高中數(shù)學(xué)選修2-2教案(精校版)

第一章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用

§1.1.1變化率問題

教學(xué)目標：

1.理解平均變化率的概念；

2.了解平均變化率的幾何意義；

3.會求函數(shù)在某點處附近的平均變化率

教學(xué)重點：平均變化率的概念、函數(shù)在某點處附近的平均變化率；

教學(xué)難點：平均變化率的概念.

教學(xué)過程：

一.創(chuàng)設(shè)情景

為了描述現(xiàn)實世界中運動、過程等變化著的現(xiàn)象，在數(shù)學(xué)中引入了函數(shù)，隨著對函數(shù)的

研究，產(chǎn)生了微積分，微積分的創(chuàng)立以自然科學(xué)中四類問題的處理直接相關(guān)：

1.已知物體運動的路程作為時間的函數(shù)，求物體在任意時刻的速度與加速度等；

2.求曲線的切線；

3.求已知函數(shù)的最大值與最小值；

4.求長度、面積、體積和重心等。

導(dǎo)數(shù)是微積分的核心概念之一它是研究函數(shù)增減、變化快慢、最大(小)值等問題最一

般、最有效的工具。

導(dǎo)數(shù)研究的問題即變化率問題：研究某個變量相對于另一個變量變化的快慢程度.

二.新課講授

C一)問題提由

問題1氣球膨脹率

我們都吹過氣球回憶一下吹氣球的過程，可以發(fā)現(xiàn),隨著氣球內(nèi)空氣容量的增加，氣球的半

徑增加越來越慢.從數(shù)學(xué)角度，如何描述這種現(xiàn)象呢？

4

氣球的體積V(單位:L)與半徑r(單位:力〃)之間的函數(shù)關(guān)系是V(r)=§療3

如果將半徑r表示為體積V的函數(shù)，那么r(V)=因

V4乃

分析：r(V)=：隹

V4萬

⑴當V從0增加到1時汽球半徑增加了

r(l)-r(0)?0.62(t/m)t"

氣球的平均膨脹率為乂三F。0.623〃/L)八

⑵當V從1增加到2時，氣球半徑增加了\

r(2)—r(l)?0.16(dm)\

氣球的平均膨脹率為笥三產(chǎn)“°16(力〃/DI

可以看出，隨著氣球體積逐漸增大，它的平均膨脹率逐漸J」---------變小

了.

思考：當空氣容量從％增加到L時,氣球的平均膨脹率是多少？△吆)二八％).

匕一匕

問題2高臺跳水

在高臺跳水運動中，運動員相對于水面的高度力(單位：加)與起跳后的時間f(單位：s)存

在函數(shù)關(guān)系/2（r）=-4.9產(chǎn)+6.5什10.如何用運動員在某些時間段內(nèi)的平均速v度粗略地描述其運

動狀態(tài)？

思考計算：0WM0.5和1WY2的平均速度；

在0WfW0.5這段時間里，v=以°$）-〃°）=4.05?！?s）；

0.5-0

在1W2這段時間里，S="（g二:⑴=一8.2（，〃/5）

探究：計算運動員在04/＜上這段時間里的平均速度，并思考以下問題：

49

⑴運動員在這段時間內(nèi)使靜止的嗎？

⑵你認為用平均速度描述運動員的運動狀態(tài)有什么問題嗎？

探究過程：如圖是函數(shù)〃⑺=-4.9尸+6.5，+10的圖像，結(jié)合圖形可知，/7（—）=/?（0）,

49

_點i（o）

所以V=——-----=0（5/??）,

65八

雖然運動員在04t＜上這段時間里的平均速度為0（s/m），但實際情況是運動員仍然運

49

動，并非靜止，可以說明用平均速度不能精確描述運動員的運動狀態(tài).

r二）平均變化率概念：

1.上述問題中的變化率可用式子/（必）-/但）表示,稱為函數(shù)兀t）從》到松的平均變化率

x2-Xj

2.若設(shè)Ax=勺-匹，N-/（%2）-/（項）（這里Ax看作是對于xi的一個“增量”可用xi+Ax代

替血同樣可=Ay=f（x2）-f（x1））

3,則平均變化率為"="=/（々）一=&+心）一/區(qū)）

AxAxx2-%）Ar

思考：觀察函數(shù)兀r）的圖象

包一

Ax

解：-2+Ay=-(-l+Ax)2+(-l+Ax),

.Ay—(—1+Ax)24-(—1+Ax)—2

??—=------------------------------------=3一/\x

例2.求y=x2在x=x0附近的平均變化率。

22

解：Ay=(x0+Ar)-x0,所以包=(%+?>一%：=囹*哈士堤上%：=2%+Ax

AxAxM

所以y=/在x=x0附近的平均變化率為2%+Ax

四.課堂練習(xí)

1.質(zhì)點運動規(guī)律為s=r+3,則在時間(3.3+加)中相應(yīng)的平均速度為25+34.

2.物體按照W)=3尸+什4的規(guī)律作直線運動，求在4s附近的平均變化率.

3.過曲線產(chǎn)/8=4上兩點P(1，1)和。(1+Ax,l+Ay)作曲線的割線,求出當Ax=O.1時割

線的斜率.

五.回顧總結(jié)

1.平均變化率的概念

2.函數(shù)在某點處附近的平均變化率

六.布置作業(yè)

§1.1.2導(dǎo)數(shù)的概念

教學(xué)目標：

1.了解瞬時速度、瞬時變化率的概念；

2.理解導(dǎo)數(shù)的概念，知道瞬時變化率就是導(dǎo)數(shù)，體會導(dǎo)數(shù)的思想及其內(nèi)涵；

3.會求函數(shù)在某點的導(dǎo)數(shù)

教學(xué)重點：瞬時速度、瞬時變化率的概念、導(dǎo)數(shù)的概念；

教學(xué)難點：導(dǎo)數(shù)的概念.

