廣西壯族自治區(qū)桂林市紹水高級(jí)中學(xué)高三數(shù)學(xué)文聯(lián)考試卷含解析

廣西壯族自治區(qū)桂林市紹水高級(jí)中學(xué)高三數(shù)學(xué)文聯(lián)考試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知向量a＝(2,1)，b＝(x，－2)，且a＋b與2a－b平行，則實(shí)數(shù)x的值等于()A．－6

B．6

C．－4

D．4參考答案：C略2.已知兩條直線m，n和兩個(gè)不同平面α，β，滿足α⊥β，α∩β=l，m∥α，n⊥β，則（）A．m∥n B．m⊥n C．m∥l D．n⊥l參考答案：D【考點(diǎn)】空間中直線與直線之間的位置關(guān)系；空間中直線與平面之間的位置關(guān)系．【分析】利用直線與平面平行于垂直的關(guān)系，平面與平面垂直的關(guān)系判斷選項(xiàng)即可．【解答】解：兩條直線m，n和兩個(gè)不同平面α，β，滿足α⊥β，α∩β=l，m∥α，n⊥β，則m，n的位置關(guān)系是，平行，相交或異面，直線n與l的位置關(guān)系是垂直，如圖：故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查空間直線與平面，平面與平面的位置關(guān)系的判斷與應(yīng)用，考查空間想象能力．3.已知函數(shù)與，則它們所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為（

）A．0 B．2 C．4 D．8參考答案：C考點(diǎn)：1、函數(shù)的零點(diǎn)；2、函數(shù)的性質(zhì)；3、函數(shù)圖象.【易錯(cuò)點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的零點(diǎn)、函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)圖象，屬難題.本題求兩函數(shù)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和關(guān)鍵是畫出兩個(gè)函數(shù)的圖象，根據(jù)兩個(gè)函數(shù)有相同的對(duì)稱軸，利用對(duì)稱性求得交點(diǎn)橫坐標(biāo)之和，本題中作函數(shù)的圖象時(shí)注意函數(shù)的平移及對(duì)稱性，否則容易出錯(cuò)，數(shù)形結(jié)合是本類題解題的關(guān)鍵，解題時(shí)應(yīng)該注意函數(shù)的性質(zhì)，比如周期性、對(duì)稱性、單調(diào)性等.4.函數(shù)在區(qū)間上的最小值是（）A． B． C． D．0參考答案：B5.若，，，則的值是

A．－1

B．

C．

D．參考答案：D略6.設(shè)不等式表示的平面區(qū)域與拋物線的準(zhǔn)線圍成的三角形區(qū)域（包含邊界）為，為內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則目標(biāo)函數(shù)的最大值為（）．

．

．

．參考答案：C物線的準(zhǔn)線為，所以它們圍成的三角形區(qū)域?yàn)槿切?由得，作直線，平移直線，當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)C時(shí)，直線的截距最小，此時(shí)最大.由得，即，代入得，選C.7.已知,若在上恒成立，

則的取值范圍是（

）

A.

B.

C.

D.參考答案：B8.已知定義在R上的奇函數(shù)f（x）滿足f（x）=f（2﹣x），且f（﹣1）=2，則f（1）+f（2）+f（3）+…+fA．1 B．0 C．﹣2 D．2參考答案：C【考點(diǎn)】函數(shù)奇偶性的性質(zhì)．【分析】本題通過賦值法對(duì)f（2﹣x）=f（x）中的x進(jìn)行賦值為2+x，可得﹣f（x）=f（2+x），可得到函數(shù)f（x）的周期為4，根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)得到f（0）=0，再通過賦值法得到f（1），f（2），f（3），f（4）的值，即可求解．【解答】解：∵f（2﹣x）=f（x），∴f[2﹣（2+x）]=f（2+x），即f（﹣x）=f（2+x），即﹣f（x）=f（2+x），∴f（x+4）=f（4+x），故函數(shù)f（x）的周期為4．∵定義在R上的奇函數(shù)f（x）滿足f（2﹣x）﹣f（x）=0，且f（﹣1）=2，∴f（0）=0，f（1）=﹣f（﹣1）=﹣2，f（2）=f（0）=0，f（3）=f（﹣1）=2，f（4）=f（0）=0，∴f（1）+f（2）+f（3）+…+f+f（2）+f（3）+f（4）]+f+f（1）=0+（﹣2）=﹣2，故選：C．9.設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且a1﹣a7+a13=6，則S13=（）A．78 B．91 C．39 D．2015參考答案：A【考點(diǎn)】等差數(shù)列的前n項(xiàng)和．【專題】等差數(shù)列與等比數(shù)列．【分析】在等差數(shù)列{an}中，由a1﹣a7+a13=6，解得a7=6，再由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式能求出S13的值．【解答】解：等差數(shù)列{an}中，∵a1﹣a7+a13=6，∴2a7﹣a7=6，解得a7=6．∴S13=．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，靈活運(yùn)用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式化簡求值，是一道基礎(chǔ)題．10.在△ABC中，點(diǎn)D在BC邊上，且,則

