人教版數學八年級上冊142平方差公式教學設計

平方差公式教學設計

［教學設計思想］

本節(jié)課的教學設計是本著以人為本的教育思想，開展課堂教育活動。充分利

用學生原有的認知結構，產生認知沖突，通過合作探究，將數學困惑化解于無形。

在探究問題的過程中，使學生體會到交流與合作的重要性。將知識的建構權還給

孩子，讓孩子們在和諧愉悅的課堂氛圍中學會學習。

［教學設計思路］

本節(jié)課的整個教學程序是這樣的：首先，學生通過復習計算，發(fā)現平方差公

式的計算規(guī)律，進而產生應用的愿望。通過對規(guī)律驗證過程的體驗，使學生進一

步的認識到數學學科的嚴謹性與科學性，體會數學來源于實踐，又應用于實踐的

道理。在公式的應用過程中，學生們將遇到挑戰(zhàn)，轉化思想、整體化思想在這里

成為解題的關鍵。在教師的引導下，學生開始嘗試對研究的問題進行轉化，開展

自主探究。同時，教師適當介入，并引導學生發(fā)現解決這個問題的關鍵是把握知

識的本質一一公式的結構。在練習中采取分層測試的方式，使得不同的學生都有

所收獲，有效的維護學生的求知欲與自信心。總之，整個教學過程圍繞著“實

踐中觀察、發(fā)現一一產生猜想一一驗證猜想一一獲得新知一一實踐應用”這一過

程展開的。

一、教材分析體課在教材中的地位、作用和意義上

乘法公式實際是兩個特殊的多項式相乘及其所得的結果，由于在數學運算中

經常用到，就把它們作為公式?！镀椒讲罟健肥窃趯W生已經掌握了多項式乘法

之后，自然過渡到具有特殊形式的多項式的乘法，體現教材從一般到特殊的意圖,

是從一般到特殊的認知規(guī)律的典型范例.教材為學生在教學活動中獲得數學的思

想方法、能力、素質提供了良好的契機，對它的學習和研究，不僅給出了特殊的

多項式乘法的簡便算法，而且為以后的因式分解、分式的化簡、二次根式中的分

母有理化、解一元二次方程、函數等內容奠定了基礎，同時也為完全平方公式的

學習提供了方法。因此，平方差公式在教材中有承上啟下的作用，它對培養(yǎng)學生

符號感和抽象概括能力有著重要的作用，同時，在利用公式過程中，所反映出的

轉化思想、整體化思想以及應用意識，都將對學生產生潛移默化的影響，對提高

學生的數學素養(yǎng)有著積極的作用。

因此，平方差公式在初中階段的教學中也具有很重要地位，是初中階段的第

一個公式，也是最基本、用途最廣泛的公式之一，可以說，它是構建學生代數知

識結構，培養(yǎng)學生化歸、換元、整體的數學思想方法的重要載體，讓學生感受數

學的再創(chuàng)造性。是構建學生有價值的數學知識體系并形成相應技能的重要內容。

二、學情分析:

1.學生的知識技能基礎：學生在前面的學習中，已經學習了整式的有關內

容，并經歷了用字母表示數量關系的過程，有了一定的符號感.經過一個學期的

培養(yǎng)，學生已經具備了小組合作、交流的能力.學生剛學過多項式的乘法，已具

備學習并運用平方差公式的知識結構，通過創(chuàng)造問題情境，讓學生承擔任務，在

探究相應問題中，建立并運用公式，從而使拓展學生知識技能結構成為可能.通

過實際問題的探究，學生已感受到多項式乘法運算的重要性，同時，具備了對式

的運算基礎“快”“準”的積極心理，學生已具備學習公式的知識與技能結構，

通過新課程教學的實施，培養(yǎng)學生具有獨立探索、合作交流的習慣.

