2022-2023高一上期末復(fù)習(xí)重難點函數(shù)的應(yīng)用(二)(解析版)

-2023高一上期末復(fù)習(xí)重難點函數(shù)的應(yīng)用（二）一、單選題1．關(guān)于用二分法求方程的近似解，下列說法正確的是（

）A．用二分法求方程的近似解一定可以得到在內(nèi)的所有根B．用二分法求方程的近似解有可能得到在內(nèi)的重根C．用二分法求方程的近似解有可能得出在內(nèi)沒有根D．用二分法求方程的近似解有可能得到在內(nèi)的精確解【答案】D【分析】根據(jù)二分法求近似解的定義，可得答案.【解析】利用二分法求方程在內(nèi)的近似解，即在區(qū)間內(nèi)肯定有根存在，而對于重根無法求解出來，且所得的近似解可能是內(nèi)的精確解．故選：D.2．函數(shù)f（x）＝x2﹣4x+4的零點是（）A．（0，2） B．（2，0） C．2 D．4【答案】C【分析】由函數(shù)零點的定義列出方程x2﹣4x+4＝0，求出方程的根是函數(shù)的零點．【解析】由f（x）＝x2﹣4x+4＝0得，x＝2，所以函數(shù)f（x）＝x2﹣4x+4的零點是2，故選：C．3．若函數(shù)在區(qū)間上的圖像是連續(xù)不斷的曲線，且在內(nèi)有一個零點，則的值（

）A．大于零 B．小于零 C．等于零 D．不能確定【答案】D【分析】由題意，分類討論不同情況下的正負，從而得出不同的結(jié)論.【解析】因為在區(qū)間上的圖像是連續(xù)不斷的曲線，且在內(nèi)有一個零點，若（或），此時；若（或），此時；若（或），此時，所以的值不能確定.故選：D4．函數(shù)的零點所在的大致區(qū)間是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】計算區(qū)間端點處函數(shù)值，根據(jù)零點存在定理確定．【解析】，由，則在上單調(diào)遞增.所以函數(shù)的零點所在的大致區(qū)間是故選：B5．函數(shù)的零點所在的區(qū)間為（

）A．B．C．D．【答案】B【分析】根據(jù)函數(shù)解析式，判斷、等函數(shù)值的符號，由零點存在性定理即可確定零點所在的區(qū)間.【解析】，，且函數(shù)為增函數(shù)，由函數(shù)零點存在定理，的零點所在的區(qū)間是．故選：B.6．已知函數(shù)，若函數(shù)有3個零點，則實數(shù)m的取值范圍(

)A． B． C．(0，1) D．【答案】C【分析】作出f(x)圖像，判斷y＝m與y＝f(x)圖像有3個交點時m的范圍即可.【解析】∵有3個零點，∴有三個實根，即直線與的圖像有三個交點.作出圖像，由圖可知，實數(shù)的取值范圍是(0，1).故選：C.7．已知奇函數(shù)的定義域為，其圖象是一條連續(xù)不斷的曲線．若，則函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的零點個數(shù)至少為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根據(jù)奇函數(shù)的定義域為R可得，由和奇函數(shù)的性質(zhì)可得、，利用零點的存在性定理即可得出結(jié)果.【解析】奇函數(shù)的定義域為R，其圖象為一條連續(xù)不斷的曲線，得，由得，所以，故函數(shù)在之間至少存在一個零點，由奇函數(shù)的性質(zhì)可知函數(shù)在之間至少存在一個零點，所以函數(shù)在之間至少存在3個零點.故選：C8．已知定義在上的函數(shù)的圖像連續(xù)不斷，若存在常數(shù)，使得對于任意的實數(shù)恒成立，則稱是“回旋函數(shù)”．若函數(shù)是“回旋函數(shù)”，且，則在上（

