【講與練】高中物理人教版(2019)必修2：7.3 萬有引力理論的成就提能作業(yè)習(xí)題

第七章3．萬有引力理論的成就合格考訓(xùn)練1．土星最大的衛(wèi)星叫“泰坦”(如圖)，每16天繞土星一周，其公轉(zhuǎn)軌道半徑約為1.2×106km，已知引力常量G＝6.67×10－11N·m2/kg2，則土星的質(zhì)量約為(B)A．5×1017kg B．5×1026kgC．7×1033kg D．4×1036kg解析：由萬有引力定律得Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(4π2r,T2)，M＝eq\f(4π2r3,GT2)，代入數(shù)據(jù)得M＝5×1026kg，故選項B正確。2．(多選)(2023·懷化高一期末)兩顆互不影響的行星P1、P2，各有一顆在表面附近的衛(wèi)星S1、S2繞其做勻速圓周運動。兩顆行星周圍衛(wèi)星的線速度的二次方(v2)與軌道半徑r的倒數(shù)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,r)))的關(guān)系如圖所示，已知S1、S2的線速度大小均為v0，則(BC)A．S1的質(zhì)量比S2的小B．P1的質(zhì)量比P2的大C．P1的平均密度比P2的小D．P1表面的重力加速度比P2的大解析：根據(jù)題中條件無法比較S1、S2質(zhì)量的大小，故A錯誤；由牛頓第二定律Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)，v2＝eq\f(GM,r)，故v2－eq\f(1,r)圖像的斜率為GM，則P1的質(zhì)量比P2的大，故B正確；由于P1、P2的近表面衛(wèi)星的線速度大小均為v0，所以它們的第一宇宙速度也均為v0，Geq\f(Mm,R2)＝meq\f(v\o\al(2,0),R)，M＝eq\f(v\o\al(2,0)R,G)，平均密度ρ＝eq\f(M,V)＝eq\f(\f(v\o\al(2,0)R,G),\f(4,3)πR3)＝eq\f(3v\o\al(2,0),4πGR2)，由圖知，P1的半徑比P2的大，則P1的平均密度比P2的小，故C正確；根據(jù)meq\f(v\o\al(2,0),R)＝mg，表面的重力加速度g＝eq\f(v\o\al(2,0),R)，P1表面的重力加速度比P2的小，故D錯誤。故選BC。3．通過觀測冥王星的衛(wèi)星，可以推算出冥王星的質(zhì)量，假設(shè)衛(wèi)星繞冥王星做勻速圓周運動，除了引力常量外，至少還需要兩個物理量才能計算出冥王星的質(zhì)量，這兩個物理量可以是(D)A．衛(wèi)星的質(zhì)量和軌道半徑B．衛(wèi)星的運行周期和角速度C．衛(wèi)星的質(zhì)量和角速度D．衛(wèi)星的線速度和角速度解析：根據(jù)Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)，可知衛(wèi)星的質(zhì)量可以約去，只知道軌道半徑不能求出冥王星質(zhì)量，故A錯誤；衛(wèi)星的運行周期和角速度關(guān)系是T＝eq\f(2π,ω)，也就是說知道周期，就知道了角速度，根據(jù)Geq\f(Mm,r2)＝mω2r可知，衛(wèi)星的質(zhì)量可以約去，只知道角速度或周期不能求出冥王星質(zhì)量，所以知道衛(wèi)星的運行周期和角速度或衛(wèi)星的質(zhì)量和角速度，沒法計算出冥王星的質(zhì)量，故B、C錯誤；衛(wèi)星圍繞冥王星做勻速圓周運動，萬有引力提供向心力，已知衛(wèi)星的線速度和角速度，則軌道半徑r＝eq\f(v,ω)，根據(jù)Geq\f(Mm,r2)＝mωv，即可求解冥王星的質(zhì)量，故D正確。