第18講圓錐曲線中的極點(diǎn)極線問題（高階拓展）（教師版）

第18講圓錐曲線中的極點(diǎn)極線問題（高階拓展）（核心考點(diǎn)精講精練）2.命題規(guī)律及備考策略【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的選考內(nèi)容，設(shè)題不定，難度中等或偏難，分值為512分【備考策略】1.理解、掌握圓錐曲線極點(diǎn)極線的定義2.理解、掌握圓錐曲線的極點(diǎn)極線問題及其相關(guān)計(jì)算【命題預(yù)測】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的?？純?nèi)容，小題和大題都會(huì)作為載體命題，同學(xué)們要會(huì)結(jié)合公式運(yùn)算，需強(qiáng)化訓(xùn)練復(fù)習(xí)知識(shí)講解極點(diǎn)極線的定義如圖,設(shè)P是不在圓雉曲線上的一點(diǎn),過P點(diǎn)引兩條割線依次交圓錐曲線于四點(diǎn)E,F,G,H,連接EH,FG交于N,連接EG,FH交于M,則直線MN為點(diǎn)P對應(yīng)的極線.若P為圓雉曲線上的點(diǎn),則過P點(diǎn)的切線即為極線.

同理,PM為點(diǎn)N對應(yīng)的極線,PN為點(diǎn)M所對應(yīng)的極線.因而將△MNP稱為自極三點(diǎn)形.設(shè)直線MN其他定義對于圓錐曲線C:Axl:Ax0x+B?x0y+y0x2+C替換原則x0x極點(diǎn)極線的幾何意義(以橢圓為例)

已知橢圓方程:x2a2+y2b2=1,設(shè)點(diǎn)Px(2)當(dāng)點(diǎn)P在橢圓外時(shí),極線l與橢圓相交,且為由P點(diǎn)向橢圓所引切線的切點(diǎn)弦所在直線。(3)當(dāng)點(diǎn)P在橢圓內(nèi)時(shí),極線l與橢圓相離,極線l為經(jīng)過點(diǎn)P的弦在兩端點(diǎn)處的切線交點(diǎn)的軌跡,且極線l與以點(diǎn)P為中點(diǎn)的弦所在的直線平行。特別地:

(1)對于橢圓x2a2+y2b2=1,與點(diǎn)Px0,y0對應(yīng)的極線方程為x0考點(diǎn)一、極點(diǎn)極線在圓錐曲線中的應(yīng)用1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）閱讀材料：（一）極點(diǎn)與極線的代數(shù)定義；已知圓錐曲線G：，則稱點(diǎn)P(，)和直線l：是圓錐曲線G的一對極點(diǎn)和極線.事實(shí)上，在圓錐曲線方程中，以替換，以替換x(另一變量y也是如此)，即可得到點(diǎn)P(，)對應(yīng)的極線方程.特別地，對于橢圓，與點(diǎn)P(，)對應(yīng)的極線方程為；對于雙曲線，與點(diǎn)P(，)對應(yīng)的極線方程為；對于拋物線，與點(diǎn)P(，)對應(yīng)的極線方程為.即對于確定的圓錐曲線，每一對極點(diǎn)與極線是一一對應(yīng)的關(guān)系.（二）極點(diǎn)與極線的基本性質(zhì)?定理①當(dāng)P在圓錐曲線G上時(shí)，其極線l是曲線G在點(diǎn)P處的切線；②當(dāng)P在G外時(shí)，其極線l是曲線G從點(diǎn)P所引兩條切線的切點(diǎn)所確定的直線（即切點(diǎn)弦所在直線）；③當(dāng)P在G內(nèi)時(shí)，其極線l是曲線G過點(diǎn)P的割線兩端點(diǎn)處的切線交點(diǎn)的軌跡.結(jié)合閱讀材料回答下面的問題：(1)已知橢圓C：經(jīng)過點(diǎn)P(4，0)，離心率是，求橢圓C的方程并寫出與點(diǎn)P對應(yīng)的極線方程；(2)已知Q是直線l：上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)Q向（1）中橢圓C引兩條切線，切點(diǎn)分別為M，N，是否存在定點(diǎn)T恒在直線MN上，若存在，當(dāng)時(shí)，求直線MN的方程；若不存在，請說明理由.【答案】(1)，(2)存在，【分析】(1)根據(jù)題意和離心率求出a、b，即可求解；(2)利用代數(shù)法證明點(diǎn)Q在橢圓C外，則點(diǎn)Q和直線MN是橢圓C的一對極點(diǎn)和極線.根據(jù)題意中的概念求出點(diǎn)Q對應(yīng)的極線MN方程，可得該直線恒過定點(diǎn)T（2,1），利用點(diǎn)差法求出直線的斜率，即可求解.【詳解】（1）因?yàn)闄E圓過點(diǎn)P(4,0)，則，得，又，所以，所以，所以橢圓C的方程為.根據(jù)閱讀材料，與點(diǎn)P對應(yīng)的極線方程為，即；（2）由題意，設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(,)，因?yàn)辄c(diǎn)Q在直線上運(yùn)動(dòng)，所以，聯(lián)立，得，，該方程無實(shí)數(shù)根，所以直線與橢圓C相離，即點(diǎn)Q在橢圓C外，又QM，QN都與橢圓C相切，所以點(diǎn)Q和直線MN是橢圓C的一對極點(diǎn)和極線.對于橢圓，與點(diǎn)Q(,)對應(yīng)的極線方程為，將代入，整理得，又因?yàn)槎c(diǎn)T的坐標(biāo)與的取值無關(guān)，所以，解得，所以存在定點(diǎn)T(2,1)恒在直線MN上.當(dāng)時(shí)，T是線段MN的中點(diǎn)，設(shè)，直線MN的斜率為，則，兩式相減，整理得，即，所以當(dāng)時(shí)，直線MN的方程為，即.2．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知橢圓E的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，對稱軸為x軸、y軸，且過兩點(diǎn)．(1)求E的方程；(2)設(shè)過點(diǎn)的直線交E于M，N兩點(diǎn)，過M且平行于x軸的直線與線段AB交于點(diǎn)T，點(diǎn)H滿足．證明：直線HN過定點(diǎn)．【答案】(1)(2)【分析】（1）將給定點(diǎn)代入設(shè)出的方程求解即可；（2）設(shè)出直線方程，與橢圓C的方程聯(lián)立，分情況討論斜率是否存在，即可得解.【詳解】（1）解：設(shè)橢圓E的方程為，過，則，解得，，所以橢圓E的方程為：.（2），所以，①若過點(diǎn)的直線斜率不存在，直線.代入，可得，，代入AB方程，可得，由得到.求得HN方程：，過點(diǎn).②若過點(diǎn)的直線斜率存在，設(shè).