）A．至多有2022個零點B．至多有1011個零點C．至少有2022個零點D．至少有1011個零點【答案】D【分析】根據(jù)已知可得：，當時利用零點存在定理，可以判定區(qū)間內(nèi)至少有一個零點，進而判定，，…，上均至少有一個零點，得到在上至少有1011個零點．可以構(gòu)造“回旋函數(shù)”，使之恰好有1011個零點；當時，可以得到，此時在上至少有1012個零點．從而排除BC,判定D正確；舉特例函數(shù)，或者構(gòu)造函數(shù)，可以排除A.【解析】因為對任意的實數(shù)恒成立，令，得．若，則與異號，即，由零點存在定理得在上至少存在一個零點．由于，得到，進而，所以在區(qū)間，，…，內(nèi)均至少有一個零點，所以在上至少有1011個零點．構(gòu)造函數(shù)，滿足對任意的實數(shù)恒成立，是“回旋函數(shù)”，在上恰好有1011個零點.若，則，此時在上至少有1012個零點．綜上所述，在上至少有1011個零點，且可能有1011個零點，故C錯誤，D正確；可能零點各數(shù)個數(shù)至少1012，大于1011，故B錯誤；對于A,[解法一]取函數(shù)，滿足，但在上處處是零點，故A錯誤.[解法二]構(gòu)造函數(shù)，滿足對任意的實數(shù)恒成立，是“回旋函數(shù)”，在上恰好有2023個零點，故A錯誤.故選：D．9．對于函數(shù)，若，則稱為函數(shù)的“不動點”；若，則稱為函數(shù)的“穩(wěn)定點”．如果函數(shù)的“穩(wěn)定點”恰是它的“不動點”，那么實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】函數(shù)的“不動點”一定是“穩(wěn)定點”，而函數(shù)的“穩(wěn)定點”恰是它的“不動點”，即不存在非“不動點”的“穩(wěn)定點”，所以有解，但方程組無解，然后利用判別式即得.【解析】因為函數(shù)的“不動點”一定是“穩(wěn)定點”，而函數(shù)的“穩(wěn)定點”恰是它的“不動點”，即不存在非“不動點”的“穩(wěn)定點”，所以有解，但方程組無解，由，得有解，所以，解得由得兩式相減，得，因為，所以，消去，得，因為方程無解或僅有兩個相等的實根，所以，解得，故a的取值范圍是故選：D.10．已知時，當時，滿足，則關(guān)于以下兩個結(jié)論正確的判斷是（

）①函數(shù)只有一個零點；②函數(shù)的零點必定在區(qū)間（a，b）內(nèi)．A．①②均對B．①對，②錯C．①錯，②對D．①②均錯【答案】B【分析】由題可得函數(shù)在上為增函數(shù)，且，，再結(jié)合零點存在定理及符號法則即可判斷.【解析】因為和均為區(qū)間上的嚴格增函數(shù)，因此函數(shù)也是區(qū)間上的嚴格增函數(shù)，且，．所以只有一個零點，①對．因為，所以的符號為兩正一負或者全負，又因為，所以必有，，或者，，．當，，時，零點在區(qū)間內(nèi)；當，，時，零點在區(qū)間（a，b）內(nèi)，所以②錯．故選：B．11．函數(shù)，若函數(shù)有3個不同的零點a，b，c，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】作出函數(shù)的圖象和直線，它們的交點的橫坐標即為的零點，利用圖象得出的性質(zhì)、范圍，從而可求得結(jié)論．【解析】作出函數(shù)的圖象和直線，它們的交點的橫坐標即為的零點，如圖，則，，，，所以．故選：D．【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查函數(shù)零點問題，解題關(guān)鍵是把函數(shù)零點轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與直線的交點的橫坐標，從而可通過作出函數(shù)圖象與直線，得出零點的性質(zhì)與范圍．12．已知函數(shù)若(互不相等)，則的取值范圍是（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】先畫函數(shù)圖象，再進行數(shù)形結(jié)合得到和，結(jié)合對勾函數(shù)單調(diào)性解得的范圍，即得結(jié)果.【解析】作出函數(shù)的圖象，如圖所示:設(shè)，則.因為，所以，所以，所以，即.當時，解得或，所以.設(shè)，因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，即，所以.故選：D.二、多選題13．用二分法求函數(shù)在區(qū)間上的零點，要求精確到0.01時，所需二分區(qū)間的次數(shù)可以為（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】CD【分析】由原來區(qū)間的長度等于1,每經(jīng)過一次操作，區(qū)間長度變?yōu)樵瓉淼囊话?，?jīng)過此操作后,區(qū)間長度變?yōu)椋杉纯汕蠼?【解析】由題意，知區(qū)間的長度等于1，每經(jīng)過一次操作，區(qū)間長度變?yōu)樵瓉淼囊话?，?jīng)過n此操作后，區(qū)間長度變?yōu)?，用二分法求函?shù)在區(qū)間上近似解，要求精確到0.01，∴，解得，故選：CD．14．下列說法正確的是（

