第15題立體幾何中整體放入問題 2024年高中數(shù)學三輪復習之一題多解

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁第15題立體幾何中整體放入問題【2024屆浙江省麗水、湖州、衢州三地市二?！さ?4題】已知正四面體的棱長為1，若棱長為a的正方體能整體放入正四面體中，則實數(shù)a的最大值為______．通過分析可知需要求解的為平行底面的三角形內接正方形邊長最大值，在三角形中結合正弦定理求解邊長列出不等式并求解集即可求解.易知正四面體的高如右圖：設，則設，則要正方體邊長a最大，則只需平行底面BCD的截面PQR的內接正方形邊長最大，且滿足如右圖，在中，易知則，故1．對于棱長為1（單位：）的正方體容器（容器壁厚度忽略不計），下列說法正確的是（

）A．底面半徑為，高為的圓錐形罩子（無底面）能夠罩住水平放置的該正方體B．以該正方體的三條棱作為圓錐的母線，則此圓錐的母線與底面所成角的正切值為C．該正方體內能同時整體放入兩個底面半徑為，高為的圓錐D．該正方體內能整體放入一個體積為的圓錐2．下列物體中，能夠被整體放入棱長為1（單位：）的正方體容器（容器壁厚度忽略不計）內的有（

）A．表面積為的球體B．體積為的正四面體C．體積為的圓柱體D．底面直徑為，高為的圓錐3．渾儀，是中國古代的一種天文觀測儀器，是以渾天說為理論基礎制造的、由相應天球坐標系各基本圈的環(huán)規(guī)及瞄準器構成的古代天文測量天體的儀器，它的基本結構由重重的同心圓環(huán)構成，整體看起來像一個圓球.武漢外校某社團的同學根據(jù)渾儀運行原理制作了一個渾儀的模型：同心的小球半徑為3，大球半徑為R.現(xiàn)為提高渾儀的穩(wěn)固性，該社團同學在大球內放入一個由六根等長的鐵絲（不計粗細）組成的四面體框架，為不影響渾儀的正常使用，小球能在框架內自由轉動，則大球半徑R的最小值為.4．在公元前4世紀中葉，中國天文學家有一套測定天體球面坐標的儀器稱作渾儀，比古希臘早了近60年.渾儀是由兩個重重的同心圓環(huán)構成，整體看上去，近似一個球體.它的運行制作原理可以如下解釋，同心圓環(huán)的小球半徑為r，大球的半徑為R，大球內安放六根等長的金屬絲（不計粗細），使小球能夠在金屬絲框架內任意轉動，若，則r的最大值為.5．在一個軸截面為正三角形的圓錐內放入一個與側面及底面都相切的實心球后，再在該圓錐內的空隙處放入個小球，這些小球與實心球、圓錐的側面以及底面都相切，則的最大值為（?。?/p>