（

）A.B.

C.D.參考答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若a∈R+，則當(dāng)a+的最小值為m時(shí)，不等式m＜1的解集為．參考答案：{x|x＜﹣3或x＞﹣1}【考點(diǎn)】指、對(duì)數(shù)不等式的解法．【分析】利用基本不等式求出a+的最小值m，再代入不等式m＜1，化為等價(jià)的不等式x2+4x+3＞0，求出解集即可．【解答】解：∵a∈R+，∴a+≥2=，當(dāng)且僅當(dāng)a=，即a=時(shí)取“=”；∴a+的最小值為m=；∴不等式m＜1為：（）＜1，等價(jià)于x2+4x+3＞0，解得x＜﹣3或x＞﹣1；故所求不等式的解集為{x|x＜﹣3或x＞﹣1}．故答案為：{x|x＜﹣3或x＞﹣1}．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了利用基本不等式求最值以及指數(shù)不等式的解法與應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目．12.已知向量與向量的夾角為，若且，則在上的投影為

參考答案：因?yàn)橄蛄颗c向量的夾角為，所以在上的投影為，問題轉(zhuǎn)化為求，因?yàn)楣仕栽谏系耐队盀?13.從1,2,3,4,5這5個(gè)數(shù)中一次隨機(jī)地取2個(gè)數(shù),則所取2個(gè)數(shù)的和為5的概率是

▲

．參考答案：14.在的二項(xiàng)展開式中，的系數(shù)為

。參考答案：-4015.(文科)已知函數(shù)是上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，有關(guān)于的方程有且僅有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，若是四個(gè)根中的最大根，則=

．參考答案：(文)16.已知，且，則

．參考答案：-117.某公司對(duì)一批產(chǎn)品的質(zhì)量進(jìn)行檢測，現(xiàn)采用系統(tǒng)抽樣的方法從100件產(chǎn)品中抽取5件進(jìn)行檢測，對(duì)這100件產(chǎn)品隨機(jī)編號(hào)后分成5組，第一組1～20號(hào)，第二組21～40號(hào)，…，第五組81～100號(hào)，若在第二組中抽取的編號(hào)為24，則在第四組中抽取的編號(hào)為

．參考答案：64設(shè)在第一組中抽取的號(hào)碼為，則在各組中抽取的號(hào)碼滿足首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，即，又第二組抽取的號(hào)碼為，即，所以，所以第四組抽取的號(hào)碼為．

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數(shù)f(x)＝ex－ax，其中a＞0.（1）若對(duì)一切x∈R，f(x)≥1恒成立，求a的取值集合；（2）在函數(shù)f(x)的圖象上取定兩點(diǎn)A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))(x1＜x2)，記直線AB的斜率為k，證明：存在x0∈(x1，x2)，使f′(x0)＝k成立.參考答案：解：（1）f′(x)＝ex－a.令f′(x)＝0得x＝lna.當(dāng)x＜lna時(shí)，f′(x)＜0，f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x＞lna時(shí)，f′(x)＞0，f(x)單調(diào)遞增.故當(dāng)x＝lna時(shí)，f(x)取最小值f(lna)＝a－alna.于是對(duì)一切x∈R，f(x)≥1恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)a－alna≥1.①令g(t)＝t－tlnt，則g′(t)＝－lnt.當(dāng)0＜t＜1時(shí)，g′(t)＞0，g(t)單調(diào)遞增；當(dāng)t＞1時(shí)，g′(t)＜0，g(t)單調(diào)遞減.故當(dāng)t＝1時(shí)，g(t)取最大值g（1）＝1.因此，當(dāng)且僅當(dāng)a＝1時(shí)，①式成立.綜上所述，a的取值集合為{1}.（2）由題意知，k＝＝－a.令φ(x)＝f′(x)－k＝ex－，則φ(x1)＝－

