高中數(shù)學(xué)第一章三角函數(shù)1 3三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)1 3 4三角函數(shù)的應(yīng)用教案蘇教版必修4

1.3.4三角函數(shù)的應(yīng)用eq\o(\s\up7(),\s\do5(整體設(shè)計(jì)))教學(xué)分析三角函數(shù)作為描述現(xiàn)實(shí)世界中周期現(xiàn)象的一種數(shù)學(xué)模型，可以用來研究很多問題，在刻畫周期變化規(guī)律、預(yù)測(cè)其未來等方面都發(fā)揮著十分重要的作用．三角函數(shù)模型的簡單應(yīng)用的設(shè)置目的，在于加強(qiáng)用三角函數(shù)模型刻畫周期變化現(xiàn)象的學(xué)習(xí)．本節(jié)通過例題，循序漸進(jìn)地從四個(gè)層次來介紹三角函數(shù)模型的應(yīng)用，本節(jié)在素材的選擇上注意了廣泛性、真實(shí)性和新穎性，同時(shí)又關(guān)注到三角函數(shù)性質(zhì)(特別是周期性)的應(yīng)用．通過引導(dǎo)學(xué)生解決有一定綜合性和思考水平的問題，培養(yǎng)他們綜合應(yīng)用數(shù)學(xué)和其他學(xué)科的知識(shí)解決問題的能力．培養(yǎng)學(xué)生的建模、分析問題、數(shù)形結(jié)合、抽象概括等能力．由于實(shí)際問題常常涉及一些復(fù)雜數(shù)據(jù)，因此要鼓勵(lì)學(xué)生利用計(jì)算機(jī)或計(jì)算器處理數(shù)據(jù)，包括建立有關(guān)數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖，根據(jù)散點(diǎn)圖進(jìn)行函數(shù)擬合等．三維目標(biāo)1．能正確分析收集到的數(shù)據(jù)，選擇恰當(dāng)?shù)娜呛瘮?shù)模型刻畫數(shù)據(jù)所蘊(yùn)含的規(guī)律．將實(shí)際問題抽象為三角函數(shù)有關(guān)的簡單函數(shù)模型．2．通過函數(shù)擬合得到具體的函數(shù)模型，提高數(shù)學(xué)建模能力，并在探究中激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)鍥而不舍的鉆研精神，培養(yǎng)學(xué)生勇于探索、勤于思考的科學(xué)精神．3．通過切身感受數(shù)學(xué)建模的全過程，體驗(yàn)數(shù)學(xué)在解決實(shí)際問題中的價(jià)值和作用，及數(shù)學(xué)與日常生活和其他學(xué)科的聯(lián)系．認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)知識(shí)在生產(chǎn)、生活實(shí)際中所發(fā)揮的作用．體會(huì)和感受數(shù)學(xué)思想的內(nèi)涵及數(shù)學(xué)本質(zhì)，逐步提高創(chuàng)新意識(shí)和實(shí)踐能力．重點(diǎn)難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：分析、整理、利用信息，從實(shí)際問題中抽取基本的數(shù)學(xué)關(guān)系來建立三角函數(shù)模型，用三角函數(shù)模型解決一些具有周期變化規(guī)律的實(shí)際問題．教學(xué)難點(diǎn)：將某些實(shí)際問題抽象為三角函數(shù)的模型，并調(diào)動(dòng)相關(guān)學(xué)科的知識(shí)來解決問題，是本節(jié)的難點(diǎn)，主要原因是背景陌生，數(shù)據(jù)處理較復(fù)雜，學(xué)習(xí)起來感到難以切入．課時(shí)安排2課時(shí)eq\o(\s\up7(),\s\do5(教學(xué)過程))第1課時(shí)導(dǎo)入新課思路1.(問題導(dǎo)入)既然大到宇宙天體的運(yùn)動(dòng)，小到質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)以及現(xiàn)實(shí)世界中具有周期性變化的現(xiàn)象無處不在，那么究竟怎樣用三角函數(shù)解決這些具有周期性變化的問題？它到底能發(fā)揮哪些作用呢？由此展開新課．思路2.(直接導(dǎo)入)我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了三角函數(shù)的概念、圖象與性質(zhì)，特別研究了三角函數(shù)的周期性．在現(xiàn)實(shí)生活中，如果某種變化著的現(xiàn)象具有周期性，那么是否可以借助三角函數(shù)來描述呢？面臨一個(gè)實(shí)際問題，應(yīng)當(dāng)如何選擇恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型來刻畫它呢？以下通過幾個(gè)具體例子，來研究這種三角函數(shù)模型的簡單應(yīng)用．