2021高考數(shù)學(xué)考點(diǎn)精講精練《25幾何法解空間角》（練習(xí)）（解析版）

考點(diǎn)25幾何法解空間角

【題組一線線角】

1.如圖，在正四面體4一BCD中，點(diǎn)”，N分別為AD,BC的中點(diǎn)，則異面直線4MCM所成的角的余

弦值是.

【答案】-

3

【解析】如圖，連接取其中點(diǎn)P，連接PN,PA,???N是8C中點(diǎn)，PN//CM,

.?.異面直線AMCM所成的角就是NN4P（或其補(bǔ)角）,

A1G

設(shè)正四面體的樓長(zhǎng)為I,則AN=CM=Y2NP=-CM=—

224

ih

在MBP中BP=—

24

、、>、A/3、-y/37

AP2=BA2+BP2-2BA-BPcosZABM=12+(—)2-2xlx—cos3Q°=—

4416

AN2+NP2-AP2

在AAPN中，cosZANP=

2AN.NP

異面直線AMCM所成的角的余弦值為|.

BD

N

C

2.已知直三棱柱ABC-A冉G中，底面為等腰直角三角形，N84C=90°,AB=2，44,=3,點(diǎn)/在

CG上，且GF=gcC，則異面直線與G與A尸所成角為.

【答案】60°

【解析】由條件將直三棱柱ABC-A4c補(bǔ)成長(zhǎng)方體，如圖.

由條件BCHB￡，設(shè)點(diǎn)E為的中點(diǎn)，連接BE.

則8E//A尸，所以NCBE（或其補(bǔ)角）為異面直線與￡與A尸所成角.

在△CBE中，BC=2日BE=CE=飛+DE?=抬+2?=20

所以△€?￡為等邊三角形，所以NCBE=60°

3.如圖，在底面邊長(zhǎng)為4,側(cè)棱長(zhǎng)為6的正四棱錐P—A8CD中，￡為側(cè)棱P￡＞的中點(diǎn)，則異面直線PB與

CE所成角的余弦值是

3717

【答案】

17

【解析】如圖，取Q4的中點(diǎn)E，A3的中點(diǎn)G,8c的中點(diǎn)，，連接FG,FH,GH、EF，

/'

則EF//CH,EF=CH,從而四邊形EFHC是平行四邊形，貝UEC//EW,

iLEC=FH.

因?yàn)槭荙4的中點(diǎn)，G是AB的中點(diǎn)，

所以FG為△/記?的中位線，所以FG//PB,則NGF"是異面直線與CE所成的角.由題意可得

EG=3,HG=-AC=2y/2.

2

.,...PD~+PC~—CD~36+36—167

在APCD中，由余弦定理可得cosZ.DPC=----------------------=---------------=—,

2PDPC2x6x69

則CE2=PC2+PE2-2PC-PEcosZDPC=17，即CE=JI7.

由余弦定理可得cos?*9+17-83舊

在AGF”中,?；皆工"

2x3x717-17

4.已知尸-ABC為正三棱錐，則如與所成角大小為L(zhǎng)

取的中點(diǎn)。，連結(jié)AD,PD,PB=PC,D為BC中點(diǎn)、，：.PD上BC.

同理可得ADA.BC,尸。,AD是平面PAD內(nèi)的相交直線，

.?.8C，平面PAD，24u平面PAD，

71

：.BC±PA，即直線R4與8C所成的角的大小為一.

2

5.如圖，S為等邊三角形A8C所在平面外一點(diǎn)，且S4=SB=SC=AB,E,尸分別為SC,AB的中點(diǎn),

則異面直線EF與AC所成的角為.

【答案】45。

取A5的中點(diǎn)G，連接GE,GE,則GE冽CGF/SB

B

：.ZGEF等于異面直線EF與AC所成角.

設(shè)AB=2,則GE=1,GF-1.

取AC的中點(diǎn)〃，連接MS,MB.

