福建省南平市邵武第二中學(xué)高三數(shù)學(xué)理摸底試卷含解析

福建省南平市邵武第二中學(xué)高三數(shù)學(xué)理摸底試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知隨機(jī)變量，若，則A．

B．

C．

D．參考答案：C考點(diǎn)：正態(tài)分布由題知：

故答案為：C2.已知函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，方程有兩個(gè)不同的實(shí)根.若這四個(gè)數(shù)按從小到大排列構(gòu)成等差數(shù)列，則實(shí)數(shù)的值為（

）A、

B、

C、

D、參考答案：A略3.執(zhí)行如圖2所示的程序框圖，則輸出S的值為（

）A.16

B.25

C.36

D.49圖2參考答案：C【知識(shí)點(diǎn)】算法與程序框圖s=0,i=1,n=1;s=1,i=2,n=3;s=4,i=3,n=5;s=9,i=4,n=7;s=16,i=5,n=9;s=25,i=6,n=11,s=36終止循環(huán)故選C.【思路點(diǎn)撥】由程序框圖循環(huán)計(jì)算求出符合條件的結(jié)果。4.定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿(mǎn)足f(x)=f(x+2)，當(dāng)x∈[3，5]時(shí)，f(x)=2-|x-4|，則（A）f(sin)<f(cos)

（B）f(sin1)>f(cos1)（C）f(cos)<f(sin)

（D）f(cos2)>f(sin2)參考答案：答案：D5.若變量，滿(mǎn)足約束條件，則的最大值為

(

)A．2

B．3

C．

D．5參考答案：B6.某公司為激勵(lì)創(chuàng)新，計(jì)劃逐年加大研發(fā)獎(jiǎng)金投入，若該公司2015年全年投入研發(fā)獎(jiǎng)金130萬(wàn)元，在此基礎(chǔ)上，每年投入的研發(fā)獎(jiǎng)金比上一年增長(zhǎng)12%，則該公司全年投入的研發(fā)獎(jiǎng)金開(kāi)始超過(guò)200萬(wàn)元的年份是（

）（參考數(shù)據(jù)：，，）A.2018年 B.2019年 C.2020年 D.2021年參考答案：B試題分析：設(shè)從2015年開(kāi)始第年該公司全年投入的研發(fā)資金開(kāi)始超過(guò)200萬(wàn)元，由已知得，兩邊取常用對(duì)數(shù)得，故從2019年開(kāi)始，該公司全年投入的研發(fā)資金開(kāi)始超過(guò)200萬(wàn)元，故選B.【考點(diǎn)】增長(zhǎng)率問(wèn)題，常用對(duì)數(shù)的應(yīng)用【名師點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用．在實(shí)際問(wèn)題中平均增長(zhǎng)率問(wèn)題可以看作等比數(shù)列的應(yīng)用，解題時(shí)要注意把哪個(gè)數(shù)作為數(shù)列的首項(xiàng)，然后根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式寫(xiě)出通項(xiàng)，列出不等式或方程就可求解．7.函數(shù)的定義域?yàn)?/p>

(

)A．(－∞，1)

B．(－∞，1]C．(－∞，0)∪(0,1)

D．(－∞，－1)∪(－1,1)參考答案：C8.設(shè)與垂直，則的值等于A．

B．

C．0

D．-l參考答案：B9.設(shè)α為銳角，則“tanα＞2”是“﹣＜tan2α＜0”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件參考答案：C【考點(diǎn)】必要條件、充分條件與充要條件的判斷．【專(zhuān)題】轉(zhuǎn)化思想；不等式的解法及應(yīng)用；簡(jiǎn)易邏輯．【分析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義，結(jié)合正切函數(shù)的圖象和性質(zhì)以及一元二次不等式的解法進(jìn)行求解即可．【解答】解：由tanα＞2，α為銳角得60°＜arctan2＜α＜90°，則120°＜2α＜180°則tan（2arctan2）＜tan2α＜0，而tan（2arctan2）=﹣＜0，所以，有“﹣＜tan2α＜0”；充分性成立．∵α為銳角，∴0°＜2α＜180°，∵﹣＜tan2α＜0，∴90°＜2α＜180°，則45°＜α＜90°，則tanα＞1由﹣＜tan2α＜0得﹣＜，即﹣（1﹣tan2α）＞2tanα，即2tan2α﹣3tanα﹣2＞0，解得tanα＞2或tanα（舍），即必要性成立，故“tanα＞2”是“﹣＜tan2α＜0”的充分必要條件，故選：C【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，結(jié)合正切函數(shù)的圖象和性質(zhì)以及一元二次不等式的解法是解決本題的關(guān)鍵．10.某幾何體的三視圖如圖所示，則其體積為（）A．4 B． C． D．參考答案：D【考點(diǎn)】由三視圖求面積、體積．【分析】通過(guò)三視圖復(fù)原的幾何體是正四棱錐，結(jié)合三視圖的數(shù)據(jù)，求出幾何體的體積．【解答】解：由題意三視圖可知，幾何體是正四棱錐，底面邊長(zhǎng)為2的正方形，一條側(cè)棱垂直正方形的一個(gè)頂點(diǎn)，長(zhǎng)度為2，所以四棱錐的體積．故選D．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知，A是曲線(xiàn)與圍成的區(qū)域，若在區(qū)域Ω上隨機(jī)投一點(diǎn)P，則點(diǎn)P落入?yún)^(qū)域A的概率為_(kāi)_________。參考答案：略12.若x，y滿(mǎn)足約束條件，設(shè)x2+y2+4x的最大值點(diǎn)為A，則經(jīng)過(guò)點(diǎn)A和B（﹣2，﹣3）的直線(xiàn)方程為

