新高考藝術(shù)生40天突破數(shù)學(xué)90分講義第34講圓的方程(原卷版+解析)

第34講圓的方程【知識(shí)點(diǎn)總結(jié)】一、基本概念 平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合（軌跡）叫圓.二、基本性質(zhì)、定理與公式 1.圓的四種方程 （1）圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：，圓心坐標(biāo)為(a,b)，半徑為（2）圓的一般方程：，圓心坐標(biāo)為，半徑（3）圓的直徑式方程：若，則以線段AB為直徑的圓的方程是（4）圓的參數(shù)方程：①的參數(shù)方程為（為參數(shù)）；②的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.注對(duì)于圓的最值問(wèn)題，往往可以利用圓的參數(shù)方程將動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)設(shè)為（為參數(shù)，(a,b)為圓心，r為半徑），以減少變量的個(gè)數(shù)，建立三角函數(shù)式，從而把代數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角問(wèn)題，然后利用正弦型或余弦型函數(shù)的有界性求解最值.2.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系判斷（1）點(diǎn)與圓的位置關(guān)系：①點(diǎn)P在圓外；②點(diǎn)P在圓上；③點(diǎn)P在圓內(nèi).（2）點(diǎn)與圓的位置關(guān)系：①點(diǎn)P在圓外；②點(diǎn)P在圓上；點(diǎn)P在圓內(nèi).三、直線與圓的位置關(guān)系直線與圓的位置關(guān)系有3種，相離，相切和相交直線與圓的位置關(guān)系判斷1.幾何法（圓心到直線的距離和半徑關(guān)系）圓心到直線的距離，則：則直線與圓相交，交于兩點(diǎn)，；直線與圓相切；直線與圓相離2.代數(shù)方法（幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題即交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程根個(gè)數(shù)）由，消元得到一元二次方程，判別式為，則：則直線與圓相交；直線與圓相切；直線與圓相離.五、兩圓位置關(guān)系的判斷用兩圓的圓心距與兩圓半徑的和差大小關(guān)系確定，具體是：設(shè)兩圓的半徑分別是，（不妨設(shè)），且兩圓的圓心距為，則：則兩圓相交；兩圓外切；兩圓相離兩圓內(nèi)切；兩圓內(nèi)含（時(shí)兩圓為同心圓）【典型例題】例1．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)（文））已知圓C的圓心在直線上，且與直線相切于點(diǎn)，則圓C方程為（）A． B．C． D．例2．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）點(diǎn)在圓上，點(diǎn)在圓上，則（）A．的最小值為B．兩圓公切線有兩條C．兩個(gè)圓心所在的直線斜率為D．兩個(gè)圓相交弦所在直線的方程為例3．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）求圓心在直線上，且過(guò)兩圓，交點(diǎn)的圓的方程．例4．（2021·湖南·攸縣第三中學(xué)高三階段練習(xí)）已知圓的方程：.（1）求的取值范圍；（2）當(dāng)圓過(guò)A(1，1)時(shí)，求直線被圓所截得的弦的長(zhǎng).例5．（2020·江蘇·高三專題練習(xí)）的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)是求它的外接圓的方程．例6．（2020·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知圓C：（x+2）2+y2＝5，直線l：mx﹣y+1+2m＝0，m∈R.（1）判斷直線與圓的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；（2）若直線與圓交于兩點(diǎn)，求弦AB的中點(diǎn)M的軌跡方程.例7．（2021·全國(guó)·高三專題練習(xí)（理））已知點(diǎn)，點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng).（1）求過(guò)點(diǎn)且被圓截得的弦長(zhǎng)為的直線方程；（2）求的最值.例8．（2021·遼寧·沈陽(yáng)二中高三階段練習(xí)）已知圓C1：x2＋y2＋6x－4＝0和圓C2：x2＋y2＋6y－28＝0.（1）求兩圓公共弦所在直線的方程；（2）求經(jīng)過(guò)兩圓交點(diǎn)且圓心在直線x－y－4＝0上的圓的方程.例9．（2021·全國(guó)·高三專題練習(xí)）求與圓切于點(diǎn)，且過(guò)點(diǎn)的圓的方程.例10．（2021·全國(guó)·高三專題練習(xí)（理））已知點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足.（1）求點(diǎn)的軌跡的方程；（2）求經(jīng)過(guò)點(diǎn)以及曲線與交點(diǎn)的圓的方程.【技能提升訓(xùn)練】一、單選題1．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)（理））己知圓C經(jīng)過(guò)A（5，2），B（－1，4）兩點(diǎn)，圓心在x軸上，則圓C的方程是（）A．（x－2）2+y2=13 B．（x+2）2+y2=17C．（x+1）2+y2=40 D．（x－1）2+y2=202．（2021·新疆昌吉·高三階段練習(xí)（理））圓關(guān)于直線對(duì)稱的圓的方程為（）A． B．C． D．3．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)（理））若圓的半徑為，圓心在第一象限，且與直線和軸都相切，則該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是（）A． B．C． D．4．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）過(guò)點(diǎn)，，且圓心在直線上的圓的方程是（）A． B．C． D．5．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）以點(diǎn)為圓心，且與直線相切的圓的方程為（）A． B．C． D．6．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）圓與圓的位置關(guān)系為（）A．內(nèi)含 B．外離 C．相交 D．相切7．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若直線與圓相切，則的值為（）A． B． C． D．8．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）直線與軸，軸分別交于點(diǎn)，，以線段為直徑的圓的方程為（）A． B．C． D．9．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）與圓的公切線有（）A．1條 B．2條C．3條 D．4條10．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）圓的圓心到直線的距離為1，則A． B． C． D．211．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若方程表示圓，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（）A． B． C． D．12．（2022·江蘇·高三專題練習(xí)）若點(diǎn)在圓的外部，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．13．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，四點(diǎn)坐標(biāo)分別為，若它們都在同一個(gè)圓周上，則a的值為（）A．0 B．1 C．2 D．14．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)（文））圓心在軸上，且過(guò)點(diǎn)的圓與軸相切，則該圓的方程是（）A． B．C． D．15．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知直線，若圓上存在兩點(diǎn)，關(guān)于直線對(duì)稱，則的值為（）A． B．