2.學生活動經驗基礎：學生已熟練掌握了幕的運算和整式乘法，但在進行多項

式乘法運算時，常常會弄錯某些項的符號及漏項等問題，學生學習平方差公式的

困難在于對公式的結構特征以及公式中字母的廣泛含義學生的理解，當公式中a、

b是式時，要把它括號再平方。因此，教學中引導學生分析公式的結構特征，

并運用變式訓練揭示公式的本質特征，以加深學生對公式的理解.本節(jié)課關注學

生對公式的探索過程，有意識的培養(yǎng)學生的推理能力，讓學生經歷“引入f形式

一理解一應用一深化公式”的知識發(fā)生過程，并有條理地表達自己的思想，培養(yǎng)

學生的數感和符號感，真正理解公式的來源、本質和應用。

經過一段時間的整式學習，學生們基本上掌握了多項式的乘法的方法，進一

步學習它的特殊形式一一公式，是激發(fā)學生求知欲的良好時機。公式的出現，為

學生在繁瑣的運算中辟出了一條新路。

三、教法與學法:

（-）教法分析

1、讓學生了解平方差公式產生的背景，理解平方差公式的意義，掌握平方

差公式的結構特征，并能靈活運用平方差公式解決問題.在數學活動中，引導學

生觀察、分析公式的結構特征以及公式中字母的廣泛含義，并在練習中，對發(fā)生

的錯誤做具體分析，加深學生對公式的理解。

2、采用啟發(fā)式、探索式教學方法,整個探究學習的過程充滿了師生之間、學

生之間的交流和互動，體現了教師是教學活動的組織者、引導者，而學生才是學

習的主體。以創(chuàng)設情境激發(fā)學生的興趣；合作探究得出公式，領會公式的結構特

征；多媒體演示及討論理解幾何意義，達到形象直觀化的視覺效果以突破難點，

發(fā)揮學生的主體作用，增強學生學數學、用數學的興趣.同時，讓學生在公式的

運用中積累解題的經驗，體會成功的喜悅。

（二）學法分析

在教學中引導學生觀察、分析多項式乘法及其結果的基礎上，逐步完成平

方差公式的符號語言、文字語言和圖形語言的互化，領會一般到特殊的研究數學

問題的方法，最終能正確運用公式，從而落實重點。學生積極參與、大膽猜想、

自主探索和合作交流。

平方差公式教學設計

【課題】14.2.1平方差公式

【教材】人教版八年級數學上冊

【課時安排】2個課時.

【教學對象】八年級（上）學生.

【授課教師】湖北省赤壁市車站學校李道生

一、教學目標

1、經歷平方差公式的探索過程，進一步發(fā)展學生的符號感和推理能力、歸納能

力；在計算的過程中發(fā)現規(guī)律，掌握平方差公式的結構特征，并能用符號表達，

體驗符號運算對證明猜想的作用，享受數學符號表示運算規(guī)律的簡捷美，從而體

會數學語言的簡潔美，培養(yǎng)他們的合情推理和歸納的能力以及在解決問題過程中

與他人合作交流的重要性.同時，讓學生在公式的運用中積累解題的經驗，體會

成功的喜悅.培養(yǎng)學生的建模思想和抽象思維能力，感受換元和化歸的思想。

2、理解平方差公式的結構特征與本質特征--形變質不變，即“結構特征

的不變性，字母形式的可變性”；掌握平方差公式：（a+b）（a-b）=a2-b2,達到正

用公式的水平，形成正向產生式：

“（□+△）（□-△）”一“口2一a.

