高等數(shù)學(xué)(經(jīng)管類)下及課后習(xí)題答案

習(xí)題7-1

1.指出下列各點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸、坐標(biāo)面或卦限：

A(2,1,-6),B(0,2,0),C(-3,0,5),D(l,-1,-7).

解：A在V卦限，B在y軸上，C在xOz平面上，D在VIII卦限。

2.已知點(diǎn)M(-l,2,3),求點(diǎn)M關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)、各坐標(biāo)軸及各坐標(biāo)面的對稱點(diǎn)的坐標(biāo).

解：設(shè)所求對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為(x,y,z),則

(1)由x-l=0,y+2=0,z+3=0,得到點(diǎn)M關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為：(1,-2,-3).

⑵由x=-l,y+2=0,z+3=0,得到點(diǎn)M關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為：(-1,-2,-3).

同理可得：點(diǎn)M關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為：(1,2,-3)；關(guān)于z軸的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)

為：(1,-2,3).

(3)由x=-l,y=2,z+3=0,得到點(diǎn)M關(guān)于面的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為：(-1,2,-3).

同理，M關(guān)于)，Oz面的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為：(1,2,3)；M關(guān)于zQx面的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為:

(-1,-2,3).

3.在z軸上求與兩點(diǎn)A(-4,1,7)和8(3,5,-2)等距離的點(diǎn).

解：設(shè)所求的點(diǎn)為歷(0,0,z),依題意有|MA|2=|MB|2,即

(，4-0)2+(1-0)2+(7-Z)2=(3-0)2+(5-0)2+(-2-Z)2.

14

解之得z=ll,故所求的點(diǎn)為M(0,0,―).

4.證明以M(4,3,l),%(7,1,2),M?(5,2,3)三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是一個等腰三角形.

解：由兩點(diǎn)距離公式可得=14，=6,眼2M1=6

所以以M(4,3,l),%(7,1,2),MK5,2,3)三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是一個等腰三角形.

5.設(shè)平面在坐標(biāo)軸上的截距分別為。=2力=-3,c=5,求這個平面的方程.

解：所求平面方程為百+義+1=1。

6.求通過x軸和點(diǎn)(4,一3,一1)的平面方程.

解：因所求平面經(jīng)過x軸，故可設(shè)其方程為

Ay+Bz=0.

又點(diǎn)(4,一3,—1)在平面上，所以?343=0.即5=?3A代入并化簡可得y-3z=0.

7.求平行于y軸且過M(l,0,0),加2(0,0,1)兩點(diǎn)的平面方程.

解：因所求平面平行于y軸，故可設(shè)其方程為

Ax+Cz+D=0.

又點(diǎn)M和%都在平面上，于是

[A+Q=0

[C+D=0

可得關(guān)系式：A=C=—￡),代入方程得：一Dr—￡)z+￡)=0.

顯然QW0,消去D并整理可得所求的平面方程為x+z—1=0.

8.方程/+產(chǎn)+22—2]+4產(chǎn)0表示怎樣的曲面？

解：表示以點(diǎn)(1,-2,0)為球心，半徑為右的球面方程。

9.指出下列方程在平面解析幾何與空間解析幾何中分別表示什么幾何圖形？

(l)x—2)=l；(2)X2+/=1；

(3)2x2+3y2=l；(4)y=f.

解：(1)表示直線、平面。(2)表示圓、圓柱面。(3)表示橢圓、橢圓柱面。

(4)表示拋物線、拋物柱面。

習(xí)題7-2

1.下列各函數(shù)表達(dá)式：

(1)已知於,y)=f+V，求f(x-y而);

⑵已知-y,?7)=1+y2,求式x,y).

2222

解：(1)f(x-y,y/xy')=(x-y)+(y[xy')=x-xy+j

(2)f(x-y,y/xy)=x2+y2=(x-y)2+2^y[xy^

所以/(x,y)=x2-2y2

2.求下列函數(shù)的定義域，并指出其在平面直角坐標(biāo)系中的圖形：

(1)z=sin—~——：⑵z=y/\-x2+y/y2-1;

x+y-I

(3)/(x,y)=VT71n(x-y)；(4)/(“)=叱吁一1

解：(1)由；？+>2-1*0可得f+Jwi

故所求定義域?yàn)閛={(x,y)|f+y2工1}表示xOy平面上不包含圓周的區(qū)域。

(2)由

1-x2>0

_[-14x41

可得或-1

故所求的定義域?yàn)?={(x,y)|-14x41且或y4-l},表示兩條帶形閉域。

(3)由

Jl-x>0

[x-y>0

可得

Jx>l

[y<x

故所求的定義域?yàn)閼c{(x,y)|》21且、<力，表示*0丫平面上直線丫=*以下且橫坐

標(biāo)x21的部分。

(4)由

f-l<3-x2-y2<l

[x-y2>0

可得

2<x2+y2<4

/<x

22

故所求的定義域?yàn)镈={(Jt,y)l2<x+y<4且丁<x}?

