第08講二項分布超幾何分布及正態(tài)分布（教師版）

第08講二項分布、超幾何分布及正態(tài)分布（核心考點精講精練）1.4年真題考點分布4年考情考題示例考點分析關(guān)聯(lián)考點2023年全國甲卷（理），第19題,12分超幾何分布的均值超幾何分布的分布列計算幾個數(shù)的中位數(shù)獨立性檢驗解決實際問題2022年新Ⅱ卷，第13題,5分正態(tài)分布指定區(qū)間的概率/2021年新Ⅱ卷，第6題,5分正態(tài)分布的實際應(yīng)用/2.命題規(guī)律及備考策略【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的常考內(nèi)容，設(shè)題不定，難度中等或偏難，分值為512分【備考策略】1.理解、掌握二項分布的定義及計算2.理解、掌握超幾何分布的定義及計算3.理解、掌握正態(tài)分布的定義及計算【命題預(yù)測】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的?？純?nèi)容，一般給在大題中結(jié)合前面的的概率及分布列一起考查，需重點強化復(fù)習知識講解獨立重復(fù)試驗與二項分布獨立重復(fù)試驗二項分布定義在相同條件下重復(fù)做的n次試驗稱為n次獨立重復(fù)試驗在n次獨立重復(fù)試驗中，用X表示事件A發(fā)生的次數(shù)，設(shè)每次試驗中事件A發(fā)生的概率為p，此時稱隨機變量X服從二項分布，記作X～B(n，p)，并稱p為成功概率計算公式Ai(i＝1,2，…，n)表示第i次試驗結(jié)果，則P(A1A2A3…An)＝P(A1)P(A2)…P(An)在n次獨立重復(fù)試驗中，事件A恰好發(fā)生k次的概率為P(X＝k)＝Ceq\o\al(k,n)pk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)獨立重復(fù)試驗與二項分布問題的常見類型及解題策略(1)在求n次獨立重復(fù)試驗中事件恰好發(fā)生k次的概率時，首先要確定好n和k的值，再準確利用公式求概率．(2)在根據(jù)獨立重復(fù)試驗求二項分布的有關(guān)問題時，關(guān)鍵是理清事件與事件之間的關(guān)系，確定二項分布的試驗次數(shù)n和變量的概率，繼而求得概率．兩點分布X01P1－pp這樣的分布列叫做兩點分布列．如果隨機變量X的分布列為兩點分布列，就稱X服從兩點分布，而稱p＝P(X＝1)為成功概率．超幾何分布列一般地，在含有M件次品的N件產(chǎn)品中，任取n件，其中恰有X件次品，則事件{X＝k}發(fā)生的概率為P(X＝k)＝eq\f(C\o\al(k,M)C\o\al(n－k,N－M),C\o\al(n,N))，k＝0,1,2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*，稱分布列為超幾何分布列．如果隨機變量X的分布列為超幾何分布列，則稱隨機變量X服從超幾何分布.X01…mPeq\f(C\o\al(0,M)C\o\al(n－0,N－M),C\o\al(n,N))eq\f(C\o\al(1,M)C\o\al(n－1,N－M),C\o\al(n,N))…eq\f(C\o\al(m,M)C\o\al(n－m,N－M),C\o\al(n,N))正態(tài)分布正態(tài)曲線的特點(1)曲線位于x軸上方，與x軸不相交；(2)曲線是單峰的，它關(guān)于直線x＝μ對稱；(3)曲線在x＝μ處達到峰值eq\f(1,σ\r(2π))；(4)曲線與x軸之間的面積為1；(5)當σ一定時，曲線的位置由μ確定，曲線隨著μ的變化而沿x軸平移；(6)當μ一定時，曲線的形狀由σ確定，σ越小，曲線越“瘦高”，表示總體的分布越集中；σ越大，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散．正態(tài)分布的三個常用數(shù)據(jù)(1)P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0．6826；(2)P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0．9544；(3)P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝0．9974.考點一、二項分布1．（2023·廣東·統(tǒng)考模擬預(yù)測）某工廠車間有6臺相同型號的機器，各臺機器相互獨立工作，工作時發(fā)生故障的概率都是，且一臺機器的故障由一個維修工處理．已知此廠共有甲、乙、丙3名維修工，現(xiàn)有兩種配備方案，方案一：由甲、乙、丙三人維護，每人負責2臺機器；方案二：由甲乙兩人共同維護6臺機器，丙負責其他工作.(1)對于方案一，設(shè)X為甲維護的機器某一時刻發(fā)生故障的臺數(shù)，求X的分布列與數(shù)學期望E（X）；(2)在兩種方案下，分別計算某一時刻機器發(fā)生故障時不能得到及時維修的概率，并以此為依據(jù)來判斷，哪種方案能使工廠的生產(chǎn)效率更高？【答案】(1)分布列見解析，(2)，，方案二能讓故障機器更大概率得到及時維修，使得工廠的生產(chǎn)效率更高．【分析】（1）根據(jù)題意得到隨機變量，結(jié)合獨立重復(fù)試驗的概率計算公式求得相應(yīng)的概率，列出分布列，結(jié)合期望的公式，即可求解；（2）根據(jù)題意，分別求得方案一和方案二中，結(jié)合對立事件和獨立重復(fù)試驗的概率計算公式，分別求得機器發(fā)生故障時不能及時維修的概率和，根據(jù)大小關(guān)系，即可得到結(jié)論.【詳解】（1）解：由題意，車間有6臺相同型號的機器，各臺機器相互獨立工作，工作時發(fā)生故障的概率都是，可得方案一中，隨機變量，則，，，所以隨機變量的分布列為：X012P所以期望為．（2）解：對于方案一：“機器發(fā)生故障時不能及時維修”等價于“甲、乙、丙三人中，至少有一人負責的2臺機器同時發(fā)生故障”，設(shè)機器發(fā)生故障時不能及時維修的概率為，則其概率為．對于方案二：設(shè)機器發(fā)生故障時不能及時維修的概率為，則，可得，即方案二能讓故障機器更大概率得到及時維修，使得工廠的生產(chǎn)效率更高．2．（2023·湖南株洲·統(tǒng)考一模）2023年亞運會在中國杭州舉辦，開幕式門票與其他賽事門票在網(wǎng)上開始預(yù)定，亞奧理事會規(guī)定：開幕式門票分為A、B兩檔，當預(yù)定A檔未成功時，系統(tǒng)自動進入B檔預(yù)定，已知獲得A檔門票的概率是，若未成功，仍有的概率獲得B檔門票的機會；而成功獲得其他賽事門票的概率均為，且獲得每張門票之間互不影響．甲預(yù)定了一張A檔開幕式門票，一張賽事門票；乙預(yù)定了兩張賽事門票．(1)求甲乙兩人都沒有獲得任何門票的概率；(2)求乙獲得的門票數(shù)比甲多的概率．【答案】(1)(2)【分析】（1）設(shè)甲、乙獲得的門票數(shù)分別為、，分別求、的分布列，進而可得結(jié)果；（2）“乙獲得的門票數(shù)比甲多”有3種可能、和，結(jié)合（1）中的數(shù)據(jù)運算求解.【詳解】（1）由題意可得：預(yù)定一張開幕式門票不成功的概率，成功的概率為，設(shè)甲獲得的門票數(shù)為，則的可能取值為，故，故的分布列為：012設(shè)乙獲得的門票數(shù)為，則，故，故的分布列為：012故甲乙兩人都沒有獲得任何門票的概率.（2）由（1）可得：乙獲得的門票數(shù)比甲多的概率.3．（2023·湖南常德·二模）某大學一個專業(yè)團隊為某專業(yè)大學生研究了多款學習軟件，其中有，，三款軟件投入使用，經(jīng)一學年使用后，團隊調(diào)查了這個專業(yè)大一四個班的使用情況，從各班抽取的樣本人數(shù)如下表：班級一二三四人數(shù)(1)從這人中隨機抽取人，求這人恰好來自同一班級的概率；(2)從這名學生中，指定甲、乙、丙三人為代表，已知他們下午自習時間每人選擇一款軟件，其中選，兩款軟件學習的概率都是，且他們選擇，，任一款軟件都是相互獨立的，設(shè)這三名學生中下午自習時間選軟件的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學期望．【答案】(1)(2)分布列見解析，【分析】（1）結(jié)合組合的應(yīng)用，根據(jù)古典概型公式求解即可；（2）由題知，甲乙丙同學選擇任一款軟件學習的概率是，，進而根據(jù)二項分布求解即可.【詳解】（1）解：由題知，從這人中隨機抽取人，共有種可能情況，記“這人恰好來自同一班級”為事件，則事件包含的可能情況有：種，所以，（2）解：由題知，的可能取值為，因為選，兩款軟件學習的概率都是，且他們選擇，，任一款軟件都是相互獨立的所以，他們選擇款軟件學習的概率是所以，這三名學生中下午自習時間選軟件的人數(shù)為所以，，，，；所以，的分布列為：所以，4．（2023·湖南衡陽·校聯(lián)考模擬預(yù)測）某區(qū)在高中階段舉行的物理實驗技能操作競賽分基本操作與技能操作兩步進行，第一步基本操作：每位參賽選手從類7道題中任選4題進行操作，操作完后正確操作超過兩題的（否則終止比賽），才能進行第二步技能操作：從類5道題中任選3題進行操作，直至操作完為止.類題操作正確得10分，類題操作正確得20分.以兩步總分和決定優(yōu)勝者.總分80分或90分為二等獎，100分為一等獎.某校選手李明類7題中有5題會操作，類5題中每題正確操作的概率均為，且各題操作互不影響.(1)求李明被終止比賽的概率；(2)現(xiàn)已知李明類題全部操作正確，求李明類題操作完后得分的分布列及期望；(3)求李明獲二等獎的概率.