[－(x2－x1)－1]，φ(x2)＝

[－(x1－x2)－1].令F(t)＝et－t－1，則F′(t)＝et－1.當(dāng)t＜0時(shí)，F(xiàn)′(t)＜0，F(xiàn)(t)單調(diào)遞減；當(dāng)t＞0時(shí)，F(xiàn)′(t)＞0，F(xiàn)(t)單調(diào)遞增.故當(dāng)t≠0時(shí)，F(xiàn)(t)＞F(0)＝0，即et－t－1＞0.從而－(x2－x1)－1＞0，－(x1－x2)－1＞0，又＞0，＞0，所以φ(x1)＜0，φ(x2)＞0.因?yàn)楹瘮?shù)y＝φ(x)在區(qū)間[x1，x2]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，所以存在x0∈(x1，x2)，使φ(x0)＝0，即f′(x0)＝k成立.19.（本小題滿分12分）某工廠為了對(duì)新研發(fā)的一種產(chǎn)品進(jìn)行合理定價(jià)，將該產(chǎn)品按事先擬定的價(jià)格進(jìn)行試銷，得到如下數(shù)據(jù)：

（1）求回歸直線方程，其中b=－20（2）預(yù)計(jì)在今后的銷售中，銷量與單價(jià)仍然服從（1）中的關(guān)系，且該產(chǎn)品的成本是4元/件，為使工廠獲得最大利潤，該產(chǎn)品的單價(jià)應(yīng)定為多少元？（利潤=銷售收入－成本）參考答案：（I）由于……………2分

…………4分

所以……………5分

從而回歸直線方程為………………6分（II）設(shè)工廠獲得的利潤為元，依題意得

…………8分

………………10分當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最大值故當(dāng)單價(jià)為元時(shí)，工廠可獲得最大利潤……………12分20.已知向量=（sinA，sinB），=（cosB，cosA），=sin2C，且△ABC的角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c．（1）求角C的大??；（2）若sinA，sinC，sinB成等差數(shù)列，且，求c.參考答案：.解：（1）,又，

………3分又

………4分

(2)由已知得，即

又∵，∴

………6分

由余弦定理得：

∴

………8分21.（本小題滿分12分）如圖，在三棱錐P-ABC中，平面PAB⊥平面ABC，AB=6，，，分別為線段AB，BC上的點(diǎn)，且，，.（1）求證：PD⊥平面ABC；（2）若PA與平面ABC所成的角為，求平面PAC與平面PDE所成的銳二面角.參考答案：解:（1）證明：連接，由題意知…………………（2分）,則,…………………（4分）又因?yàn)?，所以因?yàn)?，都在平面?nèi)，所以平面……………………（6分）（2）由（1）知兩兩互相垂直，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，且與平面所成的角為，有，……………（7分）則∴因?yàn)椤?分）由（1）知平面，∴平面∴為平面的一個(gè)法向量.設(shè)平面的法向量為，則∴，令，則，∴為平面的一個(gè)法向量.……………（10分）∴…………（11分）故平面與平面的銳二面角的余弦值為,所以平面與平面的銳二面角為…………（12分）

22.在平面直角坐標(biāo)系中，直線l的參數(shù)方程為（其中t為參數(shù)）．現(xiàn)以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=2cosθ．（Ⅰ）寫出直線l和曲線C的普通方程；（Ⅱ）已知點(diǎn)P為曲線C上的動(dòng)點(diǎn)，求P到直線l的距離的最大值．參考答案：【考點(diǎn)】參數(shù)方程化成普通方程；簡單曲線的極坐標(biāo)方程．【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；坐標(biāo)系和參數(shù)方程．【分析】（Ⅰ）直線l的參數(shù)方程k消去參數(shù)t得直線l普通方程又由曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=2cosθ，得ρ2=2ρcosθ，由此能求出曲線C的直角坐標(biāo)方程．（Ⅱ）曲線C的方程可化為（x﹣1）2+y2=1，設(shè)與直線l平行的直線為y=x+b，當(dāng)直線l與曲線C相切時(shí)，，當(dāng)時(shí)，P到直線l的距離達(dá)到最大，最大值為兩平行線的距離．【解答】選修4﹣4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程解：（Ⅰ）由題，直線l的參數(shù)方程為（其中t為參數(shù)）．消去直線l參數(shù)方程中的參數(shù)t得直線l普通