推進(jìn)新課eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(新知探究))用三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)解決一些簡單的生活實(shí)際問題．活動(dòng)：師生互動(dòng)，喚起回憶，充分復(fù)習(xí)前面學(xué)習(xí)過的建立數(shù)學(xué)模型的方法與過程．對(duì)課前已經(jīng)做好復(fù)習(xí)的學(xué)生給予表揚(yáng)，并鼓勵(lì)他們類比以前所學(xué)知識(shí)方法，繼續(xù)探究新的數(shù)學(xué)模型．對(duì)還沒有進(jìn)入狀態(tài)的學(xué)生，教師要幫助其回憶并快速激起相應(yīng)的知識(shí)方法．在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生能夠較好地回憶起解決實(shí)際問題的基本過程是：收集數(shù)據(jù)→畫散點(diǎn)圖→選擇函數(shù)模型→求解函數(shù)模型→檢驗(yàn)→用函數(shù)模型解釋實(shí)際問題．這點(diǎn)很重要，學(xué)生只要有了這個(gè)認(rèn)知基礎(chǔ)，本節(jié)的簡單應(yīng)用便可迎刃而解．新課標(biāo)下的教學(xué)要求，不是教師給學(xué)生解決問題或帶領(lǐng)學(xué)生解決問題，而是教師引領(lǐng)學(xué)生逐步登高，在合作探究中自己解決問題，探求新知．簡單地說，數(shù)學(xué)模型就是把實(shí)際問題用數(shù)學(xué)語言抽象概括，再從數(shù)學(xué)角度來反映或近似地反映實(shí)際問題時(shí)，所得出的關(guān)于實(shí)際問題的數(shù)學(xué)描述．?dāng)?shù)學(xué)模型的方法，是把實(shí)際問題加以抽象概括，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，利用這些模型來研究實(shí)際問題的一般數(shù)學(xué)方法．解決問題的一般程序是：(1)審題：逐字逐句地閱讀題意，審清楚題目條件、要求、理解數(shù)學(xué)關(guān)系；(2)建模：分析題目變化趨勢(shì)，選擇適當(dāng)函數(shù)模型；(3)求解：對(duì)所建立的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行分析研究得到數(shù)學(xué)結(jié)論；(4)還原：把數(shù)學(xué)結(jié)論還原為實(shí)際問題的解答．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(應(yīng)用示例))思路1例1見課本本節(jié)例1.變式訓(xùn)練如圖1，某地一天從6～14時(shí)的溫度變化曲線近似滿足函數(shù)y＝sin(ωx＋φ)＋b.圖1(1)求這一天的最大溫差；(2)寫出這段曲線的函數(shù)解析式．活動(dòng)：這道題目是2002年全國卷的一道高考題，探究時(shí)教師與學(xué)生一起討論．本題是研究溫度隨時(shí)間呈周期性變化的問題．教師可引導(dǎo)學(xué)生思考，本題給出模型了嗎？給出的模型函數(shù)是什么？要解決的問題是什么？怎樣解決？然后完全放給學(xué)生自己討論解決．題目給出了某個(gè)時(shí)間段的溫度變化曲線這個(gè)模型．其中第(1)小題實(shí)際上就是求函數(shù)圖象的解析式，然后再求函數(shù)的最值差．教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生觀察思考：“求這一天的最大溫差”實(shí)際指的是“求6時(shí)到14時(shí)這段時(shí)間的最大溫差”，可根據(jù)前面所學(xué)的三角函數(shù)圖象直接寫出而不必再求解析式．讓學(xué)生體會(huì)不同的函數(shù)模型在解決具體問題時(shí)的不同作用．第(2)小題只要用待定系數(shù)法求出解析式中的未知參數(shù)，即可確定其解析式．其中求ω是利用半周期(14－6)，通過建立方程得解．解：(1)由圖可知，這段時(shí)間的最大溫差是20℃.(2)從圖中可以看出，從6～14時(shí)的圖象是函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)＋b的半個(gè)周期的圖象，∴A＝eq\f(1,2)(30－10)＝10，b＝eq\f(1,2)(30＋10)＝20.∵eq\f(1,2)·eq\f(2π,ω)＝14－6，∴ω＝eq\f(π,8).將x＝6，y＝10代入上式，解得φ＝eq\f(3π,4).綜上，所求解析式為y＝10sin(eq\f(π,8)x＋eq\f(3π,4))＋20，x∈[6,14]．點(diǎn)評(píng)：本題中所給出的一段圖象恰好是半個(gè)周期的圖象，提醒學(xué)生注意抓關(guān)鍵．本題所求出的函數(shù)模型只能近似刻畫這天某個(gè)時(shí)段的溫度變化情況，因此應(yīng)當(dāng)特別注意自變量的變化范圍，這點(diǎn)往往被學(xué)生忽略掉.