QS4=SB=SC=A3，：.ASAC,A4BC為等邊三角形，

:.SM±AC,BM±AC,SM=M,

二AC_L平面BMS,..AC_LSB,..EG_LGP,..NGM=45°.

所以，異面直線EF與AC所成的角為45°.故答案為：45°

6.如圖，在底面為正方形的四棱錐P—ABC。中，B4=P8=PC=PQ=AB=2,點(diǎn)E為棱Q4的中點(diǎn),

則異面直線BE與P。所成角的余弦值為

【解析】

取PD的中點(diǎn)記為F點(diǎn)，BC的中點(diǎn)記為點(diǎn)，連接FG,GD,因?yàn)镋F//BC，目.=

2

故得到四邊形EFGB為平行四邊形，故角GFD或其補(bǔ)角為所求角，根據(jù)題干得到，三角形PAB為等邊三角

形，BF為其高線，長(zhǎng)度為石，F(xiàn)G=6,DG=7C/）2+CG2=75-

FD=1,根據(jù)余弦定理得到COSNGED=^17=-蟲■，因?yàn)楫惷嬷本€夾角為直角或銳角，故取正值，為:

2736

立.故答案為走.

66

7.如圖，矩形A8CD中，A3=2,BC=\,E是CD的中點(diǎn)，將八位組沿4E折起，使折起后平面

平面ABCE,則異面直線AE和8所成的角的余弦值為

【解析】由題意，取A6中點(diǎn)尸，連接，則CFAE,可得直線AE和CO所成角的平面角為NDCF,

（如圖）

D

AFB

過(guò)。作DM垂直AE了〃，平面ZMEJ?平面A8CE，AD=DE

：.DMLAE，

DM，平面ABCE，「.DM_LMF，

且AM=DM=W，結(jié)合平面圖形可得：FM=—.

22

：.DF=yjDM2+MF2=1.CF=叵,

V.MC2=GM2+GC2=|,：.DC2^DM2+MC2=3,

2

...在ADR7中，DC2=DF?+FC?,

V276

/.ADFC是直角三.角形旦。E_LEC,可得cos/DCF

【題組二線面角】

1.如圖，己知A43C是等腰三角形，且NACB=120。，AC=2,點(diǎn)。是A8的中點(diǎn)將AACD沿CD折

起，使得ACLBC,則此時(shí)直線BC與平面ACD所成角的正弦值為_?一

【答案】旦

3

【解析】如圖，作5E_L4),垂足為E，連接CE.

VAD1CZ),BD±CD，ADBD=D,

BEu平面AOB，；.CD_LBE,

又5E_LAT)，AD8=。，，BE1平面ACO,

NBCE為直線BC與平面AC￡＞所成的角.

由題意：

可知AO=BZ)=6，AB=YJAC2+BC2=2V2■

設(shè)△AD8中，45邊上的高為力，

則力=小可-(a『=1.

由AD-3￡=AB〃，WBE=—.

3

二sinZBCE=—=—，

BC3

2.如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCO—AgGA中，E是A0的中點(diǎn)，F(xiàn)是3片的中點(diǎn)，則直線EF與

平面ABCZ)所成的角的正切值為_____,

【答案】也

5

[解析]連接EB,由BB]±平面ABCD，

知ZFEB即為直線EF與平面ABCD所成的角.在RtAFBE中，BF=1，BE＜，

則tanNFEB=—=—

BE5

3.如圖，在四棱錐P-ABC。中，底面ABC。是菱形，底面A8CD.

（II）若/84。=/3巳4=60°，求直線PC與平面ABCO所成角的余弦值.

【答案】（I）見解析（II）亞

10

【解析】（I）證明：連接AC，

PA_L底面ABCD，3。u底面ABCD；BDLPA

?.?四邊形ABC。是菱形，.?.80,AC.

又???％AC=A,R4u平面B4C，ACu平面尸AC,

/.3。_L平面PAC，

BD1PC

（II）設(shè)直線AC與BD交于點(diǎn)。，PA_]_底面ABCD,

p

直線PC與平面ABCD所成角的是ZPCA.

