全稱量詞與存在量詞（導(dǎo)學(xué)版）人教版數(shù)學(xué)必修一

人教版高中數(shù)學(xué)必修1第一章集合與常用邏輯用語(yǔ)全稱量詞與存在量詞授課：張丹老師[慕聯(lián)教育同步課程導(dǎo)學(xué)篇]課程編號(hào)：TS2005010302RB1010501ZD（A）學(xué)習(xí)目標(biāo)通過(guò)生活和數(shù)學(xué)中的豐富實(shí)例，理解全稱量詞與存在量詞的意義以及全稱量詞命題和存在量詞命題的意義.112

我們知道，命題是可以判斷真假的陳述句．在數(shù)學(xué)中，有時(shí)會(huì)遇到一些含有變量的陳述句，由于不知道變量代表什么數(shù)，無(wú)法判斷真假，因此它們不是命題．但是，如果在原語(yǔ)句的基礎(chǔ)上，用一個(gè)短語(yǔ)對(duì)變量的取值范圍進(jìn)行限定，就可以使它們成為一個(gè)命題，我們把這樣的短語(yǔ)稱為量詞．本節(jié)將學(xué)習(xí)全稱量詞和存在量詞。導(dǎo)入導(dǎo)入思考：下列語(yǔ)句是命題嗎？比較(1)和(3),(2)和(4)它們之間有什么關(guān)系？（2）是整數(shù)；（1）；（4）對(duì)任意一個(gè)，是整數(shù).（3）對(duì)所有的，；可以發(fā)現(xiàn)，語(yǔ)句（1)(2）中含有變量，由于不知道變量代表什么數(shù)，無(wú)法判斷它們的真假，所以它們不是命題．語(yǔ)句（3）在（1)的基礎(chǔ)上，用短語(yǔ)“所有的”對(duì)變量進(jìn)行限定；語(yǔ)句（4）在（2）的基礎(chǔ)上，用短語(yǔ)“任意一個(gè)”對(duì)變量進(jìn)行限定，從而使（3)(4）成為可以判斷真假的語(yǔ)句，因此語(yǔ)句（3)(4）是命題．知識(shí)梳理例如，命題“對(duì)任意的是奇數(shù)”“所有的正方形都是矩形”都是全稱量詞命題．

1．全稱量詞，全稱量詞命題短語(yǔ)“所有的”“任意一個(gè)”在邏輯中通常叫做全稱量詞，并用符號(hào)“”表示.含有全稱量詞的命題,叫做全稱量詞命題（全稱命題）．通常，將含有變量的語(yǔ)句用，…表示,變量的取值范圍用表示．那么，全稱量詞命題“對(duì)中任意一個(gè)，成立”可用符號(hào)簡(jiǎn)記為例如，“對(duì)任意的是奇數(shù)”即“是奇數(shù)”.例1判斷下列全稱量詞命題的真假：（1）所有的素?cái)?shù)都是奇數(shù)；（2）≥1；（3）對(duì)任意一個(gè)無(wú)理數(shù)，也是無(wú)理數(shù)．分析：要判定全稱量詞命題“”是真命題，需要對(duì)集合中每個(gè)元素，證明成立；如果在集合中找到一個(gè)元素，使不成立，那么這個(gè)全稱量詞命題就是假命題．（2），總有≥0，因而≥1，所以，全稱量詞命題“

≥1”是真命題；（3）是無(wú)理數(shù)，但=2為有理數(shù)，所以，全稱量詞命題“對(duì)任意一個(gè)無(wú)理數(shù)，也是無(wú)理數(shù)”是假命題．（1）2是素?cái)?shù)，但2不是奇數(shù)．所以，全稱量詞命題“所有的素?cái)?shù)是奇數(shù)”是假命題；解：思考：下列語(yǔ)句是命題嗎？比較(1)和(3)，(2)和(4)，它們之間有什么關(guān)系？（3）存在一個(gè)，使；（1）；（2）能被2和3整除；（4）至少有一個(gè)，能被2和3整除．容易判斷，(1)(2)不是命題．語(yǔ)句(3)在(1)的基礎(chǔ)上，用短語(yǔ)“存在一個(gè)”對(duì)變量的取值進(jìn)行限定；語(yǔ)句(4)在(2)的基礎(chǔ)上，用“至少有一個(gè)”對(duì)變量的取值進(jìn)行限定，從而使(3)(4)變成了可以判斷真假的陳述句，因此(3)(4)是命題．知識(shí)梳理例如，命題“有的平行四邊形是菱形”“有一個(gè)素?cái)?shù)不是奇數(shù)”都是存在量詞命題．

