第15題立體幾何中整體放入問題 2024年高中數(shù)學(xué)三輪復(fù)習(xí)之一題多解

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁第15題立體幾何中整體放入問題【2024屆浙江省麗水、湖州、衢州三地市二?！さ?4題】已知正四面體的棱長(zhǎng)為1，若棱長(zhǎng)為a的正方體能整體放入正四面體中，則實(shí)數(shù)a的最大值為______．通過分析可知需要求解的為平行底面的三角形內(nèi)接正方形邊長(zhǎng)最大值，在三角形中結(jié)合正弦定理求解邊長(zhǎng)列出不等式并求解集即可求解.易知正四面體的高如右圖：設(shè)，則設(shè)，則要正方體邊長(zhǎng)a最大，則只需平行底面BCD的截面PQR的內(nèi)接正方形邊長(zhǎng)最大，且滿足如右圖，在中，易知?jiǎng)t，故1．對(duì)于棱長(zhǎng)為1（單位：）的正方體容器（容器壁厚度忽略不計(jì)），下列說法正確的是（

）A．底面半徑為，高為的圓錐形罩子（無底面）能夠罩住水平放置的該正方體B．以該正方體的三條棱作為圓錐的母線，則此圓錐的母線與底面所成角的正切值為C．該正方體內(nèi)能同時(shí)整體放入兩個(gè)底面半徑為，高為的圓錐D．該正方體內(nèi)能整體放入一個(gè)體積為的圓錐2．下列物體中，能夠被整體放入棱長(zhǎng)為1（單位：）的正方體容器（容器壁厚度忽略不計(jì)）內(nèi)的有（

）A．表面積為的球體B．體積為的正四面體C．體積為的圓柱體D．底面直徑為，高為的圓錐3．渾儀，是中國(guó)古代的一種天文觀測(cè)儀器，是以渾天說為理論基礎(chǔ)制造的、由相應(yīng)天球坐標(biāo)系各基本圈的環(huán)規(guī)及瞄準(zhǔn)器構(gòu)成的古代天文測(cè)量天體的儀器，它的基本結(jié)構(gòu)由重重的同心圓環(huán)構(gòu)成，整體看起來像一個(gè)圓球.武漢外校某社團(tuán)的同學(xué)根據(jù)渾儀運(yùn)行原理制作了一個(gè)渾儀的模型：同心的小球半徑為3，大球半徑為R.現(xiàn)為提高渾儀的穩(wěn)固性，該社團(tuán)同學(xué)在大球內(nèi)放入一個(gè)由六根等長(zhǎng)的鐵絲（不計(jì)粗細(xì)）組成的四面體框架，為不影響渾儀的正常使用，小球能在框架內(nèi)自由轉(zhuǎn)動(dòng)，則大球半徑R的最小值為.4．在公元前4世紀(jì)中葉，中國(guó)天文學(xué)家有一套測(cè)定天體球面坐標(biāo)的儀器稱作渾儀，比古希臘早了近60年.渾儀是由兩個(gè)重重的同心圓環(huán)構(gòu)成，整體看上去，近似一個(gè)球體.它的運(yùn)行制作原理可以如下解釋，同心圓環(huán)的小球半徑為r，大球的半徑為R，大球內(nèi)安放六根等長(zhǎng)的金屬絲（不計(jì)粗細(xì)），使小球能夠在金屬絲框架內(nèi)任意轉(zhuǎn)動(dòng)，若，則r的最大值為.5．在一個(gè)軸截面為正三角形的圓錐內(nèi)放入一個(gè)與側(cè)面及底面都相切的實(shí)心球后，再在該圓錐內(nèi)的空隙處放入個(gè)小球，這些小球與實(shí)心球、圓錐的側(cè)面以及底面都相切，則的最大值為（取）