例2見課本本節(jié)例2.變式訓(xùn)練函數(shù)y＝|sinx|的一個(gè)單調(diào)增區(qū)間是()A．(－eq\f(π,4)，eq\f(π,4))B．(eq\f(π,4)，eq\f(3π,4))C．(π，eq\f(3π,2))D．(eq\f(3π,2)，2π)答案：C例3如圖2，設(shè)地球表面某地正午太陽高度角為θ，δ為此時(shí)太陽直射緯度，φ為該地的緯度值，那么這三個(gè)量之間的關(guān)系是θ＝90°－|φ－δ|.當(dāng)?shù)叵陌肽軎娜≌担肽軎娜∝?fù)值．如果在北京地區(qū)(緯度數(shù)約為北緯40°)的一幢高為h0的樓房北面蓋一新樓，要使新樓一層正午的太陽全年不被前面的樓房遮擋，兩樓的距離不應(yīng)小于多少？圖2活動(dòng)：本例所用地理知識(shí)、物理知識(shí)較多，綜合性比較強(qiáng)，需調(diào)動(dòng)相關(guān)學(xué)科的知識(shí)來幫助理解問題，這是本節(jié)的一個(gè)難點(diǎn)．在探討時(shí)要讓學(xué)生充分熟悉實(shí)際背景，理解各個(gè)量的含義以及它們之間的數(shù)量關(guān)系．首先由題意要知道太陽高度角的定義：設(shè)地球表面某地緯度值為φ，正午太陽高度角為θ，此時(shí)太陽直射緯度為δ，那么這三個(gè)量之間的關(guān)系是θ＝90°－|φ－δ|.當(dāng)?shù)叵陌肽軎娜≌担肽軎娜∝?fù)值．根據(jù)地理知識(shí)，能夠被太陽直射到的地區(qū)為南、北回歸線之間的地帶，圖形如圖3，由畫圖易知太陽高度角θ、樓高h(yuǎn)0與此時(shí)樓房在地面的投影長h之間有如下關(guān)系：h0＝htanθ.由地理知識(shí)知，在北京地區(qū)，太陽直射北回歸線時(shí)物體的影子最短，直射南回歸線時(shí)物體的影子最長．因此，為了使新樓一層正午的太陽全年不被遮擋，應(yīng)當(dāng)考慮太陽直射南回歸線時(shí)的情況．解：如圖3，A、B、C分別為太陽直射北回歸線、赤道、南回歸線時(shí)樓頂在地面上的投影點(diǎn)．要使新樓一層正午的太陽全年不被前面的樓房遮擋，應(yīng)取太陽直射南回歸線的情況考慮，此時(shí)的太陽直射緯度－23°26′.依題意，兩樓的間距應(yīng)不小于MC.圖3根據(jù)太陽高度角的定義，有∠C＝90°－|40°－(－23°26′)|＝26°34′，所以MC＝eq\f(h0,tanC)＝eq\f(h0,tan26°34′)≈2.000h0，即在蓋樓時(shí)，為使后樓不被前樓遮擋，要留出相當(dāng)于樓高兩倍的間距．點(diǎn)評(píng)：本例是研究樓高與樓在地面的投影長的關(guān)系問題，是將實(shí)際問題直接抽象為與三角函數(shù)有關(guān)的簡單函數(shù)模型，然后根據(jù)所得的函數(shù)模型解決問題．要直接根據(jù)圖2來建立函數(shù)模型，學(xué)生會(huì)有一定困難，而解決這一困難的關(guān)鍵是聯(lián)系相關(guān)知識(shí)，畫出圖3，然后由圖形建立函數(shù)模型，問題得以求解．這道題的結(jié)論有一定的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值．教學(xué)中，教師可以在這道題的基礎(chǔ)上再提出一些問題，如下例的變式訓(xùn)練，激發(fā)學(xué)生進(jìn)一步探究.變式訓(xùn)練某市的緯度是北緯23°，小王想在某住宅小區(qū)買房，該小區(qū)的樓高7層，每層3米，樓與樓之間相距15米．要使所買樓層在一年四季正午太陽不被前面的樓房遮擋，他應(yīng)選擇哪幾層的房？圖4解：如圖4，由例3知，北樓被南樓遮擋的高度為h＝15tan[90°－(23°＋23°26′)]＝15tan43°34′≈14.26，由于每層樓高為3米，根據(jù)以上數(shù)據(jù)，所以他應(yīng)選5層以上.eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(知能訓(xùn)練))課本本節(jié)練習(xí)1、2.eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(課堂小結(jié)))1．本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了三個(gè)層次的三角函數(shù)模型的應(yīng)用，即根據(jù)圖象建立解析式，根據(jù)解析式作出圖象，將實(shí)際問題抽象為與三角函數(shù)有關(guān)的簡單函數(shù)模型．你能概括出建立三角函數(shù)模型解決實(shí)際問題的基本步驟嗎？2．實(shí)際問題的背景往往比較復(fù)雜，而且需要綜合應(yīng)用多學(xué)科的知識(shí)才能解決它．因此，在應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題時(shí)，應(yīng)當(dāng)注意從復(fù)雜的背景中抽取基本的數(shù)學(xué)關(guān)系，還要調(diào)動(dòng)相關(guān)學(xué)科知識(shí)來幫助理解問題．