聯(lián)立得，可得，，且聯(lián)立可得可求得此時(shí)，將，代入整理得，將代入，得顯然成立，綜上，可得直線HN過定點(diǎn)【點(diǎn)睛】求定點(diǎn)、定值問題常見的方法有兩種：①從特殊入手，求出定值，再證明這個(gè)值與變量無關(guān)；②直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過程中消去變量，從而得到定值.3．（北京·高考真題）已知橢圓：的離心率為，點(diǎn)和點(diǎn)都在橢圓上，直線交軸于點(diǎn)．（Ⅰ）求橢圓的方程，并求點(diǎn)的坐標(biāo)（用，表示）；（Ⅱ）設(shè)為原點(diǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對稱，直線交軸于點(diǎn)．問：軸上是否存在點(diǎn)，使得？若存在，求點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）存在點(diǎn)．【詳解】（Ⅰ）由于橢圓：過點(diǎn)且離心率為，，，橢圓的方程為.,直線的方程為：，令，；（Ⅱ），直線的方程為：，直線PB與x軸交于點(diǎn)N，令，則.設(shè),,,則，所以，（注：點(diǎn)在橢圓上，），則，存在點(diǎn)使得.考點(diǎn)：1.求橢圓方程；2.求直線方程及與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)；3.存在性問題.4．（全國·高考真題）設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，過的直線與交于兩點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為.（1）當(dāng)與軸垂直時(shí)，求直線的方程；（2）設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，證明：.【答案】（1）的方程為或；（2）證明見解析.【分析】（1）根據(jù)與軸垂直，且過點(diǎn)，求得直線的方程為，代入橢圓方程求得點(diǎn)的坐標(biāo)為或，利用兩點(diǎn)式求得直線的方程；（2）方法一：分直線與軸重合、與軸垂直、與軸不重合也不垂直三種情況證明，特殊情況比較簡單，也比較直觀，對于一般情況將角相等通過直線的斜率的關(guān)系來體現(xiàn)，從而證得結(jié)果.【詳解】（1）由已知得，的方程為.由已知可得，點(diǎn)的坐標(biāo)為或.所以的方程為或.（2）［方法一］：【通性通法】分類＋常規(guī)聯(lián)立當(dāng)與軸重合時(shí)，.當(dāng)與軸垂直時(shí)，為的垂直平分線，所以.當(dāng)與軸不重合也不垂直時(shí)，設(shè)的方程為，，則，直線、的斜率之和為.由得.將代入得.所以，.則.從而，故、的傾斜角互補(bǔ)，所以.綜上，.［方法二］：角平分線定義的應(yīng)用當(dāng)直線l與x軸重合或垂直時(shí)，顯然有．當(dāng)直線l與x軸不垂直也不重合時(shí)，設(shè)直線l的方程為，交橢圓于，．由得．由韋達(dá)定理得．點(diǎn)A關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)，則直線的方程為．令，，則直線過點(diǎn)M，．［方法三］：直線參數(shù)方程的應(yīng)用設(shè)直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）．（*）將（*）式代入橢圓方程中，整理得．則，．又，則，即．所以．［方法四］：【最優(yōu)解】橢圓第二定義的應(yīng)用當(dāng)直線l與x軸重合時(shí)，．當(dāng)直線l與x軸不重合時(shí)，如圖，過點(diǎn)A，B分別作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為C，D，則有軸．由橢圓的第二定義，有，，得，即．由軸，有，即，于是，且．可得，即有．［方法五］：角平分線定理逆定理＋極坐標(biāo)方程的應(yīng)用橢圓以右焦點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正方向?yàn)闃O軸，得.設(shè)．．所以，．由角平分線定理的逆定理可知，命題得證．［方法六］：角平分線定理的逆定理的應(yīng)用設(shè)點(diǎn)O（也可選點(diǎn)F）到直線的距離分別為，根據(jù)角平分線定理的逆定理，要證，只需證．當(dāng)直線l的斜率為0時(shí)，易得．當(dāng)直線l的斜率不為0時(shí)，設(shè)直線l的方程為：．由方程組得恒成立，．．直線的方程為：．因?yàn)辄c(diǎn)A在直線l上，所以，故．同理，．．因?yàn)?，所以，即．綜上，．［方法七］：【通性通法】分類＋常規(guī)聯(lián)立當(dāng)直線l與x軸重合或垂直時(shí)，顯然有．當(dāng)直線l與x軸不垂直也不重合時(shí)，設(shè)直線l的方程為，交橢圓于，．由得．由韋達(dá)定理得．所以，故、的傾斜角互補(bǔ)，所以.［方法八］：定比點(diǎn)差法設(shè)，，所以，由作差可得，，所以，，又，所以，，故，、的傾斜角互補(bǔ)，所以.當(dāng)時(shí)，與軸垂直，為的垂直平分線，所以.故．【整體點(diǎn)評】（2）方法一：通過分類以及常規(guī)聯(lián)立，把角相等轉(zhuǎn)化為斜率和為零，再通過韋達(dá)定理即可實(shí)現(xiàn)，是解決該類問題的通性通法；方法二：根據(jù)角平分線的定義可知，利用點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)在直線上，證直線過點(diǎn)即可；方法三：利用直線的參數(shù)方程證明斜率互為相反數(shù)；方法四：根據(jù)點(diǎn)M是橢圓的右準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)，用橢圓的第二定義結(jié)合平面幾何知識(shí)證明，運(yùn)算量極小，是該題的最優(yōu)解；方法五：利用橢圓的極坐標(biāo)方程以及角平分線定理的逆定理的應(yīng)用，也是不錯(cuò)的方法選擇；方法六：類比方法五，角平分線定理的逆定理的應(yīng)用；方法七：常規(guī)聯(lián)立，同方法一，只是設(shè)直線的方程形式不一樣；方法八：定比點(diǎn)差法的應(yīng)用．5．（全國·統(tǒng)考高考真題）已知A、B分別為橢圓E：（a>1）的左、右頂點(diǎn)，G為E的上頂點(diǎn)，，P為直線x=6上的動(dòng)點(diǎn)，PA與E的另一交點(diǎn)為C，PB與E的另一交點(diǎn)為D．（1）求E的方程；（2）證明：直線CD過定點(diǎn).【答案】（1）；（2）證明詳見解析.【分析】（1）由已知可得：，，，即可求得，結(jié)合已知即可求得：，問題得解.