2023年甘肅省平?jīng)鍪谐煽紝Ｉ緮?shù)學(理)自考真題(含答案)

2023年甘肅省平?jīng)鍪谐煽紝Ｉ緮?shù)學（理）

自考真題（含答案）

學校:班級:姓名:考號:

一、單選題（30題）

1.函數(shù)人"=1。8+（工2一工+1）的單調增區(qū)間是（）

A-（~°°4]b-[°4]c.D-（°4）

2.下列函數(shù)為奇函數(shù)的是（）。

A，"，？B.^=log2x

"=3.D.y=sig

3.過點P（5,0）與圓x2+y2-4x-5=0相切的直線方程是（）

A.y=5B.x=5C.y=-5D.x=-5

4.函數(shù)y=6sinxcosx的最大值為（）o

A.lB.2C.6D.3

5.函數(shù)y=（l/3）|x|儀￡陽的值域為（）

A.y>0B.y<0C.O<y<lD.y>1

6.函數(shù)）=2"的圖像與函數(shù)i=log2y的圖像

A.關于x軸對稱B.關于y軸對稱C.關于直線y=x對稱D.是同一條曲

線

在正方體ABCO-481Gq中MC所在直線與8G所在直線所成角的大小是

(

(A)30°(8)45°

7,(C)600(D)90°

8.不等式|2x-3|W的解集為()。

A.{x|l<x<2}B.{x|x<-1或N2}C.{x[l<x<3}D.{x|2<x<3}

9.設甲：△>(),乙：ax2+bx+c△有兩個不相等的實數(shù)根,則()

A.甲是乙的必要條件，但不是充分條件

B.甲是乙的充分條件，但不是必要條件

C.甲是乙的充分必要條件

D.甲不是乙的充分條件，也不是必要條件

彳八展開式中各項系數(shù)的和等于512,那么n=()

10.

A.A.10B.9C.8D.7

11.sin0cos0tan0<O,則0屬于()

A.(K/2,K)

B.(7T,3兀⑵

C.(-應兀/2,0)

D.(-K/2,0)

12.雙曲線3x2-4y2=12的焦距為()。

A.2。

B.2/

C.4

D.2

13.設全集I={0,1,2,3,4},A={0,1,2,3},B={0,3,4},則ADB是（）

A.{2,4}B.{1,2}C.{O,1）D.{0,l,2,3}

14.設全集U={x|2WxS20,xEZ},M={4的倍數(shù)},N={3的倍數(shù)},MU

N=

A.{3,4,6,8,9,12,15,16,18,20}

B.{3}

C.{x|2<x<20}

D.{3,5,7,11,13,17.19）

15.下列函數(shù)中，最小正周期為兀的函數(shù)是（）

A.y=sinx+sinx2

B.y=sin2x

C.y=cosx

D…丐川

16.甲、乙、丙、丁、戊五個學生排成-排，甲必須排在乙之前的不同排法

為

A.P：

B.-

C.理

D.2

17.三角形全等是三角形面積相等的

A.充分但不必要條件B.必要但不充分條件C.充要條件D.既不充分也

不必要條件

(6)下列函數(shù)中,在其定義域上為減函數(shù)的是

18(A)y=(yj(B)y=2，

(C)y=g)(D)y=x2

19.若1名女生和3名男生排成一排，則該女生不在兩端的不同排法共

有()。

A.24種B.12種C.16種D.8種

20.

第3題函數(shù)y=e|x|是()

A.奇函數(shù)，且在區(qū)間(0,+8)上單調遞增

B.偶函數(shù)，且在區(qū)間(-*0)上單調遞增

C.偶函數(shù)，且在區(qū)間(-8,0)上單凋遞減

D.偶函數(shù)，且在區(qū)間(-00,+8)上單調遞增

=亡史]的定義域是

21.