【答案】(1)(2)分布列見解析，(3)【分析】（1）設(shè)“李明被終止比賽”事件為表示選的4題均會操作或3題會操作，結(jié)合對立事件的概率計算公式，即可求解；（2）根據(jù)題意得到得分為的取值，結(jié)合類題正確操作題數(shù)，利用重復(fù)試驗的概率計算公式，求得概率，列出分布列，求解數(shù)學期望；（3）根據(jù)題意得到事件即類題全部操作正確，類題正確操作2題或類題操作正確3題，類題全部正確操作，結(jié)合概率的運算公式，即可求解.【詳解】（1）解：設(shè)“李明被終止比賽”事件為表示選的4題均會操作或3題會操作，故李明被終止比賽的概率.（2）解：設(shè)李明在競賽中，類題全部操作正確后得分為，則的取值為，且類題正確操作題數(shù)，可得；；；所求的分布列406080100.（3）解：設(shè)李明獲二等獎的事件為，事件即類題全部操作正確，類題正確操作2題或類題操作正確3題，類題全部正確操作，所以李明獲二等獎的概率為.5．（2023·安徽六安·安徽省舒城中學校考一模）自年底開始，一種新型冠狀病毒COVID19開始肆虐全球.人感染了新型冠狀病毒后初期常見發(fā)熱乏力、咽痛干咳、鼻塞流涕、腹痛腹瀉等癥狀，嚴重者可致呼吸困難、臟器衰竭甚至死亡.目前篩查冠狀病毒的手段主要是通過鼻拭子或咽拭子采集樣本，再進行核酸檢驗是否為陽性來判斷.假設(shè)在接受檢驗的樣本中，每份樣本的檢驗結(jié)果（陽性?陰性）是相互獨立的，且每份樣本是陽性結(jié)果的概率均為.(1)若，現(xiàn)對份樣本進行核酸檢測，求這份中檢驗結(jié)果為陽性的份數(shù)的分布列及期望；(2)若，現(xiàn)有份樣本等待檢驗，并提供“合”檢驗方案：將份樣本混合在一起檢驗.若檢驗結(jié)果為陰性，則可認為該混合樣本中的每個人都為陰性；若檢驗結(jié)果為陽性，則要求該組中各個樣本必須再逐個檢驗.試比較用“合”檢驗方案所需的檢驗次數(shù)的期望與的大小.【答案】(1)分布列答案見解析，(2)答案見解析【分析】（1）分析可知，利用二項分布可得出隨機變量的分布，利用二項分布的期望公式可求得的值；（2）計算出，令可得出，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，比較與的大小關(guān)系，即可得出與的大小.【詳解】（1）解：記陽性人數(shù)為，則，，，，，，所以，隨機變量的分布列如下表所示：所以，.（2）解：記所需化驗次數(shù)為，則的可能取值為、、，，則，所以，，，，，令，可得，則，所以，，即，令，則.當時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增，當時，，此時函數(shù)單調(diào)遞減，，當時，恒成立，，則當時，恒成立，當時，恒成立.綜上所述，當且時，，則，當時，，則，當且時，，則.【點睛】方法點睛：求離散型隨機變量均值與方差的基本方法：（1）已知隨機變量的分布列求它的均值、方差，按定義求解．（2）已知隨機變量的均值、方差，求的線性函數(shù)的均值、方差，可直接用的均值、方差的性質(zhì)求解；（3）如果所給隨機變量是服從常用的分布（如兩點分布、二項分布等），利用它們的均值、方差公式求解．6．（2023·江西·校聯(lián)考模擬預(yù)測）某企業(yè)對生產(chǎn)設(shè)備進行優(yōu)化升級，升級后的設(shè)備控制系統(tǒng)由個相同的元件組成，每個元件正常工作的概率均為，各元件之間相互獨立.當控制系統(tǒng)有不少于k個元件正常工作時，設(shè)備正常運行，否則設(shè)備停止運行，記設(shè)備正常運行的概率為（例如：表示控制系統(tǒng)由3個元件組成時設(shè)備正常運行的概率；表示控制系統(tǒng)由5個元件組成時設(shè)備正常運行的概率）.(1)若，當時，求控制系統(tǒng)中正常工作的元件個數(shù)X的分布列和數(shù)學期望，并求；(2)已知設(shè)備升級前，單位時間的產(chǎn)量為a件，每件產(chǎn)品的利潤為1元，設(shè)備升級后，在正常運行狀態(tài)下，單位時間的產(chǎn)量是原來的4倍，且出現(xiàn)了高端產(chǎn)品，每件產(chǎn)品成為高端產(chǎn)品的概率為，每件高端產(chǎn)品的利潤是2元.記設(shè)備升級后單位時間內(nèi)的利潤為Y（單位：元）.（i）請用表示；（ii）設(shè)備升級后，在確?？刂葡到y(tǒng)中元件總數(shù)為奇數(shù)的前提下，分析該設(shè)備能否通過增加控制系統(tǒng)中元件的個數(shù)來提高利潤.【答案】(1)分布列見解析，，(2)（i），（ii）答案見解析【分析】（1）由題意可知，利用二項分布求解即可求得期望，根據(jù)互斥事件的和事件的概率公式求解；（2）（i）先寫出升級改造后單位時間內(nèi)產(chǎn)量的分布列congestion求出設(shè)備升級后單位時間內(nèi)的利潤，即為；（ii）分類討論求出與的關(guān)系，做差比較大小即可得出結(jié)論.【詳解】（1）因為，所以控制系統(tǒng)中正常工作的元件個數(shù)的可能取值為0，1，2，3；因為每個元件的工作相互獨立，且正常工作的概率均為，所以，所以，，，所以控制系統(tǒng)中正常工作的元件個數(shù)的分布列為0123控制系統(tǒng)中正常工作的元件個數(shù)的數(shù)學期望為，；（2）（i）升級改造后單位時間內(nèi)產(chǎn)量的分布列為產(chǎn)量0設(shè)備運行概率所以升級改造后單位時間內(nèi)產(chǎn)量的期望為；所以產(chǎn)品類型高端產(chǎn)品一般產(chǎn)品產(chǎn)量（單位：件）利潤（單位：元）21設(shè)備升級后單位時間內(nèi)的利潤為，即；（ii）因為控制系統(tǒng)中元件總數(shù)為奇數(shù)，若增加2個元件，則第一類：原系統(tǒng)中至少有個元件正常工作，其概率為；第二類：原系統(tǒng)中恰好有個元件正常工作，新增2個元件中至少有1個正常工作，其概率為；第三類：原系統(tǒng)中有個元件正常工作，新增2個元件全部正常工作，其概率為；所以，則，所以當時，，單調(diào)遞增，即增加元件個數(shù)設(shè)備正常工作的概率變大，當時，，即增加元件個數(shù)設(shè)備正常工作的概率沒有變大，又因為，所以當時，設(shè)備可以通過增加控制系統(tǒng)中元件的個數(shù)來提高利潤；當時，設(shè)備不可以通過增加控制系統(tǒng)中元件的個數(shù)來提高利潤．【點睛】關(guān)鍵點點睛：分析增加2個元件后，分三類求解，求出是解題的難點與關(guān)鍵.1．（2023·浙江金華·統(tǒng)考模擬預(yù)測）為迎接“五一小長假”的到來，某商場開展一項促銷活動，凡在商場消費金額滿200元的顧客可以免費抽獎一次，抽獎規(guī)則如下：在不透明箱子中裝有除顏色外其他都相同的10個小球，其中，紅球2個，白球3個，黃球5個，顧客從箱子中依次不放回地摸出2個球，根據(jù)摸出球的顏色情況分別進行兌獎.將顧客摸出的2個球的顏色分成以下四種情況：：1個紅球1個白球，：2個紅球，：2個白球，：至少一個黃球.若四種情況按發(fā)生的概率從小到大的順序分別對應(yīng)一等獎，二等獎，三等獎，不中獎.(1)求顧客在某次抽獎中，第二個球摸到為紅球的概率(2)求顧客分別獲一?二?三等獎時對應(yīng)的概率；(3)若三名顧客每人抽獎一次，且彼此是否中獎相互獨立.記中獎的人數(shù)為，求的分布列和期望.【答案】(1)(2)顧客分別獲一?二?三等獎的概率分別為、、(3)分布列答案見解析，【分析】（1）根據(jù)相互獨立事件與互斥事件的概率公式計算可得；（2）根據(jù)古典概型的概率公式及組合數(shù)公式計算可得；（3）由（2）可知，顧客抽獎一次獲獎的概率為，則，利用二項分布的概率公式求出分布列與數(shù)學期望.【詳解】（1）設(shè)顧客第次摸到紅球為，則；（2）由題意知，，，，，因此，顧客分別獲一?二?三等獎的概率分別為、、；（3）由（2）可知，顧客抽獎一次獲獎的概率為，則，所以，，，，則分布列為：123數(shù)學期望.2．（2023·江蘇揚州·揚州中學?？寄M預(yù)測）學校組織A，B，C，D，E五位同學參加某大學的測試活動，現(xiàn)有甲、乙兩種不同的測試方案，每位同學隨機選擇其中的一種方案進行測試，選擇甲方案測試合格的概率為，選擇乙方案測試合格的概率為，且每位同學測試的結(jié)果互不影響.(1)若5位同學全選擇甲方案，將測試合格的同學的人數(shù)記為X，求X的分布列及其方差；(2)若測試合格的人數(shù)的期望值不小于3，求選擇甲方案進行測試的同學的可能人數(shù).【答案】(1)分布列見詳解；.(2)【分析】（1）由條件確定隨機變量X的可能取值，則，由此可得其分布列，求得方差；（2）設(shè)選擇甲方案測試的學生人數(shù)為，則選擇乙方案測試的學生人數(shù)為，并設(shè)通過甲方案測試合格的學生人數(shù)為，通過乙方案測試合格的學生人數(shù)為，利用二項分布期望公式和期望的性質(zhì)求，由條件確定的取值.【詳解】（1）由已知隨機變量X的取值有,則.；；；；；.所以X的分布列為X012345P方差.（2）設(shè)選擇甲方案測試的學生人數(shù)為，則選擇乙方案測試的學生人數(shù)為，并設(shè)通過甲方案測試合格的學生人數(shù)為，通過乙方案測試合格的學生人數(shù)為，當時，此時所有學生均選擇乙方案測試，則，所以，不符合題意；當時，此時所有學生均選擇甲方案測試，則，所以，符合題意；當時，，，所以，又，則，故當時，符合題意.綜上，所以.所以當選擇甲方案測試的學生人數(shù)為時，測試合格的人數(shù)的均值不小于3.3．