分類討論三種情形，分別為正四面體內(nèi)切球、內(nèi)接圓柱和內(nèi)接三角形三類問題均要滿足題意能放入正方體進(jìn)而求解即可.（1）情形一：

∴

∴，∴（2）情形二：（3）情形三：∵，∴將數(shù)據(jù)抽象為變量參數(shù)，通過探究“在一個(gè)棱長(zhǎng)為的正四面體紙盒內(nèi)放置一個(gè)正方體（不作任何轉(zhuǎn)動(dòng)，能放進(jìn)去即可），試求該正方體棱長(zhǎng)的最大值”和“直三棱柱內(nèi)置于正四面體ABCD內(nèi)，且在底面BCD內(nèi)，直三棱柱的高為正的最大內(nèi)接正方形的邊長(zhǎng)”問題求解此類題型通解.【探究】在一個(gè)棱長(zhǎng)為的正四面體紙盒內(nèi)放置一個(gè)正方體（不作任何轉(zhuǎn)動(dòng)，能放進(jìn)去即可），試求該正方體棱長(zhǎng)的最大值．【分析】若正四面體的內(nèi)置正方體的上底面與底面BCD平行，則過正方體上底面的截面必為一正三角形，問題只須考慮正三角形的最大內(nèi)接正方形即可．下面來研究正三角形的最大內(nèi)接正方形問題．如圖4，正三角形ABC的邊長(zhǎng)為，四邊形EFGH為的內(nèi)接正方形（正方形的一條邊EF在BC上）設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為x，則在中，，得，①如圖5，若正三角形ABC的內(nèi)接正方形OMPN的一個(gè)頂點(diǎn)為BC中點(diǎn)時(shí)，在中，，設(shè)，則由正弦定理得，可求得，②（2）因?yàn)椋赃呴L(zhǎng)為的正三角形的最大內(nèi)接正方形的邊長(zhǎng)為．【解】如圖6，直三棱柱內(nèi)置于正四面體ABCD內(nèi)，且在底面BCD內(nèi)，直三棱柱的高為正的最大內(nèi)接正方形的邊長(zhǎng)，設(shè)正的邊長(zhǎng)為，由上述分析可得它的最大內(nèi)接正方形的邊長(zhǎng)為，故直三棱柱的高也為．過棱AB和正四面體的高作截面（如圖7），在中，．在中，，所以，解得，因此內(nèi)接正方體棱長(zhǎng)的最大值為．上述情況考慮的是內(nèi)置正方體的上底面與底面BCD平行的情況，假設(shè)該正方體的上底面與底面BCD不平行（成一定傾斜角），是否能得到棱長(zhǎng)更大的正方體呢？——不可能．我們不妨記由圖6得到的內(nèi)接正方體為．首先，正方體不可能繞著直線作細(xì)微的旋轉(zhuǎn)，否則，正方體的上底面的頂點(diǎn)就會(huì)“捅破”正四面體的側(cè)面；同樣，若將該正方體繞著它的中心作適當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)動(dòng)后正方體下底面與正四面體底面BCD成一定的角度，即正方體下底面的四個(gè)頂點(diǎn)中至少有一個(gè)不在面BCD上，則該正方體的上底面必然會(huì)被正四面體“卡住”．因此，棱長(zhǎng)為的正四面體內(nèi)置正方體棱長(zhǎng)的最大值為．故答案為：．6．如圖為某水晶工藝品示意圖，該工藝品由一個(gè)半徑為R的大球放置在底面半徑和高均為R的圓柱內(nèi)，球與圓柱下底面相切為增加觀賞效果，設(shè)計(jì)師想在圓柱與球的空隙處放入若干大小相等的實(shí)心小球，且滿足小球恰好與圓柱底面、圓柱側(cè)面及大球都相切，則該工藝品最多可放入（

）個(gè)小球．

A．13 B．14 C．15 D．167．下列物體，能夠被整體放入長(zhǎng)、寬、高分別為2，1，1（單位：m）的長(zhǎng)方體容器（容器壁厚度忽略不計(jì)）內(nèi)的有（

）A．半徑為0.6m的球體B．一組相對(duì)棱為1.4m，其余棱都為2m的四面體C．底面半徑為0.005m，高為2.5m的圓柱體D．底面半徑為0.6m，高為0.005m的圓柱體8．已知正方體的棱長(zhǎng)為3，點(diǎn)是側(cè)面上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（含邊界），點(diǎn)在棱，且，則（

）A．沿正方體的表面從點(diǎn)到點(diǎn)的最短路程為B．當(dāng)與垂直時(shí)，點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為C．當(dāng)時(shí)，則點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為D．當(dāng)在棱上時(shí)，半徑為的球總能放入四棱錐內(nèi)9．如圖所示，有一個(gè)棱長(zhǎng)為4的正四面體容器，是的中點(diǎn)，是上的動(dòng)點(diǎn)，則下列說法正確的是（