3.說明下列極限不存在：

(1)limA；(2)lim?,:.

x-?0x+yx->0x+y

y->0)T0

解：(1)當(dāng)點(diǎn)尸(x,y)沿直線產(chǎn)丘趨于點(diǎn)(0,0)時，有

lim0=|而穿坐=巖。

*,#->(0,0)x+yt->o(k+l)xK+i

y=kx

顯然，此時的極限值隨k的變化而變化。因此，函數(shù)在(0,0)處的極限不存在。

(2)當(dāng)點(diǎn)P(x,y)沿曲線丫=履3趨于點(diǎn)(o,o)時，有

6226

(x.yW(O,O)x+yx->0(fc+1)X-+J

y=Jtv

顯然，此時的極限值隨Z的變化而變化。因此，函數(shù)於J)在(0,0)處的極限不存在。

4.計算下列極限：

⑵lim^2)；

(1)出，+(；

x+y(x,y)->(03)X

)句

sin(x3+y3)/八i-Jxy+4—2

(3)lim——-----；(4)lim-------

(x,y)TOO)X+yu,y)^(o,o)xy

解：⑴因初等函數(shù)/(內(nèi))=室在(?！?處連續(xù)'故有

e+ye°+l

hm-----=2

x-?ox+y0+1

c、sin(孫)sin(盯)

(2)hrm—rhm—=o3

(x.y)->(o,3)X-0,3)xy

..sin(x3+y3)..sin(x3+y3)、2、八

(3)hm---------=hm—----^-(zx--xy+y)=0

(x.yw(o.o)x+y(x,y)->(o.o)x+y

lim內(nèi)-211

(4)lim(M任尸旦lim;

0)xyg,y)T(o.0)xy(，xy+4+2)*，、)->(o.0)J孫+4+24

5.究下列函數(shù)的連續(xù)性:

(x,y)w(O,O)

(1)f(x,y)=i,x+y

0,(x,y)=(O,O)

f22

x-y(x,y)=(0,0)

⑵f(x,y)="x2+y2

0,(x,y)=(O,O)

22

解：⑴lim----—=lim(x-y)=0=/(0,0)

(x,y)->(0.0)x+y(x,y)f(0.0)

所以於,)，)在(0,0)處連續(xù).

1而￡=思_\-k2

Q)lim

*,y)T(0,0)x2+y25x2+22~l+k2

y=kxkx

該極限隨著k的取值不同而不同，因而#r,yj在(0,0)處不連續(xù).

6.下列函數(shù)在何處間斷？

(1)z=rj(2)z=\n^-x2-y2.

x-y2

解：(l)z在｛(x,y)|國=|計)處間斷.

(2)z在｛(x,y)|x2+y2>1｝處間斷.

習(xí)題7-3

1.求下列函數(shù)偏導(dǎo)數(shù):

⑵Z=皿；

(\)z=xi+3x)f+y3；

X

(3)z=ln(x-3y)；(4)z=xy+lnxy(x>0,y>0,x1)

(5)u=xy;-y2+e-z)

\

解:7a-z

a&x

-

&

5&Z

3)

(4)—=yxy~l+—=yxy~l+—=xvlnx+—.

oxxyxdyy

⑸翳尹譚3n”).

au&xyInx

加

6)&-=-sin(x2―y2+e

&

-=-sin(x2-y2+e~z)(—2y)=2ysin(x--y~+e

5y<

§

&=-sin，-y2+e~z)(-e~z)

2.求下列函數(shù)在指定點(diǎn)處的偏導(dǎo)數(shù)：

(1)J(x,y)^xi—xy+y1,求取1,2),亦(1,2);

22

⑵/(x,y)=arctan(1,0)

⑶f(x,y)=\nVx2+/+sin(x2-;求<(1,2)；

(4)f(x,y,z)=\n(x-yz),求￡(2,0,1)/(2,0,1)/(2,0,1).