A.(l,3]

C.(2,31D.(l,2)U(2.3]

22.二項式(2x—1)6的展開式中，含x4項系數(shù)是()

A.A.-15B,-240C.15D.240

23.函數(shù)y=log5(x>0)的反函數(shù)是()

A.A.y=x5(xWR)

B.y=x(x￡R)

C.y=5x(x￡R)

pD,y=yx(x6R)

24.函數(shù)y=2x的圖像與函數(shù)y=log2X的圖像關于()

A.A.x軸對稱B.y軸對稱C.坐標原點對稱D.直線y=x對稱

25.命題甲：A=B;命題乙:sinA=sinB.則()

A.甲不是乙的充分條件，也不是乙的必要條件

B.甲是乙的充要條件

C.甲是乙的必要條件，但不是充分條件

D.甲是乙的充分條件，但不是必要條件

26.已知M⑶-2),NLS.力=》俞，則點P的坐標是()

A.A.(-8,1)

c.l(b1)

D.(8,-1)

/(x)=.+'

27.設函數(shù)］，則f(x-l)=()o

3

OQ函數(shù)y=4-X-4x44

Zo.

A.A.當X=±2時，函數(shù)有極大值

B.當X=-2時，函數(shù)有極大值；當x=2時，函數(shù)有極小值

C.當X=-2時，函數(shù)有極小值；當x=2時，函數(shù)有極大值

口.當乂=±2時，函數(shù)有極小值

已知叫bwR?，且ab=a+6+3,則就的取值范圍是()

(A)a6<9(B)abN9

29(C)3WQ6W9(D)aAN3

30.命題甲：實數(shù)a,b,c成等比數(shù)列；命題乙：b2=ac,則甲是乙

（）

A.A.充分條件但不是必要條件B.必要條件但不是充分條件C充分必

要條件D.不是充分條件也不是必要條件

、填空題（20題）

已知隨機變量《的分布列是:

e012345

P0.10.20.30.20.10.1

則國=__________

32.

設函數(shù)人工）=e?一人則/<0）

33.函數(shù)/（力=女'-3/+1的極大值為

34.平移坐標軸，把原點移到0'（-3,2）則曲線/+61-y+ll=°,

在新坐標系中的方程為

35.不等式1<|3-x|<2的解集是________.

36.過點（2」）且與直線y=工+1垂直的直線的方程為-----

37.（18）向量。"互相垂直，且“I=1,則0?（0+b）=,

38.不等式（2x+1）/（1-2x）的解集為.

在5個數(shù)字1,2,3,4,5中，閑機取出三個數(shù)字,則列下兩個數(shù)字是奇數(shù)的?（率是

39.?

40.已知i,j,k為單位向量且互相垂直，向量a=i+j,b=-i+j-k,則axb=

,已知/（工）=/+*.則/（1）=.

4A1.?

42.直線3X+4y-12=0與X軸、Y軸分別交于A,B兩點，0為坐標原

點，則△OAB的周長為.

43.如圖，在正方體ABCD-AiBiGD］中，直線BC1和平面ABCD所成

角的大小為

44.

已知隨機變量占的分布列是:

012345

P0.10.20.3L0.2L0.1L0.1L

則E寧__________

45.

為了檢查一批零件的長度，從中抽取1。件,量得它們的長度如下（單位：

mm）：22.3622.3522.3322.3522.3722.3422.3822.3622.32

22.35則樣本的平均數(shù)（結果保留到小數(shù)點第二位）為這組

數(shù)據(jù)的方差為

46.化簡X）+0戶?;

47.從新一屆的中國女子排球隊中隨機選出5名隊員，其身高分別為（單

位：cm）

196,189,193,190,183,175,

則身高的樣本方差為cm?（精確到0.1cm2）.

48.

設y=cosx-siru■，則>'二________________,

49.從一批某種型號的電子元件中隨機抽取樣本進行使用壽命測試，測得

數(shù)據(jù)如下（單位：h）：

245256247255249260

則該樣本的標準差s=（保留小數(shù)點后一位）.

50.

某射手有3發(fā)子彈，射擊一次，命中率是0.8,如果命中就停止射擊,

否則一直射到子彈用完為止，那么這個射手用子彈數(shù)的期望值是

三、簡答題（10題）

51.

（本小題滿分13分）

2sin0cos0??

設函數(shù)/⑻=01°,并

⑴求;*）;

（2）求/（8）的最小值.

52.