（2）方法一：設(shè)，可得直線的方程為：，聯(lián)立直線的方程與橢圓方程即可求得點(diǎn)的坐標(biāo)為，同理可得點(diǎn)的坐標(biāo)為，當(dāng)時(shí)，可表示出直線的方程，整理直線的方程可得：即可知直線過定點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，直線：，直線過點(diǎn)，命題得證.【詳解】（1）依據(jù)題意作出如下圖象：由橢圓方程可得：，，，，橢圓方程為：（2）[方法一]：設(shè)而求點(diǎn)法證明：設(shè)，則直線的方程為：，即：聯(lián)立直線的方程與橢圓方程可得：，整理得：，解得：或?qū)⒋胫本€可得：所以點(diǎn)的坐標(biāo)為.同理可得：點(diǎn)的坐標(biāo)為當(dāng)時(shí)，直線的方程為：，整理可得：整理得：所以直線過定點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，直線：，直線過點(diǎn)．故直線CD過定點(diǎn)．[方法二]【最優(yōu)解】：數(shù)形結(jié)合設(shè)，則直線的方程為，即．同理，可求直線的方程為．則經(jīng)過直線和直線的方程可寫為．可化為．④易知A，B，C，D四個(gè)點(diǎn)滿足上述方程，同時(shí)A，B，C，D又在橢圓上，則有，代入④式可得．故，可得或．其中表示直線，則表示直線．令，得，即直線恒過點(diǎn)．【整體點(diǎn)評】本題主要考查了橢圓的簡單性質(zhì)及方程思想，還考查了計(jì)算能力及轉(zhuǎn)化思想、推理論證能力，屬于難題.第二問的方法一最直接，但對運(yùn)算能力要求嚴(yán)格；方法二曲線系的應(yīng)用更多的體現(xiàn)了幾何與代數(shù)結(jié)合的思想，二次曲線系的應(yīng)用使得計(jì)算更為簡單.1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓C：＝1(a>b>0)經(jīng)過點(diǎn)A，其長半軸長為2.(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)經(jīng)過點(diǎn)B(1，0)的直線l與橢圓C相交于D，E兩點(diǎn)，點(diǎn)E關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為F，直線DF與x軸相交于點(diǎn)G，記△BEG與△BDG的面積分別為S1，S2，求的最大值.【答案】(1)(2)【分析】（1）按照題目所給的條件，可以直接算出結(jié)果；（2）將直線方程設(shè)為橫截式，用水平底鉛錘高表達(dá)面積，將其表示為關(guān)于的函數(shù)，利用對勾函數(shù)求其最值.(1)由已知的a=2，假設(shè)橢圓的方程為，將點(diǎn)代入橢圓方程，得b=1，∴橢圓方程為.(2)作圖如下：設(shè)過點(diǎn)B的直線方程為（依題意，并且存在），點(diǎn)，，則；聯(lián)立方程；解得：，…①…②，直線FD的方程為：，令y=0解得：，將①②并，代入，解得x=4，即點(diǎn)；，，，，由于點(diǎn)D與點(diǎn)E必然在x軸的兩邊，與異號，∴=，，當(dāng)且僅當(dāng)m=2時(shí)，取得最大值.2．（2023秋·浙江衢州·高二浙江省龍游中學(xué)校聯(lián)考期末）已知橢圓：的長軸長為4，離心率為，其左、右頂點(diǎn)分別為A、B，右焦點(diǎn)為F.(1)求橢圓的方程；(2)如圖，過右焦點(diǎn)F作不與x軸重合的直線交橢圓于C、D兩點(diǎn)，直線AD和BC相交于點(diǎn)M，求證：點(diǎn)M在定直線上；(3)若直線AC與（2）中的定直線相交于點(diǎn)N，在x軸上是否存在點(diǎn)P，使得.若存在，求出點(diǎn)P坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.【答案】(1)(2)證明見解析(3)存在點(diǎn)或滿足題意.【分析】（1）根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)列式求出可得結(jié)果；（2）設(shè)直線方程為，、，代入，得到和，寫出直線和的方程，利用和求出點(diǎn)的橫坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為定值可得點(diǎn)M在定直線上；（3）假設(shè)存在點(diǎn)滿足題意，求出的坐標(biāo)，根據(jù)求出即可得解.【詳解】（1）由題可知，所以，由，得，所以，所以橢圓的方程為.（2）由題可知，，，且直線的斜率不為0，設(shè)直線方程為，、，由消去得，恒成立，所以，，所以，所以，所以直線方程為，直線方程為，聯(lián)立，消去得，得，得，得，所以點(diǎn)的橫坐標(biāo)為定值，所以點(diǎn)M在定直線：上.（3）假設(shè)存在點(diǎn)滿足題意，直線的方程為，由（2）可知點(diǎn)，，則，解得或，所以存在點(diǎn)或滿足題意.3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓的離心率為，且過點(diǎn)，A，B分別為橢圓E的左，右頂點(diǎn)，P為直線上的動(dòng)點(diǎn)（不在x軸上），與橢圓E的另一交點(diǎn)為C，與橢圓E的另一交點(diǎn)為D，記直線與的斜率分別為，．（Ⅰ）求橢圓E的方程；（Ⅱ）求的值；（Ⅲ）證明：直線過一個(gè)定點(diǎn)，并求出此定點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）證明見解析，定點(diǎn)坐標(biāo).【分析】（Ⅰ）根據(jù)離心率以及點(diǎn)列出滿足的方程，結(jié)合求解出的值，則橢圓方程可求；（Ⅱ）設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)斜率的定義分別表示出，由此求解出的值；（Ⅲ）寫出的直線方程，分別與橢圓方程聯(lián)立然后求解出點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)寫出直線的方程，并求解出所過的定點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】（1）由條件可知：且，解得，所以橢圓的方程為；（2）因?yàn)?，設(shè)，所以，所以；（3）設(shè)，所以，因?yàn)?，所以，所以，所以，所以，所以，又因?yàn)?，所以，所以，所以，所以，所以，所以，所以，所以，所以，所以直線過定點(diǎn).