（2023·江蘇揚州·江蘇省高郵中學校考模擬預(yù)測）某市為了更好地了解全體中小學生感染某種病毒后的情況，以便及時補充醫(yī)療資源，從全市中小學生中隨機抽取了100名該病毒抗原檢測為陽性的中小學生監(jiān)測其健康狀況，100名中小學生感染某種病毒后的疼痛指數(shù)為X，并以此為樣本得到了如下圖所示的表格：疼痛指數(shù)X人數(shù)10819名稱無癥狀感染者輕癥感染者重癥感染者(1)統(tǒng)計學中常用表示在事件A發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的似然比．現(xiàn)從樣本中隨機抽取1名學生，記事件A為“該名學生為有癥狀感染者（輕癥感染者和重癥感染者統(tǒng)稱為有狀感染者）”，事件B為“該名學生為重癥感染者”，求事件A發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的似然比；(2)若該市所有該病毒抗原檢測為陽性的中小學生的疼痛指數(shù)X近似服從正態(tài)分布，且．若從該市眾多抗原檢測為陽性的中小學生中隨機地抽取3名，設(shè)這3名學生中輕癥感染者人數(shù)為Y，求Y的概率分布列及數(shù)學期望．【答案】(1)(2)答案見解析【分析】（1）應(yīng)用條件概率公式計算求解即可；（2）應(yīng)用，由二項分布分別寫出求分布列及計算數(shù)學期望.【詳解】（1）由題意得：，，，.（2），，則，可能的取值為，的分布列為：0123數(shù)學期望.4．（2023·吉林通化·梅河口市第五中學校考模擬預(yù)測）某學校三年級開學之初增加早自習，早飯在校食堂就餐人數(shù)增多，為了緩解就餐壓力，學校在原有一個餐廳的基礎(chǔ)上增加了一個餐廳，分別記做餐廳甲和餐廳乙，經(jīng)過一周左右統(tǒng)計調(diào)研分析：前一天選擇餐廳甲就餐第二天選擇餐廳甲就餐的概率是，擇餐廳乙就餐的概率為，前一天選擇餐廳乙就餐第二天選擇餐廳乙就餐的概率是，選擇餐廳甲就餐的概率也為，如此往復(fù).假設(shè)學生第一天選擇餐廳甲就餐的概率是，選擇餐廳乙就餐的概率是，記某同學第天選擇甲餐廳就餐的概率為.(1)記某班級的3位同學第二天選擇餐廳甲的人數(shù)為，求的分布列，并求；(2)請寫出的通項公式；【答案】(1)分布列見解析，(2)【分析】（1）先求某同學第二天選擇餐廳甲就餐的概率，然后根據(jù)二項分布的概率公式求出概率，可得概率分布，利用二項分布期望公式可得期望；（2）根據(jù)題意先求與的關(guān)系，然后利用構(gòu)造法可得通項.【詳解】（1）某同學第二天選擇餐廳甲就餐的概率，某同學第二天選擇餐廳乙就餐的概率，所以位同學第二天選擇餐廳甲就餐的人數(shù)為，則.的分布列為0123故（2）依題意，，即.由（1）知，則當時，可得，數(shù)列是首項為公比為的等比數(shù)列.5．（2023·江蘇連云港·?？寄M預(yù)測）某活動現(xiàn)場設(shè)置了抽獎環(huán)節(jié)，在盒中裝有9張大小相同的精美卡片，卡片上分別印有“敬業(yè)”或“愛國”圖案，抽獎規(guī)則：參加者從盒中抽取卡片兩張，若抽到兩張分別是“愛國”和“敬業(yè)”卡即可獲獎；否則，均為不獲獎．卡片用后放回盒子，下一位參加者繼續(xù)重復(fù)進行．活動開始后，一位參加者問：“盒中有幾張“愛國”卡？”主持人答：“我只知道，從盒中抽取兩張都是“敬業(yè)”卡的概率是.”(1)求抽獎?wù)攉@獎的概率；(2)為了增加抽獎的趣味性，規(guī)定每個抽獎?wù)呦葟难b有9張卡片的盒中隨機抽出1張不放回，再用剩下8張卡片按照之前的抽獎規(guī)則進行抽獎，現(xiàn)有甲、乙、丙三人依次抽獎，用X表示獲獎的人數(shù)，求X的分布列和均值．【答案】(1)(2)分布列見解析，【分析】（1）設(shè)“敬業(yè)”卡有n張，根據(jù)已知列出關(guān)系式解出的值，然后即可得出答案；（2）先求出下規(guī)則下，每人獲獎的概率.由已知可得，進而即可根據(jù)二項分布的分布列以及均值公式，得出答案.【詳解】（1）設(shè)“敬業(yè)”卡有n張，由已知可得，解得，故“愛國”卡有5張，抽獎?wù)攉@獎的概率為.（2）若抽出的為“敬業(yè)”卡，則每個抽獎?wù)攉@獎的概率為，若抽出的為“愛國”卡，則每個抽獎?wù)攉@獎的概率為，所以，新規(guī)則下，每個抽獎?wù)攉@獎的概率為，所以，（，1，2，3），則X的分布列為X0123P所以.6．（2023·廣東茂名·統(tǒng)考二模）春節(jié)過后，文化和旅游業(yè)逐漸復(fù)蘇，有意跨省游、出境游的旅客逐漸增多.某旅游景區(qū)為吸引更多游客，計劃在社交媒體平臺和短視頻平臺同時投放宣傳廣告并進行線上售票，通過近些年的廣告數(shù)據(jù)分析知，一輪廣告后，在短視頻平臺宣傳推廣后，目標用戶購買門票的概率為，在社交媒體平臺宣傳推廣后，目標用戶購買門票的概率為；二輪廣告精準投放后，目標用戶在短視頻平臺進行復(fù)購的概率為，在社交媒體平臺復(fù)購的概率為.(1)記在短視頻平臺購票的4人中，復(fù)購的人數(shù)為，若，試求的分布列和期望；(2)記在社交媒體平臺的3名目標用戶中，恰有1名用戶購票并復(fù)購的概率為，當取得最大值時，為何值？(3)為優(yōu)化成本，該景區(qū)決定綜合渠道投放效果的優(yōu)劣，進行廣告投放戰(zhàn)略的調(diào)整.已知景區(qū)門票100元/人，在短視頻平臺和社交媒體平臺的目標用戶分別在90萬人和17萬人左右，短視頻平臺和社交媒體平臺上的廣告投放費用分別為4元/100人和5元/100人，不計宣傳成本的景區(qū)門票利潤率分別是2%和5%，在第（2）問所得值的基礎(chǔ)上，試分析第一次廣告投放后，景區(qū)在兩個平臺上的目標用戶身上可獲得的凈利潤總額.【答案】(1)分布列見解析；當時，期望為1；當時，期望為3；(2)(3)805500元【分析】（1）復(fù)購的人數(shù)滿足，故通過可求得或，然后分兩種情況進行求分布列和期望即可；（2）設(shè)在社交媒體平臺的目標用戶購票并復(fù)購的概率為，由題得,，故可計算得，通過導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性即可求得最大值，求得此時的值；（3）根據(jù)題意，分兩個平臺進行計算凈利潤，最后進行求和即可【詳解】（1）由題意得,在短視頻平臺購票的人中,復(fù)購概率為，復(fù)購的人數(shù)滿足二項分布，即，故,故或.又知的所有可能取值為0，1，2，3，4，①當時,的分布列為01234此時期望為，②時,，所以的分布列為01234此時期望為（2）設(shè)在社交媒體平臺的目標用戶購票并復(fù)購的概率為，由題得,.,,令,得或1，所以時,，函數(shù)單調(diào)遞增,當時,，函數(shù)單調(diào)遞減.故當取得最大值.由可得，此時.（3）短視頻平臺:(元),社交媒體平臺:(元),凈利潤總額:(元).故景區(qū)在兩個平臺上的目標用戶身上可獲得的凈利潤總額為805500元.【點睛】方法點睛：這道題的信息量較多，要求考生在閱讀理解的基礎(chǔ)上，依據(jù)題目提供的信息，聯(lián)系所學的知識和方法，實現(xiàn)信息的遷移，達到靈活解題的目的考點二、超幾何分布1．（2023·陜西漢中·校聯(lián)考模擬預(yù)測）教育是阻斷貧困代際傳遞的根本之策．補齊貧困地區(qū)義務(wù)教育發(fā)展的短板，讓貧困家庭子女都能接受公平而有質(zhì)量的教育，是夯實脫貧攻堅根基之所在．治貧先治愚，扶貧先扶智．為了解決某貧困地區(qū)教師資源匱乏的問題，某市教育局擬從5名優(yōu)秀教師中抽選人員分批次參與支教活動．支教活動共分3批次進行，每次支教需要同時派送2名教師，且每次派送人員均從這5人中隨機抽選．已知這5名優(yōu)秀教師中，2人有支教經(jīng)驗，3人沒有支教經(jīng)驗．(1)求5名優(yōu)秀教師中的“甲”，在這3批次支教活動中恰有兩次被抽選到的概率；(2)求第一次抽取到無支教經(jīng)驗的教師人數(shù)的分布列；【答案】(1)(2)分布列見解析【分析】（1）根據(jù)二項分布的概率公式即可求解，（2）根據(jù)超幾何分布的概率公式即可求解概率，進而可求解分布列.【詳解】（1）5名優(yōu)秀教師中的“甲”在每輪抽取中，被抽取到的概率為，則三次抽取中，“甲”恰有兩次被抽取到的概率為；（2）X表示第一次抽取到的無支教經(jīng)驗的教師人數(shù)，X的可能取值有0，1，2．；；．所以分布列為：X012P2．（2023·內(nèi)蒙古呼和浩特·統(tǒng)考二模）文化月活動中，某班級在宣傳欄貼出標語“學好數(shù)學好”，可以不同斷句產(chǎn)生不同意思，“學/好數(shù)學/好”指要學好的數(shù)學，“學好/數(shù)學/好”強調(diào)數(shù)學學習的重要性，假設(shè)一段時間后，隨機有個字脫落．(1)若，用隨機變量表示脫落的字中“學”的個數(shù)，求隨機變量的分布列及期望；(2)若，假設(shè)某同學檢起后隨機貼回，求標語恢復(fù)原樣的概率．【答案】(1)分布列見解析，【分析】(1)利用超幾何概率分布模型求解即可；(2)根據(jù)掉落的兩個字的不同情況進行分類討論求解.【詳解】（1）方法一：隨機變量X的可能取值為0，1，2，，，，隨機變量X的分布列如下表：X012P隨機變量X的期望為法二：隨機變量X服從超幾何分布，所以.（2）設(shè)脫落一個“學”為事件，脫落一個“好”為事件，脫落一個“數(shù)”為事件，事件為脫落兩個字，，，，，，所以某同學撿起后隨機貼回，標語恢復(fù)原樣的概率為，法二：掉下的兩個字不同的概率為，所以標語恢復(fù)原樣的概率為．3．