2020-2021學(xué)年山東省濟(jì)寧市高三（上）期末數(shù)學(xué)試卷 （解析版）

2020-2021學(xué)年山東省濟(jì)寧市高三（上）期末數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題（共8小題）.

1.設(shè)集合4={*|丫2-%-2W0},B={x\y=ln(x-1)},則ADB=()

A.(1,2]B.(0,2]C.(2,+8)D.[2,+8)

若復(fù)數(shù)普

2.6為虛數(shù)單位）為純虛數(shù),則實(shí)數(shù)。的值為（)

3+2i

B

A3-43

Ac—

-.32

,sin2a

3.若tana=2,貝寸n=()

1+cos^a

A1C—D.1

?6?3

4.%=1”是“直線ax+（2a-Dy+3=0與直線（a-2）x+ay-1=0互相垂直”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

c.充要條件D.既不充分也不必要條件

5.2020年11月，中國國際進(jìn)口博覽會(huì)在上海舉行，本次進(jìn)博會(huì)設(shè)置了“云采訪”區(qū)域，

通過視頻連線，幫助中外記者采訪因疫情影響無法來滬參加進(jìn)博會(huì)的跨國企業(yè)CEO或海

外負(fù)責(zé)人.某新聞機(jī)構(gòu)安排4名記者和3名攝影師對本次進(jìn)博會(huì)進(jìn)行采訪，其中2名記

者和1名攝影師負(fù)責(zé)“云采訪”區(qū)域的采訪，另外2名記者和2名攝影師分兩組（每組

記者和攝影師各1人），分別負(fù)責(zé)“汽車展區(qū)”和“技術(shù)裝備展區(qū)”的現(xiàn)場采訪.如果

所有記者、攝影師都能承擔(dān)三個(gè)采訪區(qū)域的相應(yīng)工作，則所有不同的安排方案有（）

A.36種B.48種C.72種D.144種

7.已知拋物線C:y2=2px（p>0）的焦點(diǎn)為F,過歹作斜率為?的直線/交拋物線C于

A、B兩點(diǎn)、,若線段A3中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為則拋物線C的方程是（）

A.j2=3xB.j2=4xC.J2=6XD.y2=8x

8.已知函數(shù)/(x)(xeR)的導(dǎo)函數(shù)是r(x),且滿足VxCR,f(1+x)=-f(1-x),

當(dāng)x>l時(shí)，一Lf(x)+ln(x-1)?f(x)>0,則使得(x-2)f(x)>0成立的x

x-1

的取值范圍是()

A.(0,1)U(2,+oo)B.(-oo,-2)U(2,+oo)

C.(-2,-1)U(1,2)D.(-oo,1)u(2,+oo)

二、選擇題(共4小題).

9.已知a,b,c9d均為實(shí)數(shù),下列說法正確的是()

A.若Q>>>0,則B.若c>d,貝4〃一d>>一c

ab

C.若〃>方，c>df則ac>bdD.若a+》=l,則4°+”24

10.直線/過點(diǎn)尸(1,2)且與直線x+"-3=0平行，若直線/被圓好+丁2=4截得的弦長

為2?,則實(shí)數(shù)。的值可以是()

q44

A.0B.—C.—D.--

433

11.已知函數(shù)/(x)=sin(a)x+(p)(a)>0,|cp|<^-),其圖象相鄰兩條對稱軸之間的距

離為三，且直線*=-2-是其中一條對稱軸，則下列結(jié)論正確的是()

412

A.函數(shù)f(x)的最小正周期為

B.函數(shù)f(x)在區(qū)間卜工，馬上單調(diào)遞增

612

c.點(diǎn)(-且［，o)是函數(shù)/(x)圖象的一個(gè)對稱中心

24

D.將函數(shù)/G)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的

圖象向左平移工個(gè)單位長度，可得到g(x)=sin2x的圖象

6

12.如圖，在菱形A3C。中，AB=2,ZABC=60°,M為的中點(diǎn)，將沿直線

AM翻折成△ABiM,連接51c和310,N為的中點(diǎn)，則在翻折過程中，下列說法

中正確的是()

4

BMC

A.AM±BiC

B.CN的長為定值

C.與CN的夾角為工

6

D.當(dāng)三棱錐5i-AMO的體積最大時(shí)，三棱錐氏-AMD的外接球的表面積是8TT

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知函數(shù)/(x)」-x-2x,x'l,則/(/(e))_____.

lnx,x>l

14.二項(xiàng)式(x-2)6的展開式的常數(shù)項(xiàng)是.