教學(xué)過程：

一.田設(shè)情景

(一)平均變化率

(二)探究：計算運動員在OW/K堂這段時間里的平均速度，并思考以下問題：

49

⑴運動員在這段時間內(nèi)使靜止的嗎？

⑵你認為用平均速度描述運動員的運動狀態(tài)有什么問題嗎？

探究過程：如圖是函數(shù)仲)=-4.9?+6.5什10的圖像，結(jié)合圖形可知，/z(—)=/?(0),

49

_A(—)-/?(0)

所以v=----------------=0(5/m),

65八

雖然運動員在04t<匕這段時間里的平均速度為O(s/m),但實際情況

49

是運動員仍然運動，并非靜止，可以說明用平均速度不能精確描述運

動員的運動狀態(tài).

二.新郎講授

1.瞬時速度

我們把物體在某一時刻的速度稱為瞬時速度。運動員的平均速度不能反映他在某一時刻的瞬

時速度，那么，如何求運動員的瞬時速度呢？比如，/=2時的瞬時速度是多少？考察r=2附

近的情況：

&<0時，在［2+4,2］這段時間內(nèi)4>0時，在［2,2+4］這段時間內(nèi)

-4(2)-/(2+&)49A/+13.血i_-(2+4)-，(2)_-49拉=133At

2-(2+4)-AZ?(2+4)-2kt+

=Y.9&-13.1=-494-13.1

當4=-0,01時，=-13,051,?當4=001時，4=73,051,,

當拉=-0,001時，A/=-13.0951,?當4=0.001時,Ai=-13.095b.

當4=-0.001時，A/=-13.09951,,當4=0.001時，Az=-13.099511.

當4=-0.0001時，△￡=-13099951；?當4=0.0001時，Az=-13.099951；,

當4=-0.00001時,4=-13999951一當4=0.00001時,AZ=-13.099951；.

思考：當加趨近于0時，平均速度U有什么樣的變化趨勢？

結(jié)論「當4趨近于0時，即無論/從小于2的一邊，還是從大于2的一邊趨近于2時，平均

速度v都趨近于一個確定的值-13.1.

從物理的角度看，時間間隔無限變小時，平均速度^就無限趨近于史的瞬時速度，因此，

運動員在=2時的瞬時速度是-13.1m/s

為了表述方便，我們用1加二2±加)-"⑵=73.1

表示“當r=2,4趨近于0時，平均速度中趨近于定值-13.1”

小結(jié)：局部以勻速代替變速，以平均速度代替瞬時速度，然后通過取極限，從瞬時速度的近

似值過渡到瞬時速度的精確值。

2號數(shù)W概念

從函數(shù)y書x)在x=xo處的瞬時變化率是:

AYTOM?->0Ar

我們稱它為函數(shù)y=/(x)在x=x。出的導(dǎo)數(shù)，記作了'(X。)或y即

/(4+?)一/(%)

/\x)=lim

0Ar

說明：(1)導(dǎo)數(shù)即為函數(shù)月2在x=xo處的瞬時變化率

(2)=,當ArfO時，x—>x0,所以—(x0)=lim―”"))

加x-x0

三.典網(wǎng)分析

例L(1)求函數(shù)尸3工2在產(chǎn)1處的導(dǎo)數(shù).

分析：先求△戶△>=/(1+Ax)+1)=6A%+(AX)2

再求—=6+Ax■再求lim—=6

Ax-Ar

解：法一(略)

3x2-3123(x2-I2)

法二：y|.=lim-------=lim--------=lim3(x+1)=6

IxfX-\Ix-lxf

(2)求函數(shù)/U)=-V+x在％=T附近的平均變化率，并求出在該點處的導(dǎo)數(shù).

解：包=-(-1+&)2+(-1+3-2=3_以

Ax

Ay-(―1+Ax)~+(-1+Ax)—2

/(-1)=hm—=-------——-------——=lim(3-Ax)=3

&TOAXAX入9O

例2.(課本例1)將原油精煉為汽油、柴油、塑膠等各種不同產(chǎn)品，需要對原油進行冷卻和

加熱，如果第x〃時，原油的溫度(單位：C)為/(》)=*2一7X+15(O4X48),計算第2〃時

和第6人時，原油溫度的瞬時變化率，并說明它們的意義.

解：在第2〃時和第6〃時，原油溫度的瞬時變化率就是f(2)和/'(6)

根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義，V=/(2+^)-/U0)

AxAv

(2+Ar)2-7(2+Ax)+15-(22-7x2+15).

---------------------------------=AAx-3

所以r(2)=lim包=lim(Ax-3)=-3

Ar->0AxAATO

同理可得：/（6）=5

在第2〃時和第6〃時，原油溫度的瞬時變化率分別為-3和5,說明在2人附近，原油溫度大約

以3C//z的速率下降，在第6萬附近，原油溫度大約以5C//7的速率上升.

注：一般地，了（無。）反映了原油溫度在時刻與附近的變化情況.

四.瑤堂練習(xí)

1.質(zhì)點運動規(guī)律為5=產(chǎn)+3,求質(zhì)點在f=3的瞬時速度為.

2.求曲線）'=/2=爐在x=l時的導(dǎo)數(shù).

3.例2中，計算第3〃時和第5〃時，原油溫度的瞬時變化率，并說明它們的意義.

