焦點，且橢圓上至少

16988

有10個不同的點Pi（i=l,2,3……）,使尸尸i|,IFP2I，m，……組成公差為d的等

差數(shù)列，則d的取值范圍是.

三、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

x2y2

17.（10分）（2017秋?金安區(qū)校級期末）已知橢圓=1的長軸兩端點為雙曲線E的

94

3

焦點，且雙曲線E的離心率為一.

2

（1）求雙曲線E的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若斜率為1的直線/交雙曲線E于A,8兩點，線段AB的中點的橫坐標(biāo)為4vL求

直線/的方程.

18.（12分）（2017秋?金安區(qū)校級期末）直三棱柱ABC-ASC中，底面ABC是邊長為2

的正三角形，。'是棱4。的中點，且44'=2V2.

（1）若點M為棱CC的中點，求異面直線與所成角的余弦值；

（2）若點M在棱CC上，且平面A8D,求線段CM的長.

Xv

19.（12分）（2017秋?金安區(qū)校級期末）已知橢圓于+卷=1（a>b>0）的左、右焦點分

a2b2

別為Q（-3,0）,Fi（3,0）,直線y=丘與橢圓交于4、B兩點.

（I）若三角形AB尸2的周長為4百+6,求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;

（1【）若因〉辛，且以AB為直徑的圓過橢圓的右焦點，求橢圓離心率e的取值范圍.

20.（12分）（2017秋?金安區(qū)校級期末）如圖，在三棱臺OEF-ABC中，AB=2DE,CF1.

平面ABC,AB1BC,/BAC=45°,CF=DE,G,"分別為4C,8c的中點.

（1）求證：B￡>〃平面尸GH；

（2）求平面尸GH與平面ACFD所成角（銳角）的大小.

21.（12分）（2017秋?金安區(qū)校級期末）平面內(nèi)一動圓P（P在〉軸右側(cè)）與圓（x-1）2+/

=1外切，且與y軸相切.

（1）求動圓圓心P的軌跡C的方程；

（2）已知動直線/過點例（4,0）,交軌跡C于A,8兩點，坐標(biāo)原點。為的中點，

求證：/ANM=/BNM.

22.（12分）（2017秋?金安區(qū)校級期末）已知橢圓C：y+^=1,上頂點為M,焦點為

F\,尸2,點A,8是橢圓C上異于點M的不同的兩點，且滿足直線MA與直線MB斜率

1

之積為二.

（1）若P為橢圓上不同于長軸端點的任意一點，求△PFIF'2面積的最大值；

（2）試判斷直線A8是否過定點；若是，求出定點坐標(biāo)；若否，請說明理由.

2017-2018學(xué)年安徽省六安一中高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷

（理科）

參考答案與試題解析

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的.

1.（5分）（2016秋?黃山期末）已知橢圓C：盤+'=l（a>b>0）的一個焦點與拋物線y2=

4gx的焦點重合，長軸長等于圓/+/-2%-15=0的半徑，則橢圓C的方程為（）

x2y2x2y2

A.—+-=1B.—+—=1

431612

x2x2y2

C.—+y?=1D.—+—=1

4,164

【考點】K4：橢圓的性質(zhì)；K8：拋物線的性質(zhì).

【專題】11：計算題；34：方程思想；35：轉(zhuǎn)化思想；5D：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方

程.

【分析】求出拋物線的焦點坐標(biāo)，圓的半徑，然后求解橢圓的小b,即可得到橢圓方程.

【解答】解：橢圓C：盤+，=l（a>b>0）的一個焦點與拋物線y2=4信的焦點重合，

可得c=V3,

長軸長等于圓/+/-2冗-15=0的半徑，。=2,則6=1,

%2

所求橢圓方程為：一+y2=1.

4

故選：C.

【點評】本題考查橢圓的簡單性質(zhì)，橢圓方程的求法，拋物線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，考查

計算能力.

2.（5分）（2016?新課標(biāo)1）ZXABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為〃、b、c.已知”=遍,

c=2,cosA=于則b=（）

A.V2B.V3C.2D.3

【考點】HR：余弦定理.

【專題】11：計算題；35：轉(zhuǎn)化思想；4R：轉(zhuǎn)化法；58：解三角形.

【分析】由余弦定理可得cosA="室利用已知整理可得3層-防-3=0,從而解

得。的值.