C． D．16．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）直線與圓的位置關(guān)系是（）A．相離 B．相交 C．相切 D．不確定17．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若過(guò)點(diǎn)有兩條直線與圓相切，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A． B． C． D．18．（2021·全國(guó)·高三階段練習(xí)（文））已知點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，則的最小值為（）A． B． C． D．19．（2021·全國(guó)·高三專題練習(xí)（理））已知圓上的點(diǎn)到直線的距離的最大值是，最小值是，則（）A． B． C． D．20．（2022·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）為任意實(shí)數(shù)時(shí)，直線被圓截得的弦長(zhǎng)是A．8 B．4 C．2 D．與有關(guān)的值21．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)A的坐標(biāo)是（-1，0），點(diǎn)M滿足|MA|=2，那么M點(diǎn)的軌跡方程是（）A．x2+y2+2x-3=0 B．x2+y2-2x-3=0 C．x2+y2+2y-3=0 D．x2+y2-2y-3=022．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)（文））已知點(diǎn)，點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足（為坐標(biāo)原點(diǎn)），過(guò)點(diǎn)的直線被動(dòng)點(diǎn)的軌跡曲線截得的所有弦中最短弦所在的直線方程為（）A． B．C． D．23．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）圓到直線的距離為的點(diǎn)有（）A．個(gè) B．個(gè)C．個(gè) D．個(gè)24．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）直線：與圓：的位置關(guān)系是（）A．相交 B．相切 C．相離 D．不確定25．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）過(guò)點(diǎn)的直線l與圓相切，則直線l的方程是（）A．或 B．C．或 D．26．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知圓與直線切于點(diǎn)，則直線的方程為（）A． B．C． D．27．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）過(guò)點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，，則A． B． C． D．28．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，直線，為上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作的切線，切點(diǎn)為，則的最小值為（）A．1 B． C．2 D．29．（2021·江西·高三階段練習(xí)（文））已知圓О的方程為，過(guò)圓О外一點(diǎn)作圓O的兩條切線PA，PB，切點(diǎn)分別為A，B，則直線AB的方程為（）A． B．C． D．30．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）過(guò)點(diǎn)作直線與圓相切于、兩點(diǎn)，則直線的方程為（）A． B． C． D．31．（2021·江蘇常州·一模）過(guò)圓：外一點(diǎn)作圓的切線，切點(diǎn)分別為、，則（）A．2 B． C． D．332．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知直線與圓相切，則m的值為（）A．3或 B．1或C．0或4 D．或033．（2022·河北張家口·高三期末）直線與圓交于、兩點(diǎn)，則（）A． B． C． D．34．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若點(diǎn)為圓的弦的中點(diǎn)，則弦所在直線的方程為（）A． B． C． D．35．（2019·天津·耀華中學(xué)高三階段練習(xí)）已知圓：和直線：；若直線與圓相交于，兩點(diǎn)，的面積為2，則值為（）A．-1或3 B．1或5 C．-1或-5 D．2或636．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）圓C1：(x-2)2+(y-4)2＝9與圓C2：(x-5)2+y2＝16的公切線條數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．437．（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）圓心在直線x﹣y﹣4＝0上，且經(jīng)過(guò)兩圓x2+y2﹣4x﹣3＝0，x2+y2﹣4y﹣3＝0的交點(diǎn)的圓的方程為（）A．x2+y2﹣6x+2y﹣3＝0 B．x2+y2+6x+2y﹣3＝0C．x2+y2﹣6x﹣2y﹣3＝0 D．x2+y2+6x﹣2y﹣3＝038．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若圓與圓外切，則（）A． B． C． D．39．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）圓與圓公共弦所在直線的方程為（）A． B． C． D．40．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）圓：與圓：交于、兩點(diǎn)，則（）A．6 B．5 C． D．41．（2022·上海·高三專題練習(xí)）已知圓上到直線的距離等于1的點(diǎn)恰有3個(gè)，則實(shí)數(shù)的值為A．或 B． C． D．或42．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)（理））已知圓上有且只有兩個(gè)點(diǎn)到直線的距離等于，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．43．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若圓：上有四個(gè)不同的點(diǎn)到直線：的距離為2，則的取值不可能是（）A．-15 B．13 C．15 D．044．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)（文））若圓上有且僅有兩個(gè)點(diǎn)到直線的距離等于2，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A． B．C． D．二、多選題45．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知圓的一般方程為，則下列說(shuō)法正確的是（）A．圓的圓心為 B．圓的半徑為5C．圓被軸截得的弦長(zhǎng)為6 D．圓被軸截得的弦長(zhǎng)為646．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，M為圓上的動(dòng)點(diǎn)，則線段的長(zhǎng)可能為（）A．3 B．5 C．7 D．947．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若P是圓上任一點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線的距離可以為（）A．2 B．4 C．6 D．848．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）圓與圓有且僅有兩條公切線，實(shí)數(shù)的值可以?。ǎ〢． B． C． D．49．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知圓，圓，則下列是圓與圓的公切線的直線方程為（）A． B．C． D．三、雙空題50．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知方程為，則圓心坐標(biāo)為_(kāi)_______，圓半徑為_(kāi)_________．四、填空題51．