X

15.如圖，矩形A5CZ>中，48=2,AD=lfP是矩形AbCD內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)P到點(diǎn)A距

離為1,則瓦?麗的最小值為.

16.已知雙曲線C：蕓_\=1(4>0,fe>0)的右焦點(diǎn)為F,兩漸近線分別為Zi：y=—x,

2,2a

ab4

h：y=~—x,過下作/i的垂線，垂足為M,垂線交L于點(diǎn)N,。為坐標(biāo)原點(diǎn)，若［0歹|

a

=\FN\9則雙曲線。的離心率為.

四、解答題：本題共6小題，共20分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

兀

17.(10分)在①〃sinC=csiii(A+二不);@2ccosA=acosB+bcosA;③52+。2=〃2+加這三

3

個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中，并解決該問題.

問題：在AAbC中，內(nèi)角A,B,。的對邊分別是a,b,c,若已知方=3,5心=3弧,

,求Q的值.

18.(12分)已知數(shù)列｛斯｝是等差數(shù)列，數(shù)列｛瓦｝是正項(xiàng)等比數(shù)列，且〃1=岳=1,④+岳=8,

as=b3.

(1)求數(shù)列｛斯｝、數(shù)列｛瓦J的通項(xiàng)公式；

(2)若Cn="+bn(nGN*),求數(shù)列｛Cn｝的前“項(xiàng)和S”.

anairH

19.(12分)如圖，三棱柱A5C-A151G的底面是邊長為2的正三角形，側(cè)面ACG4_L

底面A5C,且側(cè)面ACG4為菱形，ZAiAC=60°,E是的中點(diǎn)，b是AG與AC

的交點(diǎn).

(1)求證：EF〃底面ABC;

(2)求5c與平面A14B所成角。的正弦值.

20.(12分)某市為提高市民的健康水平，擬在半徑為200米的半圓形區(qū)域內(nèi)修建一個(gè)健

身廣場，該健身廣場(如圖所示的陰影部分)分休閑健身和兒童活動(dòng)兩個(gè)功能區(qū)，圖中

矩形A3C。區(qū)域是休閑健身區(qū)，以CD為底邊的等腰三角形區(qū)域PC。是兒童活動(dòng)區(qū)，P,

C,。三點(diǎn)在圓弧上，A5中點(diǎn)恰好為圓心。設(shè)NCO8=。，健身廣場的面積為S.

(1)求出s關(guān)于e的函數(shù)解析式；

(2)當(dāng)角。取何值時(shí)，健身廣場的面積最大？

21.(12分)已知函數(shù)/(x)=lnx-a(1—)+1(aGR).

x

(1)討論函數(shù)/(x)的單調(diào)性；

(2)若/(x)>0在(1,+8)上恒成立，求整數(shù)。的最大值.

22.（12分）已知橢圓C:^—+^—=1（a>fe>0）的離心率為工二，點(diǎn)（遮，&）在橢

b，3

圓C上.A、3分別為橢圓C的上、下頂點(diǎn)，動(dòng)直線/交橢圓C于尸、。兩點(diǎn)，滿足AP

±AQ,AH±PQ,垂足為H.

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）求△45H面積的最大值.

參考答案

一、選擇題（共8小題）.

1.設(shè)集合4={丫舊-x-2W0},B={x\y=ln(x-1)},則AD8=)

A.(1,2]B.(0,2]C.(2,+8)D.[2,+8)

解：；A={x|-lWxW2},B={x|x>l},

.,.ADB=(1,2].

故選：A.

2.若復(fù)數(shù)反

（i為虛數(shù)單位）為純虛數(shù),則實(shí)數(shù)a的值為（)

3+2i

3_

A3BC—D.

A.一5-4?3~2

解：因?yàn)閍+i(a+i)(3-2i)3a+2+(3-2a)i為純虛數(shù),

3+2i(3+2i)(3-2i)13

2

所以3a+2=0,即a

~~3,

故選：B.

,sin2a

3.若tana=2,貝-------9—:)

1+cosa

口12D.1

、?i3~3

解：因?yàn)閠ana=2,

sin2a2sinacos0.2tanCl2X22

則

l+cos2a_2cos2Cl+sin2a_2+tan2a-2+22一行,

故選：C.