【解答】解：。=遍，c=2,cosA=I，

?,?由余弦定理可得：cosA=看=史雋?=愛芳，整理可得：3/-8〃-3=0,

?5￡1uCZXDXZ

解得：6=3或一/（舍去）.

故選：D.

【點評】本題主要考查了余弦定理，一元二次方程的解法在解三角形中的應(yīng)用，考查了

計算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題.

3.（5分）（2017?新課標(biāo)I）記S”為等差數(shù)列｛為｝的前〃項和.若04+。5=24,S6=48,則

｛斯｝的公差為（）

A.1B.2C.4D.8

【考點】84：等差數(shù)列的通項公式；85：等差數(shù)列的前n項和.

【專題】11：計算題；34：方程思想；40：定義法；54：等差數(shù)列與等比數(shù)列.

【分析】利用等差數(shù)列通項公式及前〃項和公式列出方程組，求出首項和公差，由此能

求出｛斯｝的公差.

【解答】解：為等差數(shù)列｛斯｝的前〃項和，“4+45=24,56=48,

+3d+a1+4d=24

??',6x5」dc，

6alH—2-d=48

解得a\=-2,d=4,

二｛斯｝的公差為4.

故選：C.

【點評】本題考查等差數(shù)列公式的求法及應(yīng)用，是基礎(chǔ)題，解題時要認(rèn)真審題，注意等

差數(shù)列的性質(zhì)的合理運用.

4.（5分）（2016秋?安徽期末）已知命題p：VxG（0,+8）,3X-cosx>0,則下列敘述正

確的是（）

A.「p：VxG（0>+8）,3*-cosxWO

B.—'p：3x6（0,+8）,2>x-cosx<0

C.~~'/?：SAG（-°°,0],3'-cosxWO

D.-'p是假命題

【考點】2J：命題的否定；2K：命題的真假判斷與應(yīng)用.

【專題】2A：探究型；5L：簡易邏輯.

【分析】根據(jù)已知中原命題，寫出命題的否定，并判斷其真假，可得答案.

【解答】解：?.,命題p：Vxe（0,+8）,3X-cosx>0,

二命題p為:3.rG（0,+<?）,3*-cosxW0；

當(dāng)x>0時，3X>1,-iWcosxWl,

3X-cosx>0.

故P是真命題，即Y是假命題.

故選：D.

【點評】本題以命題的真假判斷與應(yīng)用為載體，考查了復(fù)合命題，全稱命題，分類討論

思想，難度中檔.

5.（5分）（2012春?黃岡期末）函數(shù)），=《￥（x>l）的最小值是（）

J%—1

A.2V3+2B.273-2C.2A/3D.2

【考點】3H：函數(shù)的最值及其幾何意義.

【專題】11：計算題；51：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；59：不等式的解法及應(yīng)用.

【分析】先將函數(shù)變形可得>=署=5-1）+等+2,再利用基本不等式可得結(jié)論.

【解答】解：產(chǎn)學(xué)牛=（x-1）+分+2

Jx—1x-1

Vx>l,Z.x-1>0

（x-1）+^->273（當(dāng)且僅當(dāng)X=V5+1時，取等號）

%2+2?-

二尸注>2V3+2

故選：A.

【點評】本題考查函數(shù)的最值，考查基本不等式的運用，屬于中檔題.

6.（5分）（2017秋?金安區(qū)校級期末）“雙曲線漸近線方程為y=±2x”是"雙曲線方程為

/一?=入（入為常數(shù)且入W0）”的（）

A,充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【考點】29：充分條件、必要條件、充要條件.

【專題】38：對應(yīng)思想；4R：轉(zhuǎn)化法；5L：簡易邏輯.

【分析】根據(jù)雙曲線漸近線方程求出m人的關(guān)系，得到雙曲線的方程即可.

【解答】解：雙曲線漸近線方程為y=±2x,

即Z?=2a,或a=2。,

故雙曲線方程為一-9=入（入為常數(shù)且入W0）,

是充要條件，

故選：C.

【點評】本題考查了雙曲線的方程問題，考查漸近線方程，是一道基礎(chǔ)題.

7.（5分）（2017秋?金安區(qū)校級期末）己知點。、A、B、C為空間不共面的四點，且向量

a=0A+0B+0C,向量I=0A+0B-0C,則與2%不能構(gòu)成空間基底的向量是（）

A.0AB.OBC.0CD.（￡1或防

【考點】M8：空間向量基本定理、正交分解及坐標(biāo)表示.

