湖南省長沙市第五中學(xué)高三數(shù)學(xué)理上學(xué)期摸底試題含解析

湖南省長沙市第五中學(xué)高三數(shù)學(xué)理上學(xué)期摸底試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有是一個符合題目要求的1.某人騎自行車沿直線勻速旅行，先前進(jìn)了千米，休息了一段時(shí)間，又沿原路返回千米（，再前進(jìn)千米，則此人離起點(diǎn)的距離與時(shí)間的關(guān)系示意圖是（

）參考答案：C2.不等式|x-5|+|x+3|≥10的解集是

(

)(A)［-5,7］

(B)［-4,6］(C)(-∞,-5］∪［7,+∞)

(D)(-∞,-4］∪［6,+∞)參考答案：D略3.在△ABC中，若B、C的對邊邊長分別為，，則等于A．

B．

C．

D．或參考答案：D略4.已知為的外心，。若，則的最小值為（

）

A、1 B、 C、 D、2參考答案：D略5.已知函數(shù)f（x）=sinx+acosx的圖象關(guān)于直線x=對稱，且方程f（x）=m在[0，）上恰有兩個不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)m取值范圍是（） A．[0，1] B． [1，2] C． [，2） D． [1，]參考答案：考點(diǎn)： 由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式．專題： 三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)．分析： 由題意可得可得±=sin+acos，求得a的值，可得f（x）=2sin（x+）．再根據(jù)函數(shù)y=f（x）的圖象和直線y=m在[0，）上有兩個交點(diǎn)，求得m的范圍．解答： 解：由函數(shù)f（x）=sinx+acosx的圖象關(guān)于直線x=對稱，可得x=時(shí)，函數(shù)取得最大值或最小值，故有±=sin+acos，求得a=，∴f（x）=sinx+cosx=2sin（x+）．在[0，）上，x+∈[，），f（x）∈（1，2]．再根據(jù)方程f（x）=m在[0，）上恰有兩個不同的實(shí)數(shù)根，可得函數(shù)y=f（x）的圖象和直線y=m在[0，）上有兩個交點(diǎn)，故≤m＜2，故選：C．點(diǎn)評： 本題主要考查三角函數(shù)的圖象的對稱性，兩角和的正弦公式，方程根的存在性以及個數(shù)判斷，屬于基礎(chǔ)題．6.設(shè)，i是虛數(shù)單位，則z的虛部為（

）A.1 B.-1 C.3 D.-3參考答案：D因?yàn)閦=z的虛部為-3，選D.7.下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)，又在上單調(diào)遞增的函數(shù)是(

)

A．

B．

C．

D．參考答案：【知識點(diǎn)】奇偶性與單調(diào)性的綜合．B3B4

【答案解析】C解析：對于A選項(xiàng)，函數(shù)定義域是（0，+∞），故是非奇非偶函數(shù)，不合題意，A選項(xiàng)不正確；對于B選項(xiàng)，函數(shù)是一個奇函數(shù)，故不是正確選項(xiàng)；對于C選項(xiàng)，函數(shù)的定義域是R，是偶函數(shù)，且當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，函數(shù)是增函數(shù)，故在（0，1）上單調(diào)遞增，符合題意，故C選項(xiàng)正確；對于D選項(xiàng)，函數(shù)是偶函數(shù)，在（0，1）上單調(diào)遞減，不合題意綜上知，C選項(xiàng)是正確選項(xiàng)故選C【思路點(diǎn)撥】對于A選項(xiàng)，可求出它的定義域，由于定義域不關(guān)于原點(diǎn)對稱，由此判斷其非正確選項(xiàng)；對于B選項(xiàng)，此函數(shù)是一個奇函數(shù)，由此知其非正確選項(xiàng)；對于D選項(xiàng)，可根據(jù)其在（0，1）上單調(diào)遞減將其排除．8.下列說法正確的是(