五.回顧忌結(jié)

1.瞬時速度、瞬時變化率的概念

2.導(dǎo)數(shù)的概念

六.布置隹業(yè)

§1.1.3導(dǎo)數(shù)的幾何意義

教學(xué)目標：

1.了解平均變化率與割線斜率之間的關(guān)系；

2.理解曲線的切線的概念；

3.通過函數(shù)的圖像直觀地理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義，并會用導(dǎo)數(shù)的幾何意義解題；

教學(xué)重點：曲線的切線的概念、切線的斜率、導(dǎo)數(shù)的幾何意義；

教學(xué)難點：導(dǎo)數(shù)的幾何意義.

教學(xué)過程：

一.創(chuàng)設(shè)情景

(-)平均變化率、割線的斜率

(-)瞬時速度、導(dǎo)數(shù)

我們知道，導(dǎo)數(shù)表示函數(shù)產(chǎn)/2在AXO處的瞬時變化率，反映了函數(shù)卡/㈤在X=XO附近的變

化情況，導(dǎo)數(shù)/'(%)的幾何意義是什么呢？

二.新課講授

(-)曲線的切線及切線的斜率：如圖3.1-2,當月區(qū),/(居))(〃=1,2,3,4)沿著曲線/(X)趨近

于點/%,/(%))時，割線PPn的變化趨勢是什么？

我們發(fā)現(xiàn)，當點?沿著曲線無限接近點P即△》一0時，割線P匕趨近于確定的位置，這個確

定位置的直線PT稱為曲線在點P處的切線.

問題：⑴割線2匕的斜率kn與切線PT的斜率k有什么關(guān)系？

⑵切線PT的斜率攵為多少？

容易知道，割線尸巴的斜率是己=,當點與沿著曲線無限接近點P時,心無限趨

近于切線PT的斜率k,即％=lim/(/+―/(/)=八)

但0Ax

說明：(1)設(shè)切線的傾斜角為a,那么當ALO時，割線PQ的斜率，稱為曲線在點尸處的切線的

斜率.

這個概念：①提供了求曲線上某點切線的斜率的一種方法；

②切線斜率的本質(zhì)—函數(shù)在X=X。處的導(dǎo)數(shù).

（2）曲線在某點處的切線:1）與該點的位置有關(guān)⑵要根據(jù)割線是否有極限位置來判斷與求解.

如有極限，則在此點有切線，且切線是唯一的;如不存在,則在此點處無切線;3）曲線的切線，并不

一定與曲線只有一個交點，可以有多個，甚至可以無窮多個.

（二）導(dǎo)數(shù)的幾何意義：

函數(shù)y=/（x）在X=Xo處的導(dǎo)數(shù)等于在該點（JCO,/（XO））處的切線的斜率，

即/'（t）=lim+1）一的"。）二k

說明：求曲線在某點處的切線方程的基本步驟：

①求出P點的坐標；

②求出函數(shù)在點/處的變化率/'（%）=lim/（X。+.）?=k,得到曲線在點（/J（x。））

DAX

的切線的斜率；

③利用點斜式求切線方程.

（二）導(dǎo)函數(shù)：

由函數(shù).外幻在AX0處求導(dǎo)數(shù)的過程可以看到,當時,廣“。）是一個確定的數(shù)，那么，當X變化時,

便是X的一個函數(shù)，我們叫它為7U）的導(dǎo)函數(shù).記作：/'（尤）或y',

即：/（X）="lim四但匕3

aAr

注：在不致發(fā)生混淆時，導(dǎo)函數(shù)也簡稱導(dǎo)數(shù).

（三）函數(shù)/（X）在點X。處的導(dǎo)數(shù)廣（X。）、導(dǎo)函數(shù)/'（X）、導(dǎo)數(shù)之間的區(qū)別與聯(lián)系。

1）函數(shù)在一點處的導(dǎo)數(shù)/'（4）,就是在該點的函數(shù)的改變量與自變量的改變量之比的極限，

它是一個常數(shù)，不是變數(shù)。

2）函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，是指某一區(qū)間內(nèi)任意點x而言的，就是函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)

3）函數(shù)/（x）在點4處的導(dǎo)數(shù)就是導(dǎo)函數(shù)/'（x）在％處的函數(shù)值，這也是求函數(shù)在

點4處的導(dǎo)數(shù)的方法之一。

三.典例分析

例1:（1）求曲線產(chǎn)/⑴=>+1在點尸（1,2）處的切線方程.

（2）求函數(shù)廣3整在點（1,3）處的導(dǎo)數(shù).

22Ax+Ax-3

解：⑴yu=lim[d+W+i]-(i+i)=lim------------=2,

Ax加TOAX

所以，所求切線的斜率為2,因此，所求的切線方程為y-2=2（x-1）即2x-y=0

3r2-3-123（元2_12）

（2）因為y'|“=lim--------=lim---------=lim3（x+l）=6

?x-1XTx-1Ix-17

所以，所求切線的斜率為6,因此，所求的切線方程為y-3=6（x-l）即6x-y-3=O

（2）求函數(shù)大尤）=-/+犬在》=_1附近的平均變化率，并求出在該點處的導(dǎo)數(shù).

解：包=（T+&）2+（l+?）2=3_?

Ar

△y_-(-1+Ax)2+(-1+Ac)-2

r(-l)=lim=lim(3-Ax)=3

Ax

例2.（課本例2）如圖3.1-3,它表示跳水運動中高度隨時間變化的函數(shù)

A(X)=-4.9X2+6.5X+10,根據(jù)圖像，請描述、比較曲線力⑺在％、小L附近的變化情況.

解：我們用曲線〃⑺在小心質(zhì)處的切線，刻畫曲線也)

在上述三個時刻附近的變化情況.

(1)當f=f0時，曲線力⑺在處的切線/。平行于X軸，

所以，在r=附近曲線比較平坦，幾乎沒有升降.

(2)當，="時，曲線力⑴在三處的切線4的斜率

W.X0,所以，在七乙附近曲線下降，即函數(shù)

/?(x)=-4.9x2+6.5x4-10在f附近單調(diào)遞減.