【專題】5H：空間向量及應(yīng)用.

【分析】利用空間向量的基底的意義即可得出.

【解答】解："/0C=1（a-b）=1（0A+0B+0C）（OA+OB-OC）,

.?.民與入1不能構(gòu)成空間基底；

故選：C.

【點評】本題考查了向量的基本定理及其意義，正確理解空間向量的基底的意義是解題

的關(guān)鍵.

8.（5分）（2016秋?桐城市期末）已知拋物線C：/=2y的焦點為尸，4（xo,yo）是C上

一點，|AF|=*yo，則x（）=（）

A.1B.-1或1C.2D.-2或2

【考點】K8：拋物線的性質(zhì).

【專題】11：計算題；34：方程思想；35：轉(zhuǎn)化思想；49：綜合法；5D：圓錐曲線的定

義、性質(zhì)與方程.

【分析】求出拋物線的焦點坐標(biāo)，利用A（xo,yo）是C上一點，\AF]=ly0,列出方程

化簡求解即可.

【解答】解：拋物線C：/=2y的焦點為尸（0,1）,A（刈，和）是C上一點，|AF]=*yo，

22

可得：J（x0-0）+（y0-1）=|y0>

22

可得與2+y0-y（）+1=||y0-

即y02+yo+/=會Vo）,解得和=2,

可得xo=±2.

故選：D.

【點評】本題考查拋物線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力.

-V

9.（5分）（2010?江蘇模擬）橢圓區(qū)+\=1上的點到直線x+2y—&=0的最大距離是

（）

A.3B.VilC.2^2D.V10

【考點】IT：點到直線的距離公式；KH：直線與圓錐曲線的綜合.

【專題】11：計算題.

比2y2

【分析】設(shè)橢圓暮+7=1上的點尸（4cos。，2sin0）,由點到直線x+2y-娥=0的距

離公式，計算可得答案.

X2V2

【解答】解：設(shè)橢圓77+—=1上的點P（4COS0,2sin0）

164

則點P到直線x+2y-V2=0的距離

|4cos0+4sin。-四_|4>/2stn（0+^）—/2|j_|-4-/2-/2|_寸

仁店二75max=-75-=V；

故選：D.

【點評】本題考查直線和橢圓的位置關(guān)系，解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)求解.

10.（5分）（2017秋?金安區(qū)校級期末）在三棱錐P-ABC中_LBC,AB=BC=PA=g

點0,D分別是AC,PC的中點,。尸_L平面ABC,則直線OD與平面P8C所成角的正

弦值為（）

B

【考點】MI：直線與平面所成的角.

【專題】38：對應(yīng)思想；44：數(shù)形結(jié)合法；5G：空間角.

【分析】取8c中點E,連接PE,則平面POE,作OFLPE于F,連接DF,得到

OFJ_平面尸8C,可得/0Z）尸是0D與平面PBC所成的角.然后求解三角形得答案.

【解答】解：'."ABA-BC,OA=OC,：.OA=OB=OC,

又,。尸"L平面ABC

:.PA=PB=PC.

取8c中點E,連接PE,貝I8C_L平面POE,

作OFLPE于F,連接DF,則OFJL平面PBC.

：.NODF是OD與平面PBC所成的角.

'：AB=BC=PA=V2,，PO=1,

在RtZsPOC中，。是PC的中點，PC=V2,：.0D二號,

J2

在RtZ\POE中，0E=號,PE=4,0F=

Z乙ICVo□

T

O,旦q

在Rt^OO尸中，sinZODF=^=^-=^.

T

直線OD與平面PBC所成角的正弦值為彳V6■.

故選：C.

【點評】本題考查直線與平面所成的角，考查空間想象能力和邏輯思維能力，是中檔題.

11.（5分）（2017秋?金安區(qū)校級期末）過拋物線）2=2px（p>0）的焦點/作不與坐標(biāo)軸

垂直的直線，交拋物線于M,N兩點，弦MN的垂直平分線交x軸于點H,若IMM=20,

則|尸”|=()

A.10B.8C.6D.4

【考點】K8：拋物線的性質(zhì).

【專題】34：方程思想；48：分析法；5D：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程.

