（挑戰(zhàn)壓軸）專項(xiàng)28.1 銳角三角函數(shù)實(shí)際應(yīng)用-背靠背模型（解析版）

（挑戰(zhàn)壓軸）專項(xiàng)28.1銳角三角函數(shù)實(shí)際應(yīng)用-背靠背模型【方法技巧】通過(guò)在三角形內(nèi)作高CD，構(gòu)造出兩個(gè)直角三角形求解，其中公共邊CD是解題的關(guān)鍵.在Rt△ACD和Rt△BCD中，CD為公共邊，AD+BD=AB.圖形演變及對(duì)應(yīng)的數(shù)量關(guān)系如下：特別提醒：”背靠背”型的關(guān)鍵是找到兩個(gè)直角三角形內(nèi)的公共高1.（2021?阜新）如圖，甲樓高21m，由甲樓頂看乙樓頂?shù)难鼋鞘?5°，看乙樓底的俯角是30°，則乙樓高度約為m（結(jié)果精確到1m，≈1.7）．【答案】57【解答】解：如圖，過(guò)A作AE⊥CD于E，則AB＝CE，在△ACE中，∵∠AEC＝90°，∠CAE＝30°，EC＝AB＝21米，∴AC＝21×2＝42（米），∴AE＝＝＝21≈35.7（米），在Rt△ADE中，∵∠AED＝90°，∠DAE＝45°，∴AE＝DE＝35.7米，∴乙樓DC＝CE+ED＝21+35.7＝56.7≈57（米）．答：乙樓的高約為57米．2.（2022?岳陽(yáng)）喜迎二十大，“龍舟故里”賽龍舟．丹丹在汨羅江國(guó)際龍舟競(jìng)渡中心廣場(chǎng)點(diǎn)P處觀看200米直道競(jìng)速賽．如圖所示，賽道AB為東西方向，賽道起點(diǎn)A位于點(diǎn)P的北偏西30°方向上，終點(diǎn)B位于點(diǎn)P的北偏東60°方向上，AB＝200米，則點(diǎn)P到賽道AB的距離約為米（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：≈1.732）．【答案】87【解答】解：過(guò)點(diǎn)P作PC⊥AB，垂足為C，設(shè)PC＝x米，在Rt△APC中，∠APC＝30°，∴AC＝PC?tan30°＝x（米），在Rt△CBP中，∠CPB＝60°，∴BC＝CP?tan60°＝x（米），∵AB＝200米，∴AC+BC＝200，∴x+x＝200，∴x＝50≈87，∴PC＝87米，∴點(diǎn)P到賽道AB的距離約為87米，故答案為：87．3.（2021?南通）如圖，一艘輪船位于燈塔P的南偏東60°方向，距離燈塔50海里的A處，它沿正北方向航行一段時(shí)間后，到達(dá)位于燈塔P的北偏東45°方向上的B處，此時(shí)B處與燈塔P的距離為海里（結(jié)果保留根號(hào)）．【答案】25【解答】解：過(guò)P作PC⊥AB于C，如圖所示：由題意得：∠APC＝30°，∠BPC＝45°，PA＝50海里，在Rt△APC中，cos∠APC＝，∴PC＝PA?cos∠APC＝50×＝25（海里），在Rt△PCB中，cos∠BPC＝，∴PB＝＝＝25（海里），故答案為：25．4．（2022春?江北區(qū)校級(jí)期中）某景區(qū)A、B兩個(gè)景點(diǎn)位于湖泊兩側(cè)，游客從景點(diǎn)A到景點(diǎn)B須經(jīng)過(guò)C處才能到達(dá)．測(cè)得景點(diǎn)B在景點(diǎn)A的北偏東30°方向，從景點(diǎn)A出發(fā)向正北方向步行600米到達(dá)C處，測(cè)得景點(diǎn)B在C的北偏東75°方向．當(dāng)?shù)卣疄榱朔奖阌慰蜑g覽，打算修建一條從景區(qū)A到景區(qū)B的筆直的跨湖棧道AB．（1）求點(diǎn)C到直線AB的距離；（2）棧道修通后，從景點(diǎn)A到景點(diǎn)B走棧道比原路線少走多少米？