【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解答圓錐曲線的定點(diǎn)問題的策略：（1）參數(shù)法：參數(shù)解決定點(diǎn)問題的思路：①引進(jìn)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)或動(dòng)直線中的參數(shù)表示變化量，即確定題目中核心變量（通常為變量）；②利用條件找到與過定點(diǎn)的曲線之間的關(guān)系，得到關(guān)于與的等式，再研究變化量與參數(shù)何時(shí)沒有關(guān)系，得出定點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）由特殊到一般法：由特殊到一般法求解定點(diǎn)問題時(shí)，常根據(jù)動(dòng)點(diǎn)或動(dòng)直線的特殊情況探索出定點(diǎn)，再證明該定點(diǎn)與變量無關(guān).4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓的左焦點(diǎn)為，且過點(diǎn).（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知分別為橢圓的左、右頂點(diǎn)，為直線上任意一點(diǎn)，直線分別交橢圓于不同的兩點(diǎn).求證：直線恒過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo).【答案】（1）；（2）證明見解析，定點(diǎn)為.【解析】（1）利用橢圓定義先求解出的值，然后根據(jù)求解出的值，則橢圓方程可求；（2）設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo)，再分別聯(lián)立直線與橢圓方程從而得到的坐標(biāo)，由此確定出直線的方程，分析直線的方程完成證明并求解出定點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】（1）橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，則另一個(gè)焦點(diǎn)為，由橢圓的定義知:，所以，解得.又，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）設(shè)，則直線，與聯(lián)立可得，所以，所以，所以，所以，又直線，與聯(lián)立可得，所以，所以，所以，所以所以直線的斜率為=所以直線所以直線恒過定點(diǎn)，且定點(diǎn)坐標(biāo)為.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：圓錐曲線中過定點(diǎn)問題的兩種求解方法：（1）若設(shè)直線方程為或，則只需要將已知條件通過坐標(biāo)運(yùn)算轉(zhuǎn)化為之間的線性關(guān)系，再用替換或用替換代入直線方程，則定點(diǎn)坐標(biāo)可求；（2）若不假設(shè)直線的方程，則需要將直線所對應(yīng)線段的兩個(gè)端點(diǎn)的坐標(biāo)表示出來，然后選擇合適的直線方程形式表示出直線方程，由此確定出定點(diǎn)坐標(biāo).5．（2023·全國·高三專題練習(xí)）橢圓有兩個(gè)頂點(diǎn)過其焦點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，并與軸交于點(diǎn)，直線與交于點(diǎn)．（1）當(dāng)時(shí)，求直線的方程；（2）當(dāng)點(diǎn)異于兩點(diǎn)時(shí)，證明：為定值．【答案】（1）；（2）證明見解析．【分析】（1）先由題意求出橢圓方程，直線不與兩坐標(biāo)軸垂直，設(shè)的方程為，然后將直線方程與橢圓方程聯(lián)立方程組，消去，利用根與系數(shù)的關(guān)系，再由弦長公式列方程可求出的值，從而可得直線方程；（2）表示直線，的方程，聯(lián)立方程組可得而代入化簡可得，而，則可得的結(jié)果【詳解】（1）由題意，橢圓的方程為易得直線不與兩坐標(biāo)軸垂直，故可設(shè)的方程為，設(shè)，由消去整理得，判別式由韋達(dá)定理得，①故，解得，即直線的方程為．（2）證明：直線的斜率為，故其方程為，直線的斜率為，故其方程為，由兩式相除得即由（1）知，故解得．易得，故，所以為定值1【能力提升】1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）橢圓方程，平面上有一點(diǎn)．定義直線方程是橢圓在點(diǎn)處的極線．已知橢圓方程．(1)若在橢圓上，求橢圓在點(diǎn)處的極線方程；(2)若在橢圓上，證明：橢圓在點(diǎn)處的極線就是過點(diǎn)的切線；(3)若過點(diǎn)分別作橢圓的兩條切線和一條割線，切點(diǎn)為，，割線交橢圓于，兩點(diǎn)，過點(diǎn)，分別作橢圓的兩條切線，且相交于點(diǎn)．證明：，，三點(diǎn)共線．【答案】(1)或；(2)證明見解析；(3)證明見解析.【分析】（1）將代入橢圓方程計(jì)算得點(diǎn)的坐標(biāo)，再寫出極線方程即可；（2）寫出點(diǎn)處的極線方程，先討論的情況，可得處的極線就是過點(diǎn)的切線；再討論的情況，將橢圓方程與極線方程聯(lián)立，消元得關(guān)于的一元二次方程，計(jì)算得判別式，即可證明；（3）分別寫出過點(diǎn)，N的切線方程，從而可得割線的方程，再寫出切點(diǎn)弦的方程，根據(jù)割線過點(diǎn)，代入割線方程計(jì)算，從而可得，，三點(diǎn)共線.【詳解】（1）由題意知，當(dāng)時(shí)，，所以或．由定義可知橢圓在點(diǎn)處的極線方程為，所以橢圓在點(diǎn)處的極線方程為，即點(diǎn)處的極線方程為，即（2）因?yàn)樵跈E圓上，所以，由定義可知橢圓在點(diǎn)處的極線方程為，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)極線方程為，所以處的極線就是過點(diǎn)的切線．當(dāng)時(shí)，極線方程為．聯(lián)立，得．．綜上所述，橢圓在點(diǎn)處的極線就是過點(diǎn)的切線；（3）設(shè)點(diǎn)，，，由（2）可知，過點(diǎn)的切線方程為，過點(diǎn)N的切線方程為．因?yàn)椋歼^點(diǎn)，所以有，則割線的方程為；同理可得過點(diǎn)的兩條切線的切點(diǎn)弦的方程為．又因?yàn)楦罹€過點(diǎn)，代入割線方程得．所以，，三點(diǎn)共線，都在直線上．