【分析】設(shè)M（xi，“），N（冷，”），代入拋物線的方程，作差，結(jié)合直線的斜率公式

和中點坐標(biāo)公式，求得MN的斜率，求MN的垂直平分線方程，求出MN的垂直平分線

交x軸于4的坐標(biāo)，進(jìn)而求得即可得出結(jié)論.

【解答】解：設(shè)M（xi,yi）,N（必）2）,

拋物線f=2px（p>0）的焦點F（p0）,

弦MN的中點為K（xo,加），

y\=2px\,yi=2px2，

相減可得（yi-”）（yi+”）=2p（xi-&），

可得則kMN=-?=S，

xi-x2力+丫2y。

的垂直平分線為y-y（）=-意（x-x（））f

令y=0,則助=即+〃，

/.\HF\=XQ-\-}

*?\MN\=xi+x2+p=2xo+p,

：.\HF\=3MM=10,

故選：A.

【點評】本題以拋物線方程為載體，考查拋物線的性質(zhì)，注意點差法的運用，考查學(xué)生

的計算能力，屬于中檔題..

x2y2

12.（5分）（2018?衡陽二模）設(shè)雙曲線丁-77=l（a>0,b>0）的右頂點為A,右焦點為

F（c,0）,弦PQ的過尸且垂直于x軸，過點尸，。分別作直線AP,A。的垂線，兩垂

線交于點B,若B到直線PQ的距離小于2（a+c）,則該雙曲線離心率的取值范圍是（）

A.（1,V3）B.（V3,+8）C.（0,V3）D.（2,V3）

【考點】KM：直線與雙曲線的綜合.

【專題】15：綜合題；35：轉(zhuǎn)化思想；4G：演繹法；5D：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程.

【分析】求出直線BQ的方程，令y=0,可得8的坐標(biāo)，利用B到直線PQ的距離小于

2（a+c）,得出a,c?的關(guān)系，即可求出該雙曲線離心率的取值范圍.

22

bb仁

【解答】解：由題意，B在x軸上，P（c,—）,Q（a*,?

aaa~c

..a2-ac

??KQP=7>

直線BP的方程為），一（=—今井（x-c）,

,4

令產(chǎn)°,可得x=在3+C,

???8到直線PQ的距離小于2（a+c）,

,4

???—n-----<^2（q+c）,

Q氣a-c）

.*./?<V2a,

**.c<V3a,

：.e<y/3f

Ve>l,

AlVe<V3,

故選：A.

【點評】本題考查雙曲線的方程與性質(zhì)，考查直線方程的求解，考查學(xué)生分析解決問題

的能力，屬于中檔題.

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.

13.（5分）（2017秋?金安區(qū)校級期末）在平面直角坐標(biāo)系xQy中，直線x=*與雙曲線三■-

y2=1的兩條漸近線分別交于點P,Q,雙曲線的左，右焦點分別是Fi，F(xiàn)2,則四邊形

F\PFzQ的面積是，遮

【考點】KC：雙曲線的性質(zhì).

【專題】34：方程思想；48：分析法；5D：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程.

【分析】求出雙曲線的漸近線方程，得到P,Q坐標(biāo)，求出焦點坐標(biāo)，然后求解四邊形

的面積.

%2______

【解答】解：雙曲線三一、2=1的〃=百，b=l,C=V3+1=2,

直線％=3與雙曲線77-y2=1的兩條漸近線>=土不聯(lián)立，

/33

3V33、尺

解得P（5,Q（5，一詈），F(xiàn)1（-2,0）.F1（2,0）,

1

則四邊形F1PF2Q的面積是5x4xV3=2V3.

故答案為：2

【點評】本題考查雙曲線的簡單性質(zhì)，主要是漸近線方程，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.

14.（5分）（2017秋?金安區(qū)校級期末）正方體A8CO-481C1O1的棱長為1,E,F分別為

V5

BB\,CO的中點，則點尸到平面的距離為二；.

【考點】MK：點、線、面間的距離計算.

【專題】11：計算題；31：數(shù)形結(jié)合；41：向量法：5F：空間位置關(guān)系與距離.

【分析】以。為原點，D4為x軸，OC為y軸，為z軸，建立空間直角系，利用向

量法能求出點F到平面A\D\E的距離.