解：(1)fx(x,y)=2x-y,fy(x,y)=-x+2y.

.'./t(1,2)=2-2=0,/JI,2)=-1+4=3.

(2)/(x,0)=arctanx,毗(x,0)=1^，

因此。(1,0)=占=/

(3)/(x,2)=|ln(%2+4)+sin，-1)*嘰*+閃)

因此

2

fx(x,2)=+cos(x-l)2x

2x+4

2x

+sin(x2-i)*W+E>

1+(x2+\lx2+4)2

所以￡(1,2)=/+2*皿。+碣.

（4）力（''*）=&，4（兌木）=晶，工區(qū)＞，2）=言

故/,(2,0,1)=1,4(2,0,1)=-1Z(2,0,1)=0.

ZZ

3.設(shè)廠=夜可廣乎，證明：

(1)|=1;

52r,52r,d^r_2.

⑵'v十~~~,

dx2dy2dz2r

52(lnr)52(lnr)52(lnr)1

⑶H------------------1----------------=—

dx2dy2ddzz22r2

證明：*_____X______x_

oxy]x2+y2+z2r

利用函數(shù)關(guān)于自變量的對稱性，可推斷得到：牛=￡，生=工

dyrozr

drx2

⑵冉=~考」一丁,”

dx2r2rr3

d2rr-y2d-rr2-z2

利用函數(shù)關(guān)于自變量的對稱性，可推斷得到:==

每一,，必一/

.d2rd2rd2r_3r2-x2-/_2r_2

??h廳+左=P

⑶心加0八力,警Xx

~廠+y2+z~2

?(inr)*x2苴/-2/

次~r4r4

利用函數(shù)關(guān)于自變量的對稱性，可推斷得到：邕華=土①，以誓=二言

dy2r4dz2r4

.砥Inr)砥Inr)/(皿r)_3--2,+[+z?)_1

"dx2+dy2+dz2r4r21

4.求下列函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)%，%,K：

dx2dy2dydx

(1)z=4%3+3x2y-3xy2-x+y；(2)z=xln(x+y).

解：(1)/=12犬+6肛-3/-1隼=24》+6工

華=3x2-6xy+1,^-4=-6x.

dydy2

⑵■=ln(x+y)+x，唐=，+讓==上當(dāng).

dx-x+y8xx+y(x+y)2(x+y)2

dz_x_x

dyx+y'dy2(x+y)2'

5.某水泥廠生產(chǎn)A,B兩種標(biāo)號的水泥，其日產(chǎn)量分別記作x,y（單位：噸），總成本（單位:

元)為

C(x,y)=20+30f+1Oxy+20y2,

求當(dāng)戶4,.尸3時，兩種標(biāo)號水泥的邊際成本，并解釋其經(jīng)濟(jì)含義.

解：Cx(x,y)=60x+1Oy,Cv(x,y)=10x+40y,

.?.Cr(4,3)=270，G(x,y)=160.

經(jīng)濟(jì)含義：當(dāng)A,B兩種標(biāo)號的水泥日產(chǎn)量分別4噸和3噸時，如果B水泥產(chǎn)量不變，而

A水泥的產(chǎn)量每增加1噸，成本將增加270元；如果A水泥產(chǎn)量不變，而B水泥的產(chǎn)

量每增加1噸，成本將增加160元。

6.設(shè)某商品需求量。與價格為p和收入y的關(guān)系為

(2=400—2p+0.03y.

求當(dāng)p=25,)=5000時，需求Q對價格p和收入y的偏彈性，并解釋其經(jīng)濟(jì)含義.

解：

Z(p，y)=-2,Qy(p,y)=0.03,

0p(25,5000)=-2,gv(25,5000)=0.03.

經(jīng)濟(jì)含義：價格為25和收入為5000時;如果價格不變，而收入增加1個單位，商品

的需求量將增加003；如果收入不變，而價格增加1個單位，商品的需求量將減少2.

習(xí)題7-4

1.求下列函數(shù)的全微分：

(1)z=4盯3+5f)凡(2)z=>/1-x2-y2

(3)"=ln(x-yz)；(4)“=x+sin]+e'，z

解：⑴焦=49+1。何6,導(dǎo)12孫，+30小兒

所以dz=2y3(2+5xy3)dr+6xy2(2+5xy3)dy.