）

A．直線與所成的角為B．的周長(zhǎng)最小值為C．如果在這個(gè)容器中放入1個(gè)小球（全部進(jìn)入），則小球半徑的最大值為D．如果在這個(gè)容器中放入4個(gè)完全相同的小球（全部進(jìn)入），則小球半徑的最大值為10．將四個(gè)半徑為的小球放入一個(gè)大球中，則這個(gè)大球半徑的最小值為．11．已知一個(gè)球形容器的容積為（容器壁厚度忽略不計(jì)），在球形容器內(nèi)放入一個(gè)正三棱柱，則正三棱柱側(cè)面積的最大值為．12．在長(zhǎng)方體中，，過且與直線平行的平面將長(zhǎng)方體分成兩部分，現(xiàn)同時(shí)將兩個(gè)球分別放入這兩部分幾何體內(nèi)，則在平面變化的過程中，當(dāng)兩個(gè)球的半徑之和達(dá)到最大時(shí)，此時(shí)較小球的表面積為．答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁參考答案：1．BCD【分析】對(duì)于A，若高為的圓錐形罩子剛能覆蓋水平放置的正方體，考慮圓錐的軸截面，求出底面圓的最小半徑即可判斷；對(duì)于B，原問題等價(jià)于求與平面所成角的正切值，利用等體積法求高，結(jié)合勾股定理、正切定義即可驗(yàn)算；對(duì)于C，以矩形的中心為圓錐底面圓圓心，半徑為0.5，求出圓錐的最大高度即可判斷；對(duì)于D，以正方體的體對(duì)角線作為圓錐的軸，為圓錐頂點(diǎn)，為圓錐底面圓的直徑時(shí)，圓錐的體積大于，由此即可判斷.【詳解】對(duì)于A，若高為的圓錐形罩子剛能覆蓋水平放置的正方體，考慮圓錐的軸截面，如圖，

，因?yàn)?，所以，所以，圓錐底面圓半徑最小為，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，如圖，以，，三條棱作為圓錐母線，底面所在平面為平面，等價(jià)于求與平面所成角的正切值，因?yàn)?，所以，所以點(diǎn)到平面的距離為，則此圓錐的母線與底面所成角的正切值為，B正確；

對(duì)于C，如圖，以矩形的中心為圓錐底面圓圓心，半徑為0.5，分別以，的中點(diǎn)，為兩個(gè)圓錐的頂點(diǎn)，每個(gè)圓錐高的最大值為，C正確；

對(duì)于D，如圖，的中點(diǎn)作垂線，分別交，于點(diǎn)，，則，以正方體的體對(duì)角線作為圓錐的軸，為圓錐頂點(diǎn)，為圓錐底面圓的直徑時(shí)，該圓錐的體積為，D正確．

事實(shí)上，以正方體的體對(duì)角線作為軸，為頂點(diǎn)的圓錐的體積最大值，顯然底面圓心在線段上（不含點(diǎn)），設(shè)，當(dāng)與為的四等分點(diǎn)）重合時(shí)，，因此，因?yàn)?，所以，則，圓錐體積，在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增，體積的最大值為,D正確.故選：BCD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：判斷C選項(xiàng)的關(guān)鍵是以矩形的中心為圓錐底面圓圓心，半徑為0.5，算出圓錐的最大高度，由此即可順利得解.2．BD【分析】根據(jù)球面積公式計(jì)算球半徑，由體積公式計(jì)算正四面體的棱長(zhǎng)、圓柱的底面半徑或高與邊長(zhǎng)為1的正方形的邊長(zhǎng)或內(nèi)切圓直徑比較進(jìn)行判斷．.【詳解】選項(xiàng)A，設(shè)球半徑為，由得，A能夠放入；選項(xiàng)B，設(shè)正四面體棱長(zhǎng)為，如圖正四面體，是面中心，是四面體的高，，，體積為，，在邊長(zhǎng)為1的正方形中，如下右圖，，分別在邊上，，，因此，所以，是等邊三角形，易得，，，所以，，因此B中正四面體可以放入棱長(zhǎng)為1的正方體中；