【解答】解：以。為原點，D4為x軸，DC為），軸，。。為z軸，建立空間直角系，

1

1-O

A](1,0,1),D\(0,0,1),E(1,1,-),F(0,2

2

TT1T11

。送1=(1,0,0),DrE=(I,I,-p,EF=(-1,一分

設(shè)平面4。班的法向量九=(x,y,z),

71,D-yy4i—X—0—>

.±1，取y=l,得九=(0,1,2),

n?DE=%+y-]Z=0

(r

t—1r~

點F到平面A\D\E的距離為d=且型=誥=祭

【點評】本題考查點到平面的距離的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意向量法

的合理運用.

15.（5分）（2017秋?金安區(qū)校級期末）若對任意X6R,不等式（/_|）/-（?-1）x-1

V0恒成立，則實數(shù)。成范圍是（一|，1]..

【考點】3R：函數(shù)恒成立問題.

【專題】II：計算題：33：函數(shù)思想；34：方程思想；49：綜合法；51：函數(shù)的性質(zhì)及

應(yīng)用.

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，通過a是否為1,可得不等式id-1）7-（a-1）x-

1<0恒成立時，a的取值范圍.

【解答】解對于任意的X6R,不等式（J-1）（a-1）x-1<0恒成立

當(dāng)”=1時，-ICO恒成立；

當(dāng)仔一1VO2

時=尤（—百，I）。

[△=(a-I)2+4(a2-1)<0

綜上：實數(shù)。值范圍是（一|,1].

給答案為：（一。，1].

【點評】本題考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)的應(yīng)用，考查分類討論思想的應(yīng)用，轉(zhuǎn)化思想

的應(yīng)用.

x2y2

16.（5分）（2017秋?金安區(qū)校級期末）設(shè)F為橢圓——+—=1的右焦點，且橢圓上至少

16988

有10個不同的點點冊=1,2,3……）,使下Pi|,\FP2\,\FP3\,……組成公差為“的等

差數(shù)列，則4的取值范圍是1-2,0）U（0,21.

【考點】K4：橢圓的性質(zhì).

【專題】11：計算題；32：分類討論；35：轉(zhuǎn)化思想；49：綜合法；54：等差數(shù)列與等

比數(shù)列.

【分析】若這個等差數(shù)列是增數(shù)列，ai2|FPi|=4,aioW|FPio|=22；若這個等差數(shù)列是

減數(shù)列，則aW|FPi|=22,aio>|FPio|=4,由此可求出d的取值范圍.

【解答】解：若這個等差數(shù)列是增數(shù)列,則ai冽產(chǎn)解|=13-9=4,aioW|FPio|=13+9=

22,

'.a\Q=a\+\Od,/.O<tzio_a\(13+9)-(13-9)=2,

解得0<d<2

若這個等差數(shù)列是減數(shù)列，則aiW|FPi|=13+9=22,aio>|FPio|=13-9=4,

：.aio^ai+9d,；.0>?10-ai(13-9)-(13+9)=-2,

解得-2Wd<0.

二”的取值范圍為L2,0)U(0,2].

故答案為：[-2,0)U(0,2].

【點評】本題以橢圓知識為載體考查數(shù)列知識，考查發(fā)現(xiàn)問題解決問題的能力.

三、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

x2y2

17.(10分)(2017秋?金安區(qū)校級期末)已知橢圓一+-=1的長軸兩端點為雙曲線后的

94

3

焦點，且雙曲線E的離心率為3

(1)求雙曲線E的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)若斜率為1的直線/交雙曲線E于A,B兩點，線段48的中點的橫坐標(biāo)為4vL求

直線/的方程.

【考點】K4：橢圓的性質(zhì)；KM：直線與雙曲線的綜合.

【專題】11：計算題：35：轉(zhuǎn)化思想；49：綜合法；5D：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程.

【分析】(1)利用橢圓的頂點坐標(biāo)求出雙曲線E的焦點坐標(biāo)，然后求解雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)設(shè)出斜率為1的直線/的方程與雙曲線E聯(lián)立，利用韋達(dá)定理結(jié)合線段AB的中點

的橫坐標(biāo)為4vL即可求直線/的方程.

【解答】解：(1)橢圓町+乙二1的長軸兩端點為(±3,0),得c=3,

94

&%2y2

又e=J=看得a=2,.?.y=c2-J=5..?.雙曲線后的方程為一一2=i.