⑵dz-xdz=

8x^-x2-y2，dy

所以dz=,~xdx+,~ydy.

yll-x2-y2Vl-x2-/

⑶a4_13〃_—zdu_-y

dxx-yz"dyx-yz9dzx-yz

所以du=-!—dx+~zd^-i----dz.

x-yzx-yzx-yz

/八du.du1”吏y.vzduyz

⑷^=1^=2C°S2+Ze

所以du=dx+(；cosX+zeyz)dy+yeyzdz.

2.計算函數(shù)2二爐在點(diǎn)(3,1)處的全微分.

解：字=yxy~l=xy\nx,

dxdy

所以dz=yxy~[dx+xyInxdy.

dz\(3A)=dx+31n3dy.

3.求函數(shù)z=xy在點(diǎn)(2,3)處，關(guān)于△x=0.1,△)=0.2的全增量與全微分.

解：身=%導(dǎo)=%所以導(dǎo)=3,安=2,

&dy&(2.3)②億》

Az。孚Ax+孚Ay=0.3+0.4=0.7

，X(2.3)，y(2.3)

回⑵“=3dx+2dy.

4.計算(1.04)z°2的近似值.

設(shè)函數(shù)Kx,y)=xv.k1,y=2,Ak0.04,A>=0.02.

A1，3)=1X10x,y)=)斕i/(x,y)=x>lnx,

〃1,2)=2亦1,2)=0.

由二元函數(shù)全微分近似計算公式(7-18),得

(1.05)302g]+2x0.04+0X0.02=1.08.

5.設(shè)有一個無蓋圓柱形玻璃容器，容器的內(nèi)高為20。*,內(nèi)半徑為4。*,容器的壁與底

的厚度均為0.1cm,求容器外殼體積的近似值.

解：解設(shè)圓柱的直徑和高分別用x,y表示，則其體積為

K=f(x,y)=n(^y=^x2y.

于是，將所需的混凝土量看作當(dāng)x+Ax=8+2X0.1,y+Ay=20+0.1與x=8,:產(chǎn)20時的兩

個圓柱體的體積之差A(yù)V(不考慮底部的混凝土)，因此可用近似計算公式

△V^dV=fx(x,y)Ax+fy(x,y)△y.

又￡。,丫)=皋》)/。,丫)=4%/,代入x=8,y=20,Ax=0.2,

Z4

”=0.1,得到

AV?dV=^x8x20x0.2+1^x82x0.1=17.6^?55.264.(m\

因此，大約需要55.264m3的混凝土.

習(xí)題7-5

1.求下列函數(shù)的全導(dǎo)數(shù)：

⑴設(shè)Z=e3"+2v,而“=a,v=C0Sf,求導(dǎo)數(shù)字;

dr

(2)設(shè)z=arctan(“一v),而“=3x,v=4x\求導(dǎo)數(shù)與；

dx

⑶設(shè)z=xy+sinr,而x=e',y=cosf,求導(dǎo)數(shù)坐■.

at

解.⑴,dw&.dy

dtdudtdvdt

=3eiu+2v-2t+2eiu+2v-(.-sint)

=6/2+2cos,_2sin招城+28*

⑵dz=Szd〃?Szdv

dxdudxdvdr

i-i

=——-_y3+-----------7g

1+(u-v)21+(〃-v)2

=----------~^-(l-4x).

l+(3x-4_?)2

⑶dz=也drdzdy陵

dtdxdtdydrdt

-ye+x-(-sinr)+cos/

=cosf―—sinr+cosz

2.求下列函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)(其中/具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)):

(1)設(shè)z=w2v—wv2,而w=xsiny,v=xcosy,求經(jīng)和注；

oxdy

⑵設(shè)z=(3f+V嚴(yán)”求導(dǎo)和導(dǎo)

V

⑶設(shè)〃或r,y,z)=e，+2+3；2=檢05/，求照和空；

oxdy

設(shè)厘—,求普胃普.

(4)

22

解:⑴器=導(dǎo)空+當(dāng)空=(2uv-v)siny+(w-2〃10cosy

oxduoxdvdx

=(x2sin2y-x2cos2y)siny+(x2sin2y-x2sin2y)cosy

導(dǎo)=等孚+與至=(2〃u_y)xcosy-(u2-2wv)xsiny

dydudydvdy

=(x2sin2y-x2cos2y)xcosy+(x2sin2y-x2sin2y)xsiny

(2)令〃=3工2+y2#=4工+2,,貝上=/.

dzdzdu,dzdvv-i式1VlA

oxoudxovdx

=6x(3x2+y2)4a+2'1+4(3x2+y2)4+2'ln(3x2+y2)

dzdzdutdzdvv-in.v.。

dx8udydv8y/

2124a+2)22

=2y(3x+y『位'-1+2(3/+y)Jn(3x+y)

5V

3)&=工+:?2孫+力?丁2

￥冰

=6./+/?2孫2

&如

3應(yīng)用全微分形式的不變性，求函數(shù)z=in符的全微分.