設(shè)P4="l"，由NR4O=N3PA=60°,可得氏4=百，

???四邊形ABC。是菱形，：.AC±BD

在AABC中，ABAC=3Q°,BA=6則AC=2AO=2Gcos30=3，

于是PC=yJp^+AC2=V10，

AC3M

cosZPCA

~PA10

...直線PC與平面ABC。所成角的余弦值是主叵.

10

4.如圖幾何體中，底面ABC。為正方形,P￡>_L平面ABC。，EC//PD,且P￡>=AD=2EC=2.

（1）求證：BE//平面PDA；

（2）求與平面所成角的大小.

【答案】（1）見解析（2）J

6

【解析】（1）四邊形ABCO為正方形：.BC//AD

又ADu平面PDABCH平面PD4

又EC//PD，PDu平面PD4平面PZM

EC,BCu平面BEC,ECBC=C二平面BEC〃平面PZM

BEu平面BEC〃平面PD4

（2）連接AC交BD于點(diǎn)O,連接PO

PD_L平面ABC。，AOu平面ABC。/.AO1PD

又四邊形ABC。為正方形AO1BD

BD,POu平面P8￡）,BDPD=D..AO,平面PBD

ZAPO即為PA與平面PBD所成角

叨二相^且尸。，〃）PA=2V2

又A0」4C=、7?連=拒

22

An]7r

:.sinZAPO=-=-:.ZAPO=-

PA26

TT

即1%與平面尸班）所成角為：-

6

5.如圖，正方形ACZ5E的邊長(zhǎng)為2,AO與CE的交點(diǎn)為M，平面ABC,ACA.BC,且地區(qū)

（1）求證：AM,平面E8C；

（2）求直線EC與平面A防所成角的正切值.

【答案】（1）證明見解析；（2）旦

【解析】（1）AE_L平面ABC.BCu平面ABC

：.AE1BC,又ACL3C,ACr>AE=A,

AC,4后<=平面4。?！辏?，8。_1_平面4?！辏?.

又AMu平面ACDE./.BC.LAM.

???四邊形ACOE是正方形，.\A"_LCE.

又BCCE=C,BC,CEu平面EBC

所以A"_L平面EBC.

（2）取A3的中點(diǎn)F,連接CF,EF.

???AE,平面ABC，CFu平面ABC，

：.EA±CF,又AC=3C,???CE_LAB.

；K4c45=A，；.CF_L平面AEB,

A/CEF為內(nèi)線EC與平面ABE所成的角

在RfACFE中,知CF=0，F(xiàn)E=5

V2_V3

/.tanZ.CEF

布二7

6.如圖，在幾何體P-ABCD中，平面ABCDL平面PAB,四邊形ABCD為矩形，APAB為正三角形,

若AB=2,AD=1,E,F分別為AC,BP中點(diǎn).

（1）求證：EF〃平面PCD；

（2）求直線DP與平面ABCD所成角的正弦值.

【答案】（1）見證明；（2）叵

5

【解析】（1）因?yàn)镋為AC中點(diǎn)，所以DB與AC交于點(diǎn)E.

因?yàn)镋,F分別為AC,BP中點(diǎn)，所以EF是ZkBDP的中位線，

所以EF〃DP.乂DPu平面PCD,EFC平面PCD,所以EF〃平面PCD.

(2)取AB中點(diǎn)O,連接PO,DO

?..△PAB為正三角形，APOXAB,

又；平面ABCD_L平面PAB

，PO_L平面ABCD,；.DP在平面ABCD內(nèi)的射影為DO,

/PDO為DP與平面ABCD所成角，OP=y[i,DP=x^

OPV3_V15

在RtADOP中，sinZPDO=—

DP

.?.直線DP與平面ABCD所成角的正弦值為史

5

7.已知四邊形ABCZ)是正方形，3E_L平面ABC。，平面ABCD，ED=FB=AB,M為棱AE

的中點(diǎn).

(1)求證：AE_L平面CM/7：

(2)求直線與平面ABC。所成角的正切值.