（本小題滿分13分）

如圖,已知桶8?C1：4+/=l與雙曲線G：4-/=l（a>l）.

aa

⑴設&g分別是C,，G的離心率,證明eg<I；

（2）設4t,A2是C,長軸的兩個端點『（%,為）（1%1>。）在G上，直線外與G的

另一個交點為Q,直線尸4與G的另一個交點為上證明QR平行于y軸.

53.

（本小題滿分12分）

已知橢圓的離心率為亨，且該橢圓與雙曲蜻d=1焦點相同?求橢圓的標準

和準線方程.

54.

（本題滿分13分）

求以曲線2/+y,-4H-10=0和，=2#-2的交點與原點的連線為漸近線,且實

軸在t軸上，實軸長為12的雙曲線的方程.

55.（本小題滿分12分）

已知兒吊是橢網(wǎng)志=1的兩個焦點,P為橢圓上一點,且43/丐=30。,求

△PFR的面積.

56.（本小題滿分12分）

某服裝店將進價為40元一件的襯衫，按50元一件售出時，能賣出500

件，如果這種襯衫每件漲價1元，其銷售量就減少1。件，商店為了獲

得大利潤，問售價應為多少？

57.（本小題滿分12分）

已知等差數(shù)列｛an｝中，al=9,a3+a8=0.

（1）求數(shù)列｛an｝的通項公式；

⑵當n為何值時,數(shù)列｛an｝的前n項和Sn取得最大值,并求該最大值.

（25）（本小題滿分13分）

已知拋物線丁=/右0為坐標原點,F為拋物線的焦點?

（I）求10/1的值；

（n）求拋物線上點P的坐標,使△?？冢镜拿娣e為十.

58.

59.（本小題滿分12分）

設數(shù)列141滿足4=2,a..1=3%-2（n為正嚏數(shù)）.

⑴求一；

（2）求數(shù)列ia」的通項?

60.（本小題滿分12分）

設兩個二次函數(shù)的圖像關于直線X=1對稱，其中一個函數(shù)的表達式為

Y=x2+2x-l,求另一個函數(shù)的表達式

四、解答題（10題）

61.電流強度I隨時間t變化的函數(shù)關系式是I=Asinst,設3=100兀（弧度/

秒），A=5（安培）.

（I）求電流強度I變化周期與頻率；

（II）當t=0,1/200,1/100,3/200/1/50（秒）時,求電流強度1（安培）；

（III）畫出電流強度1隨時間t變化的函數(shù)的圖像.

62.（24）（本小?滿分12分）

如圖.已知只BJG。?八1與雙曲線G：$-y>.1（?>1）.

（I）設，金分別是%￡的離心率,證明c,e,<1;

（U）設44是G長軸的兩個靖點.P（與，.）（?*。?>G在G上，直線與G的另

一個交點為Q,火線PA、與C,的另一個交點為R.CE明QR平行于，軸.

已知等基數(shù)列I。1中,5=9,0,+°,=0.

（1）求數(shù)列|。」的通項公式；

63.仁）當“為何值時，數(shù)列I。.I的前”項和S.取得最大值，并求讀最大值.

設數(shù)列I?！?jié)M足5=2,a.“=3a.-2（n為正整數(shù)）.

⑴求為ay.-1

a.-1

64（2）求數(shù)列l(wèi)a.i的通項.

65.

直線>=_r+m和橢圓學+"=1相交于A,B兩點.當m變化時.

（I）求|48|的最大值,

（［I）求AAOB面枳的最大值（O是原點）.

66.

已知函數(shù)〃動=士-2丘

（0求函數(shù)y=/（*）的單調區(qū)間,并指出它在各單調區(qū)間上是增函數(shù)還是減函數(shù);

（2）求函數(shù)y=〃幻在區(qū)間［0,4］上的最大值和最小值.

67.已知JGr)=2cosG+2GsinHCOSjr+a(a6R,a為常數(shù)).(I)若x《R,求f(x)的

最小正周(D)著八外在［一彳，字］上的最大值與最小值之和為3,求a的值.

68.

設數(shù)列(/｝滿足a,=3,a科|=%.+55為正整數(shù)).

(I)記6.=%+55為正整數(shù)),求證數(shù)列出J是等比數(shù)列,

(U)求數(shù)列儲.)的通項公式.