解：令〃=x+y,u=1—盯，貝!|z=arctan—

dz=d(arctan—)=----!----—du---!---勺dv

vi+(")2yi+(")2y

VV

而du=dx+dy,dv=-ydx-xdy

故dz=一I一-^[dx+力一(x+y),2-皿)]

MWTr

=_d^+_dy_

l+x21+y2

4.已知sinxy—2z+e三0,求生和絳..

dxoy

解：兩同時對x求偏導(dǎo)，可得

ycosxy-2^-+e:孚=0.

>?dxdx

vdz_ycosxy

2—e：，

兩邊同時對y求偏導(dǎo)，可得

xcosxy-2等+ez=0.

故次_xcos^y

5y2-el'

5.若/的導(dǎo)數(shù)存在，驗(yàn)證下列各式：

⑴設(shè)“=求能一泊,則空+町半三x“；

oxoy

(2)=xy+xf(^~),則x孚+y1^=z+xy.

xoxoy

證：⑴^=yf\x2-y2).2x,^=/(x2-/)-2y2/1(x2-/).

所以y嘿+斗隼打(I一y2).2x+xy[f(x2-y2)-2y2fH_

⑵S=>，+/(x)+#，(x),(-7)，導(dǎo)”+十號4

所以若="y+/(?)+/'(-)(-—)]+—]=z+xy

XXXXX

6.求下列函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)（其中/具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)）:

(1)z=arctanx+y一

l-xy

⑵z=/；

22

(3)z=fixyvx—y').

解：⑴由第3題可知信=—IT,冬=-^r.

ox1+x-oy1+y-

j-zrd2z_-2x3z-一2yg2z_d^z

dx2(1+x2)2(5y2(l+y2)2'&?dydx'

⑵導(dǎo)嚴(yán)m(xù)y：,導(dǎo)In孫1nl.

故緊嚴(yán)h?吁一嚴(yán)In*

鑾=lnx(lnx-l)yx,

d2zd2z

=-嚴(yán)t+m%inv--=-嚴(yán)-(1+Inxlny).

dxdydydxXXX

⑶^=fty+f22x,^=ftX-f22y.

故察=陜工3+九2x)+2&+2x(以V+f2x)=y2f+4xyf+4x\

22nl2;+2人,

dx

22

^=x(fttx-fl22y)-2f2-2y(f2ix-f222y)=xfn-4xyft2+4yf222執(zhí).

9y'

WW</一2M2)+2x(%x-2比2)=工+3咻+(2d

2y2)九-4M.

7.求由下列方程所確定的隱函數(shù)z=/(x,)，)的偏導(dǎo)數(shù)祟,||：

(l)x2+y2+z2-4z=0；

(2)z3—3xyz=1.

解：⑴兩邊同時對X求偏導(dǎo)得2x+2z冬-4冬=0,故序=3^.

dxdxox4-2z

兩邊同時對y求偏導(dǎo)得2y+2z條嚼=。，故導(dǎo)若

(2)兩邊同時對x求偏導(dǎo)得3Z2年-3y(z+匏=0,故室=卓:

oxoxdx3z-3y

兩邊同時對y求偏導(dǎo)得故母=3z?，3/

習(xí)題7-6

1.求下列函數(shù)的極值:

(1)_/0,丫)=f+/—6xy+18x—39y+16：

(2)式蒼力=3孫-x3-/+1.

〃x,y)=2x-6y+18=0

解:(1)先解方程組

〃x，y)=3y2-6x-39=0

得駐點(diǎn)為(-6,1),(6,5).

兀=2,4(x,y)=-6,&(x,y)=6y,

在點(diǎn)(-6,1)處，△=AC-B2=2X6-36<0,所以4-6,1)不是極值;

在點(diǎn)(6,5)處，A=AC-82=2X30-36>0,又4>0,所以函數(shù)在(6,5)處有極小值1A6,5)=-90.

fr(x,y)=3y-3x2=0

(2)先解方程組，

2

fy(x,y)=3x-3y=0

得駐點(diǎn)為(0,0),(1,1).