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知圓心在第一象限的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，圓心在直線上，且半徑為5，則此圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)__________．52．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知圓C和直線相切于點(diǎn)，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則圓C的方程為_(kāi)__________.53．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）圓關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱的圓的方程為_(kāi)__________.54．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知三個(gè)點(diǎn)，，，則的外接圓的圓心坐標(biāo)是___________.55．（2022·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）若圓關(guān)于直線對(duì)稱，則該圓的半徑為_(kāi)_________56．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）兩圓x2＋y2－6x＋6y－48＝0與x2＋y2＋4x－8y－44＝0公切線的條數(shù)是________．57．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知直線l：kx﹣y﹣2k+2＝0與圓C：x2+y2﹣2x﹣6y+6＝0相交于A，B兩點(diǎn)，則|AB|的最小值為_(kāi)_____________．58．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知圓上一定點(diǎn)，為圓上的動(dòng)點(diǎn)，則線段中點(diǎn)的軌跡方程為_(kāi)_____________．59．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知圓，則直線和圓的位置關(guān)系為_(kāi)__________.60．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知圓O：則，過(guò)點(diǎn)作圓的切線，則切線的方程為_(kāi)__________.61．（2021·江蘇省如皋中學(xué)高三開(kāi)學(xué)考試）已知點(diǎn)Q是直線：上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)Q作圓：的切線，切點(diǎn)分別為A，B，則切點(diǎn)弦AB所在直線恒過(guò)定點(diǎn)___________.62．（2022·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）若斜率為的直線與軸交于點(diǎn)，與圓相切于點(diǎn)，則____________．63．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知直線x－y＋8＝0和圓x2＋y2＝25相交于A，B兩點(diǎn)，則|AB|＝__________.64．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若圓被直線所截得的弦長(zhǎng)為，則實(shí)數(shù)的值是______．65．（2022·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）已知直線與圓相交于A?B兩點(diǎn)，且，則直線l的傾斜角為_(kāi)__________.66．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知過(guò)點(diǎn)且斜率為k的直線l，與圓C：交于M，N兩點(diǎn)，若弦的長(zhǎng)是2，則k的值是________．67．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知圓截直線所得弦長(zhǎng)是，則的值為_(kāi)_____．68．（2021·河北秦皇島·二模）已知直線與圓相交于A，B兩點(diǎn)，則面積為_(kāi)__________.五、解答題69．（2021·山東·鄒平市第一中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）已知直線經(jīng)過(guò)兩條直線和的交點(diǎn)，且與直線垂直．（1）求直線的一般式方程；（2）若圓的圓心為點(diǎn)，直線被該圓所截得的弦長(zhǎng)為，求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．70．（2020·西藏·林芝市第二高級(jí)中學(xué)高三階段練習(xí)（文））已知圓心為C（4，3）的圓經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O．（1）求圓C的方程；（2）設(shè)直線3x﹣4y+15＝0與圓C交于A，B兩點(diǎn)，求△ABC的面積．71．（2021·山西·天鎮(zhèn)縣實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二期中）已知圓和圓.（1）試判斷兩圓的位置關(guān)系；（2）求公共弦所在直線的方程；（3）求公共弦的長(zhǎng)度.第34講圓的方程【知識(shí)點(diǎn)總結(jié)】一、基本概念 平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合（軌跡）叫圓.二、基本性質(zhì)、定理與公式 1.圓的四種方程 （1）圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：，圓心坐標(biāo)為(a,b)，半徑為（2）圓的一般方程：，圓心坐標(biāo)為，半徑（3）圓的直徑式方程：若，則以線段AB為直徑的圓的方程是（4）圓的參數(shù)方程：①的參數(shù)方程為（為參數(shù)）；②的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.注對(duì)于圓的最值問(wèn)題，往往可以利用圓的參數(shù)方程將動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)設(shè)為（為參數(shù)，(a,b)為圓心，r為半徑），以減少變量的個(gè)數(shù)，建立三角函數(shù)式，從而把代數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角問(wèn)題，然后利用正弦型或余弦型函數(shù)的有界性求解最值.2.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系判斷（1）點(diǎn)與圓的位置關(guān)系：①點(diǎn)P在圓外；②點(diǎn)P在圓上；③點(diǎn)P在圓內(nèi).（2）點(diǎn)與圓的位置關(guān)系：①點(diǎn)P在圓外；②點(diǎn)P在圓上；點(diǎn)P在圓內(nèi).三、直線與圓的位置關(guān)系直線與圓的位置關(guān)系有3種，相離，相切和相交直線與圓的位置關(guān)系判斷1.幾何法（圓心到直線的距離和半徑關(guān)系）圓心到直線的距離，則：則直線與圓相交，交于兩點(diǎn)，；直線與圓相切；直線與圓相離2.代數(shù)方法（幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題即交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程根個(gè)數(shù)）由，消元得到一元二次方程，判別式為，則：則直線與圓相交；直線與圓相切；直線與圓相離.五、兩圓位置關(guān)系的判斷用兩圓的圓心距與兩圓半徑的和差大小關(guān)系確定，具體是：設(shè)兩圓的半徑分別是，（不妨設(shè)），且兩圓的圓心距為，則：則兩圓相交；兩圓外切；兩圓相離兩圓內(nèi)切；兩圓內(nèi)含（時(shí)兩圓為同心圓）【典型例題】例1．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)（文））已知圓C的圓心在直線上，且與直線相切于點(diǎn)，則圓C方程為（）A． B．C． D．【答案】C【詳解】設(shè)圓心為，則圓心與點(diǎn)的連線與直線l垂直，即，則點(diǎn)，所以圓心為，半徑，所以方程為，故選：C例2．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）點(diǎn)在圓上，點(diǎn)在圓上，則（）A．