69.已知正圓錐的底面半徑是1cm,母線為3cm,P為底面圓周上-點，

由P繞過圓錐回到P點的最短路徑如圖所示，由頂點V到這條路線的

最小距離是多少？

70.已知函數(shù)f(x)=|x|,函數(shù)g(x)=|x-l|.

(I)解不等式f(x)>g(x);

(H)定義分段函數(shù)f(x)如下：當f(x)2g(x)時,F(x)=f(x);當f(x)<g(x)

H寸，F(xiàn)(x)=g(x).結合(I)的結果，試寫出F(x)的解析式；

(HI)對于(H)中的函數(shù)F(x),求F(x)的最小值.

五、單選題（2題）

71.設集合M={X￡R|X±1},集合N={￡R|ZN-3},則集合MnN=（

A.{X￡RB—3<X<-1}C.{ZeRD.Z<-l}E.{XeRF,X>—3}G.（p

72.若-1,以，6,c,-9五個數(shù)成等比數(shù)列，則（）

A上=3,ac=9B.b=-3,ac=9Cb=-3,ac=-9D上=3,ac=-9

六、單選題（1題）

73.已知圓的方程為x2+y2—2x+4y+l=0,則圓上一點到直線3x+4y

—10=0的最大距離為（）

A.A.6B.5C.4D.3

參考答案

1.A

???。=方<1.，要求/(N)增區(qū)一

必須使8(工)=12-E十1是戌區(qū)間?由函數(shù)X(N)

的圖像(如圖)可知它在(-8,J［上是越函

數(shù)，且g(z)>0恒成立.

；.人工〉在(-是增西數(shù).

2.D

該小題主要考查的知識點為函數(shù)的奇偶性.【考試指導】f(x)=sinx=-sin(-

x)=-f(-x),所以Y=sinx為奇函數(shù).

3.B將圓的-般方程配方得出圓的標準方程.x2+y2-4x-5=0—(x-2)2+y2=9=32,

則點P(5,0)在圓上只有-條切線(如圖)，即x=5.

4.D該小題主要考查的知識點為函數(shù)的最大值.【考試指導】=6sinxcosx

=3sin2x,當sin2x=1時y取最大值3.

5.C

利用指敕立依的名服圖像(如留》

(x.x>0

V|x|0.x—0.

I-MJTCO

(1〉專]>0寸=(4)'<].

(2)§r<O*f.(y)*=(y)-V].

(3)號]=0時.(+)■11.

???OVy<l?ii;t等號是否成立.

6.D

函數(shù)1y=2，與函數(shù)工=log?），是指對

國敢的兩種書寫方式，不是互為反函數(shù)，數(shù)是同一

條曲線,但在1y=2，中，工為自變量~為函數(shù),在

工=log21y中，1y為自變量,1為函數(shù).

7.C

8.A該小題主要考查的知識點為不等式的解集.【考試指導】|2x-3|Sl=>-

lS2x-3q=>2g2x*=>lSxW2,故原不等式的解集為{x|lSxS2}.

9.C甲△>0臺一乙：ax2+bx+c=0有兩個不相等的實數(shù)根.

10.B

11.C

不論角0終邊落在直角坐標系中任意位置，都宥sin#cos&tan6>10.因此

選C.本題考查三角函數(shù)在各象限的符號等概念.是三角函數(shù)中的基本知

識.

12.A

本題考查了雙曲線的焦距的知識點。

3x?-4y2=12可化為43,a2-4,b2=3,則

c=J—+b?=</7，則焦距二=2幣o

13.BAAB={0,1,2,3}A{1,2}={1,2}.

14.AM={4,8,12,16,20},N={3,6,9,12,15,18}貝JMUN={3,4,6,8,9,12,

15,16,18,20}.

15.B

_2月

B項中，函數(shù)的最小正周期

16.D

**?*▼*!!”&匕，情4.4/汽Hit0.

17.A若兩個三角形全等，則它們的面積相等；然而，面積相等的三角形

卻不一定是全等三角形，因此答案為充分但不必要條件，選(A).

【解題指要】本題考查充分必要條件的相關知識.