(3)當時，曲線力⑺在，2處的切線4的斜率

川(幻＜0,所以,在f=?2附近曲線下降，即函數(shù)

〃(幻=一4.9/+6.5x+10在/附近單調(diào)遞減.

從圖3.1-3可以看出，直線4的傾斜程度小于直線人的傾斜程度，這說明曲線在4附近比在，2附

近下降的緩慢.

例3.(課本例3)如圖3.1-4,它表示人體血管中藥物濃度c=/(。(單位：mg/〃4)隨時間“單

位：min)變化的圖象.根據(jù)圖像，估計「=0.2,0.4,0.6,0.8時，血管中藥物濃度的瞬時變化

率(精確到0.1).

解：血管中某一時刻藥物濃度的瞬時變化率，就是藥物濃度/⑺在此時刻的導(dǎo)數(shù)，從圖像上

看，它表示曲線/⑺在此點處的切線的斜率.

如圖3.1-4,畫出曲線上某點處的切線，利用網(wǎng)格估計這條切線的斜率，可以得到此時刻藥物

濃度瞬時變化率的近似值.

作f=0.8處的切線，并在切線上去兩點，如(0.7,0.91),(1.0,0.48),則它的斜率為：

,0.48-0.91…

k=------------?-1.4

1.0-0.7

所以八0.險-

下表給出了藥物濃度瞬時變化率的估計值：

t0.20.40.60.8

-1.

藥物濃度瞬時變化率/Q)0.40-0.7

4

四.課堂練習(xí)

1.求曲線產(chǎn)/沁=/在點(1,1)處的切線;

2.求曲線y=4在點(4,2)處的切線.

五.回顧總結(jié)

1.曲線的切線及切線的斜率；

2.導(dǎo)數(shù)的幾何意義

六.布置作業(yè)

§1.2.1幾個常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

教學(xué)目標：

1.使學(xué)生應(yīng)用由定義求導(dǎo)數(shù)的三個步驟推導(dǎo)四種常見函數(shù)卜=，、y=x、y=f、y的導(dǎo)

X

數(shù)公式；

2.掌握并能運用這四個公式正確求函數(shù)的導(dǎo)數(shù).

教學(xué)重點：四種常見函數(shù)y=c、y=x、y=f、>=’的導(dǎo)數(shù)公式及應(yīng)用

X

教學(xué)難點：四種常見函數(shù)y=c、y=x、y=/、y=_L的導(dǎo)數(shù)公式

X

教學(xué)過程：

—創(chuàng)設(shè)情景

我們知道，導(dǎo)數(shù)的幾何意義是曲線在某一點處的切線斜率，物理意義是運動物體在某一時刻

的瞬時速度.那么，對于函數(shù))，=./?(%),如何求它的導(dǎo)數(shù)呢？

由導(dǎo)數(shù)定義本身，給出了求導(dǎo)數(shù)的最基本的方法，但由于導(dǎo)數(shù)是用極限來定義的，所以求導(dǎo)

數(shù)總是歸結(jié)到求極限這在運算上很麻煩，有時甚至很困難，為了能夠較快地求出某些函數(shù)的

導(dǎo)數(shù)，這一單元我們將研究比較簡捷的求導(dǎo)數(shù)的方法，下面我們求幾個常用的函數(shù)的導(dǎo)數(shù).

二.新課講授

1.函數(shù)y=/(x)=c的導(dǎo)數(shù)

根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義，因為竺=/("+加0一"幻=匕=0

AxAxAx

所以y'=lim—=lim0=0

AK->0Ar-

函數(shù)導(dǎo)數(shù)

y=cy=o

y'=0表示函數(shù)y=c圖像(圖3.2-1)上每一點處的切線的斜率都為0.若y=c表示路程關(guān)于

時間的函數(shù)，則y'=0可以解釋為某物體的瞬時速度始終為0,即物體一直處于靜止狀態(tài).

2.函數(shù)'%的導(dǎo)數(shù)

因為"=/(x+Ar)―/(x)=x+Ar-x=1

AxAxAx

所以y，=lim—=lim1=1

AnoAr-

函數(shù)導(dǎo)數(shù)

y=%y=1

了=1表示函數(shù)丁=》圖像(圖3.2-2)上每一點處的切線的斜率都為1.若y=x表示路程關(guān)于

時間的函數(shù)，則y'=l可以解釋為某物體做瞬時速度為1的勻速運動.

3.函數(shù)了=/(》)=/的導(dǎo)數(shù)

因為包=/(x+Ar)/(x)=(」+曲)2丁x~+2xAx+(Ax)~—x"日A

-------------=2x+Ax

AxAxAxAx

所以y'=lim—=lim(2x+Av)=2x

Arf0-0

=表示函數(shù)y=f圖像上點(羽y)處的切線的斜率都為2x,說明隨著x的變化，切線的斜

率也在變化.另一方面，從導(dǎo)數(shù)作為函數(shù)在一點的瞬時變化率來看，表明：當x<0時，隨著

x的增加，函數(shù)y=f減少得越來越慢；當%>0時，隨著x的增加，函數(shù)y=/增加得越來越

快.若y=V表示路程關(guān)于時間的函數(shù)，則可以解釋為某物體做變速運動，它在時刻x

的瞬時速度為2x.