4．有一星球的密度與地球的密度相同，但它表面處的重力加速度是地面上的重力加速度的2倍，則該星球的質(zhì)量將是地球質(zhì)量的(B)A.eq\f(1,4)倍 B．8倍C．16倍 D．64倍解析：根據(jù)在星球表面處的物體的重力和所受的萬有引力相等，即mg＝Geq\f(Mm,R2)，得g＝eq\f(GM,R2)，其中M是星球的質(zhì)量，R是星球的半徑。根據(jù)密度與質(zhì)量關(guān)系得M＝ρ·eq\f(4,3)πR3，該星球的密度跟地球密度相同，g＝eq\f(GM,R2)＝G·ρ·eq\f(4,3)πR，星球表面重力加速度是地球表面重力加速度的2倍，所以星球半徑也是地球半徑的2倍，再根據(jù)M＝ρ·eq\f(4,3)πR3，可得該星球質(zhì)量是地球質(zhì)量的8倍，故選項B正確。5．科學(xué)家們推測，太陽系內(nèi)除八大行星之外還有另一顆行星就在地球的軌道上，從地球上看，它永遠在太陽的背面，人類一直未能發(fā)現(xiàn)它，可以說是“隱居”著的地球的“孿生兄弟”。由以上信息可確定(A)A．這顆行星的公轉(zhuǎn)周期與地球相等B．這顆行星的半徑等于地球的半徑C．這顆行星的密度等于地球的密度D．這顆行星上同樣存在著生命解析：因只知道這顆行星的軌道半徑，所以只能判斷出其公轉(zhuǎn)周期與地球的公轉(zhuǎn)周期相等。由Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r可知，周期相同，軌道半徑一定相同，天體本身半徑無法確定，行星的質(zhì)量在方程兩邊可以消去，因此無法知道其密度。6．地球表面重力加速度為g，地球半徑為R，引力常量為G，忽略自轉(zhuǎn)影響，用上述物理量估算出來的地球平均密度是(A)A.eq\f(3g,4πRG) B．eq\f(3g,4πR2G)C．eq\f(g,RG) D．eq\f(g,RG2)解析：設(shè)地球表面有一物體質(zhì)量為m，地球的質(zhì)量為M。物體在地球表面時，所受的重力近似等于地球?qū)ξ矬w的萬有引力，則有Geq\f(Mm,R2)＝mg，解得M＝eq\f(gR2,G)，地球體積V＝eq\f(4,3)πR3，地球密度ρ＝eq\f(M,V)＝eq\f(\f(gR2,G),\f(4,3)πR3)＝eq\f(3g,4πRG)，故A正確。7．(多選)如圖所示，美國的“卡西尼”號探測器經(jīng)過長達7年的“艱苦”旅行，進入繞土星飛行的軌道。若“卡西尼”號探測器在半徑為R的土星上空離土星表面高h的圓形軌道上繞土星飛行，環(huán)繞n周飛行時間為t，已知引力常量為G，則下列關(guān)于土星質(zhì)量M和平均密度ρ的表達式正確的是(AD)A．M＝eq\f(4π2n2R＋h3,Gt2) B．M＝eq\f(4π2t2R＋h3,Gn2)C．ρ＝eq\f(3πt2R＋h3,Gn2R2) D．ρ＝eq\f(3πn2R＋h3,Gt2R3)解析：探測器繞土星飛行，環(huán)繞n周飛行時間為t，則探測器運行的周期為T＝eq\f(t,n)，由萬有引力提供向心力得，Geq\f(Mm,R＋h2)＝meq\f(4π2,T2)(R＋h)，得M＝eq\f(4π2n2R＋h3,Gt2)，選項A正確，B錯誤；由ρ＝eq\f(M,V)，V＝eq\f(4,3)πR3，得ρ＝eq\f(3πn2R＋h3,Gt2R3)，選項D正確，C錯誤。8．為了研究太陽演化進程，需知道目前太陽的質(zhì)量M，已知地球半徑R＝6.4×106m，地球質(zhì)量m＝6.0×1024kg，日地中心距離r＝1.5×1011m，地球表面的重力加速度g取10m/s2。1年約為3.2×107s，但引力常量G未知，試估算目前太陽的質(zhì)量M。