=-6x,(X,>)=3,4,(X,y)=-6y,

在點(diǎn)(0,0)處，△=4C-￥=-9<0,所以J(0,0)不是極值；

在點(diǎn)(1,1)處，△=AC-B2=27>0,又4<0,所以函數(shù)在(1,I)處有極大值共1,1)=2.

2.求函數(shù)f^x,y)=r—2xy+2y在矩形區(qū)域￡>={(x,y)|0WxW3,0WyW2}上的最大值和最小

值.

解：(1)先求函數(shù)在。內(nèi)的駐點(diǎn)，解方程組

fx(x,y)=2x-2y=0

fy(x,y)=-2x+2=0

得唯一駐點(diǎn)(1,1),且川,1)=1.

(2)再求/(x,y)在。的邊界上的最值.

在邊界x=0,04y42上，外,y)=2y,因此最大值為8),2)=4,最小值為的,0尸0；

在邊界x=3,04y42上,_/U,y)=-4y+9,因此最大值為負(fù)3,0)=9,最小值為式3,2)=1；

在邊界y=0,04x43上，兀r,y)=f,因此最大值為負(fù)3,0)=9,最小值為40,0)=0；

在邊界>=2,04x43上，火x,y)=f—4x+4,因此最大值為式3,2)=1,最小值為犬2,2)=0；

(3)比較上述得到的函數(shù)值，從而得到43,0)=9為最大值，#),0)=0為最小值.

3.求函數(shù)於,)，)=3f+3丫2一/在區(qū)域力:/+了2乏16上的最小值.

解：(1)先求函數(shù)在。內(nèi)的駐點(diǎn)，解方程組

2

fx(x,y)=6x+6y-3x=0

f,(x,y)=6y=0

得駐點(diǎn)(0,0),(2,0),且負(fù)0,0)=0,負(fù)2,0)=4.

(2)再求於,y)在D的邊界上的最值.這里啊

在邊界/+)2=16上，兀GV)=48—只因此最大值為"),4)=48,最小值為五4,0)=-16；

(3)比較上述得到的函數(shù)值，從而得到人0,4)=48為最大值，共4,0)=76為最小值.

4.求下列函數(shù)的條件極值：

(1)z=xyfx+y=l；

(2)u-x—2y+2z,x2+y2+z2=1.

解：(1)作拉格朗日函數(shù)L(x,y,X)=xy+4(九+》—1).寫出方程組

Lx=y+2=0

<Ly=%+義=0

LA=x+y-1=0

得到P(另)，因此，z=xy在P(另)處取得最大值;.

(2)作拉格朗日函數(shù)L(x,y,z,A)=x-2y+2z+A(f+V+z?—1).寫出方程組

L、=l+22x=0

Ly=—2+2Ay=0

L.=2+22z=0

222

LA=x+y+z—1=0

得至!J勺《，一；，；)，?

因此，”=L2)，+2Z在^(-|,|,-|)處取得最小值-3.

5.要用鐵板做成一個體積為8療的有蓋長方體水箱，如何設(shè)計才能使用料最??？

解設(shè)長方體的三棱長分別為x,y,z,則問題就是在約束條件

xyz=S

下求函數(shù)S=2(xy+yz+xz)的最大值.

構(gòu)成輔助函數(shù)

F(x,y,z)=2(xy+yz+xz)+4(xyz—8),

解方程組

Fx(x,y,z)=2y+2z+Ayz=0,

F(x,y,z)=2x+2z+A,xz=0,

<v

F_(x,y,z)=2x+2y+Axy=0,

刁z=8

得X=y=Z=2，這是唯一可能的極值點(diǎn).

因?yàn)橛蓡栴}本身可知最小值一定存在，所以最小值就在這個可能的極值點(diǎn)處取得.即：

體積為8加3的有蓋長方體水箱中，以棱長為2的正方體的表面積為最小，最小表面積

5=24.

6.某工廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品的日產(chǎn)量分別為x件和y件，總成本函數(shù)為

C(x,y)=1000+8X2一孫+12)2(元)，

要求每天生產(chǎn)這兩種產(chǎn)品的總量為42件，問甲、乙兩種產(chǎn)品的日產(chǎn)量為多少時，成本

最低？

解：問題是在約束條件x+)=42(x>0,)>0)下，函數(shù)

C(x,y)=1000+8JT—12y2(元)

的條件極值問題.令

L(x,y,X)=1000+8x2-+12y2+2(x+y—42)

由Lx=16x-j+A=0,Lv=-x+24y+2=0,x+y=42得產(chǎn)25,產(chǎn)17.