選項(xiàng)C，體積為的圓柱體，只有當(dāng)?shù)酌嬷睆讲淮笥?m，高也不大小1m可放入棱長(zhǎng)為1的正方體中，當(dāng)高大于1m，或底面直徑大于1m時(shí)，不能放入，例如當(dāng)圓柱底面半徑為0.1m時(shí)，高為，就不能放入．選項(xiàng)D，圓錐底面直徑為1.2m，高為0.8m，如果能放到正方體中，根據(jù)對(duì)稱性，把圓錐的軸放在正方體的對(duì)角線上，如圖正方體中，，則，可證明平面（通過證明平面得，同理得，從而得證），因此圓錐的底面在平面或與之平行的平面內(nèi)，是等邊三角形，邊長(zhǎng)為，其內(nèi)切圓半徑為，因此題中圓錐的底面不可能在平面內(nèi)，也不可能在平面與點(diǎn)之間，設(shè)平面與的交點(diǎn)為（是底面正方形中心，），如圖，是中心，由與平面可得，，因此，從而，重新取正六邊形，如圖，各頂點(diǎn)是相應(yīng)棱中點(diǎn)，易可證明平面平面，從而也有平面，而正六邊形的邊長(zhǎng)為，其內(nèi)切圓半徑為，，，，由可得是中點(diǎn)，而，因此題設(shè)圓錐可能放到正方體中，D能放入．

故選：BD．3．【分析】根據(jù)題設(shè)描述知小球與正四面體的各棱相切，大球?yàn)檎拿骟w的外接球R最小，結(jié)合正四面體的結(jié)構(gòu)特征，確定球心位置及大小球半徑，根據(jù)三角形相似列方程求R最小值.【詳解】由題意，小球與正四面體的各棱相切，大球?yàn)檎拿骟w的外接球，即可保證R最小，如上圖，設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為，為△中心，故面，又面，則，且，又小球半徑，則OF⊥AC，大球半徑，，易知：，故，即，可得.故答案為：4．【分析】小球與正四面體的各條棱相切，大球?yàn)檎拿骟w的外接球，即可保證最大，設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為，為的中心，可得平面，求得，，在直角中，求得，過點(diǎn)作，求得，即可求解.【詳解】由題意，小球與正四面體的各條棱相切，大球?yàn)檎拿骟w的外接球，即可保證最大，如圖所示，設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為，為的中心，可得平面，因?yàn)槠矫?，則，且，所以，在直角中，，可得，解得，過點(diǎn)作，垂足為，在直角中，可得，即小球的最大半徑為故答案為：.5．10【分析】在圓錐的軸截面中求出大球、小球半徑及正三角形邊長(zhǎng)的關(guān)系，然后再根據(jù)空隙處放入個(gè)小球相切的關(guān)系，利用三角函數(shù)性質(zhì)求出小球最多的個(gè)數(shù).【詳解】由題意知，圓錐的軸截面為正三角形，設(shè)邊長(zhǎng)為.

設(shè)實(shí)心球半徑為，由得：，，，，.設(shè)小球的半徑為，同理，，，，到直線的距離為.空隙處放入個(gè)小球相鄰相切，排在一起，則球心在一個(gè)半徑為的圓上，如下圖所示：

為相鄰兩球的切點(diǎn)，，分別為球心，設(shè)，則，，由三角函數(shù)性質(zhì)可知：，，，，又，，故小球個(gè)數(shù)最多為10個(gè),即的最大值為.故答案為：6．C【分析】圓柱與球的空隙處放入若干大小相等的實(shí)心小球，且滿足小球恰好與圓柱底面、圓柱側(cè)面及大球都相切，過球心與圓柱底面圓心的平面截得該圖形的平面圖，利用幾何關(guān)系計(jì)算即可．【詳解】過球心與圓柱底面圓圓心的平面截該幾何體的平面圖，如圖所示，

