廣東省汕頭市澄?？h立中學高三數學文下學期摸底試題含解析

廣東省汕頭市澄?？h立中學高三數學文下學期摸底試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.某四面體的三視圖如圖所示，且四個頂點都在一個球面上，則球面的表面積為（）A． B．5π C．7π D．參考答案：D【考點】簡單空間圖形的三視圖；球的體積和表面積．【專題】計算題；空間位置關系與距離．【分析】由三視圖想象出空間幾何體，進而求出幾何體外接球的半徑，代入球的表面積公式，可得答案．【解答】解：該幾何體的底面是邊長為1的正三角形，側棱垂直于底面，長度為，設球心到底面中心的距離為d，球的半徑為r，則∵正三角形的外接圓的半徑為，∴r2=（）2+=，∴球面的表面積為4πr2=．故選：D．【點評】本題考查了學生的空間想象力，考查了由三視圖得到直觀圖，其中幾何體的形狀判斷是解答的關鍵，屬于中檔題．2.已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是銳角三角形，則存在過點A的平面（）A．與直線BC和直線A1B1都平行B．與直線BC和直線A1B1都垂直C．與直線BC平行且直線A1B1垂直D．與直線BC和直線A1B1所成角相等參考答案：D【考點】空間中直線與直線之間的位置關系．【專題】綜合題；轉化思想；綜合法；空間位置關系與距離．【分析】對4個選項分別進行判斷，即可得出結論．【解答】解：對于A，過點A與直線A1B1平行的平面經過B，與直線BC相交，不正確；對于B，過點A與直線BC垂直的平面存在，則CB⊥AB，與底面是銳角三角形矛盾，不正確對于C，過點A與直線BC平行且直線A1B1垂直，則CB⊥AB，與底面是銳角三角形矛盾，不正確；對于D，存在過點A與BC中點的平面，與直線BC和直線AB所成角相等，∴與直線BC和直線A1B1所成角相等，正確．故選：D．【點評】本題考查空間線線、線面位置關系，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．3.已知如圖是一個空間幾何體的三視圖，則該幾何體的外接球的表面積為（）A．24π B．6π C．4π D．2π參考答案：B【考點】球內接多面體．【分析】由題意判斷幾何體的形狀，幾何體擴展為正方體，求出外接球的半徑，即可求出外接球的表面積【解答】幾何體為三棱錐，可以將其補形為一個棱長為的正方體，該正方體的外接球和幾何體的外接球為同一個，故2R=，R=所以外接球的表面積為：4πR2=6π．故選：B4.過點P（1，2）作直線，使直線與點M（2，3）和點N（4，–5）距離相等，則直線的方程為

（

）

A．

B．或C．

D．或參考答案：D略5.若，滿足約束條件，且滿足，則的最大值是(

)A.1 B. C. D.4參考答案：C如圖2可得，，則，故選C．6.設函數有兩個極值點，且，則

A．

B.C.

D.

參考答案：C7.對具有線性相關關系的變量x，y，測得一組數據如下x1234y4.5432.5根據表，利用最小二乘法得到它的回歸直線方程為（）A．y=﹣0.7x+5.20 B．y=﹣0.7x+4.25 C．y=﹣0.7x+6.25 D．y=﹣0.7x+5.25參考答案：D【考點】線性回歸方程．【分析】由表可得樣本中心為（2.5，3.5），代入檢驗可得結論．【解答】解：由表可得樣本中心為（2.5，3.5），代入檢驗可得y=﹣0.7x+5.25．故選D．【點評】本題考查線性回歸方程，解題的關鍵是線性回歸直線一定過樣本中心點，這是求解線性回歸方程的步驟之一．8.對具有線性相關關系的變量x，y，測得一組數據如下表：x24568y2040607080根據上表，利用最小二乘法得它們的回歸直線方程為=10.5x+a，則a的值等于(