根據(jù)問題本身的意義及駐點(diǎn)的唯一性知1,當(dāng)投入兩種產(chǎn)品的產(chǎn)量分別為25件和17件時,

可使成本最低.

7.某公司通過電視和報紙兩種媒體做廣告，已知銷售收入R(單位:萬元)與電視廣告費(fèi)

x(單位:萬元)和報紙廣告費(fèi)y(單位:萬元)之間的關(guān)系為

R(x,y)=15+14x+32y—防，-—10)2,

(1)若廣告費(fèi)用不設(shè)限，求最佳廣告策略.

(2)若廣告費(fèi)用總預(yù)算是2萬元，分別用求條件極值和無條件極值的方法求最佳廣告策

略.

解：(1)令R,=14-8)，-4x=0,R,=32-8x-20y=0.得唯一駐點(diǎn)(1.5,1).由此可知，當(dāng)

電視廣告費(fèi)為1.5萬元，報紙廣告費(fèi)為1萬元時，廣告策略最佳。

⑵問題是在約束條件x+y=2(x>0,y>0)下，函數(shù)

R(x,y)=15+14x+32y-8xy-2f—10y2

的條件極值問題.令

￡(x,y,A)=15+14x+32y—8P—2x2—10y2+A(x+y-2)

由4=14-8y-4x+2=0,4=-8x+32-20y+A=0,x+y=2

解得x=0.75,y=L25.由此可知，當(dāng)電視廣告費(fèi)為0.75萬元，報紙廣告費(fèi)為1.25萬元

時，廣告策略最佳。

由x+y=2,可得y=2-x,代入R得

R(x,y)=-4x1+6x+39

令R,=0,得x=0.75.因此y=l.25.

復(fù)習(xí)題7

(⑷

1.設(shè)Z=6+/(h一1)，且已知)=［時，Z=X則/(x)=(x+l)3-1,Z=?+彳_1.

解：由產(chǎn)1時，z=x,得/(五-l)=x-l.

令哄_l=t.得X=Q+1)3,因止匕(力=(f+l)3_l.即f(x)=(x+l)3_],Z=77+X-l.

,X3

2.設(shè)〃x,y)=/+/力，則/,(0,0)=1./~,(0,0)=0.

0,(x,y)=(0,0)

/(0,0)=l^Q+M-0)-^0)

解:fim=lim—=1

-oAx-Ax

/(0,0+Ay)-/00)

〃0,。)=媽=lim—=0.

AyAV->OAy

3.設(shè)z=arctan'.」,,則dz=.

17

解：u=x+y,v=x-y,貝Uz=arctan￡

dz=d(arctan—)=-------—du---!--勺dv

V1+(當(dāng)2口1+(當(dāng)2日

VV

而du=dx+dy,dv=dx-dy

1（工+），）（公一功，）］

故dz=-^—[dx+dy-

、2x-yx-y

1+

i-孫J

xdy-ydx

x2+y2

4.設(shè)“二m＞、g令其中施具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)則票+、焉=

解：黑=礦《））總+%）+咫'95

*生?）圖+M?+g*+g*+xg”M，

爵V畛圖-八浮F"-g"g中

所以嚶+，懸=。?

5.若函數(shù)z=7（x,y）在點(diǎn)（xo,）'o）處的偏導(dǎo)數(shù)存在，則在該點(diǎn)處函數(shù)z=f（x,y）（D)

A有極限B連續(xù)

C可微D以上三項都不成立

解：因?yàn)槠珜?dǎo)數(shù)存在，不能推出極限存在，所以ABC三項不一定正確.

6.偏導(dǎo)數(shù)A（xo,）,o）,另（如泗）存在是函數(shù)zMx,y）在點(diǎn)（xo,yo）連續(xù)的（D）

A充分條件B必要條件

C充要條件D即非充分也非必要條件

解：同5.

7.設(shè)函數(shù)Hx,力=1-f+只則下列結(jié)論正確的是(D)

A點(diǎn)(0,0)是於,y)的極小值點(diǎn)B點(diǎn)(0,0)是.心》)的極大值點(diǎn)

C點(diǎn)(0,0)不是加,y)的駐點(diǎn)D的,0)不是於,y)的極值

8.求下列極限：_____

(1)lim(x2+y2)sin—；(2)lim")+,~.