（2023·全國·鎮(zhèn)海中學校聯(lián)考模擬預(yù)測）某學校從全體師生中隨機抽取30位男生、30位女生、12位教師一起參加社會實踐活動.(1)假設(shè)30位男生身高均不相同，記其身高的第80百分位數(shù)為，從學校全體男生中隨機選取3人，記為3人中身高不超過的人數(shù)，以頻率估計概率求的分布列及數(shù)學期望；(2)從參加社會實踐活動的72人中一次性隨機選出30位，記被選出的人中恰好有個男生的概率為，求使得取得最大值的的值.【答案】(1)分布列見解析，數(shù)學期望為；(2).【分析】（1）所有可能的取值為，且，根據(jù)二項分布的概率公式求解，從而可得分布列與期望；（2）設(shè)事件為“被選出的人中恰好有位男生”，求解即可.【詳解】（1）所有可能的取值為，且.；；；.故的分布列為0123所以.（2）設(shè)事件為“被選出的人中恰好有位男生”，則30個人中剩下個人為女生或者老師，事件包含樣本點的個數(shù)為，所以.所以，解得.所以，故當時，最大.4．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）一項試驗旨在研究臭氧效應(yīng).實驗方案如下：選40只小白鼠，隨機地將其中20只分配到實驗組，另外20只分配到對照組，實驗組的小白鼠飼養(yǎng)在高濃度臭氧環(huán)境，對照組的小白鼠飼養(yǎng)在正常環(huán)境，一段時間后統(tǒng)計每只小白鼠體重的增加量（單位：g）.(1)設(shè)表示指定的兩只小白鼠中分配到對照組的只數(shù)，求的分布列和數(shù)學期望；(2)實驗結(jié)果如下：對照組的小白鼠體重的增加量從小到大排序為：實驗組的小白鼠體重的增加量從小到大排序為：（i）求40只小鼠體重的增加量的中位數(shù)m，再分別統(tǒng)計兩樣本中小于m與不小于的數(shù)據(jù)的個數(shù)，完成如下列聯(lián)表：對照組實驗組（ii）根據(jù)（i）中的列聯(lián)表，能否有95%的把握認為小白鼠在高濃度臭氧環(huán)境中與正常環(huán)境中體重的增加量有差異．附：【答案】(1)分布列見解析，(2)（i）；列聯(lián)表見解析，（ii）能【分析】（1）利用超幾何分布的知識即可求得分布列及數(shù)學期望；（2）（i）根據(jù)中位數(shù)的定義即可求得，從而求得列聯(lián)表；（ii）利用獨立性檢驗的卡方計算進行檢驗，即可得解.【詳解】（1）依題意，的可能取值為，則，，，所以的分布列為：故.（2）（i）依題意，可知這40只小白鼠體重增量的中位數(shù)是將兩組數(shù)據(jù)合在一起，從小到大排后第20位與第21位數(shù)據(jù)的平均數(shù)，觀察數(shù)據(jù)可得第20位為，第21位數(shù)據(jù)為，所以，故列聯(lián)表為：合計對照組61420實驗組14620合計202040（ii）由（i）可得，，所以能有的把握認為小白鼠在高濃度臭氧環(huán)境中與正常環(huán)境中體重的增加量有差異.1．（2023·陜西銅川·?？家荒＃┠称放茝S為了更好地提升品牌的性能，進行了問卷調(diào)查，問卷滿分為100分，現(xiàn)從中選出具有代表性的50份調(diào)查問卷加以研究．現(xiàn)將這50份問卷按成績分成如下五組：第一組，3份；第二組，8份；第三組；第四組；第五組，4份；已知其中得分高于60分的問卷份數(shù)為20．(1)在第二組與第四組問卷中任取兩份，這兩份問卷成績得分差不低于20分的概率；(2)如果在這50份調(diào)查問卷中隨機取4份，其中及格份數(shù)記為隨機變量X，寫出X的分布列（結(jié)果只要求用組合數(shù)表示），并求出期望．【答案】(1)；(2)分布列見解析，.【分析】（1）由題意可得第四組有16份問卷，所取兩份問卷分差不低于20分，故在第二組與第四組中各取一人，由古典概型的計算公式即可求解；（2）隨機變量X取值為0，1，2，3，4，求出各變量對應(yīng)的概率，即可得到分布列與期望.【詳解】（1）由于成績在的問卷為4份，又得分高于60分的問卷份數(shù)為20，故第四組有16份問卷.由于所取兩份問卷分差不低于20分，故由題意知是在第二組與第四組中各取一人，故所求概率為．（2）由題意知隨機變量X取值為0，1，2，3，4．，X的分布列為：X01234所以期望．2．（2023·吉林白山·撫松縣第一中學?？寄M預(yù)測）為提升教師的命題能力，重慶市第一中學定期舉辦教師命題大賽，大賽分初賽和復(fù)賽，初賽共進行4輪比賽，4輪比賽命制的題目均可適用于高一，高二，高三年級，每輪比賽結(jié)果互不影響．比賽規(guī)則如下：每一輪比賽，限時60分鐘，要在指定的知識范圍內(nèi)，命制非解答題，解答題各2道，若有不少于3道題目入選，將獲得“優(yōu)秀獎”，4輪比賽中，至少獲得3次“優(yōu)秀獎”的教師將進入復(fù)賽．為了能進入復(fù)賽，教師甲賽前多次進行命題模擬訓(xùn)練，指導(dǎo)老師從教師甲模擬訓(xùn)練命制的題目中，隨機抽取了4道非解答題和4道解答題，其中有3道非解答題和2道解答題符合入選標準．(1)若從模擬訓(xùn)練命制的題目中所抽取的8道題目中，隨機抽取非解答題，解答題各2道，由此來估計教師甲在一輪比賽中的獲獎情況，試預(yù)測教師甲在一輪比賽中獲得“優(yōu)秀獎”的概率；(2)若以模擬訓(xùn)練命制的題目中所抽取的8道題目中兩類題目各自入選的頻率作為每道該類題目入選的概率，經(jīng)指導(dǎo)老師對教師甲進行賽前強化訓(xùn)練后，每道非解答題入選的概率不變，每道解答題入選的概率比強化訓(xùn)練前大，以獲得“優(yōu)秀獎”次數(shù)的期望作為判斷依據(jù)，試預(yù)測教師甲能否進入復(fù)賽？【答案】(1)(2)教師甲不能進入復(fù)賽【分析】（1）考慮教師甲獲得優(yōu)秀獎的三種情況，分別計算概率相加得到答案.（2）計算教師甲獲得“優(yōu)秀獎”的概率為，則，，得到答案．【詳解】（1）設(shè)為事件：“在一輪比賽中，教師甲獲得優(yōu)秀獎”，則事件發(fā)生的所有情況有：①符合入選標準的非解答題入選1道，解答題入選2道的概率為；②符合入選標準的非解答題入選2道，解答題入選1道的概率為；③符合入選標準的非解答題，解答題各入選2道的概率為．所以．（2）強化訓(xùn)練后，每道非解答題入選的概率為，每道解答題入選的概率為，則強化訓(xùn)練后，教師甲在一輪比賽中可獲得“優(yōu)秀獎”的概率為：，因為每輪比賽結(jié)果互不影響，所以進行4輪比賽可看作4重伯努利試驗．用表示教師甲在4輪比賽中獲得“優(yōu)秀獎”的次數(shù)，則．，故教師甲不能進入復(fù)賽．3．（2023·全國·模擬預(yù)測）2023年春節(jié)期間，電影院有多部新片上映，某傳媒公司調(diào)查了消費者的購票途徑，數(shù)據(jù)顯示超八成用戶選擇線上購買電影票，已知有A，B，C，D，E，F(xiàn)，G，H這8個線上購票平臺，現(xiàn)隨機抽取了200名線上消費者并統(tǒng)計他們在這8個平臺上購買春節(jié)檔電影票的人數(shù)（假設(shè)每個消費者只選用一個購票平臺購買春節(jié)檔電影票）以及曾經(jīng)使用過這8個平臺購買電影票的人數(shù)（每個消費者可用多個平臺購買電影票），得到如下表格：ABCDEFGH購買春節(jié)檔電影票的人數(shù)4030303030201010曾經(jīng)購買過電影票的人數(shù)9288808070622515(1)把樣本消費者中曾經(jīng)在每個平臺上購買電影票的頻率作為線上消費者在相應(yīng)平臺上購買電影票的概率，從所有線上消費者中隨機抽取4人，求恰有2人在C平臺上購買電影票的概率．(2)現(xiàn)從樣本中在A，D，E平臺上購買春節(jié)檔電影票的消費者中按照分層抽樣的方法抽取n個人，已知抽取的在A平臺上購買春節(jié)檔電影票的人數(shù)比在D平臺與E平臺上購買春節(jié)檔電影票的人數(shù)之和少2．①求n的值；②從抽取的n個人中再隨機抽取4人，記這4人中在E平臺上購買春節(jié)檔電影票的人數(shù)為X，求X的分布列及數(shù)學期望．【答案】(1)(2)①；②分布列見解析；期望為【分析】（1）n次獨立重復(fù)實驗求解即可；（2）先應(yīng)用分層抽樣再根據(jù)超幾何分布列分布列求數(shù)學期望即得.【詳解】（1）由題可得線上消費者在C平臺上購買電影票的概率為，所以從所有線上消費者中隨機抽取4人，恰有2人在平臺上購買電影票的概率為．（2）①設(shè)按照分層抽樣的方法抽取的在A平臺上購買春節(jié)檔電影票的人數(shù)為4x，則抽取的在D平臺與平臺上購買春節(jié)檔電影票的人數(shù)之和為6x，所以，得，所以．②由題及①易知抽到的10個人中，在平臺上購買春節(jié)檔電影票的人數(shù)為3，所以X的所有可能取值為0，1，2，3．，，，，所以的分布列為X0123P．4．（2023·寧夏銀川·?？寄M預(yù)測）2023年9月23日至2023年10月8日，第19屆亞運會將在中國杭州舉行.杭州某中學高一年級舉辦了“亞運在我心”的知識競賽，其中1班，2班，3班，4班報名人數(shù)如下：班號1234人數(shù)30402010該年級在報名的同學中按分層抽樣的方式抽取10名同學參加競賽，每位參加競賽的同學從預(yù)設(shè)的10個題目中隨機抽取4個作答，至少答對3道的同學獲得一份獎品，假設(shè)每位同學的作答情況相互獨立.(1)求各班參加競賽的人數(shù)；(2)2班的小張同學被抽中參加競賽，若該同學在預(yù)設(shè)的10個題目中恰有3個答不對，記他答對的題目數(shù)為，求的分布列及數(shù)學期望.【答案】(1)3,4,2,1(2)分布列見解析，【分析】（1）根據(jù)分層抽樣計算可得；（2）根據(jù)超幾何分布求出概率，列出分布列求期望即可得解；【詳解】（1）各班報名人數(shù)總共100人，抽取10人，抽樣比為，故班分別抽取（人），（人），（人），（人）.（2）由題意，的可能取值為1,2,3,4，,,,,所以的分布列為：1234考點三、正態(tài)分布1．（2023·河北·統(tǒng)考模擬預(yù)測）山東煙臺某地種植的蘋果按果徑（單位：）的大小分級，其中的蘋果為特級，且該地種植的蘋果果徑．若在某一次采摘中，該地果農(nóng)采摘了2萬個蘋果，則其中特級蘋果的個數(shù)約為（