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(作業(yè)))1．圖5表示的是電流I與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系I＝Asin(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<eq\f(π,2))在一個(gè)周期內(nèi)的圖象．圖5(1)根據(jù)圖象寫出I＝Asin(ωx＋φ)的解析式．(2)為了使I＝Asin(ωx＋φ)中的t在任意一段eq\f(1,100)s的時(shí)間內(nèi)電流I能同時(shí)取得最大值和最小值，那么正整數(shù)ω的最小值為多少？解：(1)由圖知A＝300，第一個(gè)零點(diǎn)為(－eq\f(1,300)，0)，第二個(gè)零點(diǎn)為(eq\f(1,150)，0)，∴ω·(－eq\f(1,300))＋φ＝0，ω·eq\f(1,150)＋φ＝π.解得ω＝100π，φ＝eq\f(π,3).∴I＝300sin(100πt＋eq\f(π,3))．(2)依題意有T≤eq\f(1,100)，即eq\f(2π,ω)≤eq\f(1,100)，∴ω≥200π，故ωmin＝629.2．搜集、歸納、分類現(xiàn)實(shí)生活中周期變化的情境模型．解：如以下兩例：①人體內(nèi)部的周期性節(jié)律變化和個(gè)人的習(xí)慣性的生理變化，如人體脈搏、呼吸、排泄、體溫、睡眠節(jié)奏、饑餓程度等；②蛻皮(tuipi)昆蟲綱和甲殼綱等節(jié)肢動(dòng)物，以及線形動(dòng)物等的體表具有堅(jiān)硬的幾丁質(zhì)層，雖有保護(hù)身體的作用，但限制動(dòng)物的生長、發(fā)育．因此，在胚后發(fā)育過程中，必須進(jìn)行1次或數(shù)次脫去舊表皮，再長出寬大的新表皮后，才變成成蟲，這種現(xiàn)象稱為蛻皮；蛻下的“舊表皮”稱為“蛻”，只有這樣，蟲體才能得以繼續(xù)充分生長、發(fā)育．蛻皮現(xiàn)象的發(fā)生具有周期性，但蛻皮的準(zhǔn)備和蛻皮過程是連續(xù)進(jìn)行的．此外，脊椎動(dòng)物爬行類的蛻皮現(xiàn)象尤為明顯，如蜥蜴和蛇具有雙層角質(zhì)層，其外層在定期蛻皮時(shí)脫掉，蛇的外層角質(zhì)層連同眼球外面透明的皮膚，約每2個(gè)月為一個(gè)周期可完整地脫落1次，稱為蛇蛻．eq\o(\s\up7(),\s\do5(設(shè)計(jì)感想))1．本教案設(shè)計(jì)指導(dǎo)思想是：充分喚起學(xué)生已有的知識(shí)方法，調(diào)動(dòng)起相關(guān)學(xué)科的知識(shí)，盡量降低實(shí)例背景的相對(duì)難度，加大實(shí)際問題的鮮明、活躍程度，以引發(fā)學(xué)生探求問題的興趣．2．應(yīng)用三角函數(shù)模型解決問題，首先要把實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題，確定它的周期，從而建立起適當(dāng)?shù)娜呛瘮?shù)模型．如果學(xué)生選擇了不同的函數(shù)模型，教師應(yīng)組織學(xué)生進(jìn)行交流，或讓學(xué)生根據(jù)自己選擇的模型進(jìn)行求解，然后再根據(jù)所求結(jié)果與實(shí)際情況的差異進(jìn)行評(píng)價(jià)．3．由于實(shí)際問題常常涉及一些復(fù)雜數(shù)據(jù)，因此要鼓勵(lì)學(xué)生利用計(jì)算機(jī)或計(jì)算器處理數(shù)據(jù)，有條件的要用多媒體進(jìn)行動(dòng)態(tài)演示，以使學(xué)生有更多的時(shí)間用于對(duì)問題本質(zhì)的理解．eq\o(\s\up7(),\s\do5(備課資料))一、備選習(xí)題1．下列函數(shù)中，圖象的一部分如圖6所示的是()圖6A．y＝sin(x＋eq\f(π,6))B．y＝sin(2x－eq\f(π,6))C．y＝cos(4x－eq\f(π,3))D．y＝cos(2x－eq\f(π,6))2.已知函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，|φ|＜π)的一段圖象如圖7所示，求函數(shù)的解析式．圖73．已知函數(shù)y＝Atan(ωx＋φ)(其中A>0，ω>0，|φ|<eq\f(π,2))的圖象與x軸相交的兩相鄰點(diǎn)的坐標(biāo)為(eq\f(π,6)，0)和(eq\f(5π,6)，0)，且過點(diǎn)(0，－3)，求此函數(shù)的解析式．4．單擺從某點(diǎn)開始來回?cái)[動(dòng)，離開平衡位置的距離s(厘米)和時(shí)間t(秒)的函數(shù)關(guān)系為s＝6sin(2πt＋eq\f(π,6))．(1)單擺開始擺動(dòng)(t＝0)時(shí)，離開平衡位置多少厘米？(2)單擺擺動(dòng)到最右邊時(shí)，離開平衡位置多少厘米？