2．存在量詞，存在量詞命題短語(yǔ)“存在一個(gè)”“至少有一個(gè)”在邏輯中通常叫做存在量詞，并用符號(hào)“”表示.含有存在量詞的命題,叫做存在量詞命題（特稱命題）．那么，存在量詞命題“存在中的元素，成立”可用符號(hào)簡(jiǎn)記為例如，“至少有一個(gè)

能被2和3整除”即“

能被2和3整除”.（2）平面內(nèi)存在兩條相交直線垂直于同一條直線；（3）有些平行四邊形是菱形．分析：要判定存在量詞命題“”是真命題，只需在集合中找到一個(gè)元素，使成立即可；如果在集合中使成立的元素不存在，那么這個(gè)存在量詞命題就是假命題．（2）由于平面內(nèi)垂直于同一條直線的兩條直線互相平行，因此平面內(nèi)不可能存在兩條相交直線垂直于同一條直線，所以，存在量詞命題“平面內(nèi)存在兩條相交直線垂直于同一條直線”是假命題；（3）由于正方形既是平行四邊形又是菱形，所以存在量詞命題“有些平行四邊形是菱形”是真命題．（1）有一個(gè)實(shí)數(shù)，使；例2判斷下列存在量詞命題的真假：（1）由于-4x3=-8＜0，因此一元二次方程無(wú)實(shí)根．所以，

存在量詞命題“有一個(gè)實(shí)數(shù)，使”是假命題；解：（2）正數(shù)都有算術(shù)平方根，0的算術(shù)平方根是0,負(fù)數(shù)沒(méi)有算術(shù)平方根，所以，全稱量詞命題“任何實(shí)數(shù)都有算術(shù)平方根”是假命題；鞏固練習(xí)（1）每個(gè)四邊形的內(nèi)角和都是360°；（2）任何實(shí)數(shù)都有算術(shù)平方根；（3）{｜是無(wú)理數(shù)}，是無(wú)理數(shù)．（3）是無(wú)理數(shù)，但=2為有理數(shù)，所以，全稱量詞命題“

{｜是無(wú)理數(shù)}，是無(wú)理數(shù)”是假命題．練習(xí)1判斷下列全稱量詞命題的真假：（1）平面內(nèi)，四邊形內(nèi)角和都是360°，所以，全稱量詞命題“每個(gè)四邊形的內(nèi)角和都是360°”是真命題；解：（2），n和n+1肯定一個(gè)是偶數(shù)一個(gè)是奇數(shù)，偶數(shù)×奇數(shù)一定是偶數(shù)，所以，存在量詞命題“至少有一個(gè)整數(shù)，使得為奇數(shù)”是假命題；（1）存在一個(gè)四邊形，它的兩條對(duì)角線互相垂直；（2）至少有一個(gè)整數(shù)，使得為奇數(shù)；（3）∈{｜是無(wú)理數(shù)}，是無(wú)理數(shù)．（3）是無(wú)理數(shù)，但為無(wú)理數(shù)，所以，存在量詞命題“∈{｜是無(wú)理數(shù)}，是無(wú)理數(shù)”是真命題．練習(xí)2判斷下列存在量詞命題的真假：（1）由于菱形是四邊形而且它的兩條對(duì)角線互相垂直．所以，存在量詞命題“存在一個(gè)四邊形，它的兩條對(duì)角線互相垂直”是真命題；解：課堂小結(jié)短語(yǔ)“存在一個(gè)”“至少有一個(gè)”在邏輯中通常叫做存在量詞，并用符號(hào)“”表示