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解答直線與橢圓的題目時(shí)，時(shí)常把兩個(gè)曲線的方程聯(lián)立，消去（或）建立一元二次方程，然后借助根與系數(shù)的關(guān)系，并結(jié)合題設(shè)條件建立有關(guān)參變量的等量關(guān)系．2．（2022·全國·高三專題練習(xí)），與點(diǎn)對應(yīng)的極線方程為，我們還知道如果點(diǎn)在圓上，極線方程即為切線方程；如果點(diǎn)在圓外，極線方程即為切點(diǎn)弦所在直線方程.同樣，對于橢圓，與點(diǎn)對應(yīng)的極線方程為.如上圖，已知橢圓C：，，過點(diǎn)P作橢圓C的兩條切線PA，PB，切點(diǎn)分別為A，B，則直線AB的方程為；直線AB與OP交于點(diǎn)M，則的最小值是.【答案】（或）；.【分析】（1）根據(jù)已知直接寫出直線AB的方程；（2）求出，再求出,利用基本不等式求解.【詳解】解：（1）由題得AB：，即，（2），，∴的方向向量，所以，即.故答案為：；.3．（2023·全國·高三練習(xí)）已知雙曲線：（，）實(shí)軸端點(diǎn)分別為，，右焦點(diǎn)為，離心率為2，過點(diǎn)且斜率1的直線與雙曲線交于另一點(diǎn)，已知的面積為．(1)求雙曲線的方程；(2)若過的直線與雙曲線交于，兩點(diǎn)，試探究直線與直線的交點(diǎn)是否在某條定直線上？若在，請求出該定直線方程；如不在，請說明理由．【答案】(1)(2)在定直線方程上【分析】（1）聯(lián)立直線方程與雙曲線方程，可得點(diǎn)，進(jìn)而根據(jù)三角形面積公式即可求出的值；（2）分直線斜率和不存在兩種情況討論，求出兩直線交點(diǎn)，代入化簡即可求解.【詳解】（1）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，得，又，，代入上式得，即，∴，解得，∴，，∴雙曲線的方程為．（2）當(dāng)直線點(diǎn)的斜率不存在時(shí)，，，直線的方程為，直線的方程為，聯(lián)立直線與直線的方程可得的，當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，，，聯(lián)立得，∴，，∴直線的方程為，直線的方程為，聯(lián)立直線與直線的方程可得：，兩邊平方得，又，滿足，∴，∴，∴，或，（舍去）綜上，在定直線上，且定直線方程為．4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知、分別為橢圓:的上、下焦點(diǎn)，其中也是拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)是與在第二象限的交點(diǎn)，且.（1）求橢圓的方程;（2）已知點(diǎn)和圓:，過點(diǎn)的動(dòng)直線與圓相交于不同的兩點(diǎn)，在線段上取一點(diǎn)，滿足:，，(且).求證:點(diǎn)總在某定直線上.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）設(shè)，由已知得，可求得點(diǎn)M的坐標(biāo)，代入橢圓的方程中可求得，可得橢圓的方程；（2）由向量的坐標(biāo)運(yùn)算和向量相等的條件，以及點(diǎn)在圓上可得出點(diǎn)Q所在的直線.【詳解】（1）設(shè)，因?yàn)辄c(diǎn)M在拋物線上，且，所以，解得，又點(diǎn)M在拋物線上，所以，且，即，解得，所以橢圓的方程；（2）設(shè)，，因?yàn)?，所以，即有，又，所以，即有，所以得：，又點(diǎn)A、B在圓上，所以，又，所以，故點(diǎn)Q總在直線上.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓和拋物線的簡單幾何性質(zhì)，以及直線與圓的交點(diǎn)問題，屬于較難題.5．（2022秋·福建泉州·高三統(tǒng)考期末）曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，左、右頂點(diǎn)分別為，C上的點(diǎn)M(不在x軸上)滿足，且直線的斜率之積等于．(1)求C的方程；(2)過點(diǎn)的直線l交C于A，B兩點(diǎn)，若，其中，證明：．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）由橢圓定義可得到，再利用斜率公式及直線的斜率之積等于，列出方程，化簡對比系數(shù)可得；（2）分直線l的斜率為0和不為0兩種情況討論，利用可得到T在定直線上，且該直線是的中垂線即可得到證明.【詳解】（1）因?yàn)镃上的點(diǎn)M滿足，所以C表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，且，即，，所以，設(shè)，則，①所以直線的斜率，直線的斜率，由已知得，即，②由①②得，所以C的方程為（2）當(dāng)直線l的斜率為0時(shí)，A與重合，B與重合，，，成立.當(dāng)直線l的斜率不為0時(shí)，設(shè)l的方程為聯(lián)立方程組，消x整理得所以，解得或設(shè)，則，由，得，所以設(shè)，由，得，所以，所以，所以點(diǎn)T在直線上，且，所以是等腰三角形，且，所以，綜上，【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)晴：本題第二問突破點(diǎn)是證明T在定直線上，且該直線是的垂直平分線，從而得到，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，轉(zhuǎn)化化歸思想.6．（2023秋·北京·高三中關(guān)村中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知橢圓M：（a＞b＞0）過A（－2，0），B（0，1）兩點(diǎn)．（1）求橢圓M的離心率；（2）設(shè)橢圓M的右頂點(diǎn)為C，點(diǎn)P在橢圓M上（P不與橢圓M的頂點(diǎn)重合），直線AB與直線CP交于點(diǎn)Q，直線BP交x軸于點(diǎn)S，求證：直線SQ過定點(diǎn)．【答案】（1）；（2）證明見解析．【分析】（1）由已知兩點(diǎn)坐標(biāo)得，求得后可得離心率；（2）直線方程為，設(shè)（，），，．由三點(diǎn)共線求得點(diǎn)坐標(biāo)（用點(diǎn)坐標(biāo)表示），由共線求得點(diǎn)坐標(biāo)（用點(diǎn)坐標(biāo)表示），寫出直線的方程，把代入化簡對方程變形可得定點(diǎn)坐標(biāo)．【詳解】解：（1）因?yàn)辄c(diǎn)，都在橢圓上，所以，．所以．所以橢圓的離心率．（2）由（1）知橢圓的方程為，．由題意知：直線的方程為．設(shè)（，），，．因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以有，，所以．