4."a=l"是"直線ax+(2a-1)y+3=0與直線(a-2)x+ay-1=0互相垂直”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

解：a=4■時(shí)兩條直線不垂直，舍去.

a=0時(shí)，兩條直線方程分別化為：2x+l=0,-j+3=0,滿足兩條直線相互垂直.

a手0時(shí)，由兩條直線垂直可得：-77包:義（-旦二Z）=-1,解得a=L

22a-la

綜上可得：a=l,0.

所以a=l,0,是''直線ax+(2a-1)y+3=0與直線(a-2)x+ay-1=0互相垂直”的

充要條件，

故a=l,是''直線ax+（2a-1）y+3=0與直線（a-2）x+ay-1=0互相垂直”的充分

不必要條件.

故選：A.

5.2020年11月，中國國際進(jìn)口博覽會(huì)在上海舉行，本次進(jìn)博會(huì)設(shè)置了“云采訪”區(qū)域，

通過視頻連線，幫助中外記者采訪因疫情影響無法來滬參加進(jìn)博會(huì)的跨國企業(yè)CEO或海

外負(fù)責(zé)人.某新聞機(jī)構(gòu)安排4名記者和3名攝影師對本次進(jìn)博會(huì)進(jìn)行采訪，其中2名記

者和1名攝影師負(fù)責(zé)“云采訪”區(qū)域的采訪，另外2名記者和2名攝影師分兩組（每組

記者和攝影師各1人），分別負(fù)責(zé)“汽車展區(qū)”和“技術(shù)裝備展區(qū)”的現(xiàn)場采訪.如果

所有記者、攝影師都能承擔(dān)三個(gè)采訪區(qū)域的相應(yīng)工作，則所有不同的安排方案有（）

A.36種B.48種C.72種D.144種

解：根據(jù)題意，分3步進(jìn)行分析：

①在4名記者中任選2人，在3名攝影師中選出1人，安排到“云采訪”區(qū)域采訪，有

C42c31=18種情況，

②在剩下的外2名記者中選出1人，在2名攝影師中選出1人，安排到“汽車展區(qū)”采

訪，有QiC21=4種情況，

③將最后的1名記者和1名攝影師，安排到“技術(shù)裝備展區(qū)”采訪，有1種情況，

則有18X4=72種不同的安排方案，

故選：C.

6.函數(shù)f（x）=x-/"|e2x-1|的部分圖象可能是（）

解：由/(I)=l-ln\e2-l\=l-ln(e2-1)<1-Z/ze=l-1=0,可排除選項(xiàng)A和8,

又/(-I)=-1-ln\e~2-1|=-1-In(1-e~2)<-1-lne~1=-1+1=0,排除選項(xiàng)C,

故選：D.

7.已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為歹，過尸作斜率為.門的直線/交拋物線C于

A、B兩點(diǎn)、,若線段A8中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為逐，則拋物線C的方程是()

A.y2=3xB.j2=4xC.y2=6xD.j2=8x

解：由拋物線的方程可得尸(￡-,0),

由題意可設(shè)直線/的方程為：x=

設(shè)A(Xl,Jl),B(X2,J2),

聯(lián)立直線與拋物線的方程：，,整理可得：3/2-2%&y-3P2=0,

2

ly=2npx

可得：yi+yi=^^P,所以A3中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為咚，

由題意可得烏=依，解得P=3,

3

所以拋物線的方程為J2=6X;

故選：C.

8.已知函數(shù)/(x)(xeR)的導(dǎo)函數(shù)是(x),且滿足VxER,f(1+x)=-/(1-x),

當(dāng)x>l時(shí)，一L/(x)+ln(x-1)?f(x)>0,則使得(x-2)f(x)>0成立的x

x-1

的取值范圍是()

A.(0,1)U(2,+8)B.(-oo,-2)U(2,+8)

C.(-2,-1)U(1,2)D.(-oo,1)U(2,+8)