分類討論三種情形，分別為正四面體內切球、內接圓柱和內接三角形三類問題均要滿足題意能放入正方體進而求解即可.（1）情形一：

∴

∴，∴（2）情形二：（3）情形三：∵，∴將數(shù)據(jù)抽象為變量參數(shù)，通過探究“在一個棱長為的正四面體紙盒內放置一個正方體（不作任何轉動，能放進去即可），試求該正方體棱長的最大值”和“直三棱柱內置于正四面體ABCD內，且在底面BCD內，直三棱柱的高為正的最大內接正方形的邊長”問題求解此類題型通解.【探究】在一個棱長為的正四面體紙盒內放置一個正方體（不作任何轉動，能放進去即可），試求該正方體棱長的最大值．【分析】若正四面體的內置正方體的上底面與底面BCD平行，則過正方體上底面的截面必為一正三角形，問題只須考慮正三角形的最大內接正方形即可．下面來研究正三角形的最大內接正方形問題．如圖4，正三角形ABC的邊長為，四邊形EFGH為的內接正方形（正方形的一條邊EF在BC上）設正方形的邊長為x，則在中，，得，①如圖5，若正三角形ABC的內接正方形OMPN的一個頂點為BC中點時，在中，，設，則由正弦定理得，可求得，②（2）因為，所以邊長為的正三角形的最大內接正方形的邊長為．【解】如圖6，直三棱柱內置于正四面體ABCD內，且在底面BCD內，直三棱柱的高為正的最大內接正方形的邊長，設正的邊長為，由上述分析可得它的最大內接正方形的邊長為，故直三棱柱的高也為．過棱AB和正四面體的高作截面（如圖7），在中，．在中，，所以，解得，因此內接正方體棱長的最大值為．上述情況考慮的是內置正方體的上底面與底面BCD平行的情況，假設該正方體的上底面與底面BCD不平行（成一定傾斜角），是否能得到棱長更大的正方體呢？——不可能．我們不妨記由圖6得到的內接正方體為．首先，正方體不可能繞著直線作細微的旋轉，否則，正方體的上底面的頂點就會“捅破”正四面體的側面；同樣，若將該正方體繞著它的中心作適當?shù)霓D動，轉動后正方體下底面與正四面體底面BCD成一定的角度，即正方體下底面的四個頂點中至少有一個不在面BCD上，則該正方體的上底面必然會被正四面體“卡住”．因此，棱長為的正四面體內置正方體棱長的最大值為．故答案為：．6．如圖為某水晶工藝品示意圖，該工藝品由一個半徑為R的大球放置在底面半徑和高均為R的圓柱內，球與圓柱下底面相切為增加觀賞效果，設計師想在圓柱與球的空隙處放入若干大小相等的實心小球，且滿足小球恰好與圓柱底面、圓柱側面及大球都相切，則該工藝品最多可放入（

）個小球．

A．13 B．14 C．15 D．167．下列物體，能夠被整體放入長、寬、高分別為2，1，1（單位：m）的長方體容器（容器壁厚度忽略不計）內的有（

）A．半徑為0.6m的球體B．一組相對棱為1.4m，其余棱都為2m的四面體C．底面半徑為0.005m，高為2.5m的圓柱體D．底面半徑為0.6m，高為0.005m的圓柱體8．已知正方體的棱長為3，點是側面上的一個動點（含邊界），點在棱，且，則（

）A．沿正方體的表面從點到點的最短路程為B．當與垂直時，點的軌跡長度為C．當時，則點的軌跡長度為D．當在棱上時，半徑為的球總能放入四棱錐內9．如圖所示，有一個棱長為4的正四面體容器，是的中點，是上的動點，則下列說法正確的是（

）

A．直線與所成的角為B．的周長最小值為C．如果在這個容器中放入1個小球（全部進入），則小球半徑的最大值為D．如果在這個容器中放入4個完全相同的小球（全部進入），則小球半徑的最大值為10．將四個半徑為的小球放入一個大球中，則這個大球半徑的最小值為．11．已知一個球形容器的容積為（容器壁厚度忽略不計），在球形容器內放入一個正三棱柱，則正三棱柱側面積的最大值為．12．在長方體中，，過且與直線平行的平面將長方體分成兩部分，現(xiàn)同時將兩個球分別放入這兩部分幾何體內，則在平面變化的過程中，當兩個球的半徑之和達到最大時，此時較小球的表面積為．答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁參考答案：1．BCD【分析】對于A，若高為的圓錐形罩子剛能覆蓋水平放置的正方體，考慮圓錐的軸截面，求出底面圓的最小半徑即可判斷；對于B，原問題等價于求與平面所成角的正切值，利用等體積法求高，結合勾股定理、正切定義即可驗算；對于C，以矩形的中心為圓錐底面圓圓心，半徑為0.5，求出圓錐的最大高度即可判斷；對于D，以正方體的體對角線作為圓錐的軸，為圓錐頂點，為圓錐底面圓的直徑時，圓錐的體積大于，由此即可判斷.【詳解】對于A，若高為的圓錐形罩子剛能覆蓋水平放置的正方體，考慮圓錐的軸截面，如圖，