4.函數(shù)y=/(x)=’的導(dǎo)數(shù)

x

1___

因為包=/(x+Ax)-/(x)=x+ArX

AxAxAx

_x-(x+Ax)_1

x(x+Ar)Arx2+x-Ax

所以；/=lim生=lim(——弓~~!---)=--y

20Ax20x+x-Axx

函數(shù)導(dǎo)數(shù)

1,1

y=-y=一了

X

(2)推廣：若y=/(x)=x"(〃eQ"),則/(x)=nx"T

三.課堂練習(xí)

1.課本Pl3探究1

2.課本P13探究2

4.求函數(shù)y=4的導(dǎo)數(shù)

四.回顧總結(jié)

函數(shù)導(dǎo)數(shù)

y=cy=0

y=xy=1

y=x2y-2x

11

丁=一

Xy=~^2

y=/(x)=x"(〃eQ)y=nxn~'

五.布置作業(yè)

§1.2.2基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式及導(dǎo)數(shù)的運算法則

教學(xué)目標：

1.熟練掌握基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式；

2.掌握導(dǎo)數(shù)的四則運算法則；

3.能利用給出的基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的四則運算法則求簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù).

教學(xué)重點：基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式、導(dǎo)數(shù)的四則運算法則

教學(xué)難點：基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的四則運算法則的應(yīng)用

教學(xué)過程：

一.創(chuàng)設(shè)情景

四種常見函數(shù)y=c、y=x、y=f、y的導(dǎo)數(shù)公式及應(yīng)用

函數(shù)導(dǎo)數(shù)

y=cy=0

y=xy=i

y=x2y=2x

11

y二-

Xy=_了

y=/(x)=x"(〃e。*)y=

二.新課講授

（一）基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式表

函數(shù)導(dǎo)數(shù)

y=cy=0

y=f(x)=xn(neQ，)y=nxn~]

y=sin工y-cosx

y=cosxy=-sinx

y=f(x)=axy=優(yōu)?Ina(a>0)

y=，(x)=exy=/

f(x)=log,,X/(x)=log“xf(x)=(a>。且a*1)

xmci

/(x)=lnx

X

（二）導(dǎo)數(shù)的運算法則

導(dǎo)數(shù)運算法則

1.[/(x)±g(x)]=f'(x)±g'(x)

2?[/(%)?g(x)]=/(x)g(x)±/(x)g'(x)

3.

_g（x）一

（2）推論：［＜/（x）］=cf\x）

（常數(shù)與函數(shù)的積的導(dǎo)數(shù)，等于常數(shù)乘函數(shù)的導(dǎo)數(shù)）

三.典例分析

例1.假設(shè)某國家在20年期間的年均通貨膨脹率為5%,物價p（單位：元）與時間/（單位:

年）有如下函數(shù)關(guān)系pQ）=p0Q+5%y,其中p。為r=0時的物價.假定某種商品的p0=l,那

么在第10個年頭，這種商品的價格上漲的速度大約是多少（精確到0.01）?

解：根據(jù)基本初等函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式表，有〃⑺=L05」nl.05

所以p（10）=1.05'°In1.05?0.08（元/年）

因此，在第10個年頭，這種商品的價格約為0.08元/年的速度上漲.

例2.根據(jù)基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)運算法則，求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù).

（1）y=x3-2x+3；

/c、_11

⑵丁二津/7一中；

(3)y=x?sinx-Inx；

x

(4)yF

1-Inx

(5)y=---------.

l+lnx

(6)y=(2A2—5x+1)

sinx-xcosx

(7)y二-----------

cosx+xsinx

［點評］

①彘導(dǎo)數(shù)是在定義域內(nèi)實行的.②求較復(fù)雜的函數(shù)積、商的導(dǎo)數(shù)，必須細心、耐心.

例3.日常生活中的飲水通常是經(jīng)過凈化的.隨著水純凈度的提高，所需凈化費用不斷增加.已

知將1噸水凈化到純凈度為X%時所需費用（單位：元）為

5284

c(x)=(80<x<100)

100-x

求凈化到下列純凈度時，所需凈化費用的瞬時變化率：（1）90%（2）98%

解：凈化費用的瞬時變化率就是凈化費用函數(shù)的導(dǎo)數(shù).

5284.5284'x(100-x)-5284x(100-%),

c(x)=()=-------------------------------------

100—x(100-x)2

0x(100—x)—5284x(—l)5284

(100-x)2-(100-x)2

(1)因為c(90)=(］。言。產(chǎn)=52.84,所以，純凈度為90%時，費用的瞬時變化率是52.84元

/噸.

(2)因為c(98)=,=1321,所以，純凈度為98%時，費用的瞬時變化率是1321元/

(1OO-9O)2

噸.

函數(shù)/(x)在某點處導(dǎo)數(shù)的大小表示函數(shù)在此點附近變化的快慢.由上述計算可知，

c(98)=25c(90).它表示純凈度為98%左右時凈化費用的瞬時變化率，大約是純凈度為90%左

右時凈化費用的瞬時變化率的25倍.這說明，水的純凈度越高，需要的凈化費用就越多，而

且凈化費用增加的速度也越快.

四.課堂練習(xí)

1.課本P92練習(xí)

2.已知曲線C：y=3/—2/-9/+4,求曲線。上橫坐標為1的點的切線方程；

(y=-12x+8)

五.回顧總結(jié)

(1)基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式表

(2)導(dǎo)數(shù)的運算法則

六.布置作業(yè)

§1.2.2復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則

教學(xué)目標：理解并掌握復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則.

教學(xué)重點：復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)方法：復(fù)合函數(shù)對自變量的導(dǎo)數(shù)，等于已知函數(shù)對中間變量的

導(dǎo)數(shù)乘以中間變量對自變量的導(dǎo)數(shù)之積.

教學(xué)難點：正確分解復(fù)合函數(shù)的復(fù)合過程，做到不漏，不重，熟練，正確.