）（參考數(shù)據(jù)：，．，）A．3000 B．13654 C．16800 D．19946【答案】C【分析】先根據(jù)原則求出的概率，再乘以即可得解.【詳解】由，得，，，所以，所以特級蘋果的個數(shù)約為個.故選：C.2．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）某物理量的測量結(jié)果服從正態(tài)分布，下列結(jié)論中不正確的是（

）A．越小，該物理量在一次測量中在的概率越大B．該物理量在一次測量中大于10的概率為C．該物理量在一次測量中小于與大于的概率相等D．該物理量在一次測量中落在與落在的概率相等【答案】D【分析】由正態(tài)分布密度曲線的特征逐項判斷即可得解.【詳解】對于A，為數(shù)據(jù)的方差，所以越小，數(shù)據(jù)在附近越集中，所以測量結(jié)果落在內(nèi)的概率越大，故A正確；對于B，由正態(tài)分布密度曲線的對稱性可知該物理量一次測量大于10的概率為，故B正確；對于C，由正態(tài)分布密度曲線的對稱性可知該物理量一次測量結(jié)果大于的概率與小于的概率相等，故C正確；對于D，因為該物理量一次測量結(jié)果落在的概率與落在的概率不同，所以一次測量結(jié)果落在的概率與落在的概率不同，故D錯誤.故選：D.3．（2023·河北衡水·河北衡水中學?？寄M預(yù)測）若隨機變量，則有如下結(jié)論：（，，）,高三（1）班有40名同學，一次數(shù)學考試的成績服從正態(tài)分布，平均分為120，方差為100，理論上說在130分以上人數(shù)約為（

）A．19 B．12 C．6 D．5【答案】C【分析】由正態(tài)曲線的對稱性求出理論上說在130分以上的概率，即可求出理論上說在130分以上人數(shù).【詳解】∵數(shù)學成績近似地服從正態(tài)分布，，∴，根據(jù)正態(tài)曲線的對稱性知：理論上說在130分以上的概率為，∴理論上說在130分以上人數(shù)約為.故選：C．4．（2023·湖北武漢·華中師大一附中?？寄M預(yù)測）（多選）已知某果園的每棵果樹生長的果實個數(shù)為X，且X服從正態(tài)分布，X小于70的概率為，從該果園隨機選取10棵果樹，其中果實個數(shù)在的果樹棵數(shù)記作隨機變量Y，則下列說法正確的是（）A． B．C． D．【答案】AD【分析】根據(jù)正態(tài)分布即可求出概率，均值和方差.【詳解】由題意，X服從正態(tài)分布，X小于70的概率為，從該果園隨機選取10棵果樹，∴，∴，故選項A正確;由題意可知，∴，故選項B錯誤：∵，∴，∴選項C錯誤，選項D正確．故選：AD．5．（2023·江蘇南京·南京師大附中?？家荒＃ǘ噙x）已知隨機變量的概率密度函數(shù)為，且的極大值點為，記，，則（

）A． B．C． D．【答案】BCD【分析】根據(jù)已知可求得，，，，即可判斷A、B項；然后求出，根據(jù)正態(tài)分布的對稱性，即可得出C、D項.【詳解】對于A項，根據(jù)已知可得，，.因為的極大值點為，所以有，所以，故A項錯誤；對于B項，由A分析可知，，故B項正確；對于C項，由A分析可知，.又，，根據(jù)正態(tài)分布的對稱性，可知，所以，故C正確；對于D項，因為，所以，.所以，，故D項正確.故選：BCD.6．（2023·河北滄州·滄縣中學校考模擬預(yù)測）據(jù)相關(guān)機構(gòu)調(diào)查表明我國中小學生身體健康狀況不容忽視，多項身體指標（如肺活量?柔?度?力量?速度?耐力等）自2000年起呈下降趨勢，并且下降趨勢明顯，在國家的積極干預(yù)下，這種狀況得到遏制，并向好的方向發(fā)展，到2019年中小學生在肺活量?柔?度?力量?速度?而力等多項指標出現(xiàn)好轉(zhuǎn)，但肥胖?近視等問題依然嚴重，體育事業(yè)任重道遠.某初中學校為提高學生身體素質(zhì)，日常組織學生參加中短跑鍛煉，學校在一次百米短跑測試中，抽取200名女生作為樣本，統(tǒng)計她們的成績（單位：秒），整理得到如圖所示的頻率分布直方圖（每組區(qū)間包含左端點，不包含右端點）.(1)估計樣本中女生短跑成績的平均數(shù)；（同一組的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表）(2)由頻率分布直方圖，可以認為該校女生的短跑成績，其中近似為女生短跑平均成績近似為樣本方差，經(jīng)計算得，若從該校女生中隨機抽取10人，記其中短跑成績在內(nèi)的人數(shù)為，求（結(jié)果保留2個有效數(shù)字）.附參考數(shù)據(jù)：，隨機變量服從正態(tài)分布，則.【答案】【分析】（1）利用頻率分布直方圖求解平均數(shù)即可.（2）根據(jù)，可求得成績在內(nèi)的概率，利用二項分布的概率公式求解即可.【詳解】（1）估計樣本中女生短跑成績的平均數(shù)為：.（2）由題意知，則，故該校女生短跑成績在內(nèi)的概率，由題意可得，所以，，所以.8．（2023·重慶·統(tǒng)考二模）某網(wǎng)絡(luò)在平臺開展了一項有獎闖關(guān)活動，并對每一關(guān)根據(jù)難度進行賦分，競猜活動共五關(guān)，規(guī)定：上一關(guān)不通過則不進入下一關(guān)，本關(guān)第一次未通過有再挑戰(zhàn)一次的機會，兩次均未通過，則闖關(guān)失敗，且各關(guān)能否通過相互獨立，已知甲、乙、丙三人都參加了該項活動．(1)若甲第一關(guān)通過的概率為，第二關(guān)通過的概率為，求甲可以進入第三關(guān)的概率；(2)已知該闖關(guān)活動累計得分服從正態(tài)分布，且滿分為分，現(xiàn)要根據(jù)得分給共名參加者中得分前名發(fā)放獎勵，①假設(shè)該闖關(guān)活動平均分數(shù)為分，分以上共有人，已知甲的得分為分，問甲能否獲得獎勵，請說明理由；②丙得知他的分數(shù)為分，而乙告訴丙：“這次闖關(guān)活動平均分數(shù)為分，分以上共有人”，請結(jié)合統(tǒng)計學知識幫助丙辨別乙所說信息的真?zhèn)危剑喝綦S機變量，則；；．【答案】(1)(2)①能，理由見解析；②乙所說為假【分析】（1）利用獨立事件的概率公式，結(jié)合甲闖關(guān)的可能情況求解即可；（2）①利用正態(tài)分布的對稱性及法則，求得前名參賽者的最低得分即可判斷；②假設(shè)乙所說為真，利用正態(tài)分布的對稱性及法則，證得丙的分數(shù)為分是小概率事件，從而得以判斷.【詳解】（1）設(shè)：第次通過第一關(guān)，：第次通過第二關(guān)，甲可以進入第三關(guān)的概率為，由題意知.（2）設(shè)此次闖關(guān)活動的分數(shù)記為．①由題意可知，因為，且，所以，則；而，且，所以前名參賽者的最低得分高于，而甲的得分為分，所以甲能夠獲得獎勵；②假設(shè)乙所說為真，則，，而，所以，從而，而，所以為小概率事件，即丙的分數(shù)為分是小概率事件，可認為其不可能發(fā)生，但卻又發(fā)生了，所以可認為乙所說為假．9．（2023·河北·統(tǒng)考模擬預(yù)測）隨著網(wǎng)絡(luò)技術(shù)的迅速發(fā)展，直播帶貨成為網(wǎng)絡(luò)銷售的新梁道.某服裝品牌為了給所有帶貨網(wǎng)絡(luò)平臺分配合理的服裝量，隨機抽查了100個帶貨平臺的銷售情況，銷售每件服裝平均所需時間情況如下頻率分布直方圖.(1)求的值，并估計出這100個帶貨平臺銷售每件服裝所用時間的平均數(shù)和中位數(shù)；(2)假設(shè)該服裝品牌所有帶貨平臺銷售每件服裝平均所需時間服從正態(tài)分布，其中近似為，.若該服裝品牌所有帶貨平臺約有10000個，銷售每件服裝平均所需時間在范圍內(nèi)的平臺屬于“合格平臺”.為了提升平臺銷售業(yè)務(wù)，該服裝品牌總公司對平臺進行獎罰制度，在時間大于分鐘的平臺中，每個平臺每賣一件扣除；在時間小于分鐘的平臺中，每賣一件服裝進行獎勵元，以資鼓勵；對于“合格平臺”每賣一件服裝獎勵1元.求該服裝品牌總公司在所有平臺均銷售一件服裝時總共需要準備多少資金作為本次平臺銷售業(yè)務(wù)提升.（結(jié)果保留整數(shù)）附：若服從正態(tài)分布，則，，.參考數(shù)據(jù)：.【答案】(1)，，中位數(shù)為(2)【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖中矩形面積為1可得，再根據(jù)平均數(shù)與中位數(shù)的算法求解即可；（2）根據(jù)正態(tài)分布概率公式可得所以在時間大于分鐘與小于分鐘在平臺內(nèi)的數(shù)量，進而根據(jù)題意可得所需準備的資金表達式，再求導(dǎo)分析最值求解即可.【詳解】（1）由頻率分布直方圖可得，解得.故平均數(shù).設(shè)中位數(shù)為，因，，故，則，解得，即中位數(shù)為.（2）由題意，，且，，故，所以在時間大于分鐘的平臺內(nèi)約有件；，所以在時間小于分鐘的平臺內(nèi)約有件；則“合格平臺”約有件，所以需要資金為，由于，可令，則，令有，當時，遞減；當時，遞增；故有最小值，故至少需要準備元.10．