，因為，所以，所以，圓錐底面圓半徑最小為，A錯誤；對于B，如圖，以，，三條棱作為圓錐母線，底面所在平面為平面，等價于求與平面所成角的正切值，因為，所以，所以點到平面的距離為，則此圓錐的母線與底面所成角的正切值為，B正確；

對于C，如圖，以矩形的中心為圓錐底面圓圓心，半徑為0.5，分別以，的中點，為兩個圓錐的頂點，每個圓錐高的最大值為，C正確；

對于D，如圖，的中點作垂線，分別交，于點，，則，以正方體的體對角線作為圓錐的軸，為圓錐頂點，為圓錐底面圓的直徑時，該圓錐的體積為，D正確．

事實上，以正方體的體對角線作為軸，為頂點的圓錐的體積最大值，顯然底面圓心在線段上（不含點），設，當與為的四等分點）重合時，，因此，因為，所以，則，圓錐體積，在上恒成立，所以在上單調遞增，體積的最大值為,D正確.故選：BCD.【點睛】關鍵點點睛：判斷C選項的關鍵是以矩形的中心為圓錐底面圓圓心，半徑為0.5，算出圓錐的最大高度，由此即可順利得解.2．BD【分析】根據(jù)球面積公式計算球半徑，由體積公式計算正四面體的棱長、圓柱的底面半徑或高與邊長為1的正方形的邊長或內切圓直徑比較進行判斷．.【詳解】選項A，設球半徑為，由得，A能夠放入；選項B，設正四面體棱長為，如圖正四面體，是面中心，是四面體的高，，，體積為，，在邊長為1的正方形中，如下右圖，，分別在邊上，，，因此，所以，是等邊三角形，易得，，，所以，，因此B中正四面體可以放入棱長為1的正方體中；

選項C，體積為的圓柱體，只有當?shù)酌嬷睆讲淮笥?m，高也不大小1m可放入棱長為1的正方體中，當高大于1m，或底面直徑大于1m時，不能放入，例如當圓柱底面半徑為0.1m時，高為，就不能放入．選項D，圓錐底面直徑為1.2m，高為0.8m，如果能放到正方體中，根據(jù)對稱性，把圓錐的軸放在正方體的對角線上，如圖正方體中，，則，可證明平面（通過證明平面得，同理得，從而得證），因此圓錐的底面在平面或與之平行的平面內，是等邊三角形，邊長為，其內切圓半徑為，因此題中圓錐的底面不可能在平面內，也不可能在平面與點之間，設平面與的交點為（是底面正方形中心，），如圖，是中心，由與平面可得，，因此，從而，重新取正六邊形，如圖，各頂點是相應棱中點，易可證明平面平面，從而也有平面，而正六邊形的邊長為，其內切圓半徑為，，，，由可得是中點，而，因此題設圓錐可能放到正方體中，D能放入．

故選：BD．3．【分析】根據(jù)題設描述知小球與正四面體的各棱相切，大球為正四面體的外接球R最小，結合正四面體的結構特征，確定球心位置及大小球半徑，根據(jù)三角形相似列方程求R最小值.【詳解】由題意，小球與正四面體的各棱相切，大球為正四面體的外接球，即可保證R最小，如上圖，設正四面體的棱長為，為△中心，故面，又面，則，且，又小球半徑，則OF⊥AC，大球半徑，，易知：，故，即，可得.故答案為：4．【分析】小球與正四面體的各條棱相切，大球為正四面體的外接球，即可保證最大，設正四面體的棱長為，為的中心，可得平面，求得，，在直角中，求得，過點作，求得，即可求解.【詳解】由題意，小球與正四面體的各條棱相切，大球為正四面體的外接球，即可保證最大，如圖所示，設正四面體的棱長為，為的中心，可得平面，因為平面，則，且，所以，在直角中，，可得，解得，過點作，垂足為，在直角中，可得，即小球的最大半徑為故答案為：.5．10【分析】在圓錐的軸截面中求出大球、小球半徑及正三角形邊長的關系，然后再根據(jù)空隙處放入個小球相切的關系，利用三角函數(shù)性質求出小球最多的個數(shù).【詳解】由題意知，圓錐的軸截面為正三角形，設邊長為.