的最小值為B．兩圓公切線有兩條C．兩個(gè)圓心所在的直線斜率為D．兩個(gè)圓相交弦所在直線的方程為【答案】AC【詳解】由圓的方程知：圓的圓心，半徑；圓的圓心，半徑；，兩圓外切；對(duì)于A，若重合，為兩圓的切點(diǎn)，則，A正確；對(duì)于B，兩圓外切，則公切線有條，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，C正確；對(duì)于D，兩圓相外切，兩個(gè)圓不存在相交弦，D錯(cuò)誤.故選：AC.例3．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）求圓心在直線上，且過(guò)兩圓，交點(diǎn)的圓的方程．【詳解】依題意可得，圓心在圓和圓公共弦的垂直平分線上．聯(lián)立，解得，則兩圓交點(diǎn)為，則其公共弦的垂直平分線為，即所以圓心是直線與直線的交點(diǎn)，聯(lián)立，解得．則圓半徑所以圓方程為例4．（2021·湖南·攸縣第三中學(xué)高三階段練習(xí)）已知圓的方程：.（1）求的取值范圍；（2）當(dāng)圓過(guò)A(1，1)時(shí)，求直線被圓所截得的弦的長(zhǎng).【詳解】解：（1）圓的方程可化為令得（2）∵圓過(guò)A(1，1)代入得，圓方程為圓心(1，2)，半徑,圓心(1，2)到直線的距離為∴.例5．（2020·江蘇·高三專題練習(xí)）的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)是求它的外接圓的方程．【詳解】設(shè)所求圓的方程為：，則圓經(jīng)過(guò)三點(diǎn)，解之得.所以所求圓的方程為：.例6．（2020·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知圓C：（x+2）2+y2＝5，直線l：mx﹣y+1+2m＝0，m∈R.（1）判斷直線與圓的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；（2）若直線與圓交于兩點(diǎn)，求弦AB的中點(diǎn)M的軌跡方程.【詳解】（1）直線：，也即，故直線恒過(guò)定點(diǎn)，又，故點(diǎn)在圓內(nèi)，此時(shí)直線一定與圓相交.（2）設(shè)點(diǎn)，當(dāng)直線斜率存在時(shí)，，又，，即，化簡(jiǎn)可得：；當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，顯然中點(diǎn)的坐標(biāo)為也滿足上述方程.故點(diǎn)的軌跡方程為：.例7．（2021·全國(guó)·高三專題練習(xí)（理））已知點(diǎn)，點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng).（1）求過(guò)點(diǎn)且被圓截得的弦長(zhǎng)為的直線方程；（2）求的最值.【詳解】(1)依題意,直線的斜率存在,因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)且被圓截得的弦長(zhǎng)為,所以圓心到直線的距離為,設(shè)直線方程為,即,所以,解得或所以直線方程為或.(2)設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為則.因?yàn)?所以,即的最大值為88,最小值為72.例8．（2021·遼寧·沈陽(yáng)二中高三階段練習(xí)）已知圓C1：x2＋y2＋6x－4＝0和圓C2：x2＋y2＋6y－28＝0.（1）求兩圓公共弦所在直線的方程；（2）求經(jīng)過(guò)兩圓交點(diǎn)且圓心在直線x－y－4＝0上的圓的方程.【詳解】解：（1）設(shè)兩圓交點(diǎn)為A(x1，y1)，B(x2，y2)，則A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)是方程組的解，兩式相減得x－y＋4＝0，A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)都滿足此方程，x－y＋4＝0即為兩圓公共弦所在直線的方程；(2)解方程組得兩圓的交點(diǎn)A(－1，3)，B(－6，－2)，設(shè)所求圓的圓心為(a，b)，因?yàn)閳A心在直線x－y－4＝0上，所以b＝a－4，則＝，解得a＝，所以圓心為，半徑為，所以圓的方程為＋＝，即x2＋y2－x＋7y－32＝0.例9．（2021·全國(guó)·高三專題練習(xí)）求與圓切于點(diǎn)，且過(guò)點(diǎn)的圓的方程.【詳解】設(shè)與圓切于點(diǎn)的圓系方程為：.以點(diǎn)代入，求得.，化簡(jiǎn)即得所求圓的方程為.例10．（2021·全國(guó)·高三專題練習(xí)（理））已知點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足.（1）求點(diǎn)的軌跡的方程；（2）求經(jīng)過(guò)點(diǎn)以及曲線與交點(diǎn)的圓的方程.【詳解】(1)設(shè),因?yàn)?,所以,整理得,所以曲線的方程為.(2)設(shè)所求方程為,即,將代入上式得,解得,所以所求圓的方程為.【技能提升訓(xùn)練】一、單選題1．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)（理））己知圓C經(jīng)過(guò)A（5，2），B（－1，4）兩點(diǎn)，圓心在x軸上，則圓C的方程是（）A．（x－2）2+y2=13 B．（x+2）2+y2=17C．（x+1）2+y2=40 D．（x－1）2+y2=20【答案】D【分析】設(shè)圓心坐標(biāo)為，由圓心到距離相等求得，然后再求出半徑后可得．【詳解】由題意，設(shè)圓心坐標(biāo)為，則，解得，圓半徑為．所以圓方程為．故選：D．2．（2021·新疆昌吉·高三階段練習(xí)（理））圓關(guān)于直線對(duì)稱的圓的方程為（）A． B．C． D．【答案】C【分析】圓關(guān)于直線的對(duì)稱圓問(wèn)題，第一步求圓心關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，半徑不變，第二步直接寫(xiě)出圓的方程.【詳解】圓的圓心半徑為，由得設(shè)對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為，利用兩圓心的連線與直線垂直，兩圓心的中點(diǎn)在直線上列方程求解，，化簡(jiǎn)得，解得所以對(duì)稱圓的方程為.故選:C.3．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)（理））若圓的半徑為，圓心在第一象限，且與直線和軸都相切，則該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】由題意可設(shè)圓心坐標(biāo)為，其中，利用圓心到直線的距離等于圓的半徑可求得正數(shù)的值，由此可得出圓的方程.【詳解】由題意可設(shè)圓心坐標(biāo)為，其中，因?yàn)閳A與直線相切，則，因?yàn)?，解得，因此，圓的方程為.故選：A.4．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）過(guò)點(diǎn)，，且圓心在直線上的圓的方程是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】先求得線段AB的中垂線的方程，再根據(jù)圓心又在直線上求得圓心，圓心到點(diǎn)A的距離為半徑，可得圓的方程．【詳解】因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)與，所以線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為，，所以線段AB的中垂線的斜率為，所以線段AB的中垂線的方程為，又因?yàn)閳A心在直線上，所以，解得，所以圓心為，所以圓的方程為.故選：A5．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）以點(diǎn)為圓心，且與直線相切的圓的方程為（）A． B．C． D．【答案】D【分析】由圓心到切線距離等于半徑求得圓半徑后可得圓方程．【詳解】因直線與圓相切，所以圓的半徑等于點(diǎn)到直線的距離，即，則所求圓的方程為.故選：D．6．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）圓與圓的位置關(guān)系為（）A．內(nèi)含 B．外離 C．相交 D．相切【答案】D【分析】根據(jù)兩個(gè)圓的圓心距與兩個(gè)半徑的關(guān)系，即可判斷兩個(gè)圓的位置關(guān)系．【詳解】因?yàn)閳A與圓所以兩個(gè)圓的圓心距兩個(gè)圓的半徑分別為因?yàn)?，所以兩個(gè)圓相切.故選：D7．