）A．已知方程的解在內(nèi)，則B．函數(shù)的零點是，C．函數(shù)，的圖像關(guān)于對稱D．用二分法求方程在內(nèi)的近似解的過程中得到，，，則方程的根落在區(qū)間上【答案】ACD【解析】由函數(shù)零點的概念判斷選項B，由函數(shù)零點存在性定理判斷選項AD，由函數(shù)與函數(shù)互為反函數(shù)判斷選項C.【解析】對于選項A，令，因為在上是增函數(shù)，且，所以方程的解在，所以，故A正確；對于選項B，令得或，故函數(shù)的零點為和，故B錯誤；對于選項C，函數(shù)與函數(shù)互為反函數(shù)，所以它們的圖像關(guān)于對稱，故C正確；對于選項D，由于，所以由零點存在性定理可得方程的根落在區(qū)間上，故D正確.故選：ACD15．（多選）已知函數(shù)在區(qū)間上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，若，則在區(qū)間上（

）A．方程沒有實數(shù)根B．方程至多有一個實數(shù)根C．若函數(shù)單調(diào)，則必有唯一的實數(shù)根D．若函數(shù)不單調(diào)，則至少有一個實數(shù)根【答案】CD【分析】根據(jù)零點存在定理可得答案.【解析】由函數(shù)零點存在定理，知函數(shù)在區(qū)間上至少有一個零點，所以若函數(shù)不單調(diào)，則至少有一個實數(shù)根，若函數(shù)單調(diào)，則函數(shù)有唯一的零點，即必有唯一的實數(shù)根，故選：CD．16．已知函數(shù)，令，則下列說法正確的是（