設實心球半徑為，由得：，，，，.設小球的半徑為，同理，，，，到直線的距離為.空隙處放入個小球相鄰相切，排在一起，則球心在一個半徑為的圓上，如下圖所示：

為相鄰兩球的切點，，分別為球心，設，則，，由三角函數(shù)性質可知：，，，，又，，故小球個數(shù)最多為10個,即的最大值為.故答案為：6．C【分析】圓柱與球的空隙處放入若干大小相等的實心小球，且滿足小球恰好與圓柱底面、圓柱側面及大球都相切，過球心與圓柱底面圓心的平面截得該圖形的平面圖，利用幾何關系計算即可．【詳解】過球心與圓柱底面圓圓心的平面截該幾何體的平面圖，如圖所示，

設球的半徑，實心小球的半徑，由題意可得，，，小球的球心在以為圓心，為半徑的圓上，，周長為，，即，故該工藝品最多放15個小球．故選：C．7．BD【分析】比較球的直徑和長方體棱長的大小關系，判斷A；比較四面體的棱長和長方體的對角線的大小關系，判斷B；比較圓柱的高和長方體體對角線的大小關系，可判斷C；先考慮底面半徑為0.6m，高為0.005m的圓柱體，能否被整體放入棱長為1（單位：m）的正方體容器內，借助于截面圖，利用相關計算判斷D.【詳解】對于A，半徑為0.6m的球體的直徑為，故不能整體放入長、寬、高分別為2，1，1（單位：m）的長方體容器內，A錯誤；對于B，由于在棱長分別的長方體中，如圖，設底面為邊長為1m的正方形，高為2m，則(m)(m)，，

故一組相對棱為1.4m，其余棱都為2m的四面體，可被整體放入長、寬、高分別為2，1，1(單位：m)的長方體容器內，B正確；對于C，由于長、寬、高分別為2，1，1(單位：m)的長方體的體對角線長為(m),而，故底面半徑為0.005m，高為2.5m的圓柱體，不可被整體放入長、寬、高分別為2，1，1(單位：m)的長方體容器內，C錯誤；對于D，先考慮底面半徑為0.6m，高為0.005m的圓柱體能否被整體放入棱長為1(單位：m)的正方體容器內；由于，故正方體的底面不能包含圓柱的底面，如圖，作出正方體的對角面截圖，過的中點O作，交于E，

則，則，即，由于，即，即以為對稱軸可能對稱放置底面為1.2m的圓柱；若底面為1.2m的圓柱與正方體上下底面均相切，設圓柱底面圓心為，與下底面切點為M，可知，則，即，結合對稱性可得圓柱的高為，故底面半徑為0.6m，高為0.005m的圓柱體，可被整體放入棱長為1(單位：m)的正方體容器內，即可被整體放入長、寬、高分別為2，1，1(單位：m)的長方體容器內，D正確，故選：BD【點睛】關鍵點點睛：多面體以及旋轉體的放置問題，實際上是考查幾何體的結構特征以及相關計算，難點在于D的判斷，解答時要借助于截面圖，發(fā)揮空間想象，看如何正確放置圓柱于長方體中，結合相關計算求解判斷.8．BCD【分析】A選項，當平面沿轉動，與平面為同一平面時，點到點的路程，A錯誤；B選項，建立空間直角坐標系，設，根據(jù)垂直得到方程，得到軌跡，求出軌跡長度；C選項，求出點的軌跡是以為圓心，2為半徑的圓在正方形內的圓弧，求出軌跡長度；D選項，求出四棱錐的內切球半徑，結合得到答案.【詳解】A選項，當平面沿轉動，與平面為同一平面時，此時，故A錯誤；B選項，如圖，以點為原點，建立空間直角坐標系，，，，，則，，當時，，即，點是側面上的一個動點（含邊界），如圖，當時，，即，當時，，即,所以點軌跡為線段，，故B正確；C選項，，即，即點的軌跡是以為圓心，2為半徑的圓在正方形內的圓弧，如圖設圓弧與交于，，所以，則，則弧長為，故C正確；