)A．命題“若x2=1，則x=1”的否命題為：“若x2=1，則x≠1”B．若命題p：?x∈R，x2﹣2x﹣1＞0，則命題?p：?x∈R，x2﹣2x﹣1＜0C．命題“若x=y，則sinx=siny”的逆否命題為真命題D．“x=﹣1”是“x2﹣5x﹣6=0”的必要不充分條件參考答案：C【考點(diǎn)】四種命題．【專題】簡易邏輯．【分析】A，寫出它的否命題，即可判定真假；B，寫出命題p的否定￢p；C，判定原命題的真假性，即可得出它的逆否命題的真假性；D，由“x=﹣1”得出“x2﹣5x﹣6=0”成立，判定命題是否正確．【解答】解：對于A，否命題是“若x2≠1，則x≠1”，∴A錯誤；對于B，命題p的否定￢p：?x∈R，x2﹣2x﹣1≤0，∴B錯誤；對于C，命題“若x=y，則sinx=siny”是真命題，∴它的逆否命題是真命題，∴C正確；對于D，“x=﹣1”時(shí)，“x2﹣5x﹣6=0”，∴是充分條件，∴D錯誤；故選：C．【點(diǎn)評】本題通過命題真假的判定，考查了四種命題之間的關(guān)系，也考查了一定的邏輯思維能力，是基礎(chǔ)題．9.若P為棱長為1的正四面體內(nèi)的任一點(diǎn)，則它到這個正四面體各面的距離之和為______.A.

B.

C.

D.參考答案：D10.定義行列式運(yùn)算：.若將函數(shù)的圖象向左平移個單位后，所得圖象對應(yīng)的函數(shù)為奇函數(shù)，則的最小值是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知是函數(shù)圖像上的點(diǎn)，是雙曲線在第四象限這一分支上的動點(diǎn)，過點(diǎn)作直線，使其與雙曲線只有一個公共點(diǎn)，且與軸、軸分別交于點(diǎn)，另一條直線與軸、軸分別交于點(diǎn)。則（1）為坐標(biāo)原點(diǎn)，三角形的面積為

（2）四邊形面積的最小值為

參考答案：（1）12

（2）4812.一個空間幾何體的三視圖如圖所示，其正視圖、側(cè)視圖、俯視圖均為等腰直角三角形，且直角邊長都為1，則這個幾何體的體積是_____________________.參考答案：

13.已知向量，設(shè)向，則

▲

。參考答案：-14.設(shè)直線l1：x+my+6=0和l2：（m﹣2）x+3y+2m=0，當(dāng)m=時(shí)，l1∥l2，當(dāng)m=

時(shí)，l1⊥l2．參考答案：﹣1，．【考點(diǎn)】直線的一般式方程與直線的平行關(guān)系；直線的一般式方程與直線的垂直關(guān)系．【專題】方程思想；綜合法；直線與圓．【分析】利用直線平行、垂直的性質(zhì)求解．【解答】解：∵直線l1：x+my+6=0和l2：（m﹣2）x+3y+2m=0，l1∥l2，∴=≠，解得m=﹣1；∵直線l1：x+my+6=0和l2：（m﹣2）x+3y+2m=0，l1⊥l2，∴1×（m﹣2）+3m=0，解得m=；故答案為：﹣1，．【點(diǎn)評】本題考查實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意直線的位置關(guān)系的合理運(yùn)用．15.已知菱形的邊長為2，.將三角形沿對角線折到，使得二面角的大小為，則與平面所成角的正弦值是

；四面體的體積為

．參考答案：

16.設(shè)a，b，c分別表示△ABC的內(nèi)角A，B，C的所對的邊，=（a，﹣b），=（sinB，cosA），若a=，b=2，且⊥，則△ABC的面積為．參考答案：【考點(diǎn)】正弦定理．【分析】利用平面向量共線的性質(zhì)及正弦定理可得sinAsinB﹣sinBcosA=0，結(jié)合sinB≠0可求tanA，利用特殊角的三角函數(shù)值可求A，利用正弦定理可求sinB，根據(jù)同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求cosB，進(jìn)而利用兩角和的正弦函數(shù)公式可求sinC，利用三角形面積公式即可計(jì)算得解．【解答】解：∵，=（a，﹣b），=（sinB，cosA），∴asinB﹣bcosA=0，∴sinAsinB﹣sinBcosA=0．又∵sinB≠0，∴．∵0＜A＜π，∴A=，∴．∵a＞b，∴A＞B，∴，∴，∴△ABC的面積為．故答案為：．【點(diǎn)評】本題主要考查了平面向量共線的性質(zhì)，正弦定理，特殊角的三角函數(shù)值，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，兩角和的正弦函數(shù)公式，三角形面積公式在解三角形中的綜合應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．17.一個正方體消去一個角所得的幾何體的三視圖如圖所示（圖中三個四邊形都是邊長為3的正方形），則該幾何體外接球的表面積為．參考答案：27π【考點(diǎn)】L!：由三視圖求面積、體積．【專題】11：計(jì)算題；31：數(shù)形結(jié)合；44：數(shù)形結(jié)合法；5Q：立體幾何．【分析】由已知中的三視圖，可得：該幾何體是一個正方體消去一個角，其外接球，即棱長為3的正方體的外接球，進(jìn)而得到答案．【解答】解：由已知中的三視圖，可得：該幾何體是一個正方體消去一個角，其外接球，即棱長為3的正方體的外接球，故該幾何體外接球的表面積S=3?32π=27π，故答案為：27π三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數(shù)，．（1）當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；（2）對于都有恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．參考答案：（1）當(dāng)時(shí)，當(dāng)解得；當(dāng)，恒成立；當(dāng)解得，此不等式的解集為．（2）令當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，所以，所以，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，所以，所以，綜上，．19.(本小題滿分12分)已知：如圖，在四棱錐P-ABCD中，△BCD為等邊三角形，，，，.(Ⅰ)若點(diǎn)E為PC的中點(diǎn)，求證：BE∥平面PAD；(Ⅱ)求四棱錐P-ABCD的體積.