所以．所以．因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以，即．所以．所以直線的方程為，即．又因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以．所以直線的方程為．所以直線過定點(diǎn)．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查求橢圓的離心率，考查橢圓的直線過定點(diǎn)問題，解題方法是設(shè)橢圓上的點(diǎn)坐標(biāo)，利用三點(diǎn)共線變?yōu)橄蛄科叫?，求得直線交點(diǎn)的坐標(biāo)，得出直線方程，再由在橢圓上，代入化簡湊配出定點(diǎn)坐標(biāo)．7．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，如圖，已知的左、右頂點(diǎn)為、，右焦點(diǎn)為，設(shè)過點(diǎn)的直線、與橢圓分別交于點(diǎn)、，其中，，．（1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)滿足，求點(diǎn)的軌跡；（2）設(shè)，，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）設(shè)，求證：直線必過軸上的一定點(diǎn)（其坐標(biāo)與無關(guān)）．【答案】（1）；（2）；（3）證明見解析．【分析】（1）根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可得、、的坐標(biāo),設(shè)動(dòng)點(diǎn)，根據(jù)條件，結(jié)合兩點(diǎn)間距離公式,化簡即可得解；（2）根據(jù)，代入橢圓方程即可求得、的坐標(biāo)，進(jìn)而求得直線與直線的方程，聯(lián)立兩條直線方程即可求得交點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）設(shè)出直線與直線的方程，分別聯(lián)立橢圓方程即可表示出、的坐標(biāo)，討論與，并分別求得的值，即可求得所過定點(diǎn)的坐標(biāo).【詳解】（1）設(shè)點(diǎn)，則，，，由，得，化簡得，故所求點(diǎn)的軌跡為直線．（2）將，分別代入橢圓方程，以及，，得，，直線方程為，即，直線方程為，即，聯(lián)立方程組，解得，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為．（3）點(diǎn)的坐標(biāo)為，直線的方程為，即，直線的方程為，即，分別與橢圓聯(lián)立方程組，同時(shí)考慮到，，解得、，若，且,得，此時(shí)直線的方程為，過點(diǎn)；若，則，直線的斜率，直線的斜率，所以,所以直線過點(diǎn)，因此直線必過軸上一定點(diǎn).8．（2023春·廣東廣州·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知雙曲線的中心在原點(diǎn)且一個(gè)焦點(diǎn)為，直線與其相交于A，B兩點(diǎn)，若AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．(1)求雙曲線的方程；(2)設(shè)，為雙曲線實(shí)軸的兩個(gè)端點(diǎn)，若過F的直線l與雙曲線C交于M，N兩點(diǎn)，試探究直線與直線的交點(diǎn)Q是否在某條定直線上？若在，請求出該定直線方程；如不在，請說明理由．【答案】(1)；(2)交點(diǎn)Q在定直線上，理由見解析.【分析】（1）令雙曲線的方程，由題意有，并聯(lián)立直線應(yīng)用韋達(dá)定理得到，即可得雙曲線參數(shù)并寫出方程；（2）討論直線l斜率存在性，并聯(lián)立雙曲線方程，應(yīng)用韋達(dá)定理和直線與直線方程判斷它們的交點(diǎn)是否在一條直線上即可.【詳解】（1）若雙曲線的方程且，，則，將代入雙曲線并整理得：，又直線與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)，故且，由AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，所以，則，所以，，故.（2）由（1），不妨令，，當(dāng)直線l斜率不存在時(shí)，，則，此時(shí)，，則交點(diǎn)為；當(dāng)直線l斜率存在時(shí)，，代入并整理，得：，過F的直線l與雙曲線C交于M，N兩點(diǎn)，故，令，則，，且，，聯(lián)立直線與直線得，所以，則，可得或（舍），綜上，交點(diǎn)Q在定直線上.9．（2023春·上?！じ呷谀┮阎獧E圓：（）的離心率為，上、下頂點(diǎn)分別為，，直線經(jīng)過點(diǎn)且與橢圓交于，兩點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，四邊形的面積為．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．（2）若直線，交于點(diǎn)，試判斷點(diǎn)是否在定直線上，若是，求出該直線方程；若不是，請說明理由．【答案】（1）；（2）點(diǎn)在定直線上，．【分析】（1）由題意可得為的中點(diǎn)，所以，由點(diǎn)可計(jì)算出，再由四邊形的面積公式可得關(guān)于的方程，再結(jié)合離心率以及即可求得的值，可得橢圓的方程；（2）設(shè)：，，聯(lián)立直線與橢圓的方程，結(jié)合韋達(dá)定理可得、，求出直線，的方程，求得交點(diǎn)的坐標(biāo)，化簡整理，可得點(diǎn)在定直線上.【詳解】（1）由題意知，當(dāng)時(shí)，易得為的中點(diǎn)，所以，又直線過點(diǎn)，所以此時(shí)四邊形的面積又，，得，，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）點(diǎn)在定直線上．

顯然直線的斜率存在，由題可設(shè)：，，．將代入，得，則，，所以．由（1）知，，直線的方程為即．

①同理求得直線的方程為，即．

②