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若直線與圓相切，則的值為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式，求出圓心到直線的距離，令其等于半徑即可求出的值【詳解】圓心坐標(biāo)為，半徑為，圓心到直線的距離，因?yàn)?，所以，所以故選：A8．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）直線與軸，軸分別交于點(diǎn)，，以線段為直徑的圓的方程為（）A． B．C． D．【答案】A【分析】由已知得，的坐標(biāo)，進(jìn)而得圓心坐標(biāo)和半徑，寫(xiě)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，然后化為一般方程即可.【詳解】由直線截距式方程知：，，所以中點(diǎn)坐標(biāo)為，且，所以以為直徑的圓的圓心為，半徑為，所以以線段為直徑的圓的方程為，化為一般方程為.故選：A.9．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）與圓的公切線有（）A．1條 B．2條C．3條 D．4條【答案】D【分析】判斷出兩圓的位置關(guān)系即可得到答案.【詳解】由題意，兩圓的標(biāo)準(zhǔn)式分別為，，則圓心和半徑分別為，，所以,，則，故兩圓相離，一共有4條公切線.故選：D.10．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）圓的圓心到直線的距離為1，則A． B． C． D．2【答案】A【詳解】試題分析：由配方得，所以圓心為，因?yàn)閳A的圓心到直線的距離為1，所以，解得，故選A.【考點(diǎn)】圓的方程，點(diǎn)到直線的距離公式【名師點(diǎn)睛】直線與圓的位置關(guān)系有三種情況：相交、相切和相離.已知直線與圓的位置關(guān)系時(shí)，常用幾何法將位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為圓心到直線的距離d與半徑r的大小關(guān)系，以此來(lái)確定參數(shù)的值或取值范圍．11．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若方程表示圓，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)，解不等式即可求解.【詳解】由方程表示圓，則，解得.所以實(shí)數(shù)m的取值范圍為.故選：D12．（2022·江蘇·高三專題練習(xí)）若點(diǎn)在圓的外部，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由于點(diǎn)在圓的外部，所以，從而可求出的取值范圍【詳解】解：由題意得，解得，故選：C．13．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，四點(diǎn)坐標(biāo)分別為，若它們都在同一個(gè)圓周上，則a的值為（）A．0 B．1 C．2 D．【答案】C【分析】設(shè)出圓的一般式，根據(jù)求出，然后將點(diǎn)帶入圓的方程即可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)圓的方程為，由題意得，解得，所以，又因?yàn)辄c(diǎn)在圓上，所以，即.故選：C.14．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)（文））圓心在軸上，且過(guò)點(diǎn)的圓與軸相切，則該圓的方程是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意設(shè)圓心坐標(biāo)，建立方程，求解即可.【詳解】解：設(shè)圓心坐標(biāo)為，因?yàn)閳A心在軸上且圓與軸相切，所以即為半徑,則根據(jù)題意得：，解得，所以圓心坐標(biāo)為：，半徑為5，該圓的方程是,展開(kāi)得：.故選：C.15．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知直線，若圓上存在兩點(diǎn)，關(guān)于直線對(duì)稱，則的值為（）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)圓上存在兩點(diǎn)，關(guān)于直線對(duì)稱，可得直線過(guò)圓心，將圓心坐標(biāo)代入直線方程即可得出答案.【詳解】解：因?yàn)閳A，所以圓C的圓心坐標(biāo)為，又因?yàn)閳A上存在兩點(diǎn)，關(guān)于直線對(duì)稱，所以直線過(guò)圓心，則，解得.故選：D.16．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）直線與圓的位置關(guān)系是（）A．相離 B．相交 C．相切 D．不確定【答案】B【分析】求出直線恒過(guò)的定點(diǎn)，判斷定點(diǎn)與圓的位置關(guān)系即可求解.【詳解】解：直線，即，由得，所以直線恒過(guò)定點(diǎn)，因?yàn)?，所以定點(diǎn)在圓內(nèi)，所以直線與圓相交，故選：B.17．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若過(guò)點(diǎn)有兩條直線與圓相切，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A． B． C． D．【答案】D【分析】由于有兩條直線與圓相切，所以可知點(diǎn)在圓外；由點(diǎn)與圓的位置關(guān)系及圓的判斷條件，可得m的取值范圍．【詳解】圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)式為因?yàn)辄c(diǎn)有兩條直線與圓相切所以點(diǎn)在圓外所以解不等式組得所以選D【點(diǎn)睛】本題考查了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系及其簡(jiǎn)單應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．18．（2021·全國(guó)·高三階段練習(xí)（文））已知點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，則的最小值為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】將的最小值問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為圓心到直線距離的最小值減去圓的半徑，利用點(diǎn)到直線的距離公式即可求得結(jié)果.【詳解】點(diǎn)在圓上，點(diǎn)在直線上，故的最小值可以轉(zhuǎn)化為圓心到直線的距離減去半徑，又圓的圓心為，半徑為，則.故選：.19．（2021·全國(guó)·高三專題練習(xí)（理））已知圓上的點(diǎn)到直線的距離的最大值是，最小值是，則（）A． B． C． D．【答案】A【分析】先求得圓心到直線的距離d，再由圓上的點(diǎn)到該直線的距離的最大值為，最小值為求解.【詳解】圓即圓，圓心到直線的距離，圓上的點(diǎn)到該直線的距離的最大值，最小值，，故選：．20．（2022·上海·高三專題練習(xí)）為任意實(shí)數(shù)時(shí)，直線被圓截得的弦長(zhǎng)是A．8 B．4 C．2 D．與有關(guān)的值【答案】B【分析】先根據(jù)圓的方程求得圓心坐標(biāo)和半徑，根據(jù)直線方程可知，圓心在直線上，推斷出直線被圓截得的弦長(zhǎng)正好為圓的直徑，答案可得．【詳解】解：根據(jù)圓的方程可知圓心為（1，1），半徑為2，直線方程，所以直線過(guò)定點(diǎn)，即直線過(guò)圓的圓心，所以直線被圓截得的弦長(zhǎng)正好為圓的直徑4故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線和圓的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是推斷直線過(guò)定點(diǎn)，屬于基礎(chǔ)題.21．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)A的坐標(biāo)是（-1，0），點(diǎn)M滿足|MA|=2，那么M點(diǎn)的軌跡方程是（）A．x2+y2+2x-3=0 B．x2+y2-2x-3=0 C．x2+y2+2y-3=0 D．x2+y2-2y-3=0【答案】A【分析】設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用已知條件列出方程化簡(jiǎn)求解即可．【詳解】解：設(shè)，點(diǎn)的坐標(biāo)是，點(diǎn)滿足，可得：，即：，所以M點(diǎn)的軌跡方程是.