復(fù)習(xí)舊知

(-)基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式表

函數(shù)導(dǎo)數(shù)

y=cy=0

y=f(x)=x"(〃w。*)y=nxn~12

y=sinxy=cosx

y=cosxy=-sinx

y=，(X)=axy=ax-Incz(tz>0)

y=f(x)=exy=ex

/(x)=log“Xf(x)=log?xf(x)=(a>。且a*1)

x\x\a

/(x)=，

/(x)=lnx

X

(二)導(dǎo)數(shù)的運算法則

導(dǎo)數(shù)運算法則

1.[/(x)士g(x)]=/'(x)士g(x)

2."(x>g(x)]=/(x)g(x)±/(x)g'(x)

fM/'(x)g(x)—/(x)g'(x)

3.(g(x)/O)

g(x)[g(x)『

(2)推論：=</*)(常數(shù)與函數(shù)的積的導(dǎo)數(shù)，等于常數(shù)乘函數(shù)的導(dǎo)數(shù))

二.新課講授

復(fù)合函數(shù)的概念一般地，對于兩個函數(shù)y=/(M)和〃=g(x),如果通過變量〃，y可以表

示成x的函數(shù)，那么稱這個函數(shù)為函數(shù)y=/(〃)和"=g(x)的復(fù)合函數(shù)，記作y=/(g(x))。

復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)復(fù)合函數(shù)y=/(g(x))的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)y=/(“)和u=g(x)的導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系為

=4.%',即y對x的導(dǎo)數(shù)等于y對〃的導(dǎo)數(shù)與“對x的導(dǎo)數(shù)的乘積.

若y=/(g(x))，則y'=[f(g(x))]'=/'(g(x))-g'(x)

三.典例分析

例1.求y=sin(tanx2)的導(dǎo)數(shù).

［點評］

求算合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，關(guān)鍵在于搞清楚復(fù)合函數(shù)的結(jié)構(gòu)，明確復(fù)合次數(shù)，由外層向內(nèi)層逐層求

導(dǎo)，直到關(guān)于自變量求導(dǎo)，同時應(yīng)注意不能遺漏求導(dǎo)環(huán)節(jié)并及時化簡計算結(jié)果.

例2.求y=:一，1的導(dǎo)數(shù).

W-2ax

【點評】本題練習(xí)商的導(dǎo)數(shù)和復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù).求導(dǎo)數(shù)后要予以化簡整理.

例3.求y=sin4x+cos%的導(dǎo)數(shù).

【解法一］y=sin4x+cos4x=(sin2x+cos2x)2—1—^-sin22x

131

=1——(1—cos4x)=—+—cos4x.y=-sin4x.

444

【解法二】y'=(sin4x)/+(cos4x)z=4sin3x(sinx)r+4cos3x(cosx)z=4sin3xcosx+4

cos3x(—sinx)=4sinxcosx(sin2x—cos2x)=-2sin2xcos2x=—sin4x

【點評】

解法一是先化簡變形，簡化求導(dǎo)數(shù)運算，要注意變形準確.解法二是利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)數(shù)，

應(yīng)注意不漏步.

例4.曲線y=x(x+1)(2-x)有兩條平行于直線y=尢的切線，求此二切線之間的距離.

【解】y=~x3+x2+2xy'=-3x2+2x+2

令y'=1即3x2—2x—1=0,解得x=-g或x=1.

于是切點為P(l,2),Q

327

過點P的切線方程為，y~2=x—1即x—y+1=0.

,114,,

.__I-T+—+1116

顯然兩切線間的距離等于點。到此切線的距離，故所求距離為3言一=?拒.

四.課堂練習(xí)

1.求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：

⑴y=sinx3+sin33x；

小sin2x

⑶log。(，-2)；

2.求ln(2/+3x+l)的導(dǎo)數(shù).

五.回顧總結(jié)

六.布置作業(yè)

§1.3.1函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)(2課時)

教學(xué)目標：

1.了解可導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的關(guān)系；

2.能利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，會求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，對多項式函數(shù)一般不超過三次;

教學(xué)重點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，會求不超過三次的多項式函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

教學(xué)難點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，會求不超過三次的多項式函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

教學(xué)過程：

一.創(chuàng)設(shè)情景

函數(shù)是客觀描述世界變化規(guī)律的重要數(shù)學(xué)模型，研究函數(shù)時，了解函數(shù)的贈與減、增減

的快與慢以及函數(shù)的最大值或最小值等性質(zhì)是非常重要的.通過研究函數(shù)的這些性質(zhì)，我們

可以對數(shù)量的變化規(guī)律有一個基本的了解.下面，我們運用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，從中體會

導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的作用.

二.新課講授

1.問題：圖33-1(1),它表示跳水運動中高度力隨時間f變化的函數(shù)〃⑺=-4.9/+6.5/+10

的圖像，圖3.3-1(2)表示高臺跳水運動員的速度v隨時間f變化的函數(shù)9)="⑺=-9.8/+6.5

的圖像.

運動員從起跳到最高點，以及從最高點到入水這兩段時間的運動狀態(tài)有什么區(qū)別？

通過觀察圖像，我們可以發(fā)現(xiàn)：

(1)運動員從起點到最高點，離水面的高度。隨時間/的增加而增加，即〃⑺是增函數(shù).相應(yīng)地,

v(0=/z(/)>0.

(2)從最高點到入水，運動員離水面的高度人隨時間f的增加而減少，即〃⑺是減函數(shù).相應(yīng)地,

v(Z)=h(t)<0.

2.函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系

觀察下面函數(shù)的圖像，探討函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)正負的關(guān)系.

如圖3.3-3,導(dǎo)數(shù)/'(尤0)表示函數(shù)/(x)在

點(%,%)處的切線的斜率.

在x=x0處，/(x0)>0,切線是“左下右上”式的，

這時，函數(shù)/(X)在/附近單調(diào)遞增；

在尤=%處，/乜)<0,切線是“左上右下”式的，

這時，函數(shù)/(x)在占附近單調(diào)遞減.