由①②得，所以，所以點(diǎn)在定直線上，且定直線的方程為．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決本題第（2）問的關(guān)鍵是利用根與系數(shù)的關(guān)系得到，后，能夠得到，所以，本題中動(dòng)直線經(jīng)過的定點(diǎn)在軸上，所以若交點(diǎn)在某條定直線上，則這條直線一定關(guān)于軸對稱，即證明交點(diǎn)的縱坐標(biāo)等于定值．10．（2023春·湖北武漢·高三?？迹┰谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系xOy中，已知點(diǎn)，，設(shè)的內(nèi)切圓與AC相切于點(diǎn)D，且，記動(dòng)點(diǎn)C的軌跡為曲線T．(1)求T的方程；(2)設(shè)過點(diǎn)的直線l與T交于M，N兩點(diǎn)，已知?jiǎng)狱c(diǎn)P滿足，且，若，且動(dòng)點(diǎn)Q在T上，求的最小值．【答案】(1)(2)【分析】（1）由切線長相等得，再結(jié)合橢圓的定義即可求得T的方程；（2）由解出點(diǎn)坐標(biāo)，代入曲線T得，同理將點(diǎn)坐標(biāo)代入曲線T得到關(guān)系式，由得出動(dòng)點(diǎn)P軌跡，再利用直線和曲線T相切求得的最小值即可.【詳解】（1）不妨設(shè)的內(nèi)切圓與BC，BA分別相切于點(diǎn)E，F(xiàn)，由切線長相等可知，，，∴，∴，∴動(dòng)點(diǎn)C的軌跡為以A，B為焦點(diǎn)，長軸長為4的橢圓（且C不在直線AB上），設(shè)動(dòng)點(diǎn)C的軌跡方程為：，易知，且，解得，∴T的方程為：．（2）設(shè)，，，∵，∴，若，則，，即P與R重合，與矛盾，∴，∴，，∴，代入，又，化簡得，同理可得，，∴，為方程的兩根，∵，∴，即，即動(dòng)點(diǎn)P在定直線：上，令直線：，當(dāng)與T相切時(shí)，記，的距離為d，則，聯(lián)立可得，由，解得，又，∴，此時(shí)，解得，，即切點(diǎn)為，且直線，的距離為，∴，當(dāng)Q點(diǎn)坐標(biāo)為，且時(shí)，，即，聯(lián)立得，此時(shí)，，且直線PR即直線l：，即顯然不過點(diǎn)和，符合題設(shè)條件，∴的最小值為．【點(diǎn)睛】本題關(guān)鍵點(diǎn)在于利用解出點(diǎn)坐標(biāo)，代入曲線T得關(guān)系式，同理將點(diǎn)坐標(biāo)代入曲線T得到關(guān)系式，進(jìn)而得到，為一元二次方程的兩根，由得出動(dòng)點(diǎn)P軌跡，將的最小值轉(zhuǎn)化為直線上一點(diǎn)和橢圓上一點(diǎn)距離的最小值即可求解.【真題感知】1．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）（多選）已知直線與圓，點(diǎn)，則下列說法正確的是（

）A．若點(diǎn)A在圓C上，則直線l與圓C相切 B．若點(diǎn)A在圓C內(nèi)，則直線l與圓C相離C．若點(diǎn)A在圓C外，則直線l與圓C相離 D．若點(diǎn)A在直線l上，則直線l與圓C相切【答案】ABD【分析】轉(zhuǎn)化點(diǎn)與圓、點(diǎn)與直線的位置關(guān)系為的大小關(guān)系，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離及直線與圓的位置關(guān)系即可得解.【詳解】圓心到直線l的距離，若點(diǎn)在圓C上，則，所以，則直線l與圓C相切，故A正確；若點(diǎn)在圓C內(nèi)，則，所以，則直線l與圓C相離，故B正確；若點(diǎn)在圓C外，則，所以，則直線l與圓C相交，故C錯(cuò)誤；若點(diǎn)在直線l上，則即，所以，直線l與圓C相切，故D正確.故選：ABD.2．（北京·高考真題）已知拋物線C：y2＝2px過點(diǎn)P(1,1)．過點(diǎn)作直線l與拋物線C交于不同的兩點(diǎn)M，N，過點(diǎn)M作x軸的垂線分別與直線OP，ON交于點(diǎn)A，B，其中O為原點(diǎn)．(1)求拋物線C的方程，并求其焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程；(2)求證：A為線段BM的中點(diǎn)．【答案】（1）拋物線C的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為x＝－；（2）見解析.【詳解】試題分析：（Ⅰ）代入點(diǎn)求得拋物線的方程，根據(jù)方程表示焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程；（Ⅱ）設(shè)直線l的方程為（），與拋物線方程聯(lián)立，再由根與系數(shù)的關(guān)系，及直線ON的方程為，聯(lián)立求得點(diǎn)的坐標(biāo)為，再證明.試題解析：（Ⅰ）由拋物線C：過點(diǎn)P（1，1），得.所以拋物線C的方程為.拋物線C的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（，0），準(zhǔn)線方程為.（Ⅱ）由題意，設(shè)直線l的方程為（），l與拋物線C的交點(diǎn)為，.由，得.則，.因?yàn)辄c(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，1），所以直線OP的方程為，點(diǎn)A的坐標(biāo)為.直線ON的方程為，點(diǎn)B的坐標(biāo)為.因?yàn)?，所?故A為線段BM的中點(diǎn).【名師點(diǎn)睛】本題考查了直線與拋物線的位置關(guān)系，考查了轉(zhuǎn)化與化歸能力，當(dāng)看到題目中出現(xiàn)直線與圓錐曲線時(shí)，不需要特殊技巧，只要聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，借助根與系數(shù)的關(guān)系，找準(zhǔn)題設(shè)條件中突顯的或隱含的等量關(guān)系，把這種關(guān)系“翻譯”出來即可，有時(shí)不一定要把結(jié)果及時(shí)求出來，可能需要整體代換到后面的計(jì)算中去，從而減少計(jì)算量.3．（四川·高考真題）橢圓有兩頂點(diǎn)A（﹣1，0）、B（1，0），過其焦點(diǎn)F（0，1）的直線l與橢圓交于C、D兩點(diǎn)，并與x軸交于點(diǎn)P．直線AC與直線BD交于點(diǎn)Q．（Ⅰ）當(dāng)|CD|=時(shí)，求直線l的方程；（Ⅱ）當(dāng)點(diǎn)P異于A、B兩點(diǎn)時(shí)，求證：為定值．【答案】（Ⅰ）y=x+1（Ⅱ）見解析【詳解】試題分析：（Ⅰ）根據(jù)橢圓有兩頂點(diǎn)A（﹣1，0）、B（1，0），焦點(diǎn)F（0，1），可知橢圓的焦點(diǎn)在y軸上，b=1，c=1，，可以求得橢圓的方程，聯(lián)立直線和橢圓方程，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，利用韋達(dá)定理和弦長公式可求出直線l的方程；（Ⅱ）根據(jù)過其焦點(diǎn)F（0，1）的直線l的方程可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，該直線與橢圓交于C、D兩點(diǎn)，和直線AC與直線BD交于點(diǎn)Q，求出直線AC與直線BD的方程，解該方程組即可求得點(diǎn)Q的坐標(biāo)，代入即可證明結(jié)論．