【答案】(1)證明見解析；(2)好

5

【解析】如圖所示：連接CE、AC、DB

（1）證明：四邊形ABCD是正方形，且。=A3

EC=AC即ACAE為等腰三角形

又M為棱AE的中點(diǎn)，得：AE±CM

8/_1_平面ABC。，平面A5CO,得：ED//FB

又ED=EB，則四邊形8OEF為平行四邊形

:.EF=DB

又正方形ABCD，ED=FB=AB

：.EF=AF即A4EF為等腰三角形

：.AE1MF

又AELCM,CMcMF=M,CMu平面CM/7，“尸匚平面CWF

.?.AE1平面。質(zhì)

（2）取A。的中點(diǎn)N，連接MN、BN

點(diǎn)M、N分別為AE、AO的中點(diǎn)

為A4DE的中位線

:.MN//DE

又D￡_L平面ABC。

MN_L平面ABCD

：.MN為斜線BM過(guò)點(diǎn)M向平面ABCD的一條垂線，垂足為點(diǎn)N,則斜線BM在平面ABCD內(nèi)的射影為

BN,直線與平面ABCO所成角為NMBN,設(shè)AB=2a

EDi__________

由幾何關(guān)系可得：MN=—=a,BN=\lAN2+AB2=>/5a

在RtkBNM中得：tanNMBN=—=：=—.

BNJ5a5

8.如圖，在四棱錐E-ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為0的正方形，平面AEC_L平面CDE,

ZA￡C=90°，F(xiàn)為DE中點(diǎn)"且。E=L

(1)求證：CDLDE-.

（2）求FC與平面ABC。所成角的正弦值.

【答案】（1）證明見解析；（2）也

6

【解析】(1)因?yàn)槠矫鍭ECL平面CDE,平面AECI平面CDE=CE,ZAEC=90%

二隹，平面CDE，又由COu平面CDE,.?.AE_LCD，

???ABC。為正方形，，CD_LA￡),

又???AEAO=4,O)_L平面ZME，,COLDE.

(2)過(guò)戶作R0J.A。于M，連接CM.

由(1)得CO_L平面ZME，二CDLfM,

又CDAD=D,所以_L平面43CO，

，NFCM為FC與平面ABC。所成角，

13_________

:.AD=CD=C,DE=l，DP、，：.FC=Q,AE=7AD?-DE?=1,

…FMDFAEDF也

由皿%/64加￡,可得——=一,:.FM=-----------=—,

AEADAD4

9.如圖，在四棱錐中P—ABC。中，AD±CD,AD//BC,AZ)=2BC=2CD=4,PC=275.ARAZ)

是正三角形.

（1）求證：CDYPA-,

（2）求A8與平面PCD所成角的余弦值.

【答案】（1）證明見解析（2）叵

4

【解析】（1）證明：???△%￡）是正三角形，AD=2CD=4,

PD=4,CD=2,

：.PC2=PD2+CD2^20:.CD上PD,

VADLCD,AD...C。，平面尸AD，

CD±PA；

（2）設(shè)點(diǎn)后是「。的中點(diǎn)，連接AE，延長(zhǎng)。C、AB交丁點(diǎn)、H,連接

：MW是正三角形，，AE，PD,AE=26,由（1）得CD_L平面B4O,:.平面PCD_L平面PAD，

二AE_L平面PCD，

；?AB與平面PCD所成角為ZAHE,

ADA.CD,AD=2BC=2CD=4,

DH=4,AH=472,EH=\lAH2-AE2=26

EH

:.cosZAHE

~7H~4^24

二AB與平面PCD所成角的余弦值回

4

10.已知四棱錐P—ABC。的底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，PO=1,P5=百,POLA8,E為PC的中點(diǎn).

(1)證明：AD1PC；

(2)求直線AP與平面ACE所成角.