．參考答案：3x﹣5y﹣9=0【考點(diǎn)】7C：簡(jiǎn)單線(xiàn)性規(guī)劃．【分析】畫(huà)出約束條件表示的平面區(qū)域，根據(jù)目標(biāo)函數(shù)z求出最優(yōu)解，寫(xiě)出直線(xiàn)AB的方程即可．【解答】解：畫(huà)出約束條件表示的平面區(qū)域，如圖所示；則z=x2+y2+4x=（x+2）2+y2﹣4，表示平面區(qū)域（陰影部分）內(nèi)的點(diǎn)P（x，y）到點(diǎn)C（﹣2，0）的距離的平方減去4，所以它的最大值點(diǎn)為A，由解得A（3，0），所以經(jīng)過(guò)點(diǎn)A和B（﹣2，﹣3）的直線(xiàn)方程為=，化為一般形式為3x﹣5y﹣9=0．故答案為：3x﹣5y﹣9=0．13.某商場(chǎng)營(yíng)銷(xiāo)人員進(jìn)行某商品的市場(chǎng)營(yíng)銷(xiāo)調(diào)查時(shí)發(fā)現(xiàn)，每回饋消費(fèi)者一定的點(diǎn)數(shù)，該商品每天的銷(xiāo)量就會(huì)發(fā)生一定的變化，經(jīng)過(guò)試點(diǎn)統(tǒng)計(jì)得到以下表：反饋點(diǎn)數(shù)t12345銷(xiāo)量（百件）/天0.50.611.41.7

（Ⅰ）經(jīng)分析發(fā)現(xiàn)，可用線(xiàn)性回歸模型擬合當(dāng)?shù)卦撋唐蜂N(xiāo)量y（千件）與返還點(diǎn)數(shù)t之間的相關(guān)關(guān)系.試預(yù)測(cè)若返回6個(gè)點(diǎn)時(shí)該商品每天的銷(xiāo)量；（Ⅱ）若節(jié)日期間營(yíng)銷(xiāo)部對(duì)商品進(jìn)行新一輪調(diào)整.已知某地?cái)M購(gòu)買(mǎi)該商品的消費(fèi)群體十分龐大，經(jīng)營(yíng)銷(xiāo)調(diào)研機(jī)構(gòu)對(duì)其中的200名消費(fèi)者的返點(diǎn)數(shù)額的心理預(yù)期值進(jìn)行了一個(gè)抽樣調(diào)查，得到如下一份頻數(shù)表：返還點(diǎn)數(shù)預(yù)期值區(qū)間（百分比）[1,3)[3,5)[5,7)[7,9)[9,11)[11,13)頻數(shù)206060302010