解：令g(x)=ln(x-1)?f(x),

??,當(dāng)x>l時(shí)，g'(x)=—L/(x)+ln(x-1)f(x)>0,

x-1

故g(X)在(1,+8)上單調(diào)遞增，

又x=2時(shí)，In(x-1)=lnl=0,

故g(2)=ln(x-1)f(x)=0,

故當(dāng)花(1,2)時(shí)，g(x)<0,當(dāng)xE(2,+oo)時(shí)，g(x)>0,

而在(1,2)時(shí)，In(x-1)<0,故/(x)<0,

xE(2,+8)時(shí)，In(x-1)>0,故/(x)>0,

,?,函數(shù)滿足/(1+x)=-/(1-x),???函數(shù)的圖象關(guān)于(1,0)中心對稱，

，當(dāng)XG(0,1)U(-8,0)時(shí)，/(x)<0,即當(dāng)XE(-8,1)時(shí)，/(x)<0,

fx-2>0x-2<0

由G-2）-X）叫得：或恨）<0，

解得：x>2或xVl,即x的取值范圍是（-8,1）u（2,+8）,

故選：D.

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合

題目要求。全部選對的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對的得3分

9.已知a,b,c,d均為實(shí)數(shù)，下列說法正確的是（）

A.若0>6>0,則￡>￡B.若a>b,c>d,貝|a-d>Z?-c

ab

C.若a>瓦c>d,貝4ac>瓦/D.若。+分=1,則4。+型》4

【解答】解，對于A,若c=0,則￡=￡,故A錯(cuò)誤；

ab

對于b,若°>方，c>d,則-d>-c,貝故b正確；

對于C,若〃>九c>d,取a=4,b=3,c=-1,d=-2,則acVM,故。錯(cuò)誤；

對于。，若a+5=1,則4"+4'22J4a.4b=2、/4a生=%當(dāng)且僅當(dāng)〃=方=看時(shí)等號成立，

故。正確.

故選：BD.

10.直線/過點(diǎn)尸（1,2）且與直線工+令-3=0平行，若直線/被圓,+92=4截得的弦長

為2愿，則實(shí)數(shù)。的值可以是（）

q44

A.0B.—C.—D.--

433

解：直線/過點(diǎn)P（1,2）且與直線x+ay-3=0平行，設(shè)直線/:x+ay-&=0,

可得1+2〃-ft=0,可得b=l+2a,

所以直線x+ay-1-2a=0.

直線/被圓X2+J2=4截得的弦長為2日，

可得?j]J=，4-G/§）2=I，解得”=0或。=-

故選：AD.

11.已知函數(shù)/（X）=sin（cnx+cp）（u）>0,|（p|<^-）,其圖象相鄰兩條對稱軸之間的距

離為工，且直線”=-二是其中一條對稱軸，則下列結(jié)論正確的是（）

412

A.函數(shù)/(x)的最小正周期為

B.函數(shù)fG)在區(qū)間卜二，二上單調(diào)遞增

612

c.點(diǎn)(一旦L,0)是函數(shù)/(X)圖象的一個(gè)對稱中心

24

D.將函數(shù)/(x)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的

圖象向左平移上個(gè)單位長度，可得到g(x)=sin2x的圖象

6

解：?.?函數(shù)f(x)=sin(a)x+(p)(co>0,|(p|<-^-),其圖象相鄰兩條對稱軸之間的

19Jrn

距離為/.01)=4,f(x)=sin(4x+(p).

TTTTJT

?直線x=-是其中'一^條對稱軸，.?.4X+(P=AT[H■——,keZ,

兀/、/兀、

/.(p=-,f(x)=sin(4x--.

66

OJTTT

故函數(shù)/(x)的最小正周期為--=—,故A正確；

42

當(dāng)正[一義-,二^-],4x-rC[-5J,函數(shù)/(%)沒有單調(diào)性，故6錯(cuò)誤；

612666

令》=一且L,求得/G)=o,可得點(diǎn)(一且L,o)是函數(shù)/(x)圖象的一個(gè)對稱中

2424

心，故C正確；

將函數(shù)/G)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，可得y=sin(2x

-—)的圖象；

0

再把得到的圖象向左平移工^單位長度，可得到g(x)=sin(2x+P)的圖象，故O

66

錯(cuò)誤，

故選：AC.