TT

【答案】(1)見解析(2)-

O

【解析】(1)由已知得：BD=O，：,PD?+BD?=3=PB。，：.PD1BD，

Y.PD1AB,且平面48CD,ABBD=B

：.PD_L平面ABCD,又ADu平面ABCD,：.ADrPD

又AD工DC,PDDC=D,PD,DCu平面PDC,故仞1.平面PCD.

：PCu平面POC,ADJ_PC；

(2)?:DP=DC，E為PC中點(diǎn)、，：.DELPC

PCIAD,且。E

/PAE是PA與平面/WE所成角

在R/AB4D中，|「4|=JL在RfABDC中，|0E|=g|pq=￥

\PE\1jr

：.sin/PAE=身=G.?.直線”與平面ADE所成角2.

\PA\26

【題組三二面角】

1.如圖，在四面體ABCD中,AB=1,AD=2遮,BC=3,CD=2,/ABC=NDCB=F,則二面角A-BC-D的大小

2

為-

【答案】g

【解析】在4BDC中，BC=3,CD=21BCD=三,則BD=V13;

在2L4BC中，AB=1,BC=3,/ABC=],則AC=g：

又40=26，在2MB。中，BD2=AB2+AD2，則ZB4D=]；

過(guò)點(diǎn)B作BE〃以)，使BE=CD，連接/IE、DE，則四邊形BEDC為矩形,BE=2，因?yàn)锽C_L4B,BC1BE,

貝i]BC_L平面4BE,DE][BC,則DE_L平面4BE,則DE_L4E,AE=y/AD2-DE2=V3，在44BE中，

AE2+AB2=BE2,則=f,N4EB=￡,4ABE=三，由于4BJ.BC,EB1BC,則為二面

角4-BC—D的平面角，且

2.如圖，在三棱錐A—38中，A4BD為等邊三角形，BC=BD,平面ABDJ_平面BCO且84_LBC.

C

(1)求證：BC1AD-.

（2）求二面角A-CD-B的正切值.

【答案】（D詳見解析；（2）底.

【解析】（1）取30中點(diǎn)E，連接AE，則AELBD，因?yàn)槠矫嫫矫鍮C。，平面AB0C平面

BCD=BD，4七（=平面4?。,4七_(dá)18。，則越_L平面88,所以AEL6C,又因?yàn)?/p>

ABA.BC,ABr>AE=A,則8C_L平面A8D,ADu平面.。，則8C_LA￡）.

（2）過(guò)E作EFJ_C￡）交CO于點(diǎn)尸，由（1）知咫0,AEcEF=E，所以CDL平面AE尸，AFu

平面AEF，則COLAF,所以Z4EE為二面角A—CD—8的平面角.因?yàn)槿切蜛3D為等邊三角形，

令BD=2,則AE=G，EF浮則tanZAFE=祟好娓

一V

3.如圖，在四棱錐S-A88中，SA_L底面ABC。，ABC。是邊長(zhǎng)為1的正方形.且S4=l,點(diǎn)M是SO

的中點(diǎn).

（1）求證：SC1AM；

（2）求平面5AB與平面SC。所成銳二面角的大小.

【答案】（1）見解析；（2）45.

【解析】(1)由題意，底面ABCD是正方形，，。。，人。.

&4_L底面ABCD，CDu平面ABCO,

QA￡>ISA=A,\CD八平面SW.

四匚平面&1。，,41/_1。.

又S4=AQ=1,點(diǎn)M是SO的中點(diǎn)，.?.AA/LS。，

SOc8=。，，4W，平面SCO.

SCu平面SCO，..SCAM；

(2)法一：由題知AB>AD>AS兩兩垂直，以A3、A。、AS為了、>、z軸建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz.

則0(0,1,0),加尾

則AB=1，AD=AS=\，

UUU

AT>_L平面ASB,則AO是平面ASB的一個(gè)法向量，A￡)=(0,1,0),

uutr(][

由(1)知AWJ_平面SCD,.?.A〃是平面SCO的一個(gè)法向量，且AM=0；，5

UIILIUllUl

,uinruu"，AMAD1

二cos(AM,ADuuir

uuo一療

AMAD2

因此，平面SAB與平面SCD所成銳二面角的大小等于45；

法二：過(guò)S引直線SE，使得S￡〃A3,則SE〃CD,

，SEu平面&R,SEu平面SCD，:.SE就是平面SAB與平面SCO所成二面角的棱.