（2023·山東濰坊·統(tǒng)考模擬預(yù)測）2023年3月某學校舉辦了春季科技體育節(jié)，其中安排的女排賽事共有12個班級作為參賽隊伍，本次比賽啟用了新的排球用球已知這種球的質(zhì)量指標（單位：g）服從正態(tài)分布，其中，.比賽賽制采取單循環(huán)方式，即每支球隊進行11場比賽，最后靠積分選出最后冠軍，積分規(guī)則如下（比賽采取5局3勝制）：比賽中以3：0或3：1取勝的球隊積3分，負隊積0分；而在比賽中以3：2取勝的球隊積2分，負隊積1分.9輪過后，積分榜上的前2名分別為1班排球隊和2班排球隊，1班排球隊積26分，2班排球隊積22分.第10輪1班排球隊對抗3班排球隊，設(shè)每局比賽1班排球隊取勝的概率為.(1)令，則，且，求，并證明：；(2)第10輪比賽中，記1班排球隊3：1取勝的概率為，求出的最大值點，并以作為的值，解決下列問題.（?。┰诘?0輪比賽中，1班排球隊所得積分為，求的分布列；（ⅱ）已知第10輪2班排球隊積3分，判斷1班排球隊能否提前一輪奪得冠軍（第10輪過后，無論最后一輪即第11輪結(jié)果如何，1班排球隊積分最多）？若能，求出相應(yīng)的概率；若不能，請說明理由.參考數(shù)據(jù)：，則，，.【答案】；證明見解析.(2)（?。┓植剂幸娊馕觯áⅲ┠埽?【分析】（1）利用正態(tài)分布的對稱性即可求得結(jié)果；（2）先利用導(dǎo)數(shù)求出，再利用離散型隨機變量及其分布列即可求得結(jié)果.【詳解】（1），又，所以.因為，根據(jù)正態(tài)曲線對稱性，，又因為，所以.（2），.令，得.當時，，在上為增函數(shù)；當時，，在上為減函數(shù).所以的最大值點，從而.（ⅰ）的可能取值為3，2，1，0.，，，，所以的分布列為3210（ⅱ）若，則1班10輪后的總積分為29分，2班即便第10輪和第11輪都積3分，則11輪過后的總積分是28分，，所以，1班如果第10輪積3分，則可提前一輪奪得冠軍，其概率為.1．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知隨機變量X服從正態(tài)分布，且，則．【答案】/．【分析】根據(jù)正態(tài)分布曲線的性質(zhì)即可解出．【詳解】因為，所以，因此．故答案為：．2．（2023·江蘇徐州·校考模擬預(yù)測）隨機變量服從正態(tài)分布，隨機變量服從標準正態(tài)分布，若，則．（用字母表示）【答案】【分析】根據(jù)隨機變量服從標準正態(tài)分布，得到，再結(jié)合隨機變量服從正態(tài)分布可得答案.【詳解】隨機變量服從標準正態(tài)分布，根據(jù)對稱性可知，因為，所以，即，隨機變量服從正態(tài)分布，根據(jù)對稱性可知，，則，即.故答案為：.3．（2023·山東泰安·統(tǒng)考模擬預(yù)測）某藍莓基地種植藍莓，按個藍莓果重量（克）分為級：的為級，的為級，的為級，的為級，的為廢果．將級與級果稱為優(yōu)等果．已知藍莓果重量服從正態(tài)分布．對該藍莓基地的藍莓進行隨機抽查，每次抽出個藍莓果．記每次抽到優(yōu)等果的概率為（可精確到）．若為優(yōu)等果，則抽查終止，否則繼續(xù)抽查直到抽出優(yōu)等果，但抽查次數(shù)最多不超過次，若抽查次數(shù)的期望值不超過，的最大值為．附：，，【答案】4【分析】依題意可得，設(shè)，利用錯位相減法求出，即可得到，從而得到，再根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及所給數(shù)據(jù)判斷即可.【詳解】因為藍莓果重量服從正態(tài)分布其中，，設(shè)第次抽到優(yōu)等果的概率（），恰好抽取次的概率，所以，設(shè)，則，兩式相減得：，所以，由，即，的最大值為．故答案為：．【點睛】關(guān)鍵點睛：本題的關(guān)鍵點在于設(shè)，利用錯位相減法求出，進而求出，利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式即可.4．（2023·江蘇揚州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）隨著網(wǎng)絡(luò)技術(shù)的迅速發(fā)展，各種購物群成為網(wǎng)絡(luò)銷售的新渠道．在鳳梨銷售旺季，某鳳梨基地隨機抽查了100個購物群的銷售情況，各購物群銷售鳳梨的數(shù)量情況如下：鳳梨數(shù)量（盒）購物群數(shù)量（個）122032(1)求實數(shù)的值，并用組中值估計這100個購物群銷售鳳梨總量的平均數(shù)（盒）；(2)假設(shè)所有購物群銷售鳳梨的數(shù)量服從正態(tài)分布，其中為（1）中的平均數(shù)，．若該鳳梨基地參與銷售的購物群約有1000個，銷售鳳梨的數(shù)量在（單位：盒）內(nèi)的群為“一級群”，銷售數(shù)量小于266盒的購物群為“二級群”，銷售數(shù)量大于等于596盒的購物群為“優(yōu)質(zhì)群”．該鳳梨基地對每個“優(yōu)質(zhì)群”獎勵1000元，每個“一級群”獎勵200元，“二級群”不獎勵，則該鳳梨基地大約需要準備多少資金？（群的個數(shù)按四舍五入取整數(shù)）附：若服從正態(tài)分布，則．【答案】(1)，376(2)186800元【分析】（1）根據(jù)樣本容量列方程求出m，利用組中數(shù)求出平均數(shù)；（2）根據(jù)正態(tài)分布的概率計算公式求出對應(yīng)的概率值，計算“優(yōu)質(zhì)群”和“一級群”的個數(shù)，求出獎勵金.【詳解】（1）由題意得：，解得．故平均數(shù)為.（2）由題意，，且，故，所以“優(yōu)質(zhì)群”約有個，，所以“一級群”約有個；所以需要資金為，故至少需要準備186800元．5．（2023·河北·統(tǒng)考模擬預(yù)測）某工廠從生產(chǎn)出的產(chǎn)品中隨機抽取100件，測量一項質(zhì)量指標，將測量結(jié)果落到質(zhì)量指標的各區(qū)間內(nèi)的產(chǎn)品頻率繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.(1)求這100件產(chǎn)品質(zhì)量指標的平均值（同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）；(2)若認為該產(chǎn)品質(zhì)量指標，認為是樣本平均值.（i）在交貨前，該產(chǎn)品的客戶隨機抽取了10件，記X表示這10件產(chǎn)品中質(zhì)量指標在（，）之間的產(chǎn)品件數(shù)，求；（ii）為了保證產(chǎn)品質(zhì)量，質(zhì)量檢查員每天在當天生產(chǎn)的該產(chǎn)品中，隨機抽取15件，若出現(xiàn)質(zhì)量指標值在之外的產(chǎn)品，則認為生產(chǎn)過程出現(xiàn)問題，需要檢查整個生產(chǎn)過程，否則不需要檢查.在質(zhì)量檢查員當天抽取的15件該產(chǎn)品的質(zhì)量指標中，質(zhì)量指標最小值為，質(zhì)量指標最大值為，根據(jù)近似值判斷是否需要檢查整個生產(chǎn)過程.附：若，則，，.【答案】；(2)（i）8；（ii）不需要檢查整個生產(chǎn)過程．【分析】（1）由各組數(shù)據(jù)中點值乘以相應(yīng)頻率再求和可得；（2）（i）由正態(tài)分布性質(zhì)求得概率，再乘以10即得；（ii）由正態(tài)分布特殊區(qū)間概率公式得，再乘以15得合格產(chǎn)品數(shù)量，從而得出不合格產(chǎn)品數(shù)量，可判斷出結(jié)論．【詳解】（1）；（2）（i）由題意該產(chǎn)品質(zhì)量指標，，；（ii）由已知，，因此不合格產(chǎn)量數(shù)量差為0，不需要檢查整個生產(chǎn)過程．6．（2023·廣東·校聯(lián)考模擬預(yù)測）某商場在五一假期間開展了一項有獎闖關(guān)活動，并對每一關(guān)根據(jù)難度進行賦分，競猜活動共五關(guān)，規(guī)定：上一關(guān)不通過則不進入下一關(guān)，本關(guān)第一次未通過有再挑戰(zhàn)一次的機會，兩次均未通過，則闖關(guān)失敗，且各關(guān)能否通過相互獨立，已知甲、乙、丙三人都參加了該項闖關(guān)活動.(1)若甲第一關(guān)通過的概率為，第二關(guān)通過的概率為，求甲可以進入第三關(guān)的概率；(2)已知該闖關(guān)活動累計得分服從正態(tài)分布，且滿分為450分，現(xiàn)要根據(jù)得分給共2500名參加者中得分前400名發(fā)放獎勵.①假設(shè)該闖關(guān)活動平均分數(shù)為171分，351分以上共有57人，已知甲的得分為270分，問甲能否獲得獎勵，請說明理由；②丙得知他的分數(shù)為430分，而乙告訴丙：“這次闖關(guān)活動平均分數(shù)為201分，351分以上共有57人”，請結(jié)合統(tǒng)計學知識幫助丙辨別乙所說信息的真?zhèn)?附：若隨機變量，則；；.【答案】(1)(2)①能，理由見解析②假【分析】（1）設(shè)為第次通過第一關(guān)，為第次通過第二關(guān)，計算即可；（2）①由，且，計算，求出前400名參賽者的最低得分，與甲的得分比較即可；②假設(shè)乙所說為真，由計算，求出，利用小概率事件即可得出結(jié)論．【詳解】（1）設(shè)：第i次通過第一關(guān)，：第i次通過第二關(guān)，甲可以進入第三關(guān)的概率為，由題意知.（2）設(shè)此次闖關(guān)活動的分數(shù)記為.