(結(jié)果保留兩位有效數(shù)字)答案：1.9×1030kg解析：設(shè)T為地球繞太陽運動的周期，則由太陽對地球的引力提供地球圍繞太陽做圓周運動的向心力得Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r①設(shè)在地球表面附近有質(zhì)量為m′物體，則Geq\f(mm′,R2)＝m′g②聯(lián)立①②解得M＝eq\f(4π2r3,T2)·eq\f(m,R2g)≈1.9×1030kg。等級考訓(xùn)練9．一物體從某行星表面某高度處自由下落。從物體開始下落計時，得到物體離行星表面高度h隨時間t變化的圖像如圖所示，不計阻力。則根據(jù)h－t圖像可以計算出(C)A．行星的質(zhì)量B．行星的半徑C．行星表面重力加速度的大小D．物體受到行星引力的大小解析：物體離行星表面的高度為25m，落地時間為2.5s，根據(jù)h＝eq\f(1,2)gt2，得出重力加速度g；由題中條件不能知道行星的半徑，所以也不能求出行星的質(zhì)量。由于不知道物體的質(zhì)量，所以不能求出物體受到行星的引力大小。故選C。10．(多選)組成星球的物質(zhì)是靠引力吸引在一起的，這樣的星球有一個最大的自轉(zhuǎn)的速率，如果超出了該速率，星球的萬有引力將不足以維持其赤道附近的物體隨星球做圓周運動，由此能得到半徑為R，密度為ρ、質(zhì)量為M且均勻分布的星球的最小自轉(zhuǎn)周期T，下列表達式正確的是(BC)A．T＝2πeq\r(\f(3R3,GM)) B．T＝2πeq\r(\f(R3,GM))C．T＝eq\r(\f(3π,Gρ)) D．T＝eq\r(\f(π,Gρ))解析：當周期小到一定值時，壓力為零，此時萬有引力充當向心力，即eq\f(GMm,R2)＝meq\f(4π2R,T2)，解得T＝2πeq\r(\f(R3,GM))①，故B正確，A錯誤；星球的質(zhì)量M＝ρV＝eq\f(4,3)πρR3，代入①式可得T＝eq\r(\f(3π,Gρ))，故C正確，D錯誤。11．(2023·綿陽高一期末)石墨烯是一種具有超輕超高強度的新型材料。有人設(shè)想：用石墨烯制作超級纜繩連接地球赤道上的固定基地與同步空間站，利用超級纜繩承載太空電梯從地球基地向空間站運送物資。已知地球半徑R，自轉(zhuǎn)周期T，地球北極表面重力加速度g0，引力常量G。(1)求地球的質(zhì)量M；(2)太空電梯停在距地3R的站點，求該站點處的重力加速度g的大小。答案：(1)eq\f(g0R2,G)(2)eq\f(g0,16)－eq\f(16Rπ2,T2)。解析：(1)設(shè)質(zhì)量為m0的物體北極地面靜止，則m0g0＝Geq\f(Mm0,R2)，解得M＝eq\f(g0R2,G)。(2)設(shè)貨物質(zhì)量為m，在距地面高3R站點受到的萬有引力為F，則F＝Geq\f(Mm,4R2)貨物繞地球做勻速圓周運動，設(shè)太空電梯對貨物的支持力為FN，則F－FN＝mω24RFN＝mgω＝eq\f(2π,T)解得g＝eq\f(g0,16)－eq\f(16Rπ2,T2)。12．在星球M上將一輕彈簧豎直固定在水平桌面上，把物體P輕放在彈簧上端，P由靜止向下運動，物體的加速度a與彈簧的壓縮量x間的關(guān)系如圖中實線所示。在另一星球N上用完全相同的彈簧，改用物體Q完成同樣的過程，其a－x關(guān)系如圖中虛線所示，假設(shè)兩星球均為質(zhì)量均勻分布的球體。已知星球M的半徑是星球N的3倍，求：(1)Q和P的質(zhì)量之比是多少；(2)星球M和星球N的密度之比為多少。答案：(1)eq\f(mQ,mP)＝6(2)eq\f(ρM,ρN)＝1解析：(1)設(shè)星球M和星球N表面重力