僅2y2

(2)設(shè)直線/的方程為y=x+f,由次一至=1得/-8fx-4(r+5)=0,

(y=x+1

.,.△=80(Al)>0,Xi+x2=8t=8V2,At=V2.直線方程為x-y+魚=0.

【點評】本題考查直線與雙曲線的位置關(guān)系的應(yīng)用，橢圓以及雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，

考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力.

18.(12分)(2017秋?金安區(qū)校級期末)直三棱柱中，底面ABC是邊長為2

的正三角形，。'是棱4c的中點，且44'=271

(1)若點M為棱CC的中點，求異面直線與所成角的余弦值；

(2)若點M在棱CC上，且平面A8D,求線段CM的長.

【考點】LM：異面直線及其所成的角；LW：直線與平面垂直.

【專題】11：計算題；31：數(shù)形結(jié)合；44：數(shù)形結(jié)合法；5F：空間位置關(guān)系與距離；5H：

空間向量及應(yīng)用.

【分析】(1)取AC邊中點為0,由題意可得OO」AC,OD'lOB,以。為坐標(biāo)原點，

為x軸，0C為)，軸，為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，若M為CC的中點，則可求

—>

M(0,1,V2),BM=(-V3,1,V2),AB/=(遮，1,2或)，設(shè)異面直線A?與BM

所成的角為e,利用向量數(shù)量積的運行即可計算得解.

(2)設(shè)M(0,1,t),則由_LA。，A'M±AB,,可得

"M?y=0+2+(t-2近)?2也=0,進(jìn)而解得AM,平面AB。時CM的值.

4M-AB'=0+2+(<t-2V2)-2V2=0

【解答】解：取4C邊中點為O,

；底面ABC是邊長為2的正三角形，

.?.OBLAC連接OD',

?.,。是邊AC的中點，

：.OD'±AC,0D'±0B,

以0為坐標(biāo)原點，02為x軸，OC為y軸，0。為z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

則0(0,0,0),A(0,-1,0),5(V3,0,0),C(0,1,0),B/(遮，0,2V2),A

(0,-1,2A/2),D'(0,0,2V2),Cz(0,1,2V2),

(1)若M為CC的中點，則M(0,1,V2),BM=(-V3,1,%AB'=(6，1,2夜),

2

設(shè)異面直線49與8M所成的角為6,貝ijcos。=\cos<AB',BM>\

區(qū)2遮一飛'

所以異面直線與8例所成的角得余弦值為座,

6

(2)設(shè)例(0,1,/),則力'M=(0,2,C-2V2),AD'=(0,1,2魚)，ABz=

(遮，1,2A/2),

若A'M_L平面ABTX,則由4M_LAD,A'M±AB',

(TT

.“M?m=0+2+(t-2A/2)-2V2=0

,?]-?，

4M?49=0+2+(t-2V2)-2^2=0

可-r妨得：t=g3A/-2，

【點評】本題主要考查了直線與平面垂直，異面直線及其所成的角，解題的關(guān)鍵是建立

空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量的運算解決問題，考查了數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于中

檔題.

X2y2

19.（12分）（2017秋?金安區(qū)校級期末）已知橢圓丁+77=1的左、右焦點分

a2b2

別為Fl（-3,0）,F2（3,0）,直線y=去與橢圓交于A、B兩點.

（I）若三角形4F|F2的周長為4百+6,求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（II）若因〉乎，且以4B為直徑的圓過橢圓的右焦點，求橢圓離心率e的取值范圍.

【考點】K4：橢圓的性質(zhì).

【專題】34：方程思想；35：轉(zhuǎn)化思想；44：數(shù)形結(jié)合法；5E：圓錐曲線中的最值與范

圍問題.

c=3

【分析】（1）由題意得2a+2c=6+48，解出即可得出.

（a2=b2+c2

222

（II）由,Q2J2，化為（U+JF）x-cib=0.設(shè)A（xi，yi）,B（%2?”）.由

（y=kx

AF2±BF2,可得&?F；8=0,再利用根與系數(shù)的關(guān)系化簡整理即可得出.

c=3

【解答】解：(I)由題意得2Q+2c=6+4k，解得〃2=12,力2=3.

a2=b2+c2

x2y2

???橢圓的方程為二；+—=1-

123

(乃比=

(II)由1次后,化為(序+a2b/-〃2b2=0.