(3)單擺來回?cái)[動(dòng)一次需要多少時(shí)間？5．函數(shù)f(x)＝sinx＋2|sinx|，x∈[0,2π]的圖象與直線y＝kx有且僅有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，求k的取值范圍．參考答案：1．D2．由圖7，得A＝2，eq\f(T,2)＝eq\f(3π,8)－(－eq\f(π,8))＝eq\f(π,2)，∴T＝π.∴ω＝2.∴y＝2sin(2x＋φ)．又∵圖象經(jīng)過點(diǎn)(－eq\f(π,8)，2)，∴2＝2sin(－eq\f(π,4)＋φ)．∴φ－eq\f(π,4)＝2kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)．∴φ＝2kπ＋eq\f(3π,4).∴函數(shù)解析式為y＝2sin(2x＋eq\f(3π,4))．3．∵T＝eq\f(π,ω)＝eq\f(5π,6)－eq\f(π,6)，∴ω＝eq\f(3,2).∵eq\f(3,2)×eq\f(π,6)＋φ＝0，且－3＝Atan(eq\f(3,2)×0＋φ)，∴A＝3，φ＝－eq\f(π,4).故y＝3tan(eq\f(3,2)x－eq\f(π,4))．4．(1)t＝0時(shí)，s＝3，即離開平衡位置3厘米；(2)振幅為6，所以最右邊離平衡位置6厘米；(3)T＝1，即來回一次需要1秒鐘．5.將原函數(shù)化簡為f(x)＝sinx＋2|sinx|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3sinx，x∈[0，π]，,－sinx，x∈π，2π]，))由此可畫出圖8，圖8由數(shù)形結(jié)合可知，k的取值范圍為1＜k＜3.二、數(shù)學(xué)與音樂若干世紀(jì)以來，音樂和數(shù)學(xué)一直被聯(lián)系在一起．在中世紀(jì)時(shí)期，算術(shù)、幾何、天文和音樂都包括在教育課程之中．今天的新式計(jì)算機(jī)正在使這條紐帶綿延不斷．樂譜的書寫是表現(xiàn)數(shù)學(xué)對(duì)音樂的影響的第一個(gè)顯著的領(lǐng)域．在樂稿上，我們看到速度、節(jié)拍(4/4拍、3/4拍，等等)、全音符、二分音符、四分音符、八分音符、十六分音符，等等．書寫樂譜時(shí)確定每小節(jié)內(nèi)的某分音符數(shù)，與求公分母的過程相似——不同長度的音符必須與某一節(jié)拍所規(guī)定的小節(jié)相適應(yīng)．作曲家創(chuàng)作的音樂是在書寫出的樂譜的嚴(yán)密結(jié)構(gòu)中非常美麗而又毫不費(fèi)力地融為一體的．如果將一件完成了的作品加以分析，可見每一小節(jié)都使用不同長度的音符構(gòu)成規(guī)定的拍數(shù)．除了數(shù)學(xué)與樂譜的明顯關(guān)系外，音樂還與比率、指數(shù)曲線、周期函數(shù)和計(jì)算機(jī)科學(xué)相聯(lián)系．畢達(dá)哥拉斯學(xué)派(公元前585～前400)是最先用比率將音樂與數(shù)學(xué)聯(lián)系起來的．他們認(rèn)識(shí)到撥動(dòng)琴弦所產(chǎn)生的聲音與琴弦長度有關(guān)，從而發(fā)現(xiàn)了和聲與整數(shù)的關(guān)系．他們還發(fā)現(xiàn)諧聲是由長度成整數(shù)比的同樣繃緊的弦發(fā)出的——事實(shí)上被撥弦的每一和諧組合可表示成整數(shù)比．按整數(shù)比增加弦的長度，能產(chǎn)生整個(gè)音階．例如，從產(chǎn)生音符C的弦開始，C的16/15長度給出B，C的6/5長度給出A，C的4/3長度給出G，C的3/2長度給出F，C的8/5長度給出E，C的16/9長度給出D，C的2/1長度給出低音C.不管是弦樂器還是由空氣柱發(fā)聲的管樂器，它們的結(jié)構(gòu)都反映出一條指數(shù)曲線的形狀．19世紀(jì)數(shù)學(xué)家約翰·傅里葉的工作使樂聲性質(zhì)的研究達(dá)到頂點(diǎn)．他證明所有樂聲——器樂和聲樂——都可用數(shù)學(xué)式來描述，這些數(shù)學(xué)式是簡單的周期正弦函數(shù)的和．每一個(gè)聲音有三個(gè)性質(zhì)，即音高、音量和音質(zhì)，將它與其他樂聲區(qū)別開來．傅里葉的發(fā)現(xiàn)使聲音的這三個(gè)性質(zhì)可以在圖形上清楚地表示出來．音高與曲線的頻率有關(guān)，音量和音質(zhì)分別與周期函數(shù)的振幅和形狀有關(guān)．如果不了解音樂的數(shù)學(xué)，在計(jì)算機(jī)對(duì)于音樂創(chuàng)作和樂器設(shè)計(jì)的應(yīng)用方面就不可能有進(jìn)展．?dāng)?shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)，具體地說即周期函數(shù)，在樂器的現(xiàn)代設(shè)計(jì)和聲控計(jì)算機(jī)的設(shè)計(jì)方面是必不可少的．許多樂器制造者把他們的產(chǎn)品的周期聲音曲線與這些樂器的理想曲線相比較．