（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：≈1.414，≈1.732）【解答】解：（1）過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D，由題意得，∠CAD＝30°，AC＝600米，在Rt△ACD中，sin30°＝，解得CD＝300，∴點(diǎn)C到直線AB的距離為300米．（2）在Rt△ACD中，cos30°＝，解得AD＝，在Rt△BCD中，∠CBD＝75°﹣30°＝45°，CD＝300米，∴BD＝300米，BC＝米，∴AB＝AD+BD＝（300+）米，AC+BC＝（600+）米，∵600+﹣（300+）≈205（米），∴從景點(diǎn)A到景點(diǎn)B走棧道比原路線少走205米．5．（2022春?西華縣期末）一輛小汽車(chē)在一條筆直的道路上自西向東行駛，小林在距離路邊20米的點(diǎn)C處放置了“檢測(cè)儀器”，測(cè)得該車(chē)在點(diǎn)A時(shí)，與測(cè)量點(diǎn)C的距離為40米，6秒后，該車(chē)行駛到位于點(diǎn)C東北方向的點(diǎn)B處．（1）求AB的長(zhǎng)（結(jié)果保留根號(hào)）；（2）該車(chē)的速度約為多少米/秒？（結(jié)果精確到0.1，參考數(shù)據(jù)：≈1.414，≈1.732）【解答】解：（1）由題意可知，CD＝20米，AC＝40米，∠BCD＝45°，在Rt△ACD中，AC＝40米，CD＝20米，∴AD＝＝20（米），在Rt△BCD中，∠BCD＝45°，CD＝20米，∴BD＝CD＝20米，∴AB＝AD+BD＝（20+20）米，答：AB的長(zhǎng)為（20+20）米；（2）該車(chē)的速度為（20+20）÷6≈9.1（米/秒），答：該車(chē)的速度約為9.1米/秒．6.（2022?錦州）如圖，一艘貨輪在海面上航行，準(zhǔn)備要停靠到碼頭C，貨輪航行到A處時(shí)，測(cè)得碼頭C在北偏東60°方向上．為了躲避A，C之間的暗礁，這艘貨輪調(diào)整航向，沿著北偏東30°方向繼續(xù)航行，當(dāng)它航行到B處后，又沿著南偏東70°方向航行20海里到達(dá)碼頭C．求貨輪從A到B航行的距離（結(jié)果精確到0.1海里．參考數(shù)據(jù)：sin50°≈0.766，cos50°≈0.643，tan50°≈1.192）．【解答】解：過(guò)B作BD⊥AC于D，由題意可知∠ABE＝30°，∠BAC＝30°，則∠C＝180°﹣30°﹣30°﹣70°＝50°，在Rt△BCD中，∠C＝50°，BC＝20（海里），∴BD＝BCsin50°≈20×0.766＝15.32（海里），在Rt△ABD中，∠BAD＝30°，BD＝15.32（海里），∴AB＝2BD＝30.64≈30.6（海里），答：貨輪從A到B航行的距離約為30.6海里．7．（2022?遼寧）如圖，B港口在A港口的南偏西25°方向上，距離A港口100海里處．一艘貨輪航行到C處，發(fā)現(xiàn)A港口在貨輪的北偏西25°方向，B港口在貨輪的北偏西70°方向．求此時(shí)貨輪與A港口的距離（結(jié)果取整數(shù)）．（參考數(shù)據(jù)：sin50°≈0.766，cos50°≈0.643，tan50°≈1.192，≈1.414）【解答】解：過(guò)點(diǎn)B作BD⊥AC，垂足為D，由題意得：∠BAC＝25°+25°＝50°，∠BCA＝70°﹣25°＝45°，在Rt△ABD中，AB＝100海里，∴AD＝AB?cos50°≈100×0.643＝64.3（海里），BD＝AB?sin50°≈100×0.766＝76.6（海里），在Rt△BDC中，CD＝＝76.6（海里），∴AC＝AD+CD＝64.3+76.6≈141（海里），∴此時(shí)貨輪與A港口的距離約為141海里．8.（2021?柳州）在一次海上救援中，兩艘專業(yè)救助船A、B同時(shí)收到某事故漁船P的求救訊息，已知此時(shí)救助船B在A的正北方向，事故漁船P在救助船A的北偏西30°方向上，在救助船B的西南方向上，且事故漁船P與救助船A相距120海里．