故選：A．22．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)（文））已知點(diǎn)，點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足（為坐標(biāo)原點(diǎn)），過(guò)點(diǎn)的直線被動(dòng)點(diǎn)的軌跡曲線截得的所有弦中最短弦所在的直線方程為（）A． B．C． D．【答案】A【分析】設(shè)，根據(jù)得到動(dòng)點(diǎn)的軌跡為圓，再由圓的性質(zhì)求解.【詳解】設(shè)，由得動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為，即，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡曲線為圓，圓心為．又點(diǎn)在圓內(nèi)，所以，所以最短弦所在直線的斜率為2，所以所求直線方程為，即．故選：A23．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）圓到直線的距離為的點(diǎn)有（）A．個(gè) B．個(gè)C．個(gè) D．個(gè)【答案】B【分析】先將圓方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，然后求出圓心到直線的距離，判斷出直線與圓的位置關(guān)系，從而可判斷出結(jié)論【詳解】由，得，則圓心為，半徑，因?yàn)閳A心到直線的距離為，且，所以圓到直線的距離為的點(diǎn)有2個(gè)，故選：B24．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）直線：與圓：的位置關(guān)系是（）A．相交 B．相切 C．相離 D．不確定【答案】A【分析】由直線方程可得直線過(guò)定點(diǎn)，又點(diǎn)在圓內(nèi)，得到答案.【詳解】直線：過(guò)定點(diǎn)，因?yàn)?，則點(diǎn)在圓的內(nèi)部，∴直線與圓相交，故選：A.25．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）過(guò)點(diǎn)的直線l與圓相切，則直線l的方程是（）A．或 B．C．或 D．【答案】B【分析】先判斷出在圓上，求出切線斜率，即可得到切線方程.【詳解】把圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程得：.因?yàn)樵趫A上，所以過(guò)P的切線有且只有一條.顯然過(guò)點(diǎn)且斜率不存在的直線:與圓相交，所以過(guò)P的切線的斜率為k.因?yàn)榍芯€與過(guò)切點(diǎn)的半徑垂直，所以，解得：，所以切線方程為：，即.故選：B26．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知圓與直線切于點(diǎn)，則直線的方程為（）A． B．C． D．【答案】A【分析】由圓心和切點(diǎn)求得切線的斜率后可得切線方程．【詳解】圓可化為，所以點(diǎn)與圓心連線所在直線的斜率為，則所求直線的斜率為，由點(diǎn)斜式方程，可得，整理得.故選：A.27．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）過(guò)點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，，則A． B． C． D．【答案】D【詳解】設(shè)，則直線PA的方程為，直線PB的方程為，點(diǎn)均在兩直線上，故，直線AB的方程為3x+4y=4.點(diǎn)到直線AB的距離，則.本題選擇D選項(xiàng).28．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，直線，為上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作的切線，切點(diǎn)為，則的最小值為（）A．1 B． C．2 D．【答案】D【分析】求得圓的圓心，半徑，根據(jù)，得到，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式，求得的最小值，進(jìn)而求得的最小值.【詳解】如圖所示，化簡(jiǎn)圓的方程為，可得圓心，半徑，因?yàn)闉閳A的切線且為切點(diǎn)，所以，由勾股定理可得，所以當(dāng)最小時(shí)，取得最小值，因?yàn)?，所以，即的最小值?故選：D.29．（2021·江西·高三階段練習(xí)（文））已知圓О的方程為，過(guò)圓О外一點(diǎn)作圓O的兩條切線PA，PB，切點(diǎn)分別為A，B，則直線AB的方程為（）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)平面幾何知識(shí)可知點(diǎn)O，A，P，B在以O(shè)P為直徑的圓上，求出該圓的方程，再將兩圓的方程相減，即可得到直線AB的方程．【詳解】由題意知點(diǎn)O，A，P，B在以O(shè)P為直徑的圓上，易求該圓的方程為，AB為圓與圓的公共弦，將這兩圓的方程相減，得，即AB的方程為.故選：B．30．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）過(guò)點(diǎn)作直線與圓相切于、兩點(diǎn)，則直線的方程為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出，求出以點(diǎn)為圓心、以為半徑的圓的方程，然后與圓的方程作差可得出直線的方程.【詳解】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑為，由圓的切線的性質(zhì)可得，則，所以，以點(diǎn)為圓心、以為半徑的圓的方程為，將圓的方程與圓的方程作差并化簡(jiǎn)可得.因此，直線的方程為.故選：B.31．（2021·江蘇常州·一模）過(guò)圓：外一點(diǎn)作圓的切線，切點(diǎn)分別為、，則（）A．2 B． C． D．3【答案】C【分析】本題首先可結(jié)合題意繪出圖像，然后根據(jù)圓的方程得出，再然后根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式以及勾股定理得出、，最后通過(guò)等面積法即可得出結(jié)果.【詳解】如圖，結(jié)合題意繪出圖像：因?yàn)閳A：，直線、是圓的切線，所以，，，，因?yàn)?，所以，，根?jù)圓的對(duì)稱性易知，則，解得，，故選：C.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查圓的切點(diǎn)弦長(zhǎng)的求法，主要考查圓的切線的相關(guān)性質(zhì)，考查兩點(diǎn)間距離公式以及勾股定理的應(yīng)用，考查等面積法的應(yīng)用，考查數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題.32．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知直線與圓相切，則m的值為（）A．3或 B．1或C．0或4 D．或0【答案】A【分析】利用圓的切線性質(zhì)結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式列式計(jì)算即得.【詳解】圓的圓心為，半徑為，因直線與圓相切，則點(diǎn)到直線的距離為，整理得，解得或，所以m的值為3或.故選：A33．（2022·河北張家口·高三期末）直線與圓交于、兩點(diǎn)，則（）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出圓心到直線的距離，利用勾股定理可求得.【詳解】圓心到直線的距離為，圓的半徑為，又，故，故選：B.34．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若點(diǎn)為圓的弦的中點(diǎn)，則弦所在直線的方程為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用點(diǎn)差法求出直線的斜率，進(jìn)而得到方程，注意檢驗(yàn)是否符合題意即可.【詳解】設(shè)，則，，兩式做差可得，即，又因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，則，因此，即，所以，因此直線的方程為，即，經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意，故弦所在直線的方程為.故選：B.35．（2019·天津·耀華中學(xué)高三階段練習(xí)）已知圓：和直線：；若直線與圓相交于，兩點(diǎn)，的面積為2，則值為（）A．-1或3 B．1或5 C．-1或-5 D．2或6【答案】C【分析】利用垂徑定理表示,再由面積可得,利用點(diǎn)到直線距離列方程求解即可.