電子音樂復(fù)制的保真度也與周期曲線密切相關(guān)．音樂家和數(shù)學(xué)家將繼續(xù)在音樂的產(chǎn)生和復(fù)制方面發(fā)揮著同等重要的作用．(設(shè)計(jì)者：鄭吉星)第2課時(shí)導(dǎo)入新課思路1.(作業(yè)導(dǎo)入)學(xué)生搜集、歸納到的現(xiàn)實(shí)生活中的周期現(xiàn)象有：物理情景的①簡單和諧運(yùn)動(dòng)，②星體的環(huán)繞運(yùn)動(dòng)；地理情景的①氣溫變化規(guī)律，②月圓與月缺；心理、生理現(xiàn)象的①情緒的波動(dòng)，②智力變化狀況，③體力變化狀況；日常生活現(xiàn)象的①漲潮與退潮，②股票變化等等．思路2.(復(fù)習(xí)導(dǎo)入)回憶上節(jié)課三角函數(shù)模型的簡單應(yīng)用例子，這節(jié)課我們繼續(xù)探究三角函數(shù)模型在日常生活中的一些簡單應(yīng)用．推進(jìn)新課eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(新知探究))三角函數(shù)性質(zhì)在生活中的應(yīng)用．本章章頭引言告訴我們，海水在月球和太陽引力作用下發(fā)生周期性漲落現(xiàn)象．回憶上節(jié)課的內(nèi)容，怎樣用上節(jié)課的方法從數(shù)學(xué)的角度來定量地解決這個(gè)問題呢？教師引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)、回憶、理清思路，查看上節(jié)的課下作業(yè)．教師指導(dǎo)、適時(shí)設(shè)問，調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)氣氛．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(應(yīng)用示例))例1貨船進(jìn)出港時(shí)間問題：海水受日月的引力，在一定的時(shí)候發(fā)生漲落的現(xiàn)象叫潮汐．一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐．在通常情況下，船在漲潮時(shí)駛進(jìn)航道，靠近碼頭；卸貨后落潮時(shí)返回海洋．下面是某港口在某季節(jié)每天的時(shí)間與水深關(guān)系表：時(shí)刻0：003：006：009：0012：0015：0018：0021：0024：00水深/米5.07.55.02.55.07.55.02.55.0(1)選用一個(gè)函數(shù)來近似描述這個(gè)港口的水深與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系，給出整點(diǎn)時(shí)的水深的近似數(shù)值(精確到0.001)．(2)一條貨船的吃水深度(船底與水面的距離)為4米，安全條例規(guī)定至少要有1.5米的安全間隙(船底與海底的距離)，該船何時(shí)能進(jìn)入港口？(3)若某船的吃水深度為4米，安全間隙為1.5米，該船在2：00開始卸貨，吃水深度以每小時(shí)0.3米的速度減少，那么該船在什么時(shí)間必須停止卸貨，將船駛向較深的水域？活動(dòng)：引導(dǎo)學(xué)生觀察上述問題表格中的數(shù)據(jù)，會(huì)發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？比如重復(fù)出現(xiàn)的幾個(gè)數(shù)據(jù)．并進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生作出散點(diǎn)圖．讓學(xué)生自己完成散點(diǎn)圖，提醒學(xué)生仔細(xì)、準(zhǔn)確地觀察散點(diǎn)圖，如圖9.圖9教師引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)散點(diǎn)的位置排列，思考可以用怎樣的函數(shù)模型來刻畫其中的規(guī)律．根據(jù)散點(diǎn)圖中的最高點(diǎn)、最低點(diǎn)和平衡點(diǎn)，學(xué)生很容易確定選擇三角函數(shù)模型．港口的水深與時(shí)間的關(guān)系可以用形如y＝Asin(ωx＋φ)＋h的函數(shù)來刻畫．其中x是時(shí)間，y是水深，我們可以根據(jù)數(shù)據(jù)確定相應(yīng)的A，ω，φ，h的值．這時(shí)注意引導(dǎo)學(xué)生與“五點(diǎn)法”相聯(lián)系．要求學(xué)生獨(dú)立操作完成，教師指導(dǎo)點(diǎn)撥，并糾正可能出現(xiàn)的錯(cuò)誤，直至無誤地求出解析式，進(jìn)而根據(jù)所得的函數(shù)模型，求出整點(diǎn)時(shí)的水深．根據(jù)學(xué)生所求得的函數(shù)模型，指導(dǎo)學(xué)生利用計(jì)算器進(jìn)行計(jì)算求解．注意引導(dǎo)學(xué)生正確理解題意，一天中有兩個(gè)時(shí)間段可以進(jìn)港．