在數學活動中，引導學生觀察、分析公式的結構特征以及公式中字母的廣泛

含義，并在練習中，對發(fā)生的錯誤做具體分析，加深學生對公式的理解.通過練

習滲透數學中的“整體思想”與“配湊思想”，提高同學們解決問題的能力。

3、在拼圖游戲中對平方差公式有一個直觀的幾何解釋，會用幾何圖形說明

公式的意義，體會數形結合的思想方法，體會數學源于實際，高于實際，運用于

實際的科學價值與文化價值。

二、教學重點和難點

重點：經歷探索并歸納平方差公式的過程，理解公式的本質和結構特征，能

用自己的語言說明公式及其特點，靈活運用平方差公式進行簡單的運算。

難點：1.利用數形結合的數學思想方法解釋平方差公式，從實際中抽象出字

母符號式子的符號化的過程，發(fā)展觀察、歸納、概括等能力。

2.平方差公式的本質：形變質不變，即“結構特征的不變性，字母形式的可變

性”（強調平方差公式的本質，即結構特征的不變性，字母形式的可變性；指出學習此公式

的用途；通過問題進一步化解，結構的不變性，字母的可變性'這一難點，并為下一節(jié)內容的

學習埋下伏筆）

3.理解公式中字母的廣泛含義

（預計學生學習上的困難：（1）對于平方差公式（a+b）（a-b）=a2-b\引入

是為了簡化多項式乘法，沒有這種認識之前，學生對左右兩邊都是多項式的“公

式”還不認可，這會增加教學的困難.（2）數學公式都有其產生的背景、引入的

目的、形成的過程和自身的結構特征，這些教材上是無法一一闡述的.我們教學

時往往不去刻意創(chuàng)設學習情景，營造公式產生的氛圍，引導學生經歷公式的探索

過程，而是照本宣科，生搬硬套，過于直接的教學不利于化解難點.（3）數學公

式中字母的高度概括性、廣泛應用性及換元思想的滲透，對八年級學生的思維水

平還難適應，（a+b）（a-b）=a2-b2；（l+2x）（l-2x）=l-4x2；（-4a-l）（4a-l）

=1-I6a2都是用平方差公式，102X98也能用平方差公式，使得習慣于機械模仿

和解題程序化的學生思維受阻，造成困難.

基于以上情況，我們把教學難點定為：利用數形結合的數學思想方法解釋

平方差公式，從實際中抽象出字母符號式子的符號化的過程，發(fā)展觀察、歸納、

概括等能力）

關鍵：對于平方差公式的推導，我們可以通過教師引導，學生觀察、?總結、

猜想，然后得出結論來突破；抓住平方差公式的本質特征，是正確應用公式來計

算的關鍵.教學方法采用“情境——探究——猜想——歸納——驗證——

應用——拓展”的教學方法，讓學生在觀察、猜想中總結出平方差.

三、教學過程

L創(chuàng)設情境，導入課題

（1）速算王比拼：智力搶答

1.21X192.103X97

3.26X244.55X455.32X28

大家都在筆算，但有人能一口清，快速心算出來，他是用什么方法心算的呢？

(通過“速算王的絕招”這一故事的情境創(chuàng)設，引發(fā)學生學習的興趣，同時激發(fā)

了學生的好奇心和求知欲，順利引入新課)

2.探索新知，嘗試發(fā)現

問題1：這一組算式有什么共同特征，你能用統一的形式表示嗎？

【生】這里的兩個數相加都是整十或整百的數(21+19=40；103+97=200；26+24

=50.....)，都可以表示成兩數和乘以這兩數差的形式：(20+1)(20-1)；(100+3)

(100-3)；(25+1)(25-1)；(50+5)(50-5)；(30+2)(30-2)

問題2：如果我們用字母表示這兩個數，比如用字母a,b分別表示這兩個數，

那么以上各個算式，可以用字母表示成什么形式？

【生】(a+b)(a-b)

【師】這是兩個二項式相乘的形式，利用多項式乘法法則，大家計算一下，結

果是什么形式？

【生】(a+b)(a-b)=a2-ab+ab-b2=a2-b2

【師】根據上面用字母a,b表示的算式的一般形式右邊的結果，大家再回過頭

來，計算上面的智力搶答題：

1.21X19=(20+1)(20-1)=20-12=399；2.103X97=(100+3)(100-3)

=1002-32=9991；3.26X24=(25+1)(25-1)=252-12=624；4.55X45(=50+5)

(50-5)=50-52=2475；5.32X28=(30+2)(30-2)=302-22=896

3.數形結合，幾何說理

問題3：在邊長為a的正方形中剪去一個邊長為b的小正方形，然后把剩余的兩個長方形拼

成一個長方形，你能用這兩個圖形的面積說明(a+b)(a-b)=14?的正確性嗎？

如圖：在邊長為a的大正方形的一角剪去一個邊長為b的小正方形。

(1)圖中的陰影部分(即余下部分)的面積是

［生］剪去一個邊長為8的小正方形，余下圖形的面積，即陰影部分的面積

為3—陰.