12.如圖，在菱形A5C。中，AB=2,ZABC=60°,M為的中點(diǎn)，將△ABAf沿直線

AM翻折成連接51c和510,N為BiD的中點(diǎn)、,則在翻折過程中，下列說法

中正確的是()

D

BMC

A.AM±BiC

B.CN的長為定值

TT

C.A81與CN的夾角為一

6

D.當(dāng)三棱錐Bi-AMO的體積最大時(shí)，三棱錐&-AMD的外接球的表面積是811

解：因?yàn)锳BC。是菱形，NABC=60°,所以A8=5C,則△ABC為等邊三角形,

又因?yàn)镸為3c的中點(diǎn)，所以AM_L5C,

又BM蔣BCVAB=1,又因?yàn)?1M=8M=1,ABX=AB=2,ZABIM=ZABM=60°,

所以A?2=AB12+B1H2-2ABI?B亦?COSZAB11,即AM2=22+12-2X2X1XCOS60°

=3,

所以AM=?,所以AM+B/2=AB]2,所以

又因?yàn)锽iMn8C=M,5Cu平面51MC,MCu平面BiMC,

所以故選項(xiàng)A正確；

作AO的中點(diǎn)E,連結(jié)EN,EC,因?yàn)镹為為。的中點(diǎn)，

所旗EN〃ABi,又因?yàn)镋C〃⑷W,

JT

所以NNEC=NBIAM—,

16

所以NUNEZ+EO-2NE?EC-cosZNEC,NC2=NE2+EC2-2NE*EC-cosZBiAM,

又NE^-ABj=^-AB=l,EC=AM=??cos/B[AM=^，所以

NC2=l+3-2X1X73X^=l，即NC=1,

所以NC為定值，故選項(xiàng)3正確；

AB1與NC的夾角也就是EN與CN的夾角，即NENC,又NNEC=30°,NC=1,

所以COSNENCJ/槳產(chǎn)2W所以/ENC=等，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；

2EN-NC2§

要使-AW最大，則

因?yàn)镹3AO=180°-ZABC=120",地』，AM1BC,

AB2

所以N5AM=30°,則NMAO=N5AZ>-N5AM=90°,

所以MAA-AD,

在直角三角形MAO中，MZ>為斜邊，取斜邊上的中點(diǎn)尸，又N為510的中點(diǎn)，

所以EN//B1M,又BiMJ■平面AM。，

所以FNJ■平面AMD,MOu平面AM。，

所以FNLMD,

所以N為外接球的球心，

所以半徑r=j(yMD)2+(FN)2=NM,又MD2=AM2+AD2=V32+22=7，

FN^CyMBi)2^

貝"叫MD2TMB/*，

所以外接球的表面積5=41/=8%故選項(xiàng)。正確；

故選：ABD.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知函數(shù)/(x)=.-x、2x,x'l,則/(/(e))-3.

lnx,x>l

解：根據(jù)題意，函數(shù)/(x)=,-X-2x，XW1,則/(e)=lne=l,

lnx,x〉l

則/(/(e))=f(1)=-1-2=-3,

故答案為：-3.

14.二項(xiàng)式(X--)6的展開式的常數(shù)項(xiàng)是-540.

X

解：二項(xiàng)式G-a)6的展開式的通項(xiàng)公式為Tr+i=C>(-3)r?4”

X0

令6-2r=0,求得r=3,可得展開式的常數(shù)項(xiàng)是黨?(-3尸=-540,

故答案為：-540.

15.如圖，矩形A5C。中，AB=2,AD=1,P是矩形A3C。內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)P到點(diǎn)4距

離為1,則玩?麗的最小值為—2-2血.

DC

解：如圖，取A為原點(diǎn)，A5邊所在的直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則：D(0,1),

1-sin9),

PD=(-cos0,l-sin6),

PC'PD=-2cos0+cos29+12sin0+sin20

2-2(sin8+cos0)=2-2/2sin(0

sin(6+^1)-l>即-時(shí)，pc?p伊1最小值

故答案為：2-2?.

22

16.已知雙曲線C：0_\=1(0>0,5>0)的右焦點(diǎn)為F,兩漸近線分別為Zi：y=—x,

2,2a

ab4

h：y=~—x,過下作/i的垂線，垂足為M,垂線交b于點(diǎn)N,。為坐標(biāo)原點(diǎn)，若［0歹|

a

=|尸N|,則雙曲線C的離心率為—上g_.