) A．1 B．1.5 C．2 D．2.5參考答案：B考點：線性回歸方程．專題：計算題；概率與統(tǒng)計．分析：求出橫標和縱標的平均數，寫出樣本中心點，把樣本中心點代入線性回歸方程，得到關于a的方程，解方程求出a．解答： 解：∵==5，==54∴這組數據的樣本中心點是（5，54）把樣本中心點代入回歸直線方程=10.5x+a，∴54=10.5×5+a，∴a=1.5，故選：B．點評：本題考查線性回歸方程，解題的關鍵是線性回歸直線一定過樣本中心點，這是求解線性回歸方程的步驟之一．9.用0與1兩個數字隨機填入如圖所示的5個格子里，每個格子填一個數字，并且從左到右數，不管數到哪個格子，總是1的個數不少于0的個數，則這樣填法的概率為A．B．C．D．參考答案：B10.若集合A＝{﹣1,0,1,2,3,5}，集合B＝{2,3,4,5,6,7}，則集合A∩B等于（

）A.{2} B.{2，3} C.{2，3，5} D.{2，3，5，7}參考答案：C【分析】根據集合的交運算即可求得結果.【詳解】因為A＝{﹣1,0,1,2,3,5}，B＝{2,3,4,5,6,7}，∴A∩B＝{2,3,5}．故選：C．【點睛】本題考查集合的交運算，屬基礎題.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知的三邊長滿足，則的取值范圍是

；參考答案：略12.以a、b、c依次表示方程2x＋x＝1、2x＋x＝2、3x＋x＝2的解，則a、b、c的大小關系為________．參考答案：a<c<b13.函數是上的單調函數，則的取值范圍為

.參考答案：14.在等比數列中，，，令，則取最大值時，的所有可能的取值應該是

。參考答案：3和515.已知=則_____參考答案：402416.已知雙曲線的中心在原點，焦點在軸上，若其漸近線與拋物線的準線圍成的三角形面積為，則此雙曲線的離心率等于

．參考答案：試題分析：拋物線的準線與雙曲線的漸近線的交點分別為，所以對應的三角形的面積為，所以該雙曲線為等軸雙曲線，故其離心率為.考點：雙曲線的離心率.17.已知函數f（x）在定義域[2﹣a，3]上是偶函數，在[0，3]上單調遞減，并且f（﹣m2﹣）＞f（﹣m2+2m﹣2），則m的取值范圍是．參考答案：【考點】奇偶性與單調性的綜合．【分析】根據函數奇偶性的定義先求出a的值，根據函數奇偶性和單調性的性質將不等式進行轉化進行求解即可．【解答】解：因為函數f（x）在定義域[2﹣a，3]上是偶函數，所以2﹣a+3=0，所以a=5．所以f（﹣m2﹣）＞f（﹣m2+2m﹣2），即f（﹣m2﹣1）＞f（﹣m2+2m﹣2），所以偶函數f（x）在[﹣3，0]上單調遞增，而﹣m2﹣1＜0，﹣m2+2m﹣2=﹣（m﹣1）2﹣1＜0，所以由f（﹣m2﹣1）＞f（﹣m2+2m﹣2）得，解得．故答案為．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.設函數．（1）求函數的零點；（2）當時，求證：在區(qū)間上單調遞減；（3）若對任意的正實數，總存在，使得，求實數的取值范圍．參考答案：（1）①當時，函數的零點為；②當時，函數的零點是；③當時，函數無零點；（2）當時，，令任取，且，則因為，，所以，，從而即故在區(qū)間上的單調遞減當時，即當時，在區(qū)間上單調遞減；（3）對任意的正實數，存在使得，即，當時，即在區(qū)間上單調遞減，在區(qū)間上單調遞增；所以，又由于，，所以．19.（14分）已知函數f（x）=alnx﹣，g（x）=ex（其中e為自然對數的底數）．（1）若函數f（x）在區(qū)間（0，1）內是增函數，求實數a的取值范圍；（2）當b＞0時，函數g（x）的圖象C上有兩點P（b，eb）、Q（﹣b，e﹣b），過點P、Q作圖象C的切線分別記為l1、l2，設l1與l2的交點為M（x0，y0），證明：x0＞0．參考答案：【考點】利用導數研究函數的單調性；利用導數研究曲線上某點切線方程．【專題】導數的綜合應用．【分析】（1）先求出函數的導數，得到關于a的不等式，求出a的最小值即可；（2）先求出導函數，求出切線方程，構造出新函數h（b），通過討論h（b）的單調性，從而證出結論．【解答】解：（1）∵f（x）=alnx+﹣1，∴f′（x）=，若函數f（x）在區(qū)間（0，1）內是增函數，則a（x+1）2﹣2x≥0，∴a≥=，∴a≥；（2）∵g′（x）=ex，∴g（b）=g′（b）=eb，∴l(xiāng)1：y=eb（x﹣b）+eb…①，g（﹣b）=g′（﹣b）=e﹣b，∴l(xiāng)2：y=e﹣b（x+b）+e﹣b…②，由①②得：eb（x﹣b）+eb=e﹣b（x+b）+e﹣b，兩邊同乘以eb得：e2b（x﹣b）+e2b=x+b+1，∴（e2b﹣1）x=b?e2b﹣e2b+b+1，∴x0=，分母e2b﹣1＞0，令h（b）=be2b﹣e2b+b+1，∴h′（b）=2be2b﹣e2b+1，∴h″（b）=4be2b+1＞0，∴h′（b）min→h′（0）→0+，∴h（b）min→h（0）→b＞0，∴x0＞0．【點評】本題考查了函數的單調性問題，考查導數的應用，第一問表示出關于a的不等式是解題的關鍵，第二問中構造出新函數是解題的關鍵，本題有一定的難度．20.（本小題滿分10分）求函數在的最大值與最小值.參考答案：解：由題知