(y=kx

設(shè)A(xi，yi),B(X2，”).

—a2b2

**.X|+X2=0,X\X2=

b2+a2k2'

易知，AF2LBF2,

F2A=(xi-3,y\),F2B=(X2-3,”)，

T—?

C.F2A*F2B=(xi-3)(X2-3)+yi”

=(1+必)XIX2-3(X1+X2)+9=(1+F)X1X2+9=O.

-a2(a2-9)(l+Zc2)

+9=0,

(a2-9)+a2/c2

將其整理為左二筆需181

a4—18a2,

；1川>3，，12<。2<18,

解得2b<a<3V2,

??禺心率—<eV—.

22

【點評】本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、圓的性質(zhì)、相互垂直的直線斜率之間的

關(guān)系、不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于難題.

20.（12分）（2017秋?金安區(qū)校級期末）如圖，在三棱臺。EF-A8C中，AB=2DE,CF1.

平面ABC,ABYBC,ZBAC=45°,CF=DE,G,”分別為AC,BC的中點.

（1）求證：8D//平面FGH；

（2）求平面FGH與平面4CFD所成角（銳角）的大小.

【考點】LS：直線與平面平行；MJ：二面角的平面角及求法.

【專題】11：計算題；31：數(shù)形結(jié)合；49：綜合法；5F：空間位置關(guān)系與距離；5G：空

間角.

【分析】(1)連接OG,DC,設(shè)。C與G尸交于點T.證明四邊形。GCF是平行四邊形，

DG//FC.TH//DB,然后證明BO〃平面FG”

(2)以點G為坐標(biāo)原點，GA,GB,GC所在的直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐

標(biāo)系，設(shè)A8=2,求出相關(guān)點的坐標(biāo)；求出平面ACF。的一個法向量，平面FGH的法向

量，然后求解平面FGH與平面AC7T)所成角(銳角)的大小.

【解答】解：(1)證明：連接￡>G,DC,設(shè)0c與G尸交于點7.在三棱臺。EF-A8C

中，AB=2DE,則AC=2OF,

而G是AC的中點，DF//AC,則DFIIGC,所以四邊形。GCF是平行四邊形，T是。C

的中點，DG//FC.

又在△BOC中，，是8c的中點，則77/〃08,

又BOC平面FGH,THu平面FGH,

故80〃平面FGH

(2)解：由CF_L平面ABC,可得。G_L平面ABC,

又4B_L8C,ZBAC=45°,則G8_LAC,于是GB,GA,GC兩兩垂直，

以點G為坐標(biāo)原點，GA,GB,GC所在的直線分別為x,?z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)48=2,則OE=CF=1,AC=272,AG=V2,B(&,0,0),C(0,VL0),D(0,

0,1),F(0,V2,1),H(孝，孝，0)

平面AC/7)的一個法向量為元=(0,1,0),

設(shè)平面FGH的法向量為信(%2,32,Z2)，則卜29=°,即倍亞+歷2=0,

,n2-GF=0VV2y2+z2=0

取X2=l，則”=-l,Z2=&,信=(1,-1,V2),cos有，n2)=\

Jl+1+2/

故平面FG"與平面ACFZ)所成角(銳角)的大小為60°.

【點評】本題考查直線與平面平行的判斷定理的應(yīng)用，二面角的平面角的求法，考查空

間想象能力以及計算能力.

21.(12分)(2017秋?金安區(qū)校級期末)平面內(nèi)一動圓P(P在)，軸右側(cè))與圓(x-I)2+)?

=1外切，且與y軸相切.

(1)求動圓圓心P的軌跡C的方程；

(2)已知動直線/過點M(4,0),交軌跡C于A,8兩點，坐標(biāo)原點。為MN的中點，

求證：NANM=NBNM.

【考點】J3：軌跡方程.

【專題】35：轉(zhuǎn)化思想；4P：設(shè)而不求法；5D：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程.

【分析】(1)設(shè)圓心P,根據(jù)動圓P與圓(x-1)2+/=1外切，且與)，軸相切.建立關(guān)

系可得軌跡C的方程

(2)設(shè)而不求的思想，結(jié)合韋達(dá)定理即可證明.

【解答】解：(1)設(shè)尸(x,y)(x>0),則—I]+y2=%+i,y2—4x