（1）求這200位擬購(gòu)買(mǎi)該商品的消費(fèi)者對(duì)返點(diǎn)點(diǎn)數(shù)的心理預(yù)期值x的樣本平均數(shù)及中位數(shù)的估計(jì)值（同一區(qū)間的預(yù)期值可用該區(qū)間的中點(diǎn)值代替；估計(jì)值精確到0.1）；（2）將對(duì)返點(diǎn)點(diǎn)數(shù)的心理預(yù)期值在[1,3)和[11,13]的消費(fèi)者分別定義為“欲望緊縮型”消費(fèi)者和“欲望膨脹型”消費(fèi)者，現(xiàn)采用分層抽樣的方法從位于這兩個(gè)區(qū)間的30名消費(fèi)者中隨機(jī)抽取6名，再?gòu)倪@6人中隨機(jī)抽取3名進(jìn)行跟蹤調(diào)查，設(shè)抽出的3人中“欲望緊縮型”消費(fèi)者的人數(shù)為隨機(jī)變量X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.參考答案：（Ⅰ）返回6個(gè)點(diǎn)時(shí)該商品每天銷(xiāo)量約為2百件；（Ⅱ）（1）均值的估計(jì)值為6,中位數(shù)的估計(jì)值為5.7；（2）詳見(jiàn)解析.【分析】（Ⅰ）先由題中數(shù)據(jù)得到，根據(jù)回歸直線(xiàn)必過(guò)樣本中心，將代入，即可求出結(jié)果；（Ⅱ）（1）根據(jù)頻數(shù)表中數(shù)據(jù)，每組的中間值乘以該組的頻率，再求和，即可得出平均值；根據(jù)中位數(shù)兩側(cè)的頻率之和均為0.5，即可求出結(jié)果；（2）先求出抽取6名消費(fèi)者中“欲望緊縮型”消費(fèi)者人數(shù)與“欲望膨脹型”消費(fèi)者人數(shù)，根據(jù)題意得到的可能取值，求出其對(duì)應(yīng)概率，即可得出分布列與數(shù)學(xué)期望.【詳解】解：（Ⅰ）由題意可得：，因?yàn)榫€(xiàn)性回歸模型為，所以，解得；故關(guān)于的線(xiàn)性回歸方程為，當(dāng)時(shí)，，即返回6個(gè)點(diǎn)時(shí)該商品每天銷(xiāo)量約為2百件.（Ⅱ）（1）根據(jù)題意，這200位擬購(gòu)買(mǎi)該商品的消費(fèi)者對(duì)返回點(diǎn)數(shù)的心里預(yù)期值的平均值的估計(jì)值為：，中位數(shù)的估計(jì)值為.

（2）抽取6名消費(fèi)者中“欲望緊縮型”消費(fèi)者人數(shù)為，“欲望膨脹型”消費(fèi)者人數(shù)為.由題意的可能取值為，所以,

,

故隨機(jī)變量的分布列為X123P

.【點(diǎn)睛】本題主要考查線(xiàn)性回歸分析、考查根據(jù)頻數(shù)表求平均值與中位數(shù)、以及超幾何分布，熟記線(xiàn)性回歸分析的基本思想，以及平均數(shù)、中位數(shù)的計(jì)算方法、超幾何分布的概念等即可，屬于?？碱}型.14.如右圖，它滿(mǎn)足：

（1）第行首尾兩數(shù)均為；

（2）表中的遞推關(guān)系類(lèi)似楊輝三角，則第行（）第2個(gè)數(shù)是

.參考答案：．設(shè)第行（）第2個(gè)數(shù)為，則．從而通過(guò)累加可知，又=2，所以可知．12.已知某一多面體內(nèi)接于球構(gòu)成一個(gè)簡(jiǎn)單組合體，如果該組合體的正視圖、

俯視圖、均如圖所示，且圖中的四邊形是邊長(zhǎng)為2的正方形，則該球

的表面積是

參考答案：12π16.已知兩個(gè)單位向量，的夾角為若向量=，，則=

參考答案：17.如圖，在△ABC中，點(diǎn)O是BC的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O的直線(xiàn)分別交直線(xiàn)AB、AC于不同的兩點(diǎn)M、N，若，，則m+n的取值范圍為．參考答案：[2，+∞）【考點(diǎn)】平面向量的基本定理及其意義．【分析】由三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，以任意點(diǎn)為起點(diǎn)，這三點(diǎn)為終點(diǎn)的三向量，其中一向量可用另外兩向量線(xiàn)性表示，其系數(shù)和為1得到+=1，然后利用基本不等式求最值【解答】解：∵△ABC中，點(diǎn)O是BC的中點(diǎn)，∴=（+），∵，，∴=+，又∵O，M，N三點(diǎn)共線(xiàn)，∴+=1，∴m+n=（m+n）（+）=（2++）≥（2+2）=2，當(dāng)且僅當(dāng)m=n=1時(shí)取等號(hào)，故m+n的取值范圍為[2，+∞），故答案為：[2，+∞）三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.如圖，AA1，BB1是圓柱的兩條母線(xiàn)，A1B1，AB分別經(jīng)過(guò)上下底面的圓心O1，O，CD是下底面與AB垂直的直徑，CD＝2．（1）若AA1＝3，求異面直線(xiàn)A1C與B1D所成角的余弦值；（2）若二面角A1—CD—B1的大小為，求母線(xiàn)AA1的長(zhǎng)．

參考答案：

解：（1）以，，所在直線(xiàn)建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，由，，所以，，，，，，從而，，所以，所以異面直線(xiàn)與所成角的余弦值為.