由條件知，ABVAD,AB_LAS，己知AScAO=A,則43_L平面SAD.

由作法知SH/AB,則SE,平面SAD,所以AS_LSE，SEVSD,

ZASD就是平面SAB與平面SCD所成銳二面角的平面角.

在汝ASAO中，NASD=45°，,平面S48與平面SCZ）所成銳二面角的大小等于45.

4.已知四棱錐P—ABCD的三視圖如下圖所示，E是側(cè)棱PC上的動(dòng)點(diǎn).

（1）求證：BD±AE

（2）若點(diǎn)E為PC的中點(diǎn)，求二面角D—AE-B的大小.

27r

【答案】（1）證明見解析；（2）—.

3

【解析】（1）由三視圖可知，四棱錐P-ABCD的底面是邊長(zhǎng)為1的正方形,

側(cè)棱PC_L底面ABCD,且PC=2.

連結(jié)AC,；ABCD是正方形，ABDIAC.

,.,PC_L底面ABCD,且BDu平面ABCD,ABD1PC.

又：ACDPC=C,平面PAC.

：AEu平面PAC..\BD±AE.

(2)解法1：在平面DAE內(nèi)過(guò)點(diǎn)D作DF_LAE于F,連結(jié)BF.

VAD=AB=1,DE=BE=7I7I=0，AE=AE=3

/.RtAADE^RtAABE,

從而AADF絲△ABF,.\BF1AE.

AZDFB為二面角D-AE-B的平面角.

在R3ADE中，DF=QDE=1義￡=旦...^產(chǎn)=也

AE33

又BD=0,在ADFB中，由余弦定理得

DF2+BF--BD2]_

cosZDFB=

2DFBF2

：.ZDFB=—,即二面角D-AE-B的大小為坦

33

解法2：如圖，以點(diǎn)C為原點(diǎn)，CD,CB,CP所在的直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系.則D(1,0,0),

A(1,1,0).B(0,1,0),E(0,0,1).

從而加=(OJO)，DE=(—10,1)，BA—(1,0,0),BE~(0,—1,1).[Z#x設(shè)平面ADE和平面ABE

的法向量分別為"=(xl,y1,zl),々=(x2,y2,z2)

=0X=0

山｛取馬=(1,0,1)

一X|+Z|—0

心?BA—0x=0

由｛一n｛7一7取巧=（0,—1,7）

%-BE=0—%+Z2=°

。-11

設(shè)二面角D—AE—B的平面角為0,則COS。=時(shí)曾=乃耳=--,

A9=—,即二面角D—AE—B的大小為二

33

5.如圖，在四棱錐P—ABC。中，底面是邊長(zhǎng)為。的正方形，側(cè)棱PD=a,PA=PC=0a,求證:

（1）平面ABCO；

（2）平面QACJ_平面P8￡）；

（3）二面角？一8。一。的平面角的大小.

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）45

【解析】（1）PD=a,DC=a,PC=?i,:.PC2=PD?+DC。.

.-.PDA.DC.

同理可證PD±ADQADr^DC=D,

.?.?D_L平面ABCD

（2）由（1）知尸。，平面488,4?<=平面488，；.。。，4。.

???四邊形ABCD是正方形，二4。_1瓦>

又Q30cPZ）=。，..ACJ"平面PM.

又^。匚平面^^^上平面小0,平面正如.

（3）由（1）知尸￡>_!_平面A6CO,3。匚平面488，，?！?gt;_18。.

又QBC，。C,尸。c。C=。，.?.BCJ_平面尸。C.

.?.NPC￡）為二面角P—BC—D的平面角.

在RtPDC中，PD=DC=a,:.ZPCD=45°.