D.選項，當在棱上時，點到平面的距離為，故，其中矩形的面積為，，設，取的中點，連接，

因為，故⊥，⊥，又，故，，故，，設四棱錐的內切球半徑為，故，即，所以，如圖所示，，⊥，⊥，

設，則，則，連接與相交于點，即當重合或重合時，取得最大值，最大值為，故，因為，所以，故半徑為的球總能放入四棱錐內，D正確.故選：BCD【點睛】立體幾何中最值問題，一般可從三個方面考慮：一是構建函數(shù)法，轉化為函數(shù)的最值問題進行求解；二是借助基本不等式求最值，幾何體變化過程中兩個互相牽制的變量（兩個變量之間有等量關系），往往可以使用此種方法；三是根據(jù)幾何體的結構特征，變動態(tài)為靜態(tài)，直觀判斷在什么情況下取得最值.9．ACD【分析】A選項，作出輔助線，由三線合一得到線線垂直，進而得到線面垂直，進而得到線線垂直，求出答案；B選項，把沿著展開與平面同一平面內，由余弦定理求出的最小值，得到周長的最小值；C選項，求出正四面體的內切球即為小球半徑的最大值；D選項，當四個小球相切且與大正四面體相切時，小球半徑最大，連接四個小球的球心，構成正四面體，設出半徑，結合C選項中結論得到方程，求出小球半徑的最大值.【詳解】A選項，連接，由于為的中點，

所以⊥，⊥，又，平面，所以直線⊥平面，又平面，所以⊥，故A正確；B選項，把沿著展開與平面同一個平面內，連接交于點，則的最小值即為的長，由于，，

，，所以，故，的周長最小值為，B錯誤；C選項，要使小球半徑最大，則小球與四個面相切，是正四面體的內切球，設球心為，取的中點，連接，過點作垂直于于點，則為的中心，點在上，過點作⊥于點，因為，所以，同理，則，故，設，故，因為∽，所以，即，解得，C正確；

D選項，4個小球分兩層（1個，3個）放進去，要使小球半徑要最大，則4個小球外切，且小球與三個平面相切，設小球半徑為，四個小球球心連線是棱長為的正四面體，由C選項可知，其高為，由C選項可知，是正四面體的高，過點且與平面交于，與平面交于，則，，由C選項可知，正四面體內切球的半徑是高的得，如圖正四面體中，，，正四面體高為，解得，D正確.

故選：ACD【點睛】解決與球有關的內切或外接的問題時，解題的關鍵是確定球心的位置．對于外切的問題要注意球心到各個面的距離相等且都為球半徑；對于球的內接幾何體的問題，注意球心到各個頂點的距離相等，解題時要構造出由球心到截面圓的垂線段、小圓的半徑和球半徑組成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半徑10．##【分析】大球的半徑是棱長為4的正四面體的外接球半徑加小球半徑2，求出棱長為4的正四面體的外接球半徑，從而得解.【詳解】當大球半徑最小時，四個小球兩兩外切并均與大球內切，大球的半徑是棱長為4的正四面體的外接球半徑加小球半徑2，如圖所示，

把棱長為4的正四面體擴成棱長為的正方體，其中正四面體的棱為正方體各面的對角線