（Ⅰ）∵橢圓的焦點(diǎn)在y軸上，設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（a＞b＞0），由已知得b=1，c=1，所以a=，橢圓的方程為，當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí)與題意不符，設(shè)直線l的方程為y=kx+1，C（x1，y1），D（x2，y2），將直線l的方程代入橢圓的方程化簡得（k2+2）x2+2kx﹣1=0，則x1+x2=﹣，x1?x2=﹣，∴|CD|====，解得k=．∴直線l的方程為y=x+1；（Ⅱ）證明：當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí)與題意不符，設(shè)直線l的方程為y=kx+1，（k≠0，k≠±1），C（x1，y1），D（x2，y2），∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣，0），由（Ⅰ）知x1+x2=﹣，x1?x2=﹣，且直線AC的方程為y=，且直線BD的方程為y=，將兩直線聯(lián)立，消去y得，∵﹣1＜x1，x2＜1，∴與異號，==，y1y2=k2x1x2+k（x1+x2）+1==﹣，∴與y1y2異號，與同號，∴=，解得x=﹣k，故Q點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣k，y0），=（﹣，0）?（﹣k，y0）=1，故為定值．考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題點(diǎn)評：此題是個(gè)難題．本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和簡單的幾何性質(zhì)、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，是一道綜合性的試題，考查了學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)解決問題的能力．體現(xiàn)了分類討論和數(shù)形結(jié)合的思想4．（北京·高考真題）已知橢圓的右焦點(diǎn)為，且經(jīng)過點(diǎn).（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）設(shè)O為原點(diǎn)，直線與橢圓C交于兩個(gè)不同點(diǎn)P，Q，直線AP與x軸交于點(diǎn)M，直線AQ與x軸交于點(diǎn)N，若|OM|·|ON|=2，求證：直線l經(jīng)過定點(diǎn).【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）見解析.【分析】(Ⅰ)由題意確定a,b的值即可確定橢圓方程；(Ⅱ)設(shè)出直線方程，聯(lián)立直線方程與橢圓方程確定OM,ON的表達(dá)式，結(jié)合韋達(dá)定理確定t的值即可證明直線恒過定點(diǎn).【詳解】（Ⅰ）因?yàn)闄E圓的右焦點(diǎn)為，所以；因?yàn)闄E圓經(jīng)過點(diǎn),所以，所以，故橢圓的方程為.（Ⅱ）設(shè)聯(lián)立得，，，.直線，令得，即；同理可得.因?yàn)?所以；，解之得，所以直線方程為，所以直線恒過定點(diǎn).【點(diǎn)睛】解決直線與橢圓的綜合問題時(shí)，要注意：(1)注意觀察應(yīng)用題設(shè)中的每一個(gè)條件，明確確定直線、橢圓的條件；(2)強(qiáng)化有關(guān)直線與橢圓聯(lián)立得出一元二次方程后的運(yùn)算能力，重視根與系數(shù)之間的關(guān)系、弦長、斜率、三角形的面積等問題．5．（全國·高考真題）在直角坐標(biāo)系中，曲線C：y=與直線交與M,N兩點(diǎn)，（Ⅰ）當(dāng)k=0時(shí)，分別求C在點(diǎn)M和N處的切線方程；（Ⅱ）y軸上是否存在點(diǎn)P，使得當(dāng)k變動(dòng)時(shí)，總有∠OPM=∠OPN？說明理由.【答案】（Ⅰ）或（Ⅱ）存在【詳解】試題分析：（Ⅰ）先求出M,N的坐標(biāo)，再利用導(dǎo)數(shù)求出M,N.（Ⅱ）先作出判定，再利用設(shè)而不求思想即將代入曲線C的方程整理成關(guān)于的一元二次方程，設(shè)出M,N的坐標(biāo)和P點(diǎn)坐標(biāo)，利用設(shè)而不求思想，將直線PM，PN的斜率之和用表示出來，利用直線PM，PN的斜率為0,即可求出關(guān)系，從而找出適合條件的P點(diǎn)坐標(biāo).試題解析：（Ⅰ）由題設(shè)可得，，或，.∵，故在=處的導(dǎo)數(shù)值為，C在處的切線方程為，即.故在=處的導(dǎo)數(shù)值為，C在處的切線方程為，即.故所求切線方程為或.（Ⅱ）存在符合題意的點(diǎn)，證明如下：設(shè)P（0，b）為復(fù)合題意得點(diǎn)，，，直線PM，PN的斜率分別為.將代入C得方程整理得.∴.∴==.當(dāng)時(shí)，有=0，則直線PM的傾斜角與直線PN的傾斜角互補(bǔ)，故∠OPM=∠OPN，所以符合題意.考點(diǎn)：拋物線的切線；直線與拋物線位置關(guān)系；探索新問題；運(yùn)算求解能力6．（北京·高考真題）已知橢圓的離心率為，焦距為.斜率為的直線與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)、.（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）若，求的最大值；（Ⅲ）設(shè)，直線與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為，直線與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為.若、和點(diǎn)共線，求.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）.【分析】（Ⅰ）根據(jù)題干可得的方程組，求解的值，代入可得橢圓方程；（Ⅱ）設(shè)直線方程為，聯(lián)立，消整理得，利用根與系數(shù)關(guān)系及弦長公式表示出，求其最值；（Ⅲ）聯(lián)立直線與橢圓方程，根據(jù)韋達(dá)定理寫出兩根關(guān)系，結(jié)合三點(diǎn)共線，利用共線向量基本定理得出等量關(guān)系，可求斜率.【詳解】（Ⅰ）由題意得，所以，又，所以，所以，