(2)你能否將陰影部分拼成一個完整的長方形圖案嗎？

［生］把剩下的圖形（即上圖陰影部分）先剪成兩個長方形（沿上圖虛線剪

開），我們可以注意到，上面的大長方形寬是（a—力，長是a;下面的小長方形長

是（a—6）,寬是b.我們可以將兩個長方形拼成一個更大長方形，是由于大長方形

的寬和小長方形的長都是（a—8）,我們可以將這兩個邊重合，這樣就拼成了一個

如圖1一24所示的圖形（陰影部分），它的長和寬分別為（a+6）,（a—6）,面積為

（a+b）（a—b）.

（3）比較上面兩個圖形中陰影部分的面積，你發(fā)現了什么？

［生］割補不改變圖形面積的大小，這兩部分面積應該是相等的，即

（先■垃（a—吩=^—

4.觀察思考，發(fā)現新知

問題4：觀察等式（廣力（a-6）=a2—斤的形式，你看到了什么？

引導學生進行觀察，可介紹觀察的方法：有序觀察，局部觀察（把握細節(jié)）,

整體觀察（抓住關鍵），如從左到右的順序，觀察漢字“明”，可看到日與月，它

們組成漢字“明”

［生］（1）看到等式出現兩數和，兩數差，兩個數的平方差，兩數和乘以兩

數差，及它們之間的相等關系，等式的左右兩邊都是圍繞著兩個數展開運算的。

2222

（2）看到計算結果簡單（四項差變成兩項：（a+b）（a-b）=azab+ab-b=a-b）0

（3）看到等式兩邊都有整齊對稱的特點：（a+b）|（a-b）=a21-b2

問題5：看到等式以上特點，你有什么感覺與想法？

［生］（1）有一種“二”的感覺（這里是指成雙成對的意思，采取詼諧的說

法，感覺更強烈）；有一種“萬變不離其宗”的感覺；有一種“生成”的感覺（對

同一現象，不同人的感覺有時是不同的，不一定都準確，但產生感覺是非常重要

的，盡管感覺有時說不清道不明）；有一種“好事成雙”的感覺；有一種“陰陽

合一”的感覺；有一種“并駕齊驅”的感覺。

（2）有一種“簡單”的感覺。

（3）有一種“對稱美”的感覺。

［師］跟著感覺走，有感覺就會有興趣，就會思考其中的奧秘?？茖W上的許

多重要發(fā)現，就是科學家對觀察到的現象產生強烈感覺而去研究發(fā)現的。從感性

到理性，才是科學的態(tài)度。

觀察以上等式整齊對稱的特點，特別是運算結果的簡單性，感覺以上形式的

多項式乘法，值得我們探索研究，總結規(guī)律。

5.剖析公式，總結規(guī)律

［師］上面，我們看到等式(外力)(〃-6)=&2—62整齊對稱，結果(平方差)

簡單易記的特點.因此，如果我們把具有以上特殊形式的等式作為公式，熟記入

心，那么以后見到類似特殊形式的多項式相乘，就可以直接運用公式寫出結果，

不需要運用多項式乘法法則“項項相乘”這一復雜過程了，這就是我們研究以上

特殊關系的多項式乘法的價值所在。

上面，我們己經看到等式(a+5)(&一力)=才一力2的特點及作為公式使用的原

因，為了更好的運用此公式簡化多項式的乘法運算，我們必須剖析公式，總結規(guī)

律。

(1)取名：在總結規(guī)律之前，先給它取個名稱，以便稱呼它，根據公式右邊

的特點，我們給它取名“平方差公式”。

(界6)(a—6)=才一〃

(2)你能用文字語言表示所發(fā)現的規(guī)律嗎？

［生］兩個數的和與這兩個數的差的積，等于這兩個數的平方差.