/.二面角P-BC-D的平面角的大小為45。.

6.如圖所示，在棱臺(tái)ABC?！狝4G。中，MC￡>=2A5=25C=2A4|=4A5|,

ZABC=/BCD=90°

（1）求證：^DIBC,；

（2）求二面角。一4。一4的大小.

TT

【答案】（1）證明見解析；（2）

3

【解析】（1）連接AR,設(shè)8=4,

因?yàn)镚R//C。，CD//AB.所以G2//AB,

又=所以四邊形A5G0是平行四邊形，則5G//AR,

在底面A5CD中，CO=4且CD=2AB=2BC，

所以A3=2,BC=2,又由NABC=NBCD=90°,可得49=2及，

又由。。=44瓦=4,所以44=1,所以

因?yàn)槊?，平面ABCO，所以同理可得AA，A2，

._..ADrr

在直角AD41A中，可得1@11/。44=:元=42,所以NZ）AA=45,

在直角物例中，可得tan/AAA=有_=5，所以NR4A=45,

所以NDAA+tanN0A41=90,所以

所以4OL8G；

（2）在直角梯形A8CO中，由CD=2A5=28C,可得ACL4O，

又ACJ.AA,所以AC_L平面A4QQ,

故A4AD為ACA,。在平面例。。內(nèi)的射影三角形，

設(shè)8=4,則弘。=2&，SgD=4日

S2^2m21

設(shè)二面角C-AO-A的平面角為。，則cose=~^~=：后2=；，

SACAD4V2m-2

7T

又因?yàn)槎娼恰Ｒ??！狝為銳二面角，所以。=§.

7.如圖，在四棱錐P—ABC。中，底面ABCD是菱形，P4_L底面ABCD.

（I）證明：BDLPC-,

（II）若NBA。=NBPA=60°，求二面角P—C?！狝的余弦值.

【答案】（I）見解析（H）型3

13

【解析】（I）證明：連接AC，

,:PA底面ABCD.B￡>u底面ABCD.：.BD1PA.

?.?四邊形ABCD是菱形，，AC.

又???％AC=A,Q4u平面B4C，ACu平面尸AC,

/.8D_L平面PAC，

BD1PC

(II)作AE_LCO,交CD的延長(zhǎng)線于E，連接PE.

由于AE_LCD,P4，Cr>,AEPA=A,于是C￡>_L平面P4￡，

c

(2尸￡<=平面24￡，..尸￡_18,

所以二面角P-CD-A的平面角是ZPEA.

設(shè)PA=T,

ABAD=ZBPA=60°I［底面ABCD是菱形,

：.BA=AD=6"AE=3O°

AE=cos30AD=-,PE=PA2+AE2=―

22

.?.c°s/PEA=^=跡

PE13

8.如圖，四邊形ABC。是棱長(zhǎng)為2的正方形.E為AO的中點(diǎn)，以CE為折痕把ADEC折起，使點(diǎn)。到達(dá)

點(diǎn)P的位置，且點(diǎn)P的射影。落在線段AC上.

⑴求”

AO

(2)求二面角P-CE-A的余弦值.

CO2

【答案】（1）—=2；（2）-

AO3

【解析】（1）如圖，點(diǎn)P的射影。落在線段AC上，.?.尸。，平面ABC,過(guò)點(diǎn)P作尸尸JLCE交CE于點(diǎn)

F,連接F。，則OE_LCE,

由已知條件，在RtAPEC中，PE=1，PC=2,則EC=JPE2+PC?=>4+1=石，

PF=里匹耳二日

EC755

在RfAPB中，CF=《PC?-PF?

在AAEC中，cosZACE=+一-=(")+/反)廠-，=2河，

2EC-AC2xv5x2V210

CF

在RZAOR7中，CO=---------=-V2,:.AO=AC—CO=2血—之也=馬應(yīng),

cosZACE333

CO

=2.

~A0

（2）由（1）知NPEO為二面角P-CE-A的平面角，又

OF7c。2—CF?土生,在&APEO中,