（1）求收到求救訊息時(shí)事故漁船P與救助船B之間的距離（結(jié)果保留根號(hào)）；（2）求救助船A、B分別以40海里/小時(shí)，30海里/小時(shí)的速度同時(shí)出發(fā)，勻速直線前往事故漁船P處搜救，試通過(guò)計(jì)算判斷哪艘船先到達(dá)．【解答】解：（1）作PC⊥AB于C，如圖所示：則∠PCA＝∠PCB＝90°，由題意得：PA＝120海里，∠A＝30°，∠CBP＝45°，在Rt△ACP中，∵∠CAP＝30°，∠PCA＝90°，∴PC＝PA＝60海里，在Rt△BCP中，∵∠PCB＝90°，∠CBP＝45°，sin∠CBP＝，∴PB＝＝＝60（海里），答：收到求救訊息時(shí)事故漁船P與救助船B之間的距離為60海里；（2）∵PA＝120海里，PB＝60海里，救助船A，B分別以40海里/小時(shí)、30海里/小時(shí)的速度同時(shí)出發(fā)，∴救助船A所用的時(shí)間為＝3（小時(shí)），救助船B所用的時(shí)間為＝2（小時(shí)），∵3＞2，∴救助船B先到達(dá)．9．（2021?天津）如圖，一艘貨船在燈塔C的正南方向，距離燈塔257海里的A處遇險(xiǎn)，發(fā)出求救信號(hào)．一艘救生船位于燈塔C的南偏東40°方向上，同時(shí)位于A處的北偏東60°方向上的B處，救生船接到求救信號(hào)后，立即前往救援．求AB的長(zhǎng)．（結(jié)果取整數(shù)）參考數(shù)據(jù)：tan40°≈0.84，取1.73．【解答】解：如圖，過(guò)點(diǎn)B作BH⊥AC，垂足為H，由題意得，∠BAC＝60°，∠BCA＝40°，AC＝257海里，在Rt△ABH中，∵tan∠BAH＝，cos∠BAH＝，∴BH＝AH?tan60°＝AH，AB＝＝2AH，在Rt△BCH中，∵tan∠BCH＝，∴CH＝＝（海里），又∵CA＝CH+AH，∴257＝+AH，所以AH＝（海里），∴AB＝≈＝168（海里），答：AB的長(zhǎng)約為168海里．10．（2020?廣西）如圖，一艘漁船位于小島B的北偏東30°方向，距離小島40nmile的點(diǎn)A處，它沿著點(diǎn)A的南偏東15°的方向航行．（1）漁船航行多遠(yuǎn)距離小島B最近（結(jié)果保留根號(hào)）？（2）漁船到達(dá)距離小島B最近點(diǎn)后，按原航向繼續(xù)航行20nmile到點(diǎn)C處時(shí)突然發(fā)生事故，漁船馬上向小島B上的救援隊(duì)求救，問(wèn)救援隊(duì)從B處出發(fā)沿著哪個(gè)方向航行到達(dá)事故地點(diǎn)航程最短，最短航程是多少（結(jié)果保留根號(hào)）？【解答】解：（1）過(guò)B作BM⊥AC于M，由題意可知∠BAM＝45°，則∠ABM＝45°，在Rt△ABM中，∵∠BAM＝45°，AB＝40nmile，∴BM＝AM＝AB＝20nmile，∴漁船航行20nmile距離小島B最近；（2）∵BM＝20nmile，MC＝20nmile，∴tan∠MBC＝＝＝，∴∠MBC＝60°，∴∠CBG＝180°﹣60°﹣45°﹣30°＝45°，在Rt△BCM中，∵∠CBM＝60°，BM＝20nmile，∴BC＝＝2BM＝40nmile，故救援隊(duì)從B處出發(fā)沿點(diǎn)B的南偏東45°的方向航行到達(dá)事故地點(diǎn)航程最短，最短航程是40nmile．11．如圖，某天然氣公司的主輸氣管道途經(jīng)A小區(qū)，繼續(xù)沿A小區(qū)的北偏東60°方向往前鋪設(shè)．測(cè)繪員在A處測(cè)得另一個(gè)需要安裝天然氣的P小區(qū)位于北偏東30°方向，測(cè)繪員從A處出發(fā)，沿主輸氣管道方向前行2000米到達(dá)B處，此時(shí)測(cè)得P小區(qū)位于北偏西75°方向．