(a+b)(a—b)=a2-b2

(提供充分的時間，鼓勵學生用自己的語言表述公式，教師巡回引導，并集

思廣益。從而提高學生觀察歸納、語言表達、合作交流等能力，平方差公式浮出

水面，培養(yǎng)了學生的文字語言、符號語言的轉化能力，推理能力)

質疑：根據上面的文字語言，我們還可寫出下面的式子，(a+b)(a-b)=b2-a2,

b2-￡也是這兩個數a,b的平方差，如此看來書上的文字語言有不嚴密之嫌。

敢于懷疑，向權威挑戰(zhàn)，才能有所發(fā)現有所創(chuàng)造。

［師］我們怎樣理解文字語言，才不會產生歧義呢？

自圓其說：兩個“這”，前一個“這”是指(a-b),不是(b-a),說明“這”

暗含有“順序”的意思，由前面兩個數排列順序，(一)a+b,(-)a-b,可

知，后面“這”兩個數的平方差就是(一)a2-b2To(注意這里只是自圓其說，

嚴格說來，課本上的文字語言是有漏洞的，文字語言的準確性應脫離外在形式獨

立存在的)

［師］我們再看一下平方差公式的變式：(b+a)(a-b)=a2-b)可見：平方差的

順序是按兩數差的順序排列的,不是按兩數和順序排列的。

怎樣表述平方差公式，才準確無誤，不會產生歧義呢？

［生］兩個數的和與這兩個數的差的積，等于前面被減數與減數的平方差

6.牢記結構，套用公式

由前面的分析可看出，運用公式，關鍵是找出兩個數a,b。注意先后順序(a

是被減數，b是減數)，為此，首先看公式是否是標準形式，不是標準形式要化

為標準形式，再找出兩數a,b.

例1:運用平方差公式計算：

(1)(3x+2)(3x-2);

⑵(b+2a)(2a-b);

(3)(-x+2y)(-x-2y).

分析：用公式的關鍵是找出兩個數a與b,化為標準形式，是準確尋找a,b

兩個數的前提。

解：⑴(3x+2)(3x-2)

=(3X)2-22

=叱-4

(2)(b+2a)(2a-b)

=(2a+b)(2a-b)

=(2a)2-b2

=4a2-b2

(3)(—x+2y)(—x—2y)

=(-x)L(2y)2

=x2-4y'

例2計算：

(1)102X98;

⑵(y+2)(y-2)-(y-l)(y+5);

解：⑴102x98

=(10()+2)(10()-2)

-1002-22

=1000()-4

=9996

(2)(y+2)(y-2)-(yT)(y+5)

222

=y-2_(y+”_5)

22

=y-4-y-4y+5

=-4y+l

例2讓學生明白用平方差公式計算數字問題的簡潔性和符合公式特征的才

能用公式簡化運算，其余的仍然按乘法法則進行。準確運用公式的重點得以實現。

7.平方差公式的再認識

(1)從算術的角度認識平方差公式

從平方差公式的數學表達式U+力)(&-6)=才一4及文字語言“兩個數的和與

這兩個數的差的積，等于這兩個數的平方差”，我們知道，平方差公式由三部分

組成：“(卅》兩個數的和，(a-力)兩個數的差，a2-4兩個數的平方差”，文字

語言里出現的“和”與“差”，指的是算術運算(加法或減法運算)的結果，顯

然，這是從小學算術的角度認識平方差公式的(前面我們看到的及總結的規(guī)律都

是從算術角度理解的)

(2)從代數的角度認識平方差公式

進入初中，我們知道，加法與減法可統一成加法，每一個數都包括前面的符

號,(a+b)可看成a與b的和，(a~b)可看成a與-b的和，即把(a+b)與(a-b)

看成兩個二項式。于是“兩數和X兩數差”，可看作“兩個二項式相乘”

這樣，從代數的角度看待平方差公式，我們可以看到平方差公式具有兩大的特征:

①結構特征：

(a)左邊是兩個二項式相乘；在兩個二項式中有一項完全相同(a與a),

另一項互為相反數(b與-b)；.(判斷依據)

(b)右邊為相同項的平方減去互為相反數的項的平方(l-b》。(計算依據)

②本質特征：

結構特征的不變性，字母形式的可變性(公式中的a,b可以表示數，也可

表示單項式或多項式)

(通過觀察平方差公式，體驗公式的簡潔性并通過分析公式的本質特征掌握

公式.在認清公式的結構特征的基礎上，進一步剖析a、b的廣泛含義，抓住了

概念的核心，能突破公式字面意義的局限性，建立起較高層次的有意義條件反射,

而不是機械的記憶公式，使學生在公式的運用中能得心應手，起到事半功倍的效

果)

平方差公式的特征形式：

相同項_相同項2.相反項2

(a+b)(a5)=a^b2

相反項

(3)揭示本質，活用公式

練習：下列各式都能用平方差公式嗎？

(1)(2b+a)(a-2b)()

(2)(m-n)(-m-n)()

(3)(x+y)(-x-y)()

(4)(3b+2a)(2a-3b)()

能否用平方差公式，你有什么更快更好的判斷方法嗎?