設(shè)球的半徑，實(shí)心小球的半徑，由題意可得，，，小球的球心在以為圓心，為半徑的圓上，，周長(zhǎng)為，，即，故該工藝品最多放15個(gè)小球．故選：C．7．BD【分析】比較球的直徑和長(zhǎng)方體棱長(zhǎng)的大小關(guān)系，判斷A；比較四面體的棱長(zhǎng)和長(zhǎng)方體的對(duì)角線的大小關(guān)系，判斷B；比較圓柱的高和長(zhǎng)方體體對(duì)角線的大小關(guān)系，可判斷C；先考慮底面半徑為0.6m，高為0.005m的圓柱體，能否被整體放入棱長(zhǎng)為1（單位：m）的正方體容器內(nèi)，借助于截面圖，利用相關(guān)計(jì)算判斷D.【詳解】對(duì)于A，半徑為0.6m的球體的直徑為，故不能整體放入長(zhǎng)、寬、高分別為2，1，1（單位：m）的長(zhǎng)方體容器內(nèi)，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由于在棱長(zhǎng)分別的長(zhǎng)方體中，如圖，設(shè)底面為邊長(zhǎng)為1m的正方形，高為2m，則(m)(m)，，

故一組相對(duì)棱為1.4m，其余棱都為2m的四面體，可被整體放入長(zhǎng)、寬、高分別為2，1，1(單位：m)的長(zhǎng)方體容器內(nèi)，B正確；對(duì)于C，由于長(zhǎng)、寬、高分別為2，1，1(單位：m)的長(zhǎng)方體的體對(duì)角線長(zhǎng)為(m),而，故底面半徑為0.005m，高為2.5m的圓柱體，不可被整體放入長(zhǎng)、寬、高分別為2，1，1(單位：m)的長(zhǎng)方體容器內(nèi)，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，先考慮底面半徑為0.6m，高為0.005m的圓柱體能否被整體放入棱長(zhǎng)為1(單位：m)的正方體容器內(nèi)；由于，故正方體的底面不能包含圓柱的底面，如圖，作出正方體的對(duì)角面截圖，過的中點(diǎn)O作，交于E，

則，則，即，由于，即，即以為對(duì)稱軸可能對(duì)稱放置底面為1.2m的圓柱；若底面為1.2m的圓柱與正方體上下底面均相切，設(shè)圓柱底面圓心為，與下底面切點(diǎn)為M，可知，則，即，結(jié)合對(duì)稱性可得圓柱的高為，故底面半徑為0.6m，高為0.005m的圓柱體，可被整體放入棱長(zhǎng)為1(單位：m)的正方體容器內(nèi)，即可被整體放入長(zhǎng)、寬、高分別為2，1，1(單位：m)的長(zhǎng)方體容器內(nèi)，D正確，故選：BD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：多面體以及旋轉(zhuǎn)體的放置問題，實(shí)際上是考查幾何體的結(jié)構(gòu)特征以及相關(guān)計(jì)算，難點(diǎn)在于D的判斷，解答時(shí)要借助于截面圖，發(fā)揮空間想象，看如何正確放置圓柱于長(zhǎng)方體中，結(jié)合相關(guān)計(jì)算求解判斷.8．BCD【分析】A選項(xiàng)，當(dāng)平面沿轉(zhuǎn)動(dòng)，與平面為同一平面時(shí)，點(diǎn)到點(diǎn)的路程，A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，根據(jù)垂直得到方程，得到軌跡，求出軌跡長(zhǎng)度；C選項(xiàng)，求出點(diǎn)的軌跡是以為圓心，2為半徑的圓在正方形內(nèi)的圓弧，求出軌跡長(zhǎng)度；D選項(xiàng)，求出四棱錐的內(nèi)切球半徑，結(jié)合得到答案.【詳解】A選項(xiàng)，當(dāng)平面沿轉(zhuǎn)動(dòng)，與平面為同一平面時(shí)，此時(shí)，故A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，，，，，則，，當(dāng)時(shí)，，即，點(diǎn)是側(cè)面上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（含邊界），如圖，當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)，，即,所以點(diǎn)軌跡為線段，，故B正確；C選項(xiàng)，，即，即點(diǎn)的軌跡是以為圓心，2為半徑的圓在正方形內(nèi)的圓弧，如圖設(shè)圓弧與交于，，所以，則，則弧長(zhǎng)為，故C正確；