（1）∠PAB＝度，∠PBA＝度；（2）現(xiàn)要在主輸氣管道AB上選擇一個(gè)支管道連接點(diǎn)Q，使從Q處到P小區(qū)鋪設(shè)的管道最短，求A小區(qū)與支管道連接點(diǎn)Q的距離．（結(jié)果保留根號(hào)）【解答】解：（1）如圖，∵∠MAP＝30°，∠MAB＝60°，∴∠PAB＝60°﹣30°＝30°，∵∠PBC＝90°﹣75°＝15°，∠ABC＝∠BAD＝30°，∴∠PBA＝15°+30°＝45°，故答案為：30，45；（2）如圖，過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥AB于Q，設(shè)PQ＝x米，在Rt△APQ中，∵∠PAQ＝30°，∴AQ＝PQ＝x（米），在Rt△PBQ中，∵∠PBQ＝45°，∴BQ＝PQ＝x（米）．∵AB＝2000米，∴x+x＝2000，解得x＝1000（﹣1），∴AQ＝x＝（3000﹣1000）米．答：A小區(qū)與支管道連接點(diǎn)Q的距離為（3000﹣1000）米．12．如圖，一艘貨船在燈塔C的北偏西68°方向上的A處遇險(xiǎn)，發(fā)出求救信號(hào)．一艘救生船位于燈塔C的正西方向距離燈塔350海里的B處，救生船接到求救信號(hào)后，立即前往救援．已知貨船所在位置點(diǎn)A位于救生船位置點(diǎn)B的北偏東45°方向上，求救生船與貨船的距離AB（結(jié)果精確到1海里）．參考數(shù)據(jù)：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40，≈1.41．【解答】解：過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC，垂足為D，設(shè)CD＝x海里，則BD＝（350﹣x）海里，在Rt△CDA中，∠ACD＝90°﹣68°＝22°，tan∠ACD＝，∴AD＝CDtan22°≈0.40x（海里），在Rt△ADB中，∠ABD＝45°，tan∠ABD＝，∴tan45°＝＝1，∴x＝250，經(jīng)檢驗(yàn)，x＝250是原方程的根，∴BD＝350﹣x＝100（海里），Rt△ADB中，AB＝＝＝BD≈1.41×100＝141（海里），答：AB的長(zhǎng)約141海里．13．如圖，某漁輪在航行中遇險(xiǎn)發(fā)出呼救信號(hào)，我海軍艦艇在A處獲悉后，測(cè)出該漁輪在海軍艦艇的北偏東45°，距離為海里的C處，并測(cè)得該漁輪正沿南偏東53°的方向行進(jìn)．海軍艦艇立即沿北偏東67.4°的方向前去營(yíng)救，與漁輪在B處相遇，求漁輪的航程BC和海軍艦艇的航程AB．（參考數(shù)據(jù)：sin53°＝cos37°≈0.80，cos53°＝sin37°≈0.60，tan67.4°≈2.4）．【解答】解：分別過(guò)點(diǎn)A、B、C延長(zhǎng)方向線，交點(diǎn)如圖所示，由題意得：∠DAC＝45°，∠CBF＝53°，∠ABE＝67.4°，DF＝AE，AD＝EF，在Rt△ADC中，AC＝16海里，∴AD＝AC?cos45°＝16×＝16（海里），CD＝AC?sin45°＝16×＝16（海里），∴AD＝EF＝16海里，設(shè)BC＝x海里，在Rt△BCF中，CF＝BC?sin53°≈0.8x（海里），BF＝BC?cos53°≈0.6x（海里），∴BE＝EF﹣BF＝（16﹣0.6x）海里，AE＝DF＝DC+CF＝（16+0.8x）海里，在Rt△ABE中，tan67.4°＝＝≈2.4，∴x＝10，經(jīng)檢驗(yàn)：x＝10是原方程的根，∴BC＝10海里，AE＝16+0.8×10＝24（海里），BE＝16﹣0.6×10＝10（海里），∴AB＝＝＝26（海里），14．如圖，在南北方向的海岸線MN上，有A，B兩艘巡邏船，現(xiàn)均收到故障船C的求救信號(hào)，已知A，B兩船相距海里，船C在船A的北偏東60°方向上，船C在船B的東南方