①由題意可知，因為，且，所以，則；而，且，所以前400名參賽者的最低得分高于，而甲的得分為270分，所以甲能夠獲得獎勵；②假設(shè)乙所說為真，則，，而，所以，從而，而，所以為小概率事件，即丙的分數(shù)為430分是小概率事件，可認為其一般不可能發(fā)生，但卻又發(fā)生了，所以可認為乙所說為假.7．（2023·湖南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）為了讓學生了解毒品的危害，加強禁毒教育，某校組織了全體學生參加禁毒知識競賽，現(xiàn)隨機抽取50名學生的成績（滿分100分）進行分析，把他們的成績分成以下6組：，，，，，．整理得到如圖所示的頻率分布直方圖．(1)求圖中a的值并估計全校學生的平均成績μ．（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）(2)在（1）的條件下，若此次知識競賽得分，為了激發(fā)學生學習禁毒知識的興趣，對參賽學生制定如下獎勵方案：得分不超過57分的不予獎勵，得分超過57分但不超過81分的可獲得學校食堂消費券5元，得分超過81分但不超過93分的可獲得學校食堂消費券10元，超過93分可獲得學校食堂消費券15元．試估計全校1000名學生參加知識競賽共可獲得食堂消費券多少元．（結(jié)果四舍五入保留整數(shù)）參考數(shù)據(jù)：，，．【答案】(1)，(2)5114元【分析】（1）由頻率分布直方圖所有小矩形面積之和為，即可求得，根據(jù)平均數(shù)公式計算即可得；（2）利用參考數(shù)據(jù)由正態(tài)分布的對稱性分別求出獲得學校食堂消費券為元時的概率，即可得出一名學生的期望值為，便可計算出全校1000名學生共可獲得食堂消費券為5114元．【詳解】（1）由題意可知，，解得（2）設(shè)參加知識競賽的每位學生獲得的學校食堂消費券為Y元，，，，，Y的分布列如下表：Y051015P01359即一名學生獲得的學校食堂消費券的期望值為，所以，全校學生可獲得（元）．故估計全校1000名學生參加知識競賽共可獲得食堂消費券5114元．8．（2023·山東·山東師范大學附中?？寄M預(yù)測）某市為提升中學生的環(huán)境保護意識，舉辦了一次“環(huán)境保護知識競賽”，分預(yù)賽和復(fù)賽兩個環(huán)節(jié)，預(yù)賽成績排名前三百名的學生參加復(fù)賽.已知共有12000名學生參加了預(yù)賽，現(xiàn)從參加預(yù)賽的全體學生中隨機地抽取100人的預(yù)賽成績作為樣本，得到如下頻率分布直方圖：(1)規(guī)定預(yù)賽成績不低于80分為優(yōu)良，若從上述樣本中預(yù)賽成績不低于60分的學生中隨機地抽取2人，求至少有1人預(yù)賽成績優(yōu)良的概率，并求預(yù)賽成績優(yōu)良的人數(shù)的數(shù)學期望；(2)由頻率分布直方圖可認為該市全體參加預(yù)賽學生的預(yù)賽成績Z服從正態(tài)分布，其中可近似為樣本中的100名學生預(yù)賽成績的平均值（同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代替），且，已知小明的預(yù)賽成績?yōu)?1分，利用該正態(tài)分布，估計小明是否有資格參加復(fù)賽?(3)復(fù)賽規(guī)則如下：①每人的復(fù)賽初始分均為100分；②參賽學生可在開始答題前自行決定答題數(shù)量，每一題都需要“花”掉（即減去）一定分數(shù)來獲取答題資格，規(guī)定答第題時“花”掉的分數(shù)為（，2，…，n）；③每答對一題加2分，答錯既不加分也不減分；④答完n題后參賽學生的最終分數(shù)即為復(fù)賽成績，已知參加復(fù)賽的學生甲答對每道題的概率均為，且每題答對與否都相互獨立．若學生甲期望獲得最佳的復(fù)賽成績，則他的答題數(shù)量應(yīng)為多少?附：若，則，，；．【答案】(1)；(2)有(3)7或8【分析】（1）確定X的取值，算出預(yù)賽成績在和范圍內(nèi)的樣本量，根據(jù)超幾何分布的概率計算求得至少有1人預(yù)賽成績優(yōu)良的概率，繼而可求得X的分布列，求得期望；（2）求出變量Z的均值，確定，即可求得，算出不低于91分的人數(shù)，可得結(jié)論；（3）設(shè)學生甲答對的題目數(shù)為，復(fù)賽成績?yōu)閅，可得，結(jié)合二項分布的均值計算公式可得表達式，結(jié)合二次函數(shù)知識，可得答案.【詳解】（1）預(yù)賽成績在范圍內(nèi)的樣本量為：，預(yù)賽成績在范圍內(nèi)的樣本量為：，設(shè)抽取的2人中預(yù)賽成績優(yōu)良的人數(shù)為X，可能取值為，則，又，則X的分布列為：X012P故.（2），，則，又，故，故全市參加預(yù)賽學生中，成績不低于91分的有人，因為，故小明有資格參加復(fù)賽.（3）設(shè)學生甲答對的題目數(shù)為，復(fù)賽成績?yōu)閅，則，故，，故,因為，所以答題數(shù)量為7或8時，學生甲可獲得最佳的復(fù)賽成績.9．（2023·福建泉州·泉州五中?？寄M預(yù)測）某物流公司專營從甲地到乙地的貨運業(yè)務(wù)（貨物全部用統(tǒng)一規(guī)格的包裝箱包裝），現(xiàn)統(tǒng)計了最近100天內(nèi)每天可配送的貨物量，按照可配送的貨物量（單位：箱）分成了以下幾組：，，，，，，并繪制了如圖所示的頻率分布直方圖（同一組數(shù)據(jù)用該組數(shù)據(jù)的區(qū)間中點值作代表，將頻率視為概率）．(1)該物流公司負責人決定用分層抽樣的方法從前3組中隨機抽出11天的數(shù)據(jù)來分析每日的可配送貨物量少的原因，并從這11天的數(shù)據(jù)中再抽出3天的數(shù)據(jù)進行財務(wù)分析，求這3天的數(shù)據(jù)中至少有2天的數(shù)據(jù)來自這一組的概率；(2)該物流公司負責人根據(jù)每日的可配送貨物量為公司裝卸貨物的員工制定了兩種不同的工作獎勵方案．方案一：直接發(fā)放獎金，按每日的可配送貨物量劃分為三級，時，獎勵50元；時，獎勵80元；時，獎勵120元．方案二：利用抽獎的方式獲得獎金，其中每日的可配送貨物量不低于樣本的中位數(shù)時有兩次抽獎機會，每日的可配送貨物量低于樣本的中位數(shù)時只有一次抽獎機會，每次抽獎的獎金及對應(yīng)的概率為獎金50100概率小張為該公司裝卸貨物的一名員工，試從數(shù)學期望的角度分析，小張選擇哪種獎勵方案對他更有利？(3)由頻率分布直方圖可以認為，該物流公司每日的可配送貨物量（單位：箱）近似服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數(shù)．試利用該正態(tài)分布，估計該物流公司2000天內(nèi)日貨物配送量在區(qū)間內(nèi)的天數(shù)（結(jié)果保留整數(shù)）．附：若，則，．【答案】(1)(2)小張選擇方案二更有利(3)1637【分析】（1）由頻率分布直方圖結(jié)合分層抽樣的方法得出各組抽取的人數(shù)，再求其概率即可；（2）若選擇方案一，小張每日可獲得的獎金為的可能取值為50，80，120元，由頻率分布直方圖可得其對應(yīng)的概率，再求其數(shù)學期望即可；若選擇方案二，設(shè)小張每日可獲得的獎金為可能取值為50，100，150，200元，求其相應(yīng)的概率得出數(shù)學期望并和方案一比較大小得出結(jié)果；（3）由頻率分布直方圖求解，再根據(jù)正態(tài)分布求給定區(qū)間的概率.【詳解】（1）由頻率分布直方圖可知：前3組數(shù)據(jù)的頻率之比為.根據(jù)分層抽樣的方法，11天的數(shù)據(jù)有1個來自第1組，4個來自第2組，6個來自第3組，故有4天的數(shù)據(jù)來自這一組.用表示事件“抽取的3天的數(shù)據(jù)中至少有2天的數(shù)據(jù)來自”，則.（2）若選擇方案一，設(shè)小張每日可獲得的獎金為元，則的可能取值為50，80，120，由頻率分布直方圖可得其對應(yīng)的概率分別為，，，故.若選擇方案二，設(shè)小張每日可獲得的獎金為元，則的可能取值為50，100，150，200，每日的可配送貨物量不低于樣本的中位數(shù)的概率為，低于樣本中位數(shù)的概率也為.故，，，.所以的分布列為50100150200所以.因為，所以從數(shù)學期望的角度看，小張選擇方案二更有利.（3）由題可得，所以.故該物流公司2000天內(nèi)日貨物配送量在區(qū)間內(nèi)的天數(shù)為.10．（2023·浙江紹興·統(tǒng)考二模）某APP公司對喜歡使用該APP的用戶年齡情況進行調(diào)查，隨機抽取了100名喜歡使用該APP的用戶，年齡均在周歲內(nèi)，按照年齡分組得到如下所示的樣本頻率分布直方圖：(1)根據(jù)頻率分布直方圖，估計使用該視頻APP用戶的平均年齡的第分位數(shù)（小數(shù)點后保留2位）；(2)若所有用戶年齡近似服從正態(tài)分布，其中為樣本平均數(shù)的估計值，，試估計喜歡使用該APP且年齡大于61周歲的人數(shù)占所有喜歡使用該APP的比例；(3)用樣本的頻率估計概率，從所有喜歡使用該APP的用戶中隨機抽取8名用戶，用表示這8名用戶中恰有名用戶的年齡在區(qū)間歲的概率，求取最大值時對應(yīng)的的值；附：若隨機變量服從正態(tài)分布，則：【答案】(1)（歲）(2)(3)【分析】（1）結(jié)合頻率分布直方圖和百分位數(shù)的定義即可求解；（2）利用正態(tài)分布的性質(zhì)即可求解；（3）利用二項分布的概率公式和二項式系數(shù)的最值列不等式組，解之即可.