D.選項(xiàng)，當(dāng)在棱上時(shí)，點(diǎn)到平面的距離為，故，其中矩形的面積為，，設(shè)，取的中點(diǎn)，連接，

因?yàn)椋省?，⊥，又，故，，故，，設(shè)四棱錐的內(nèi)切球半徑為，故，即，所以，如圖所示，，⊥，⊥，

設(shè)，則，則，連接與相交于點(diǎn)，即當(dāng)重合或重合時(shí)，取得最大值，最大值為，故，因?yàn)椋?，故半徑為的球總能放入四棱錐內(nèi)，D正確.故選：BCD【點(diǎn)睛】立體幾何中最值問題，一般可從三個(gè)方面考慮：一是構(gòu)建函數(shù)法，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題進(jìn)行求解；二是借助基本不等式求最值，幾何體變化過程中兩個(gè)互相牽制的變量（兩個(gè)變量之間有等量關(guān)系），往往可以使用此種方法；三是根據(jù)幾何體的結(jié)構(gòu)特征，變動(dòng)態(tài)為靜態(tài)，直觀判斷在什么情況下取得最值.9．ACD【分析】A選項(xiàng)，作出輔助線，由三線合一得到線線垂直，進(jìn)而得到線面垂直，進(jìn)而得到線線垂直，求出答案；B選項(xiàng)，把沿著展開與平面同一平面內(nèi)，由余弦定理求出的最小值，得到周長(zhǎng)的最小值；C選項(xiàng)，求出正四面體的內(nèi)切球即為小球半徑的最大值；D選項(xiàng)，當(dāng)四個(gè)小球相切且與大正四面體相切時(shí)，小球半徑最大，連接四個(gè)小球的球心，構(gòu)成正四面體，設(shè)出半徑，結(jié)合C選項(xiàng)中結(jié)論得到方程，求出小球半徑的最大值.【詳解】A選項(xiàng)，連接，由于為的中點(diǎn)，

所以⊥，⊥，又，平面，所以直線⊥平面，又平面，所以⊥，故A正確；B選項(xiàng)，把沿著展開與平面同一個(gè)平面內(nèi)，連接交于點(diǎn)，則的最小值即為的長(zhǎng)，由于，，

，，所以，故，的周長(zhǎng)最小值為，B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，要使小球半徑最大，則小球與四個(gè)面相切，是正四面體的內(nèi)切球，設(shè)球心為，取的中點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作垂直于于點(diǎn)，則為的中心，點(diǎn)在上，過點(diǎn)作⊥于點(diǎn)，因?yàn)椋?，同理，則，故，設(shè)，故，因?yàn)椤?，所以，即，解得，C正確；

D選項(xiàng)，4個(gè)小球分兩層（1個(gè)，3個(gè)）放進(jìn)去，要使小球半徑要最大，則4個(gè)小球外切，且小球與三個(gè)平面相切，設(shè)小球半徑為，四個(gè)小球球心連線是棱長(zhǎng)為的正四面體，由C選項(xiàng)可知，其高為，由C選項(xiàng)可知，是正四面體的高，過點(diǎn)且與平面交于，與平面交于，則，，由C選項(xiàng)可知，正四面體內(nèi)切球的半徑是高的得，如圖正四面體中，，，正四面體高為，解得，D正確.

故選：ACD【點(diǎn)睛】解決與球有關(guān)的內(nèi)切或外接的問題時(shí)，解題的關(guān)鍵是確定球心的位置．對(duì)于外切的問題要注意球心到各個(gè)面的距離相等且都為球半徑；對(duì)于球的內(nèi)接幾何體的問題，注意球心到各個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，解題時(shí)要構(gòu)造出由球心到截面圓的垂線段、小圓的半徑和球半徑組成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半徑10．##【分析】大球的半徑是棱長(zhǎng)為4的正四面體的外接球半徑加小球半徑2，求出棱長(zhǎng)為4的正四面體的外接球半徑，從而得解.【詳解】當(dāng)大球半徑最小時(shí)，四個(gè)小球兩兩外切并均與大球內(nèi)切，大球的半徑是棱長(zhǎng)為4的正四面體的外接球半徑加小球半徑2，如圖所示，

把棱長(zhǎng)為4的正四面體擴(kuò)成棱長(zhǎng)為的正方體，其中正四面體的棱為正方體各面的對(duì)角線