18.C

19.B

本題考查了排列組合的知識點。

該女生不在兩端的不同排法有=12(種)。

20.C

21.D

I）M析：也|：-[\、_,產X-1>0=>定義域為（1,2W（2.31

in""L-川

22.D

由二項式定理可得.含工'項為CX2『r<-l）：=2407.（等案為D）

23.C

由y=log5x（x>0）得x=5y,故反函數(shù)為y=5x.（答案為C）

24.D

y=2x與y=log2X互為反函數(shù)，故它們的圖象關于y=x對稱.（答案為

D）

25.D

【解析】A匚gsinAnsinB,IBsinAMsmB

26.B

設點尸的坐標是（r.y）.而百=（3+5.-2+1）=（8,-D.癡=Gr-3.y+2）,

由得（x—3?y4~2）=彳（8?一1）?

即J.3=4.y+2=—：■zs=7.y=一1'?

則點P的坐標是（7?一!）?（答案為B）

27.D

該小題主要考查的知識點為復合函數(shù).【考試指導】

義工）=勺2則/（X-1）=

7-1+1X

工—1-x-r

28.B

29.B

30.A

由于實數(shù)u.b“成等比數(shù)列則甲是乙的充分非必餐條件.（谷也為A,

2.3

31.

32.

1=1-30.(答案為0)

33.

34.答案:x?y，解析：

x，=x-h'x=x+3

?即《.

[y'=y_2

將此政三+6工一_y+ll=O配方.使之只含有

G+3)、(y—2)、常數(shù)三項.

即x*+6x+9-(y-2)-9-2+11=0.

(x+3)I=(>-2).

即xz=y.

35.

由|3一1121.解得工42或jr》4.(D

由！3一H|42,解得1<45.②

綜合①'②得1?2或44工45.則所求的解集為《工|或4?5}.

(答案為(h或44xC5})

36”>HO

37.(18)1

38.{x|-l/2<x<1/2}

3>g產+>。①履2H1V0②

l-2x|l-2x>0W'lTwVO3

①的解集為一:ViV；?②的.集為0?

44

{x|--1-<x<-1-1U0=s<xl—~

39.

■析"數(shù)字中共有三個年數(shù).若翻下兩個是寺數(shù)局的取優(yōu)育C種，用所求n

*九10

40.0由向量的內積坐標式，坐標向量的性質得i2=j2=k2=l,ixj=jxk=ixk=O,

'/a=i+j,b=-i+j-k得：axb=(i+j)(-i+j-k)=-i2+j2=-1+1=0.

41.J

42.

43.45°

由于CC，面ABCD,所以CiB在面ABCD中的射影即為BC,ZCiBC

即為所求的角.

【解題指要】本題考查直線和平面所成角的概念.

44.

2.3

45.

46.

47.

『=47.9（使用科學計算器計算若理

48.

y'=-simr—coxr.（答案為siru-COST）

49.s=5.4（使用科學計算器計算）.（答案為5.4）

50.

51.

1+2?in^co#0+~

由腮已知4。）=———

81n0?cow

（ainp+gsd）?+—

sin0+coQ

令二:sin。?cc?^?彳等

人防=-72"+/=［石-得］'+2石?彌

由此可求得J（莪）=%4&）最小值為歷

52.證明：（1）由已知得

將①兩邊平方.化簡得

5④

由②③分別得yi=』?-『）'y?=4（J-*J）.

aa

代人（D整理得

。一-生一。-a3

'…=—'—,即un"i=——?，

。，巧x<j+ax0

同理可得x,=Q.

A

所以4=4射0.所以OA平行于y?l

53.

由已知可得橢圓焦點為K（-6,0）,人（6,。）?...........3分

設橢圓的標準方程為5+*=1（a>6>0）,則

a?=5,+5.

悟=旺解得｛:：…$分

,a3

所以橢圓的標準方程為。+?=1,?……9分

橢展的準線方程為X=±々6.,……12分

54.

本題主要考查雙曲線方程及絳合解題能力

―—fix'-4at-10=0

根據(jù)鹿窟.先解方程組，/

l/=2x-2

得兩曲線交點為1=3

ly=2,ly=-2

先分別把這兩點和原點連接.得到兩條直線7=土壬

這兩個方程也可以寫成二=0

94

所以以這兩條直線為漸近線的雙曲線方程為&=o

944k

由于已知雙曲線的實軸長為12.于是有

92=6'

所以*=4

12

所求雙曲線方程為芻-￡=1

30IO

55.