）A．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為B．當時，有3個零點C．當時，的所有零點之和為-1D．當時，有1個零點【答案】BD【分析】畫出的圖象，然后逐一判斷即可.【解析】的圖象如下：由圖象可知，的增區(qū)間為，故A錯誤當時，與有3個交點，即有3個零點，故B正確；當時，由可得，由可得所以的所有零點之和為，故C錯誤；當時，與有1個交點，即有1個零點，故D正確；故選：BD三、填空題17．函數(shù)的一個零點為1，則其另一個零點為______．【答案】【分析】由函數(shù)零點解出的值后再計算另一個零點，或利用韋達定理計算即可.【解析】解法一：因為函數(shù)的一個零點為1，將代入得，解得．所以．令，解得，，所以函數(shù)的另一個零點為．解法二：由函數(shù)的一個零點為1，可得方程的一個根為1，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得，所以另一個根為．故函數(shù)的另一個零點為．故答案為：.18．函數(shù)滿足以下條件：①的定義域為，其圖像是一條連續(xù)不斷的曲線；②，；③當且，；④恰有兩個零點，請寫出函數(shù)的一個解析式________【答案】（答案不唯一）【分析】由題意可得函數(shù)是偶函數(shù)，且在上為增函數(shù)，函數(shù)圖象與軸只有2個交點，由此可得函數(shù)解析式【解析】因為，，所以是偶函數(shù)，因為當且，，所以在上為增函數(shù)，因為恰有兩個零點，所以圖象與軸只有2個交點，所以函數(shù)的一個解析式可以為，故答案為：（答案不唯一）19．已知是定義域為的奇函數(shù)，函數(shù)，，當時，恒成立．現(xiàn)有下列四個結(jié)論：①在上單調(diào)遞增；②的圖象與x軸有2個交點；③；④不等式的解集為．其中所有正確結(jié)論的序號為___________．【答案】②③【分析】根據(jù)給定條件，探討函數(shù)的性質(zhì)，再逐一分析各個命題即可判斷作答.【解析】因當時，恒成立，則恒成立，即恒成立，因此恒成立，則在上單調(diào)遞減，而是上的奇函數(shù)，是上的奇函數(shù)，則是上的奇函數(shù)，因此函數(shù)是上的奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞減，命題①不正確；因，即，，顯然在上單調(diào)遞減，于是得的圖象與x軸有2個交點，命題②正確；顯然，即，則，因此，命題③正確；因奇函數(shù)在，上單調(diào)遞減，且，則當時，，當時，，不等式的解集為，命題④不正確．故答案為：②③20．中國古代近似計算方法源遠流長，早在八世紀，我國著名數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家張隧法號：一行為編制大衍歷發(fā)明了一種近似計算的方法二次插值算法又稱一行算法，牛頓也創(chuàng)造了此算法，但是比我國張隧晚了上千年：對于函數(shù)在處的函數(shù)值分別為，，，則在區(qū)間上可以用二次函數(shù)來近似代替，其中，，．若令，，，請依據(jù)上述算法，估算的近似值是_______．【答案】##0.96【分析】根據(jù)題意先求出，進而求出，然后求得，最后求得的近似值.【解析】函數(shù)在，，處的函數(shù)值分別為，，，故，，，故，即，所以．故答案為：.四、解答題21．已知函數(shù).(1)證明：函數(shù)是偶函數(shù)；(2)求函數(shù)的零點.【答案】(1)證明見解析；(2)和【分析】（1）先證明函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱，再證明即可；（2）利用對數(shù)運算對函數(shù)的解析式進行化簡，求解方程即可得到函數(shù)的零點.（1）證明：由，解得，∴函數(shù)的定義域為，且定義域關(guān)于原點對稱，又∵，∴是偶函數(shù).（2）解：，令，∴，解得.∴函數(shù)的零點為和.22．已知函數(shù)（且），若函數(shù)的圖象過點（2，24）．(1)求的值及函數(shù)的零點；(2)求的解集．【答案】(1)3，零點是0(2)[1，+∞）【分析】（1）代值求出函數(shù)的表達式，再根據(jù)零點的定義求解即可；（2）解不等式即可求出解集.【解析】（1）因為函數(shù)f（x）＝ax+1﹣3（a＞0且a≠1），圖象過點（2，24），所以24＝a2+1﹣3，a3＝27，a＝3．函數(shù)f（x）＝3x+1﹣3＝0，得x+1＝1，x＝0．所以函數(shù)的零點是0．（2）由f（x）≥6得3x+1﹣3≥6，即3x+1≥32，所以x≥1．則f（x）≥6的解集為[1，+∞）．23．由歷年市場行情知，從11月1日起的30天內(nèi)，某商品每件的銷售價格P（元）與時間t（天）的函數(shù)關(guān)系是日銷售量Q（件）與時間t（天）的函數(shù)關(guān)系是．(1)設(shè)該商品的日銷售額為y元，請寫出y與t的函數(shù)關(guān)系式（商品的日銷售額＝該商品每件的銷售價格×日銷售量）；(2)求該商品的日銷售額的最大值，并指出哪一天的銷售額最大．【答案】(1)(2)日銷售額的最大值為900元，且11月10日銷售額最大．【分析】（1）根據(jù)題目條件中給出的公式，直接計算，可得答案；（2）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合取值范圍，可得答案.