…………4分（2）設(shè)，則，，所以，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量，所以，所以，令，則，所以平面的一個(gè)法向量，同理可得平面的一個(gè)法向量，因?yàn)槎娼堑拇笮椋?，解得或，由圖形可知當(dāng)二面角的大小為時(shí),.

…………………10分注：用傳統(tǒng)方法也可，請(qǐng)參照評(píng)分.

19.設(shè)橢圓E：+=1（a＞b＞0），其長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的倍，過(guò)焦點(diǎn)且垂直于x軸的直線(xiàn)被橢圓截得的弦長(zhǎng)為2．（1）求橢圓E的方程；（2）設(shè)過(guò)右焦點(diǎn)F2且與x軸不垂直的直線(xiàn)l交橢圓E于P，Q兩點(diǎn)，在線(xiàn)段OF2（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）上是否存在點(diǎn)M（m，0），使得以MP，MQ為鄰邊的平行四邊形是菱形？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．參考答案：【考點(diǎn)】橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【專(zhuān)題】圓錐曲線(xiàn)中的最值與范圍問(wèn)題．【分析】（1）由題意先求出直線(xiàn)與橢圓的交點(diǎn)坐標(biāo)，再列出方程求出a、b的值，代入橢圓方程即可；（2）先假設(shè)存在點(diǎn)M（m，0）（）滿(mǎn)足條件，由點(diǎn)斜式設(shè)出直線(xiàn)l的方程，以及P、Q的坐標(biāo)，將直線(xiàn)方程代入橢圓方程化簡(jiǎn)后，利用韋達(dá)定理、菱形的等價(jià)條件、向量知識(shí)，可求出m的范圍，再進(jìn)行判斷．【解答】解：（1）不妨設(shè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)是（c，0），則過(guò)焦點(diǎn)且垂直于x軸的直線(xiàn)與橢圓的交點(diǎn)坐標(biāo)為（c，y0），代入+=1可得，y0=，因?yàn)檫^(guò)焦點(diǎn)且垂直于x軸的直線(xiàn)被橢圓截得的弦長(zhǎng)為2，所以，由題意得，a=b，代入上式解得：a=、b=，故所求橢圓方程為．（2）假設(shè)在線(xiàn)段OF2上存在點(diǎn)M（m，0）（）滿(mǎn)足條件，∵直線(xiàn)與x軸不垂直，∴設(shè)直線(xiàn)l的方程為．設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），由，可得．則，．∴，，其中x2﹣x1≠0，∵以MP，MQ為鄰邊的平行四邊形是菱形，∴．∴（x1+x2﹣2m）（x2﹣x1）+（y1+y2）（y2﹣y1）=0．∴x1+x2﹣2m+k（y1+y2）=0．∴．化簡(jiǎn)得=（k≠0），則在線(xiàn)段OF2上存在點(diǎn)M（m，0）符合條件，且．【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓的方程，直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系，韋達(dá)定理的運(yùn)用，以及平面向量的知識(shí)，考查化簡(jiǎn)、計(jì)算能力以及存在性的問(wèn)題，屬于中檔題．20.直三棱柱中，，分別是的中點(diǎn)，，為棱上的點(diǎn)．（1）證明：；（2）是否存在一點(diǎn)，使得平面與平面所成銳二面角的余弦值為？若存在，說(shuō)明點(diǎn)的位置，若不存在，說(shuō)明理由．參考答案：（1）證明：∵，，又∵∴⊥面．又∵面，∴，以為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則有，設(shè)且，即,則，∵，所以；………………6分（2）結(jié)論：存在一點(diǎn)，使得平面與平面所成銳二面角的余弦值為，理由如下：由題可知面的法向量，設(shè)面的法向量為，則，∵，∴，即，令，則．∵平面與平面所成銳二面角的余弦值為，∴，即，解得或（舍），所以當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)滿(mǎn)足要求．………………12分21.已知數(shù)列﹛﹜滿(mǎn)足：.（Ⅰ）求數(shù)列﹛﹜的通項(xiàng)公式；（II）設(shè)，求

參考答案：解：（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，

當(dāng)時(shí)，

①

②①-②