f'（x）=

……………2分

令f'（x）=0

則x=1

……………4分列x

f'（x）

f(x)的表如圖示

……………8分

由圖知：f(x)max=3

f(x)min=-8

……………10分21.(本小題滿分12分)在四棱錐P-ABCD中，，.(Ⅰ)若點E為PC的中點，求證：BE∥平面PAD；(Ⅱ)當平面PBD⊥平面ABCD時，求二面角C-PD-B的余弦值.

參考答案：(Ⅰ)取的中點為，連結，.由已知得，為等邊三角形，.∵，，∴，∴，∴.又∵平面，平面，∴∥平面.∵為的中點，為的中點，∴∥.又∵平面，平面，∴∥平面.∵，∴平面∥平面.∵平面，∴∥平面.

…………5分

(Ⅱ)連結，交于點，連結，由對稱性知，為的中點，且，.∵平面平面，，∴平面，，.以為坐標原點，的方向為軸正方向，建立空間直角坐標系.則(0，，0)，(3，0，0)，(0，0，1).易知平面的一個法向量為.設平面的法向量為，則，，∴，∵，，∴.令，得，∴，∴.設二面角的大小為，則.………12分

22.已知等差數列{an}滿足：an+1＞an（n∈N*），a1=1，該數列的前三項分別加上1，1，3后順次成為等比數列{bn}的前三項．（Ⅰ）分別求數列{an}，{bn}的通項公式an，bn；（Ⅱ）設，若恒成立，求c的最小值．參考答案：【考點】數列與不等式的綜合；等差數列的通項公式；等比數列的通項公式；數列的求和．【專題】綜合題．【分析】（Ⅰ）設d、q分別為數列{an}、數列{bn}的公差與公比，a1=1．由題可知，a1=1，a2=1+d，a3=1+2d，分別加上1，1，3后得2，2，+d，4+2d是等比數列{bn}的前三項，從而可得（2+d）2=2（4+2d），根據an+1＞an，可確定公差的值，從而可求數列{an}的通項，進而可得公比q，故可求{bn}的通項公式（Ⅱ）表示出，利用錯位相減法求和，即可求得c的最小值．【解答】解：（Ⅰ）設d、q分別為數列{an}、數列{bn}的公差與公比，a1=1．由題可知，a1=1，a2=1+