判斷依據一一兩個二項式中：兩項相等，兩項互為相反數，牢牢抓住平方差

公式的結構特征，則可快速判斷兩個二項式相乘能否運用平方差公式。這組練習

主要是要考察學生有沒有掌握平方差公式的結構特征。

想一想，判斷下列計算對不對，如果不對應怎樣改正？

(1)>(x+6)(x-6)=x2-6

(2)、(2a2+b2)(2a2-b2)=2a4-b'

(3)、(-5a-2b)(5a-2b)=(5a)-(2b)2=25a2-4b2

(4)、(l+3x)(-1-3x)=1-(3X)2=1-9X2

對左邊能否用平方差公式，可以根據平方差公式的結構特征進行判斷，右邊

平方差這個結果，誰作被減數,誰作減數，你還有什么辦法確定？

計算依據一一相同項的平方減去互為相反數的項的平方，公式的結構特征被

突破，是運用平方差公式的重點所在。

通過做題學生歸納出平方差公式的運用技巧：

①兩個括號內其中一組相同字母的符號相同，另一組相同字母的符號相反才能運用平方

差公式；

②運用平方差公式的結果等于符號相同的字母的平方減去符號相反的字母平方.

(這組練習主要是要考察學生有沒有掌握平方差公式的結構，尋找相同的a與a,相反

的b與-b,學生經過思考、討論、交流，進一步熟悉平方差公式的本質特征，掌握運用平方

差公式必須具備的條件，鞏固平方差公式，進一步體會字母a、b可以是數，也可以是式，

加深對字母含義廣泛性的理解)

(4)深化認識，變用公式：

計算：

(l)(3x+l)(9x2+l)(3x-l)；

(2)(2x—y)(y+2x)-4(y—x)(—x—y)；

(3)20162-2015X2017.

(5)拓展應用，強化思維

表面上看，平方差公式僅適用于兩個二項式相乘的情況，實際上，對兩個三項式(或四

項式……)相乘的情況，可按相同項、相反項分組添括號的方法，轉化為平方差公式的特征

形式進行計算。如

(―y+x—z)VATZ,—yy=[(x—y)—z][(x—y)+z]=(x—y)2—z2=,,

反

實際上,我們可省去中間一步“[(X—y)—z][(x—y)+z]”，直接由：同？=(x

—y)2,反2=Z2,寫出結果“同2—反2=(x—y)2—z2

同

(X—y+6)(―x—y—2)=(x—yi-2+4)—x—y+2—4)=(—y+2)2—(x+4)2

反|

'反,

這里巧在將6寫成2+4,將一2寫成2—4。

計算3(2?+1)(2"+1)

解：原式=(2+1)(2?+1)(2'+1)=(2—1)(2+1)(241)(2'+1)

=(22-1)(22+1)(24+1)=(2'-1)(2'+1)

=28-1

本題巧在數的變形，3=2+1,1=2-1,并注意到一同任何數相乘都得原數。

采用達成訓練、變式訓練、延伸訓練等方式進行強化練習，即可舉一反三、

融會貫通。

可見，從平方差公式的標準形式及各種變式中抽象出反映公式本質特征的應

用模式，不為外在形式所迷惑，才能以不變應萬變，走向公式應用的自由王國。

(教學效果表明，采用“淡化標準形式，注重公式實質”設計教學程序，可

一步到位，不留任何后遺癥。

總之，按照“淡化形式，注重實質”的觀點設計教學程序，將大大改變教學

現狀，極大地提供課堂教學效益)

8.歸納反思，概括小結

1、本節(jié)課學習了哪些主要內容？

2、平方差公式的標準形式與特征形式是什么？

3、如何運用平方差公式？應用平方差公式時要注意什么？

①平方差公式的標準形式

(a+b)(a-b)=a2-b2

(算術形式)

兩數和與這兩數差的積,等于這兩數的平方差。