由已知，怖08的長軸長2a=20

設IPFJ=m.l"/=n,由橢圓的定義知,m+n=20①

又J=100-64=36.c=6,所以K(-6,0),*(6,0)且喝瑪|=12

在內中，由余弦定理得m2+7-2mc830o=12,

m'+n1-v*3mn=144②

m2^2mn+n2s400.③

③-②,得(2+v§)mn=256,nm=256(2-Q)

因此的面積為！mnHin300=64(2-⑸

56.解設襯衫每件提高X元售出時，利潤為Y元，此時賣出的件數(shù)為

500—10x件，獲得收入是(50+XX500—10x)元，則利潤

Y=(50+X)(500—10x)—40(500—10x)=—f0x2+400x+5000=—10(x—

20)2+9000,所以當X=20時，利潤Y取得最大值9000元，此時售價

為50+20=70元

57.

(I)設等差數(shù)列I?！沟墓顬閐,由已知%+5=0,得

Aii+9d=0.又已知5=9.所以d=-2

數(shù)列l(wèi)a.I的通項公式為4=9-2(“-1).即a.=11-2a

(2)數(shù)列I。.|的前n項和

S.=■—?(9+1—2FI)——n**10/1=—(/i—5)'+25.

當n=5時?&取得最大值25?

(25)解：(I)由已知得F(-1-,0).

o

所以I0FI=J.

o

(口)設P點的橫坐標為明(#>0)

則p點的縱坐標為JI或-4,

△OFP的面積為

11/TI

28V24,

解得％=32,

58.故P點坐標為(32,4)或(32,-4).

59.解

⑴4“=3“-2

o..i-1=3a.-3=3(a.-1)

1

?--3

a.-1

(2)E-11的公比為g=3,為等比數(shù)列

/.a.-I=(a,=<?*=3-*

Aa.=3-*+1

60.

由已知，可設所求函數(shù)的表達式為y+n.

而y+2工-1可化為y=(x+1)5-2.

又如它們圖像的頂點關于式線x=1對稱.

所以n=-2,m=3,

故所求函數(shù)的表達式為廣(、-3)'-2,即y=/-6,+Z

61.

（I"=舒=急■如八/二>50"'，

所以電流強度/變化的剛期為拉冢率為50次4.

<U）列*如下1

62.

（24）本小購假分12分.

述明:（I）由已知科

/T^F，a、P/?■廣

-?-■J.3分

又a>l.可得0<（十）晨1,所以iO<1.5分

（

口）設仍須，）?曜&，）由題設.

九■為

*1?Q???<>'

號■工?|*

O

~r*y?=,?

'<1

將①兩邊平方，化筒將

（?#?o）*yjS（?I?a）1^

由（2X3班別得其?玄（4-?！┩?%（。'-"：）.8分

代入④?理得

a與..

。?/勺'

即,氣?

同理可樽!，2".

所以M,?X.~0.所以QR平行于y軸12分

解(1)設等差數(shù)列l(wèi)a」的公差為d,由已知％+4=0,得

2a,+9d=0.又已知％=9.所以d=-2.

數(shù)列1”的通項公式為a.=9-2(n-l).即a.=11-2n.

(2)數(shù)列的前n項和

S.=](9+1-2n)=-n2+10n=-(n-5)2+25.

63.當n=5時.S.取得鍛大值25.

解(1)4.I=34-2

4.1-1=3a,-3=3(a.-l)

(2)|a.-l|的公比為q=3,為等比數(shù)列

，

???4_]=31_])尸=尸=3"?

64.??4=3'1+1

65.

依胸意?用

—4.

把①代人②中，得5"+8mr+4(m’1)-0.

8/w

設點A(x)?y).3(4.“)?勿+工產]仃必

一./XT7；ry-1-----nLFGW80(m*1)

則!ABI|H］一石|=用《孫斗不二-44公］2［------25^'

=去a?J5-C.

設原點到直線的距離為九

則A*與L所以SwmH^IA用

4123

《［)當，D時，|.4