結(jié)論：函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系

在某個區(qū)間(。力)內(nèi)，如果/(無)>0,那么函數(shù)y=/(x)在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；如果/(幻<0,

那么函數(shù)丁=/(幻在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減.

說明：(1)特別的，如果/。)=0,那么函數(shù)y=/(x)在這個區(qū)間內(nèi)是常函數(shù).

3.求解函數(shù)y=/(x)單調(diào)區(qū)間的步驟：

(1)確定函數(shù)y=/(x)的定義域；

(2)求導(dǎo)數(shù)y=f\x)；

(3)解不等式f(x)〉O,解集在定義域內(nèi)的部分為增區(qū)間；

(4)解不等式f(x)<0,解集在定義域內(nèi)的部分為減區(qū)間.

三.典例分析

例1.已知導(dǎo)函數(shù)f(x)的下列信息：

當l<x<4時，/'(x)>0；

當x>4,或x<l時，/(%)<0；

當x=4,或x=l時，f\x)=0

試畫出函數(shù)y=/(x)圖像的大致形狀.

解：當l<x<4時，/(x)>0,可知y=/(x)在此區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；

當x>4,或x<l時，/U)<0；可知y=/(x)在此區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減；

當x=4,或x=l時，/(x)=0,這兩點比較特殊，我們把它稱為“臨界點”.

綜上，函數(shù)y=/(x)圖像的大致形狀如圖3.3-4所示.

例2.判斷下列函數(shù)的單調(diào)性，并求出單調(diào)區(qū)間.

(1)/(x)=x3+3%；(2)/(%)=x2-2x-3

(3)/(x)=sinx-xxe(0,;r)；(4)/'(x)=2丁+3/-24x+l

解：(1)因為/(X)=X3+3X,所以，

/'(X)=3X2+3=3(X2+1)>0

因此，/(蟲=%3+3為在/?上單調(diào)遞增,如圖3.3-5(1)所示.

(2)因為〃幻=/一28-3,所以，/(x)=2x-2=2(x-1)

當/'(x)>0,即x>l時，函數(shù)/(x)=--2x-3單調(diào)遞增；

當/'(x)<0,即x<l時，函數(shù)/(x)=/一2》一3單調(diào)遞減；

函數(shù)/(尤)=/-2》-3的圖像如圖3.3-5(2)所示.

(3)因為/(x)=sinx-xxe(0,)),所以，/(x)=cosx-l<0

因此，函數(shù)/(x)=sinx-x在(0,乃)單調(diào)遞減，如圖3.3-5(3)所示.

(4)因為/0)=2丁+3/—24x+l,所以.

當/’(x)>0,即時，函數(shù)/(幻=/_2彳-3；

當/'(x)<0,即時，函數(shù)/(》)=%2；

函數(shù)/。)=2/+3/-24%+1的圖像如圖3.3-5(4)所示.

注：(3)、(4)生練

例3.如圖3.3-6,水以常速(即單位時間內(nèi)注入水的體積相同)注入下面四種底面積相同的容

器中，請分別找出與各容器對應(yīng)的水的高度〃與時間f的函數(shù)關(guān)系圖像.

分析：以容器(2)為例，由于容器上細下粗，所以水以常速注入時，開始階段高度增加得慢,

以后高度增加得越來越快.反映在圖像上，(A)符合上述變化情況.同理可知其它三種容器

的情況.

解：(I)f(3)，(2)f⑷，(3)f(0,(4)f(C)

思考：例3表明，通過函數(shù)圖像，不僅可以看出函數(shù)的增減，還可以看出其變化的快慢.結(jié)

合圖像，你能從導(dǎo)數(shù)的角度解釋變化快慢的情況嗎？

一般的，如果一個函數(shù)在某一范圍內(nèi)導(dǎo)數(shù)的絕對值較大，

那么函數(shù)在這個范圍內(nèi)變化的快，

這時，函數(shù)的圖像就比較“陡峭”；

反之，函數(shù)的圖像就“平緩”一些.

如圖3.3-7所示，函數(shù)y=/(x)在(0,〃)或(a,0)內(nèi)的圖像“陡峭"，

在(6,+8)或(-co,a)內(nèi)的圖像"平緩

例4.求證：函數(shù)y=2d+3x2-12x+l在區(qū)間(-2,1)內(nèi)是減函數(shù).

證明：因為y=6f+6x—12=6(f+x-2)=6(x—l)(x+2)

當xe(—2,1)即一2<x<l時，y<0,所以函數(shù)y=2/+3/—I2x+1在區(qū)間(—2,1)內(nèi)是減函數(shù).

說明：證明可導(dǎo)函數(shù)f(x)在(a,8)內(nèi)的單調(diào)性步驟：

(1)求導(dǎo)函數(shù)/(x)；

(2)判斷/(X)在(a,3內(nèi)的符號；

(3)做出結(jié)論：/'(x)>0為增函數(shù)，f(x)<()為減函數(shù).

例5.已知函數(shù)/(x)=4x+a%2(xwH)在區(qū)間［-1,1］上是增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍.

解：f\x)=4+2ax-2x2,因為在區(qū)間［一1,1］上是增函數(shù)，所以/'(x)20對尤4―1,1］恒

成立，即/一依一2W0對1,1］恒成立，解之得：-1<<?<1

所以實數(shù)。的取值范圍為［-1』.