【詳解】圓：，可得，半徑.∴圓心到直線的距離.∵的面積為2，，∴，解得.∴，解得或-5.故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了直線與圓的位置關(guān)系,利用垂徑定理表示弦長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.36．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）圓C1：(x-2)2+(y-4)2＝9與圓C2：(x-5)2+y2＝16的公切線條數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根據(jù)題意，求出兩圓的圓心，半徑及圓心距，分析可得兩圓相交，由此分析可得答案．【詳解】根據(jù)題意，圓C1：(x-2)2+(y-4)2＝9，其圓心為(2，4)，半徑R＝3，圓C2：(x-5)2+y2＝16，其圓心為(5，0），半徑r＝4，圓心距|C1C2|5，則有r-R＜|C1C2|＜r+R，所以兩圓相交，所以兩圓有2條共切線；故選：B．37．（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）圓心在直線x﹣y﹣4＝0上，且經(jīng)過(guò)兩圓x2+y2﹣4x﹣3＝0，x2+y2﹣4y﹣3＝0的交點(diǎn)的圓的方程為（）A．x2+y2﹣6x+2y﹣3＝0 B．x2+y2+6x+2y﹣3＝0C．x2+y2﹣6x﹣2y﹣3＝0 D．x2+y2+6x﹣2y﹣3＝0【答案】A【分析】求出兩個(gè)圓的交點(diǎn)，再求出中垂線方程，然后求出圓心坐標(biāo)，求出半徑，即可得到圓的方程．【詳解】由解得兩圓交點(diǎn)為與因?yàn)?，所以線段的垂直平分線斜率；MN中點(diǎn)P坐標(biāo)為（1，1）所以垂直平分線為y＝﹣x+2由解得x＝3，y＝﹣1，所以圓心O點(diǎn)坐標(biāo)為（3，﹣1）所以r所以所求圓的方程為（x﹣3）2+（y+1）2＝13即：x2+y2﹣6x+2y﹣3＝0故選：A38．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若圓與圓外切，則（）A． B． C． D．【答案】C【分析】求得兩圓的圓心坐標(biāo)和半徑，結(jié)合兩圓相外切，列出方程，即可求解.【詳解】由題意，圓與圓可得，，因?yàn)閮蓤A相外切，可得，解得．故選：C.39．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）圓與圓公共弦所在直線的方程為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】將兩圓的方程作差即可得到答案.【詳解】將兩圓的方程相減得到兩個(gè)圓公共弦所在直線方程為故選：D.40．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）圓：與圓：交于、兩點(diǎn)，則（）A．6 B．5 C． D．【答案】D【分析】先求出兩個(gè)圓的半徑和圓心距，然后在中，利用余弦定理求出的值，從而可求出，再利用圓的半徑，圓心距和半徑的關(guān)系可求得結(jié)果【詳解】圓的半徑，圓的半徑，，故在中，，故．故選：D41．（2022·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）已知圓上到直線的距離等于1的點(diǎn)恰有3個(gè)，則實(shí)數(shù)的值為A．或 B． C． D．或【答案】D【詳解】試題分析：由圓的方程，可得圓的圓心為原點(diǎn)，半徑為，若圓上恰有個(gè)點(diǎn)到直線的距離等于，因?yàn)榘霃綖椋瑒t到直線：的距離等于，直線的一般方程為：，，解得，故選D.考點(diǎn):1、圓的幾何性質(zhì)；2、點(diǎn)到直線的距離公式.42．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)（理））已知圓上有且只有兩個(gè)點(diǎn)到直線的距離等于，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】由圓的方程求出圓心和半徑，求出圓心到直線的距離，由題意可得，解不等式即可得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】由可得，則即，所以圓心為，半徑，圓心到直線的距離，因?yàn)閳A上有且只有兩個(gè)點(diǎn)到直線的距離等于，所以，即，解得：，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是，故選：A.43．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若圓：上有四個(gè)不同的點(diǎn)到直線：的距離為2，則的取值不可能是（）A．-15 B．13 C．15 D．0【答案】A【分析】根據(jù)圓上有四個(gè)不同的點(diǎn)到直線的距離為2，可得圓心到直線的距離小于3，列不等式求解即可.【詳解】圓：化為，則圓心，半徑，若圓：上有四個(gè)不同的點(diǎn)到直線：的距離為2，則圓心到直線的距離，如圖.即，∴.故選：A44．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)（文））若圓上有且僅有兩個(gè)點(diǎn)到直線的距離等于2，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】先求圓心到直線的距離，再求半徑的范圍.【詳解】圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為3．圓心到直線的距離為：，又圓上有且僅有兩個(gè)點(diǎn)到直線的距離等于2，所以，解得或．故選：D．二、多選題45．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知圓的一般方程為，則下列說(shuō)法正確的是（）A．圓的圓心為 B．圓的半徑為5C．圓被軸截得的弦長(zhǎng)為6 D．圓被軸截得的弦長(zhǎng)為6【答案】BD【分析】首先得到圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，從而得到圓心坐標(biāo)和半徑，即可判斷A錯(cuò)誤，B正確，再計(jì)算弦長(zhǎng)即可判斷C錯(cuò)誤，D正確.【詳解】因?yàn)椋詧A的圓心為，半徑為，故A錯(cuò)誤，B正確.對(duì)選項(xiàng)C，圓心到軸的距離為，所以圓被軸截得的弦長(zhǎng)為，故C錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)D，圓心到軸的距離為，所以圓被軸截得的弦長(zhǎng)為，故D正確.故選：BD46．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，M為圓上的動(dòng)點(diǎn)，則線段的長(zhǎng)可能為（）A．3 B．5 C．7 D．9【答案】ABC【分析】由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求得圓心和半徑，再根據(jù)兩點(diǎn)的距離公式可求得，由此可得選項(xiàng).【詳解】解：因?yàn)閳A的圓心為，半徑，又，所以，因?yàn)镸為上的動(dòng)點(diǎn)，所以，即，所以線段的長(zhǎng)可能為3，5，7，故選：ABC.47．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若P是圓上任一點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線的距離可以為（）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】AB【分析】利用圓心到直線的距離，結(jié)合圓的半徑即可求P到直線的距離范圍，結(jié)合各選項(xiàng)判斷符合要求的距離即可.【詳解】由題設(shè)，且半徑為，∴到的距離，∴點(diǎn)P到直線的距離：，即，∴只有A、B符合要求.故選：AB48．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）圓與圓有且僅有兩條公切線，實(shí)數(shù)的值可以?。ǎ〢． B． C． D．【答案】AB【分析】由題可知兩個(gè)圓相交，列出不等式可求得答案.【詳解】因?yàn)閳A與圓有且僅有兩條公切線，所以兩圓相交，因?yàn)榈膱A心為，半徑，圓的圓心為，半徑，所以即，解得，故選：AB49．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知圓，圓，則下列是圓與圓的公切線的直線方程為（）A． B．C． D．【答案】ABC【分析】通過(guò)圓心距和半徑關(guān)系，判斷出兩圓有四條公切線，再設(shè)切線，列等式解方程即可.