參考答案：(Ⅰ)取的中點(diǎn)為，連結(jié)，.∵為等邊三角形，∴.∵，，∴，∴，∴.又∵平面，平面，∴∥平面.∵為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，∴∥.又∵平面，平面，∴∥平面.∵，∴平面∥平面.又∵平面，∴∥平面.

…………5分(Ⅱ)連結(jié)交于，連結(jié).∵，∴.為的中點(diǎn).又∵，，，∴.又∵，∴，∴.又∵，∴⊥平面，即四棱錐的高為，∴四棱錐的體積.…………12分

20.如圖，在長方體中，已知，，點(diǎn)是的中點(diǎn).（1）求證：；（2）求直線與平面所成角的大小.參考答案：(1)證明見解析；(2).試題分析：(1)借助題設(shè)條件線面垂直的性質(zhì)定理推證；(2)借助題設(shè)運(yùn)用線面角的定義探求.試題解析：（1）連結(jié)，因?yàn)槭钦叫?，所以，又面，面，所以，又，平面，所以平面，而平面，所?考點(diǎn)：線面位置關(guān)系的推證和線面角的求解和計(jì)算等有關(guān)知識的綜合運(yùn)用．21.已知：圓C過點(diǎn)A（6,0），B（1,5）且圓心在直線上，求圓C的方程。參考答案：.試題分析：由圓C過A和B點(diǎn)，得到AB為圓C的弦，求出線段AB垂直平分線的方程，根據(jù)垂徑定理得到圓心C在此方程上，方法是利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出線段AB的中點(diǎn)，根據(jù)直線AB的斜率，利用兩直線垂直時(shí)斜率的乘積為-1求出線段AB垂直平分線的斜率，由求出的中點(diǎn)坐標(biāo)和斜率寫出線段AB垂直平分線的方程，與直線l聯(lián)立組成方程組，求出方程組的解即可確定出圓心C的坐標(biāo)，然后再根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式求出|AC|的長即為圓C的半徑，由圓心和半徑寫出圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程即可．解法1：設(shè)所求圓的方程為。由題意可得,解得：所以求圓C的方程為.解法2：求出AB垂直平分線方程聯(lián)立方程組求出半徑,寫出圓C的方程為.考點(diǎn)：此題考查了中點(diǎn)坐標(biāo)公式，兩直線垂直時(shí)斜率滿足的關(guān)系，垂徑定理及兩點(diǎn)間的距離公式，理解圓中弦的垂直平分線一定過圓心是解本題的關(guān)鍵．22.（13分）已知集合A={x|（x﹣2）[x﹣（3a+1）]＜0}，B={x|2a＜x＜a2+1}．（Ⅰ）當(dāng)a=﹣2時(shí)，求A∪B；（Ⅱ）求使B?A的實(shí)數(shù)a的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】集合的包含關(guān)系判斷及應(yīng)用；并集及其運(yùn)算．【專題】分類討論；分類法；集合．【分析】由已知中集合A={x|（x﹣2）（x﹣3a﹣1）＜0}，集合B={x|（x﹣2a）（x﹣a2﹣1）＜0}，我們先對a進(jìn)行分類討論后，求出集合A，B，再由B?A，我們易構(gòu)造出一個關(guān)于a的不等式組，解不等式組，即可得到實(shí)數(shù)a的取值范圍【解答】（Ⅰ）解：當(dāng)a=﹣2時(shí)，A={x|﹣5＜x＜2}，B={x|﹣4＜x＜5}，∴A∪B={x|﹣5＜x＜5}．（Ⅱ）∵B={x|2a＜x＜a2+1}當(dāng)時(shí)，2＞3a+1，