3

解：由題意，F(xiàn)(c,0),

\'FM±h,.?.心片-生，則直線FM的方程為y=-9(x-c),

bb

2

b_ac

y=-xx=~29

aabc

聯(lián)立<解得，af,得N(書號,

abca-b

y~~2,2

a-b

b2=c2-a2,

2,/22\4

_acx2/abc、2=(c-a)c

―2~2)k2,2J/2~*T，

a-ba-bV(02a-c)

\(2_2\4

整理得4a2=3C2,

V(2a2-c2)2

即6=￡義區(qū)

a3

故答案為：工區(qū).

3

四、解答題：本題共6小題，共20分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步歌。

兀

17.(10分)在①asinC=csin(A+—;@2ccosA=ticosB+ftcosA;③52+。2=〃2+加這三

3

個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中，并解決該問題.

問題：在△A5C中，內(nèi)角A,B,。的對邊分別是a,b,c,若已知方=3,S.BC=3日,

,求Q的值.

解：若選①：因?yàn)椤╯inC=csin(A+-^),

o

兀

所以sinAsinC=sinCcsin(A+--),

3

所以sinA=sin(A+—-)=\~sinA+~^cosA，

即sinA=/gcosA,

所以tanA=</3，

因?yàn)锳為三角形的內(nèi)角，

所以A=；,

所以SAABc=-ybcsinA=-yX3cX^_=c=3

乙443

所以c=4,

由余弦定理得，a2=b2+c2-2加cosA,

99

=3+4-2X3X4Xy=13,

所以?=V13?

若選：@2ccosA=acosB+ftcosA,

所以2sinCcosA=sinAcosB+sinBcosA,

所以2sinCcosA=sin(A+B)=sin(n-C)=sinC,

因?yàn)閟inC=#O,

所以cosA=—,

2

因?yàn)锳為三角形內(nèi)角，

所以S^ABC—^-bcsinA=X3cX^~=3：>c=3'/§,

所以c=4,

由余弦定理得，a2=b2+c2-IbccosA,

o9

=3+4-2X3X4X^=13,

所以。=

2

若選③：③52+。2=a+bc9

,2.2_2i

由余弦定理得，cosA=———-——--=—,

2bc2_

因?yàn)锳為三角形內(nèi)角，所以A=3，SAABc=%csinA=￡x3cX^=g^_c=3\/l，

所以c=4,

222

由余弦定理得，a=b+c-2bccosA9

o9

=3+4-2X3X4Xy=13,

所以a=-713.

18.（12分）已知數(shù)列｛斯｝是等差數(shù)列，數(shù)列｛瓦,｝是正項(xiàng)等比數(shù)列，且m=①=1,的+岳=8,

。5=加.

（1）求數(shù)列｛斯｝、數(shù)列｛瓦｝的通項(xiàng)公式；

（2）若Cn=-+bn（nGN*）,求數(shù)列｛Cn｝的前〃項(xiàng)和S〃,

anan<-l

解：（1）設(shè)等差數(shù)列｛〃〃｝的公差為d,

正項(xiàng)等比數(shù)列｛瓦｝的公比為q,q>。,

由。1=歷=1,的+岳=8,。5=優(yōu)，可得l+2d+q=8,l+4d=q2,

解得d=2,q=3（d=6,q=~5舍去），

,ll

則斯=1+2（n-1）=2n-1;bn=3~;

（2）Cn=-~~+b=~7T--「3"-1

anan<-ln（2n-l）（2n+l）

=A（二------」）+3?-i

所以Sn=~(1-4L.??+_J_

23352n-l流+詈

nn

=1(11)^3-l=(2n+l)>3-l

22n+l24n+2

19.(12分)如圖，三棱柱ABC-AiBiG的底面是邊長為2的正三角形，側(cè)面ACG4_L

底面ABC,且側(cè)面ACG4為菱形，N4AC=60°,E是33的中點(diǎn)，F(xiàn)是AG與AC

的交點(diǎn).

(1)求證：E尸〃底面A5C;

(2)求BC與平面A1A5所成角。的正弦值.

解：(1)證法一：取CG的中點(diǎn)M,連接EM,FM,

V尸是AG與AiC的交點(diǎn)，且側(cè)面ACCiAi是菱形，

二月是AG的中點(diǎn)，,FM//AC,

?；底面ABC,ACu底面ABC,:.FM〃氐面ABC,

'：BBi//CCi,BBi=CCi,E為851中點(diǎn)，:.BE〃CM,BE=CM,

二四邊形BCME為平行四邊形，J.EM//BC,

；EMC底面ABC,BCu顯面ABC,

.'EM〃底面ABC,

,：EMr\FM=M,EMu平面E尸M,尸Mu平面EWW,

二平面EBW〃底面ABC,

；EFu平面EFM,尸〃底面ABC.