這時(shí)點(diǎn)撥學(xué)生思考：你所求出的進(jìn)港時(shí)間是否符合時(shí)間情況？如果不符合，應(yīng)怎樣修改？讓學(xué)生養(yǎng)成檢驗(yàn)的良好習(xí)慣．在本例的(3)中，應(yīng)保持港口的水深不小于船的安全水深，那么如何刻畫船的安全水深呢？引導(dǎo)學(xué)生思考，怎樣把此問題翻譯成函數(shù)模型？求貨船停止卸貨、將船駛向深水域的含義又是什么？教師引導(dǎo)學(xué)生將實(shí)際問題的意義轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)解釋，同時(shí)提醒學(xué)生注意貨船的安全水深、港口的水深同時(shí)在變，停止卸貨的時(shí)間應(yīng)當(dāng)在安全水深接近于港口水深的時(shí)候．進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生思考：根據(jù)問題的實(shí)際意義，貨船的安全水深正好等于港口的水深時(shí)停止卸貨行嗎？為什么？正確結(jié)論是什么？可讓學(xué)生思考、討論后再由教師組織學(xué)生進(jìn)行評(píng)價(jià)．通過討論或爭論，最后得出一致結(jié)論：在貨船的安全水深正好等于港口的水深時(shí)停止卸貨將船駛向較深水域是不行的，因?yàn)檫@樣不能保證貨船有足夠的時(shí)間發(fā)動(dòng)螺旋槳．解：(1)以時(shí)間為橫坐標(biāo)，水深為縱坐標(biāo)，在直角坐標(biāo)系中畫出散點(diǎn)圖(圖9)．根據(jù)圖象，可以考慮用函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)＋h刻畫水深與時(shí)間之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系．從數(shù)據(jù)和圖象可以得出：A＝2.5，h＝5，T＝12，φ＝0，由T＝eq\f(2π,ω)＝12，得ω＝eq\f(π,6).所以這個(gè)港口的水深與時(shí)間的關(guān)系可用y＝2.5sin(eq\f(π,6)x)＋5近似描述．由上述關(guān)系式易得港口在整點(diǎn)時(shí)水深的近似值：時(shí)刻0：001：002：003：004：005：006：007：008：009：0010：0011：00水深5.0006.2507.1657.57.1656.2505.0003.7542.8352.5002.8353.754時(shí)刻12：0013：0014：0015：0016：0017：0018：0019：0020：0021：0022：0023：00水深5.0006.2507.1657.57.1656.2505.0003.7542.8352.5002.8353.754(2)貨船需要的安全水深為4＋1.5＝5.5(米)，所以當(dāng)y≥5.5時(shí)就可以進(jìn)港．令2.5sin(eq\f(π,6)x)＋5≥5.5，得sineq\f(π,6)x≥0.2.畫出y＝sin(eq\f(π,6)x)的圖象，由圖象可得0．4≤x≤5.6或12.4≤x≤17.6.故該船在0：24至5：36和12：24至17：36期間可以進(jìn)港．圖10(3)設(shè)在時(shí)刻x貨船的安全水深為y，那么y＝5.5－0.3(x－2)(x≥2)．在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出這兩個(gè)函數(shù)的圖象，可以看到在6～7時(shí)之間兩個(gè)函數(shù)圖象有一個(gè)交點(diǎn)(如圖11)．圖11通過計(jì)算也可以得到這個(gè)結(jié)果．在6時(shí)的水深約為5米，此時(shí)貨船的安全水深約為4.3米；6.5時(shí)的水深約為4.2米，此時(shí)貨船的安全水深約為4.1米；7時(shí)的水深約為3.8米，而貨船的安全水深約為4米．因此為了安全，貨船最好在6.7時(shí)之前停止卸貨，將船駛向較深的水域．點(diǎn)評(píng)：本例是研究港口海水深度隨時(shí)間呈周期性變化的問題，題目只給出了時(shí)間與水深的關(guān)系表，要想由此表直接得到函數(shù)模型是很困難的．對(duì)第(2)問的解答，教師需要強(qiáng)調(diào)，建立數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題，所得的模型是近似的，并且得到的解也是近似的．這就需要根據(jù)實(shí)際背景對(duì)問題的解進(jìn)行具體的分析．如本例中，一天中有兩個(gè)時(shí)間段可以進(jìn)港，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)問題的實(shí)際意義，對(duì)答案的合理性作出解釋.變式訓(xùn)練發(fā)電廠發(fā)出的電是三相交流電，它的三根導(dǎo)線上的電流強(qiáng)度分別是時(shí)間t的函數(shù)，IA＝Isinωt，IB＝Isin(ωt＋120°)，IC＝Isin(ωt＋240°)，則IA＋I(xiàn)B＋I(xiàn)C＝__________.