【詳解】（1）由直方圖可知，第分位數(shù)位于區(qū)間，第分位數(shù)（歲）.（2）（歲）使用該APP且年齡大于61周歲的人數(shù)占所有喜歡使用該APP的.（3）根據(jù)題意，要使取最大值，則，，解得，因為，所以.17．（2023·江蘇鹽城·鹽城市伍佑中學?？寄M預(yù)測）法國數(shù)學家龐加萊是個喜歡吃面包的人，他每天都會到同一家面包店購買一個面包.該面包店的面包師聲稱自己所出售的面包的平均質(zhì)量是，上下浮動不超過.這句話用數(shù)學語言來表達就是：每個面包的質(zhì)量服從期望為，標準差為的正態(tài)分布.(1)已知如下結(jié)論：若，從X的取值中隨機抽取個數(shù)據(jù)，記這k個數(shù)據(jù)的平均值為Y，則隨機變量，利用該結(jié)論解決下面問題.（i）假設(shè)面包師的說法是真實的，隨機購買25個面包，記隨機購買25個面包的平均值為Y，求；（ii）龐加萊每天都會將買來的面包稱重并記錄，25天后，得到的數(shù)據(jù)都落在上，并經(jīng)計算25個面包質(zhì)量的平均值為.龐加萊通過分析舉報了該面包師，從概率角度說明龐加萊舉報該面包師的理由；(2)假設(shè)有兩箱面包（面包除顏色外，其他都一樣），已知第一箱中共裝有6個面包，其中黑色面包有2個；第二箱中共裝有8個面包，其中黑色面包有3個.現(xiàn)隨機挑選一箱，然后從該箱中隨機取出2個面包.求取出黑色面包個數(shù)的分布列及數(shù)學期望.附：①隨機變量服從正態(tài)分布，則，，；②通常把發(fā)生概率小于的事件稱為小概率事件，小概率事件基本不會發(fā)生.【答案】(1)（i）；（ii）理由見解析(2)分布列見解析，【分析】(1)(i)由正態(tài)分布的對稱性及原則進行求解；(ii)結(jié)合第一問求解的概率及小概率事件進行說明；(2)設(shè)取出黑色面包個數(shù)為隨機變量，則的可能取值為0,1,2，求出相應(yīng)的概率，進而求出的分布列及數(shù)學期望.【詳解】（1）（i）因為，所以，因為，所以，因為，所以；（ii）由第一問知，龐加萊計算25個面包質(zhì)量的平均值為g，，而，為小概率事件，小概率事件基本不會發(fā)生，這就是龐加萊舉報該面包師的理由；（2）設(shè)取出黑色面包個數(shù)為隨機變量，則的可能取值為0，1，2.則，，故分布列為：012其中數(shù)學期望.【基礎(chǔ)過關(guān)】一、單選題1．（2023·湖南長沙·雅禮中學?？家荒＃┤簦瑒t當，1，2，…，100時（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用比大小的方法，即可求出k的值.【詳解】解：由題意得：即，化簡得：，又k為整數(shù),可得,所以，故選：C．二、多選題2．（2023·遼寧·大連二十四中校聯(lián)考三模）若隨機變量，下列說法中正確的是（

）A． B．期望C．期望 D．方差【答案】BCD【分析】根據(jù)二項分布有關(guān)知識，，，可得.【詳解】A選項：因，所以，故A錯誤.B選項：，故B正確.C選項：，故C正確.D選項：，，故D正確.故選：BCD.三、填空題3．（2023·江蘇·金陵中學校聯(lián)考三模）設(shè)隨機變量，則.【答案】【分析】根據(jù)超幾何分布計算公式可得.【詳解】由隨機變量服從超幾何分布，可知3表示選出3個，2表示有2個供選擇，總數(shù)為10，根據(jù)超幾何分布公式可得.故答案為：4．（2023·四川遂寧·射洪中學校考模擬預(yù)測）為舒緩高考壓力，射洪中學高三年級開展了“葵花心語”活動，每個同學選擇一顆葵花種子親自播種在花盆中，四個人為一互助組，每組四人的種子播種在同一花盆中，若盆中至少長出三株花苗，則可評為“陽光小組”．已知每顆種子發(fā)芽概率為，全年級恰好共種了500盆，則大概有個小組能評為“陽光小組”．（結(jié)果四舍五入法保留整數(shù)）【答案】410【分析】根據(jù)題意可計算出一盆花苗能被評為“陽光小組”的概率為，再根據(jù)二項分布的期望值即可求得結(jié)果.【詳解】由題意知，每一盆至少長出三株花苗包括“恰好長出三株花苗”和“長出四株花苗”兩種情況，其概率為，即一盆花苗能被評為“陽光小組”的概率為，且被評為“陽光小組”的盆數(shù)服從二項分布，所以500盆花苗中能被評為“陽光小組”的有.故答案為：4105．（2023·福建寧德·?？级＃┤綦S機變量，且，則．【答案】/【分析】利用正態(tài)曲線的對稱性求出的值，然后根據(jù)正態(tài)密度曲線的對稱性可得出，代值計算即可得解.【詳解】因為，且，則，所以，.故答案為：.6．（2023·河南開封·統(tǒng)考三模）已知隨機變量服從正態(tài)分布，若，且的最小值為－3，則．【答案】【分析】先根據(jù)對稱性求參，再根據(jù)正態(tài)分布的對稱性求概率即可.【詳解】因為的最小值為－3，所以，即，又，所以，即根據(jù)正態(tài)分布的對稱性，正態(tài)分布的正態(tài)密度曲線關(guān)于對稱，即，而，所以，故，故答案為．7．（2023·山西呂梁·統(tǒng)考二模）某種紅糖的袋裝質(zhì)量服從正態(tài)分布，隨機抽取5000袋，則袋裝質(zhì)量在區(qū)間的約有袋．（質(zhì)量單位：）附：若隨機變量服從正態(tài)分布，則，，．【答案】4093【分析】根據(jù)正態(tài)分布的對稱性，結(jié)合求解即可.【詳解】由題意知，，所以，，得，所以袋裝質(zhì)量在區(qū)間的約有袋．故答案為：40938．（2023·天津·天津市濱海新區(qū)塘沽第一中學校聯(lián)考模擬預(yù)測）一個袋中共有個大小相同的黑球、白球和紅球，已知從袋中任意摸出個球，得到黑球的概率是；從袋中任意摸出個球，至少得到個白球的概率是，則白球的個數(shù)為.【答案】【分析】首先設(shè)有白球個，根據(jù)題意得到，再解方程即可.【詳解】設(shè)有白球個，因為從袋中任意摸出個球，至少得到個白球的概率是，所以，解得或（舍去）.故答案為：59．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）若隨機變量，且，則．【答案】【分析】由正態(tài)分布函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合已知條件即可求解.【詳解】因為，所以正態(tài)曲線的對稱軸是直線，又因為，所以.故答案為：0.39.四、解答題10．（2023·云南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）目前,教師職業(yè)越來越受青睞,考取教師資格證成為不少人的就業(yè)規(guī)劃之一.當前,中小學教師資格考試分筆試和面試兩部分,筆試通過后才能進入面試環(huán)節(jié).已知某市年共有名考生參加了中小學教師資格考試的筆試,筆試成績,只有筆試成績高于分的學生才能進入面試環(huán)節(jié).(1)從報考中小學教師資格考試的考生中隨機抽取人,求這人中至少有一人進入面試的概率;(2)現(xiàn)有甲、乙、丙名學生進入了面試,且他們通過面試的概率分別為,設(shè)這名學生中通過面試的人數(shù)為,求隨機變量的分布列和數(shù)學期望.參考數(shù)據(jù):若,則,,,,.【答案】(1)(2)隨機變量的分布列見解析；期望為【分析】（1）由正態(tài)分布的對稱性有,求各學生能進入面試的概率,再由獨立事件的乘法公式及對立事件的概率求法,求人中至少有一人進入面試的概率.（2）求出的可能取值為的概率,寫出分布列,由分布列求期望即可.【詳解】（1）記“至少有一人進入面試”為事件,由已知得:,所以,則,即這人中至少有一人進入面試的概率為.（2）的可能取值為,,,,,則隨機變量的分布列為：,.【能力提升】一、多選題1．（2023·江西·校聯(lián)考模擬預(yù)測）以下說法正確的是（

）A．若，，則B．隨機變量，，若，則C．若，，，則D．若，且，則【答案】BCD【分析】根據(jù)二項分布的方差、分布列的期望、條件概率、正態(tài)分布等知識對選項進行分析，從而確定正確答案.【詳解】A．，，故A錯；B．，故B對；C．，，，故C對；D．，，故D對．故選：BCD2．（2023·吉林白山·統(tǒng)考二模）裝疫苗的玻璃瓶用的不是普通玻璃，而是中性硼硅玻璃，這種玻璃有較好的平均線膨脹系數(shù)（簡稱：膨脹系數(shù)）．某玻璃廠有兩條硼硅玻璃的生產(chǎn)線，其中甲生產(chǎn)線所產(chǎn)硼硅玻璃的膨脹系數(shù)，乙生產(chǎn)線所產(chǎn)硼硅玻璃的膨脹系數(shù)，則下列選項正確的是（

）．（附：若，則，，）A．甲生產(chǎn)線所產(chǎn)硼硅玻璃的膨脹系數(shù)范圍在的概率約為B．甲生產(chǎn)線所產(chǎn)硼硅玻璃的膨脹系數(shù)比乙生產(chǎn)線所產(chǎn)硼硅玻璃的膨脹系數(shù)數(shù)值更集中C．若用于疫苗藥瓶的硼硅玻璃的膨脹系數(shù)不能超過5，則乙生產(chǎn)線所產(chǎn)硼硅玻璃符合標準的概率更大D．若用于疫苗藥瓶的硼硅玻璃的膨脹系數(shù)為，則甲生產(chǎn)線所產(chǎn)硼硅玻璃符合標準的概率約為乙生產(chǎn)線的2倍【答案】BD【分析】根據(jù)正態(tài)分布性質(zhì)及對應(yīng)特殊區(qū)間上的概率計算分別判斷各個選項即可.【詳解】因為，所以，．因為，所以，．因為，故A錯誤．因為，所以甲生產(chǎn)線所產(chǎn)硼硅玻璃的膨脹系數(shù)數(shù)值更集中，故B正確．因為，，所以，所以甲生產(chǎn)線所產(chǎn)硼硅玻璃符合標準的概率更大，故C錯誤．因為，，所以D正確．故選：BD.二、填空題3．（202