證法二：取AC中點(diǎn)O,連接OB,OF,

\,尸是AG與AC的交點(diǎn)，且側(cè)面ACGAi為菱形，，尸是AC的中點(diǎn),

J.OFZ/AAi,OF=^^1,

是551的中點(diǎn),AAi//BBi,AAi=BBi,

是551的中點(diǎn)，AAi//BBi,AAi=BB\,

：.OF//BE,OF=BE,

，四邊形是平行四邊形，：.EF//OB,

又EFB底面ABC,OBu底面ABC,

尸〃底面ABC.

（2）連接Oh,I?側(cè)面ACG4為菱形，ZAiAC=60°,

.?.△AiAC是正三角形，：.AiO±AC,

?：根I面ACCiAi_L底面ABC,#］面ACCiAiC1底面ABC=AC,AiOu根|面ACCiAi,

:.AiO上底面ABC,

?底面A5C為正三角形，。為AC的中點(diǎn)，：.BO±AC,

以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以。3,OC,（M所在直線為x,y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系,

?底面A8C是邊長為2的正三角形，

：.A（0,-1,0）,B（73，0,0）,C（0,1,0）,Ai（0,0,,

?*-AB=G'R，1，。），AA1=（0,1,71）,BC=Q-6,1,0）,

設(shè)平面AiAB的一個(gè)法向量為：=（x,y,z）,

n"AB=V3x+y=0

由，一,取x=l,得n=(1,-M，1），

n?AAt=y+x/3z=0

.?.BC與平面AiAB所成角0的正弦值為:

_I標(biāo)式I_卜

sin0=|cos<BC

iBCl-lnl2X遍'T'

ff

20.（12分）某市為提高市民的健康水平，擬在半徑為200米的半圓形區(qū)域內(nèi)修建一個(gè)健

身廣場，該健身廣場（如圖所示的陰影部分）分休閑健身和兒童活動(dòng)兩個(gè)功能區(qū)，圖中

矩形ABC。區(qū)域是休閑健身區(qū)，以CD為底邊的等腰三角形區(qū)域尸。是兒童活動(dòng)區(qū)，P,

C,。三點(diǎn)在圓弧上，A5中點(diǎn)恰好為圓心O.設(shè)NCOB=e,健身廣場的面積為S.

（1）求出S關(guān)于。的函數(shù)解析式；

（2）當(dāng)角。取何值時(shí)，健身廣場的面積最大？

P

解：(1)由已知得，BC=200sin6,OB=200cos0,

等腰三角形PCD底邊CZ>上的高為200-200sin0,

S=2X2OOcos0X2OOsin0+—X400cos0(200-200sin6)

2

=8OOOOsin0cos0+4OOOO(cos0-cos0sin0)=40000(2sin0cos0+cos0-sin0cos0)

=40000(sin0cos0+cos0),

AS=40000(sinOcos0+cos0)(O<0<^-);

2

(2)設(shè)/(0)=sin0cos0+cos0,

貝If(0)=cos20-sin29-sin0=-2sin20-sin0+l

=2(sin6-(sin6+1)?

由(e)>0,得ovev三，由(o)<0,得三vev=,

662

：.f（0）在（0,1二）上單調(diào)遞增，在（工,上單調(diào)遞減,

66

JT

???e=七時(shí)，f(e)=-3-V--3?

6''maxf4

.3A/3r-

??Sm弊嗷邑乂40000=3000073-

即e-時(shí)，健身廣場面積最大，最大值為3000。臥2.

6

21.(12分)已知函數(shù)/(X)=lnx-a(1-—)+1(aeR).

x

(1)討論函數(shù)/(x)的單調(diào)性；

(2)若/(%)>0在(1,+°°)上恒成立，求整數(shù)。的最大值.

解：(1)函數(shù)/CO的定義域是(0,+8),

..,1、1a5(—a

,:于(x)=Inx-a(1---)+1(OGR),:,于(x)=---

xxXX

當(dāng)時(shí)，f(x)>0對xe(0,+8)恒成立，

當(dāng)a>0時(shí)，由(x)>0得由(x)V0得O