答案：0例2已知函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0,0≤φ≤π)為偶函數(shù)，且其圖象上相鄰的一個(gè)最高點(diǎn)和最低點(diǎn)之間的距離為eq\r(4＋π2).(1)求函數(shù)f(x)的解析式；(2)若sinx＋f(x)＝eq\f(2,3)，求sinxcosx的值．解：(1)∵f(x)為偶函數(shù)，∴f(－x)＝f(x)，即sin(－ωx＋φ)＝sin(ωx＋φ)．∴φ＝eq\f(π,2).∴f(x)＝sin(ωx＋eq\f(π,2))＝cosωx.相鄰兩點(diǎn)P(x0,1)，Q(x0＋eq\f(π,ω)，－1)．由題意，|PQ|＝eq\r(\f(π,ω)2＋4)＝eq\r(π2＋4)，解得ω＝1.∴f(x)＝cosx.(2)由sinx＋f(x)＝eq\f(2,3)，得sinx＋cosx＝eq\f(2,3).兩邊平方，得sinxcosx＝－eq\f(5,18).例3小明在直角坐標(biāo)系中，用1cm代表一個(gè)單位長度作出了一條正弦曲線的圖象．若他將縱坐標(biāo)改用2cm代表一個(gè)單位長度，橫坐標(biāo)不變，那么他所作的曲線的函數(shù)解析式是什么？若他將橫坐標(biāo)改用2cm代表一個(gè)單位長度，而縱坐標(biāo)不變，那么他所作的曲線的函數(shù)解析式又是什么？解：小明原作的曲線為y＝sinx，x∈R，由于縱坐標(biāo)改用了2cm代表一個(gè)單位長度，與原來1cm代表一個(gè)單位長度比較，單位長度增加到原來的2倍，所以原來的1cm只能代表eq\f(1,2)個(gè)單位長度了．由于橫坐標(biāo)沒有改變，曲線形狀沒有變化，而原曲線圖象的解析式變?yōu)閥＝eq\f(1,2)sinx，x∈R.同理，若縱坐標(biāo)保持不變，橫坐標(biāo)改用2cm代表一個(gè)單位長度，則橫坐標(biāo)被壓縮到原來的eq\f(1,2)，原曲線周期就由2π變?yōu)棣?故改變橫坐標(biāo)后，原曲線圖象的解析式變?yōu)閥＝sin2x，x∈R.例4求方程lgx＝sinx實(shí)根的個(gè)數(shù)．解：由方程式模型構(gòu)建圖象模型．在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)y＝lgx和y＝sinx的圖象，如圖12.可知原方程的解的個(gè)數(shù)為3.圖12點(diǎn)評(píng)：單解方程是很困難的，而根據(jù)方程式模型構(gòu)建圖象模型，利用數(shù)形結(jié)合來解就容易多了，教師要讓學(xué)生熟練掌握這一方法．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(知能訓(xùn)練))課本習(xí)題1.314.eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(課堂小結(jié)))1．讓學(xué)生回顧本節(jié)課的數(shù)學(xué)模型都解決了哪些現(xiàn)實(shí)生活中的問題，用三角函數(shù)模型刻畫周期變化規(guī)律對(duì)國家建設(shè)、制定未來計(jì)劃，以及我們的學(xué)習(xí)、生活都發(fā)揮著什么樣的作用．2．三角函數(shù)應(yīng)用題通常涉及生產(chǎn)、生活、軍事、天文、地理和物理等實(shí)際問題，其解答流程大致是：審讀題意→設(shè)角建立三角式→進(jìn)行三角變換→解決實(shí)際問題．在解決實(shí)際問題時(shí)，要學(xué)會(huì)具體問題具體分析，充分運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想，靈活地運(yùn)用三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)解決現(xiàn)實(shí)問題．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(作業(yè)))課本習(xí)題1.313.eq\o(\s\up7(),\s\do5(設(shè)計(jì)感想))1．本節(jié)是三角函數(shù)內(nèi)容中新增加的一節(jié)，目的是加強(qiáng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)，本節(jié)教案設(shè)計(jì)的指導(dǎo)思想，是讓學(xué)生圍繞著采集到的數(shù)據(jù)展開討論，在學(xué)生思考探究的過程中，學(xué)會(huì)積極冷靜地對(duì)待陌生背景，正確處理復(fù)雜數(shù)據(jù)以及準(zhǔn)確分析問題中的數(shù)量關(guān)系，這很符合新課改理念．2．現(xiàn)實(shí)生活中的問題是多變的，學(xué)生的思維是發(fā)散的，觀察的視角又是多樣的，因此課題教學(xué)中，教師要善于挖掘并發(fā)現(xiàn)學(xué)生思維的閃光點(diǎn)，通過討論例題這個(gè)載體，充分激發(fā)學(xué)生的潛能，讓學(xué)生從觀察