(x.y)-?(o.o)xy(^,>■)->?),0)x+y

解：(1)因?yàn)閘im(x2+y2)=0,而sin，有界.所以lim(x2+y2)sin—=0.

(x.y)-KO.O)xy!(x,y)->(0.0)Xy

(2)

..ylxy+1-1..(yjxy+l-1)(7xy+l+1)xy

lim---------=lim----------___________=hm--------/_______

CTO.gX+y(工(x+y)(^TH+l)(X,X)-(O,0)+y^xy+\+1)

=0

9.設(shè)"=e3c,而x2+y=/2j一尸什2,求學(xué).

-山r=0

解：由丁+尸/23—產(chǎn)f+2,可得

2x半+孚=2r,李一孚=1,所以

dtdtdtdt

dx_2f+1dy_2z-2,

dt2x+l'dt2x+l

因此，du=dudxidudy=3c3“2t+13x-y2/—2x

~di=~dx~di~cfy~di=2x+l-2x+l

令"0,得x=-2,y=-4典=l,y=-l.

10.設(shè)zJx,y)由方程孫+yz+xz=l所確定，求卒■，反彳，

dxdxdxfdy.

解：兩邊同時對x求偏導(dǎo)，得

y+y冬+z+工字=0,因此孚=-占,由對稱性可得拿=-左七.

oxdxoxx+ydyx+y

.二J(x+y)-(y+z)：-涕(x+y)-y-z2y+?z

dx2(x+y)2(x+y)2(x+y)2

2(l+”)(x+y)-(y+z)(1-A±￡)(x+-y)_>7_z

冉=____dy_______________=x+y______________=2z

2

Sxdy*+y)2(x+y)2(x+y)'

11.設(shè)&/,U)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且滿足裝+裝=1,又g(x,y)="Q,\(x2-y2)],

du~dv2

試證

證：設(shè)“=孫丫=3(7->2),則g(x,y)=f(〃,v)M!)

迤=箜電+叱亞=或丫+或x遨=或包+笠@=要》_笠v

dxdudxdvdxduJdv'dydudydvdydudv

22222

dg_dfduvdfdVxdf_df,df2df

22222

dg_6fdurdfdvdf_df2df2df

前一希而x-菽寸一瓦-韜x+獲'-而’

所以空+￡/+/.

8x2dy2

12.求函數(shù)/Uy)=*(2+)2)+)，lny的極值.

土的士工口用[f(x，y)=2x(2+/)=0

解：先解萬程組，，

J，(x,y)=2x-y+lny+l=0

得駐點(diǎn)為(0,1).

九=2(2+丁),/n.(x,y)=4xy,fn,(x,y)=2x。+±,

y

在點(diǎn)(0,1)處,AMAC-^^XI-OX),又A>0,所以函數(shù)在(0,1)處有極小值式0,1)=0.

(8)

1.設(shè)z=e*"x—2y),且已知)=0時，zr?,則與=.

解：令y/\x)=x2-e”,因此，z=ex+(x-2y)2-e'~2y,

所以空="+2(x-2y)-eA2y.

OX

2.設(shè)犬x,y,z尸e'yz2,其中z=z(xj)是由x+y+z+xyz=O確定的隱函數(shù)，則人(0,1,-1)=.

解：由x+y+z+xyz=0可得1+條+Xz+工黑)=。，

故"產(chǎn)

ox1+Ay

￡.(x,y,z)=y(e'z2+ex-2z^-)=y(exz2-2e'z^^-)

ox1+孫

因此￡(0,1,-1)=1.

3.設(shè)z=ln(V^+^^),貝！jx與■+y生~=________.

oxoy

IX1-L

罐.&_2?dz_24

區(qū)一不77萬一不萬，

^(>/x+77)[

4x+y[y2

4.設(shè)z=Lf(xy)+yg(x+y)”其中工g具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則導(dǎo)=

xoxdy

解：與=--Tf{xy)+-f'(-?y)+yg\x+y),

oxxx

4^-=(xy)+-/'(xy)+^f'\xy)x+g，(x+y)+yg"(x+y)

oxoyxxx

=W"(盯)+g'(x+y)+yg'\x+y).

5.函數(shù)/(x,y)=eE在點(diǎn)(0,0)處的偏導(dǎo)數(shù)存在的情況是(C).

A:(0,0),蘇(0,0)都存在

B萬(0,0)存在，力(0,0)不存在

C點(diǎn)0,0)不存在，4(0,0)存在

D〃0,0),以0,0)都不存在

解：“0,0)="…°)"3°)lim1