【詳解】,半徑,兩圓相離，有四條公切線兩圓心坐標(biāo)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則有兩條切線過(guò)原點(diǎn),設(shè)切線,則圓心到直線的距離,解得或,另兩條切線與直線平行且相距為1,,設(shè)切線,則,解得.所以只有項(xiàng)不正確（也可以不計(jì)算，通過(guò)斜率即可排除D）故選：ABC三、雙空題50．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知方程為，則圓心坐標(biāo)為_(kāi)_______，圓半徑為_(kāi)_________．【答案】【分析】將圓一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程即可求解.【詳解】，所以圓的圓心為，半徑.故答案為：；四、填空題51．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知圓心在第一象限的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，圓心在直線上，且半徑為5，則此圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)__________．【答案】【分析】由圓心在直線上，可設(shè)圓心為，因?yàn)閳A經(jīng)過(guò)點(diǎn)，半徑為，結(jié)合圓心在第一象限，可求出的值，從而寫(xiě)出圓的方程.【詳解】解：因?yàn)閳A心在直線上，所以設(shè)圓心為，又此圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，半徑為，所以有因?yàn)閳A心在第一象限所以.所以圓心為.故答案為：.52．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知圓C和直線相切于點(diǎn)，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則圓C的方程為_(kāi)__________.【答案】【分析】由已知可求得過(guò)點(diǎn)的直徑所在直線為，因?yàn)閳A心在以，兩點(diǎn)為端點(diǎn)的線段的中垂線，然后兩直線方程聯(lián)立方程組可求出圓心坐標(biāo)，從而可求得圓的半徑，進(jìn)而可求得圓的方程【詳解】解：因?yàn)閳AC和直線相切于點(diǎn)，所以過(guò)點(diǎn)的直徑所在直線的斜率為，其方程為，即.又因?yàn)閳A心在以，兩點(diǎn)為端點(diǎn)的線段的中垂線，即上，由解得圓心為（3，5），所以半徑為，故所求圓的方程為.故答案為：53．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）圓關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱的圓的方程為_(kāi)__________.【答案】【分析】求出圓心的坐標(biāo)，進(jìn)而可得出所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】圓心關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為，故所求圓的方程為.故答案為：.54．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知三個(gè)點(diǎn)，，，則的外接圓的圓心坐標(biāo)是___________.【答案】(1，3)【分析】設(shè)出圓的一般方程，代入三點(diǎn)坐標(biāo)后可求解.【詳解】設(shè)圓的方程為，則，解得，所以圓方程為，即，所以圓心坐標(biāo)為.故答案為：.55．（2022·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）若圓關(guān)于直線對(duì)稱，則該圓的半徑為_(kāi)_________【答案】2【分析】根據(jù)圓關(guān)于直線對(duì)稱可知,直線經(jīng)過(guò)圓心.將圓心坐標(biāo)代入直線方程,結(jié)合圓的半徑公式即可求得半徑.【詳解】將圓的一般方程轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)方程可得所以圓心坐標(biāo)為,因?yàn)閳A關(guān)于直線對(duì)稱,所以直線經(jīng)過(guò)圓心則,化簡(jiǎn)可得所以故答案為:2【點(diǎn)睛】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系,圓的一般方程與標(biāo)準(zhǔn)方程的轉(zhuǎn)化,直線過(guò)圓心的方程,屬于基礎(chǔ)題.56．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）兩圓x2＋y2－6x＋6y－48＝0與x2＋y2＋4x－8y－44＝0公切線的條數(shù)是________．【答案】2【分析】求出兩圓的圓心距及半徑，判斷兩圓的位置關(guān)系即可得出結(jié)論.【詳解】解：將兩圓分別化為標(biāo)準(zhǔn)方程：，，所以兩圓的圓心分別為，半徑分別為，，圓心距為，因?yàn)?，所以兩圓相交，所以公切線的條數(shù)是2條.故答案為：2.57．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知直線l：kx﹣y﹣2k+2＝0與圓C：x2+y2﹣2x﹣6y+6＝0相交于A，B兩點(diǎn)，則|AB|的最小值為_(kāi)_____________．【答案】【分析】根據(jù)題意，分析圓C的圓心與半徑，將直線l的方程變形為y﹣2＝k（x﹣2），恒過(guò)定點(diǎn)M（2，2），分析可得M在圓C內(nèi)部，分析可得：當(dāng)直線l與CM垂直時(shí)，弦|AB|最小，求出此時(shí)|CM|的值，由勾股定理分析可得答案．【詳解】解：根據(jù)題意，圓C：x2+y2﹣2x﹣6y+6＝0即（x﹣1）2+（y﹣3）2＝4，圓心C的坐標(biāo)為（1，3），半徑r＝2，直線l：kx﹣y﹣2k+2＝0，即y﹣2＝k（x﹣2），恒過(guò)定點(diǎn)M（2，2），又由圓C的方程為（x﹣1）2+（y﹣3）2＝4，則點(diǎn)M（2，2）在圓內(nèi)，分析可得：當(dāng)直線l與CM垂直時(shí)，弦|AB|最小，此時(shí)|CM|＝＝，則|AB|的最小值為2＝；故答案為：．58．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知圓上一定點(diǎn)，為圓上的動(dòng)點(diǎn)，則線段中點(diǎn)的軌跡方程為_(kāi)_____________．【答案】【分析】設(shè)線段中點(diǎn)的坐標(biāo)為，且點(diǎn)，結(jié)合中點(diǎn)公式求得，代入即可求解.【詳解】設(shè)線段中點(diǎn)的坐標(biāo)為，且點(diǎn)，又由，可得，解得，又由，可得，即.故答案為：.59．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知圓，則直線和圓的位置關(guān)系為_(kāi)__________.【答案】相交【分析】根據(jù)圓的一般方程求得圓的圓心和半徑，再求圓心到直線的距離，且與圓的半徑比較可得結(jié)論.【詳解】解：由圓得，圓心，半徑，圓心到直線的距離，所以直線和圓的位置關(guān)系為相交，故答案為：相交.60．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知圓O：則，過(guò)點(diǎn)作圓的切線，則切線的方程為_(kāi)__________.【答案】或.【分析】分斜率不存在與斜率存在兩種情況，再利用點(diǎn)到直線的距離公式，求得斜率存在時(shí)的切線方程.【詳解】由題意：當(dāng)切線斜率不存在時(shí)，方程為：，滿足與圓相切，當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)切線方程為：，則：，解得，此時(shí)切線方程為：，即，故答案為：或61．（2021·江蘇省如皋中學(xué)高三開(kāi)學(xué)考試）已知點(diǎn)Q是直線：上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)Q作圓：的切線，切點(diǎn)分別為A，B，則切點(diǎn)弦AB所在直線恒過(guò)定點(diǎn)___________.【答案】(1，－1)【分析】設(shè)Q的坐標(biāo)為(m，n)，根據(jù)方程，寫(xiě)出切點(diǎn)弦AB所在直線方程，利用的關(guān)系，求得動(dòng)直線恒過(guò)的定點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】由題意