（1）由題意知即（2）當，時，，所以當時，；當，時，，所以當時，．因為，所以日銷售額的最大值為900元，且11月10日銷售額最大．24．已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且當時，，函數(shù)在軸左側(cè)的圖象如圖所示．(1)求函數(shù)的解析式；(2)若關(guān)于的方程有個不相等的實數(shù)根，求實數(shù)的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用可求時的解析式，當時，利用奇偶性可求得時的的解析式，由此可得結(jié)果；（2）作出圖象，將問題轉(zhuǎn)化為與有個交點，數(shù)形結(jié)合可得結(jié)果.（1）由圖象知：，即，解得：，當時，；當時，，，為上的偶函數(shù)，當時，；綜上所述：；（2）為偶函數(shù)，圖象關(guān)于軸對稱，可得圖象如下圖所示，有個不相等的實數(shù)根，等價于與有個不同的交點，由圖象可知：，即實數(shù)的取值范圍為.25．已知函數(shù)，且．(1)求證：函數(shù)有兩個不同的零點；(2)設(shè)，是函數(shù)的兩個不同的零點，求的取值范圍．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)可得，再代入證明判別式大于0即可；（2）根據(jù)韋達定理化簡可得，進而求得范圍即可.（1）∵，∴．∴．對于方程，，∴恒成立．又，∴函數(shù)有兩個不同的零點．（2）由，是函數(shù)的兩個不同的零點，得，是方程的兩個根．∴，．∴．∴的取值范圍是．26．已知函數(shù)為偶函數(shù)．(1)求實數(shù)的值；(2)設(shè)函數(shù)的零點為，求證：．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）由可得答案；（2）求出，利用函數(shù)在上單調(diào)性得．再利用單調(diào)性定義判斷出在上單調(diào)遞增，利用單調(diào)性可得答案.（1）由，得，，所以，此時，時，，為偶函數(shù)，所以；（2）由（1）得，所以，因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，，所以，又對任意，，所以，即在上單調(diào)遞增，所以，即．27．給出下面兩個條件：①函數(shù)的圖象與直線只有一個交點；②函數(shù)的兩個零點的差的絕對值為.在這兩個條件中選擇一個，將下面問題補充完整，使函數(shù)的解析式確定.已知二次函數(shù)滿足，且______.(1)求的解析式；(2)若對任意，恒成立，求實數(shù)的取值范圍；(3)若函數(shù)有且僅有一個零點，求實數(shù)t的取值范圍.【答案】(1)選①，選②(2)(3)【分析】（1）利用已知條件求出、的值，可得出.選①，由題意可得出，可得出的值，即可得出函數(shù)的解析式；選②，由根與系數(shù)的關(guān)系求出的值，即可得出函數(shù)的解析式；（2），，由參變量分離法可得出，結(jié)合二次函數(shù)的基本性質(zhì)可求得實數(shù)的取值范圍；（3）令，所以關(guān)于的方程有且僅有一個正實根，對實數(shù)的取值進行分類討論，結(jié)合二次函數(shù)的零點分布可得出關(guān)于實數(shù)的不等式組，綜合可解得實數(shù)的取值范圍.（1）解：因為二次函數(shù)滿足，，所以，解得，所以.選①，因為函數(shù)的圖象與直線只有一個交點，所以，解得，所以的解析式為.選②，設(shè)、是函數(shù)的兩個零點，則，且，可得，由根與系數(shù)的關(guān)系可知，，所以，解得，所以的解析式為.（2）解：由，得，當時，，令，則，所以對任意，恒成立，等價于在上恒成立，所以，所以實數(shù)的取值范圍為.（3）解：因為函數(shù)有且僅有一個零點，令，所以關(guān)于的方程有且僅有一個正實根，因為，所以有且僅有一個正實根，當，即時，方程可化為，解得，不符合題意；當，即時，函數(shù)的圖象是開口向上的拋物線，且恒過點，所以方程恒有一個正實根；當，即時，要使得有且僅有一個正實根，，解得.綜上，實數(shù)的取值范圍為.28．已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線x＝1對稱，且函數(shù)為偶函數(shù)，函數(shù).(1)求函數(shù)的表達式；(2)求證：方程在區(qū)間上有唯一實數(shù)根；(3)若存在實數(shù)m，使得，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)證明見解析(3)【分析】（1）根據(jù)二次函數(shù)的對稱軸以及奇偶性即可求解，進而可求解析式，（2）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性以及零點存在性定理即可判斷，（3）將條件轉(zhuǎn)化為函數(shù)值域，即可求解.（1）∵的圖象關(guān)于直線x＝1對稱，∴.又為偶函數(shù)，∴，.∴.（2）設(shè)，∵，，∴.又，在區(qū)間上均單調(diào)遞減，∴在區(qū)間上單調(diào)遞減，∴在區(qū)間上存在唯一零點.∴方程在區(qū)間上有唯一實數(shù)根.（3）由題可知，，若存在實數(shù)m，使得