說明：已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍是一種常見的題型，常利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性關(guān)

系：即“若函數(shù)單調(diào)遞增，則f(x)N0；若函數(shù)單調(diào)遞減，則八x)40”來求解，注意此時

公式中的等號不能省略，否則漏解.

nn課堂綽習(xí)

1.求下歹1函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

1.—6f+72.fix')--+2x3.Hx)=siar,xG［0,2%］4.y=xbix

x

2.課本練習(xí)

五.回顧總結(jié)

(1)函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系

(2)求解函數(shù)丁=/(x)單調(diào)區(qū)間

(3)證明可導(dǎo)函數(shù)/(x)在(a,。)內(nèi)的單調(diào)性

六.布置作業(yè)

§1.3.3函數(shù)的最大（?。┲蹬c導(dǎo)數(shù)（2課時）

教學(xué)目標：

1.使學(xué)生理解函數(shù)的最大值和最小值的概念，掌握可導(dǎo)函數(shù)/（x）在閉區(qū)間上所

有點（包括端點。力）處的函數(shù)中的最大（或最?。┲当赜械某浞謼l件；

2.使學(xué)生掌握用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值及最值的方法和步驟.

教學(xué)重點：利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最大值和最小值的方法.

教學(xué)難點：函數(shù)的最大值、最小值與函數(shù)的極大值和極小值的區(qū)別與聯(lián)系.

教學(xué)過程：

一創(chuàng)設(shè)情景

我們知道，極值反映的是函數(shù)在某一點附近的局部性質(zhì)，而不是函數(shù)在整個定義域內(nèi)的

性質(zhì).也就是說，如果/是函數(shù)y=的極大（?。┲迭c，那么在點與附近找不到比/（%）

更大（小）的值.但是，在解決實際問題或研究函數(shù)的性質(zhì)時，我們更關(guān)心函數(shù)在某個區(qū)間

上，哪個至最大，哪個值最小.如果與是函數(shù)的最大（?。┲?，那么/（X。）不?。ù螅┯诤?/p>

數(shù)）="X）在相應(yīng)區(qū)間上的所有函數(shù)值.

—,新課講授

觀察圖中一個定義在閉區(qū)間上的函數(shù)/（X）

的圖象.圖中/區(qū)）與/（七）是極小值，/（々）是極大

值.函數(shù)/co在卜,”上的最大值是/（加，最小值是

1.結(jié)論：一般地，在閉區(qū)間口㈤上函數(shù)y=/（x）的

圖像是一條連續(xù)不斷的曲線，那么函數(shù)y=/（x）在

[a,"上必有最大值與最小值.

說明：⑴如果在某一區(qū)間上函數(shù)y=/（x）的圖像是一條連續(xù)不斷的曲線，則稱函數(shù)丁=/（x）在

這個區(qū)間上連續(xù).（可以不給學(xué)生講）

⑵給定函數(shù)的區(qū)間必須是閉區(qū)間，在開區(qū)間（。力）內(nèi)連續(xù)的函數(shù)/（x）不一定有最大值與最小

值.如函數(shù)/■（刈=,在（0,+8）內(nèi)連續(xù)，但沒有最大值與最小值；

X

⑶在閉區(qū)間上的每一點必須連續(xù)，即函數(shù)圖像沒有間斷，

⑷函數(shù)/（x）在閉區(qū)間可上連續(xù)，是/（x）在閉區(qū)間,㈤上有最大值與最小值的充分條件而

非必要條件.（可以不給學(xué)生講）

2.“最值”與“極值”的區(qū)別和聯(lián)系

⑴最值”是整體概念，是比較整個定義域內(nèi)的函數(shù)值得出的，具有絕對性；而“極值”是個

局部概念，是比較極值點附近函數(shù)值得出的，具有相對性.

⑵從個數(shù)上看，一個函數(shù)在其定義域上的最值是唯一的；而極值不唯一；

⑶函數(shù)在其定義區(qū)間上的最大值、最小值最多各有一個，而函數(shù)的極值可能不止一個，也可

能沒有一個.

⑷極值只能在定義域內(nèi)部取得，而最值可以在區(qū)間的端點處取得，有極值的未必有最值，有

最值的未必有極值；極值有可能成為最值，最值只要不在端點必定是極值.

3.利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值步驟：

由上面函數(shù)/（x）的圖象可以看出，只要把連續(xù)函數(shù)所有的極值與定義區(qū)間端點的函數(shù)值進行

比較，就可以得出函數(shù)的最值了.

一般地，求函數(shù)/(X)在［a,U上的最大值與最小值的步驟如下：

⑴求f(x)在(a,份內(nèi)的極值；

⑵將/(x)的各極值與端點處的函數(shù)值/3)、/S)比較，其中最大的一個是最大值，最小的

一個是最小值,得出函數(shù)/(%)在［a,b］±.的最值.

三.典例分析

例1.(課本例5)求/(x)=gx3—4x+4在［0,3］的最大值與最小值.

解：由例4可知，在［0,3］上，當x=2時，/(x)有極小值，并且極小值為/(2)=-又由

于"0)=4，/(3)=1

因此，函數(shù)〃X)=$3-4X+4在［0,3］的最大值是4,最小值是-;

上述結(jié)論可以從函數(shù)/(x)=；x3-4x+4在［0,3］上的圖象得到直觀驗證.

四.課堂練習(xí)

1.下列說法正確的是()

A.函數(shù)的極大值就是函數(shù)的最大值B.函數(shù)的極小值就是函數(shù)的最小值

C.函數(shù)的最值一定是極值D.在閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)一定存在最值

2.函數(shù)產(chǎn)/沁在區(qū)間la,bl上的最大值是M,最小值是"若M="z,則/'(x)()

A.等于0B.大于0C.小于0D.以上都有可能

3.函數(shù)產(chǎn)14+；/+12,在［-1,1］上的最小值為()

13

A.OB.-2C.-lD.—

12

4.求函數(shù)y=/一2/+5在區(qū)間［-2,2］上的最大值與最小值.

5.課本練習(xí)

五