2024年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)【舉一反三】系列重難點01 利用基本不等式求最值【八大題型】（舉一反三）（新高考專用）（解析版）

2024年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)【舉一反三】重難點01利用基本不等式求最值【八大題型】【新高考專用】題型梳理題型梳理 2 3 4 6 7【題型6多次使用基本不等式求最值】 命題規(guī)律命題規(guī)律它在高考中常用于大小判斷、求最值、求最值范圍等.在高考中經(jīng)?？疾爝\(yùn)用基本不等式求函數(shù)或最值，具有靈活多變、應(yīng)用廣泛、技巧性強(qiáng)等特點.在復(fù)習(xí)中切忌生搬硬套，在知識梳理知識梳理【知識點1利用基本不等式求最值的方法】,再用基本不等式求最值.【知識點2基本不等式的實際應(yīng)用】【知識點2基本不等式的實際應(yīng)用】1.基本不等式的實際應(yīng)用的解題策略??舉一反三A.2B.3【解題思路】用基本不等式求解即可.A.-2B.0C.1【解題思路】由基本不等式求得最小值.【變式1-2】(2023上·山東·高一統(tǒng)考期中)函(x>0)的最小值為()A.1B.3C.5【解題思路】利用均值不等式求最小值即可.【變式1-3】(2023下-江西-高三校聯(lián)考階段練習(xí))(1+4x2)的最小值為()A.9v3B.7+4v2C.8y3【解題思路】依題意可得,再利用基本不等式計算可得.)的最小值為7+4v3.【題型2【題型2配湊法求最值】的最小值為()A.8B.9C.10【解題思路】運(yùn)用基本不等式的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【解答過程】因為a>1,時取等號，即a=5時取A.6B.8C.10【解題思路】利用基本不等式求和的最小值，注意取值條件.當(dāng)且僅當(dāng)x=4時等號成立，故最小值為10.最小值為()A.7B.8C.14【解題思路】利用基本不等式求解.【解答過程】因為x>2,所以x-2>0,的最小值為15,重重A.6+2v6B.4+6γ2C.2+4v6【解題思路】結(jié)合條件等式，利用基本不等式求和的最小值.的最小值為6+4V2.【題型3【題型3常數(shù)代換法求最值】【解答過程】由題意得a>0,b>0,,若若,取等號，故B,取等號，故B項正確.【變式3-1】(2023-河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測)已知正實數(shù)a,b,值為()即a=3,b=6時，等號成立.則的最大值為()【解題思路】根據(jù)等式計算得出1,再結(jié)合常值代換求和的最值，計算可得最大值.【變式3-3】(2023·重慶·統(tǒng)考一模)已知a,b為非負(fù)實數(shù)，且2a+b=1,則的最小值為()A.1B.2用1的妙用即可求出其最值.【解答過程】∵2a+b=1,且a,b為非負(fù)實數(shù)，b≠0,則b=1-2a>0,解得0,2a=1-b≥0,解得0<b≤1,【例4】(2023上江蘇高一校聯(lián)考階段練習(xí))已知正數(shù)x,y滿足3~*=9°,則的最小值為_12,, 求得,結(jié)合基本不求得,結(jié)合基本不故a+2b的最小值為13,故答案為：13.事事【題型5【題型5構(gòu)造不等式法求最值】【例5】(2023下·河南·高三校聯(lián)考階段練習(xí))已知2a+b=ab(a>0,b>0),A.ab的最大值為8C.a+b有最小值3+√2D.a2-2a+b2-4b有最大值4下列說法正確的是()成(a-1)(b-2)=2,即可,即B正確；不等式變形可,利用由x+y+xy-3=0,x>0,y>0,可且0<y<3,一一【變式5-2】(2023上·江蘇.高一專題練習(xí))下列說法正確的是()D.若x>1,y>0,x+y=2,3,則xy的最小值為1【解題思路】選項A:將函數(shù)變形再利用基本不等式進(jìn)行判斷最值即可，但題設(shè)條件中x>2,故函數(shù)最小值取不到3,故A錯誤；,,時不選項D:x+y=2,(x-1)+y=1,最小值可取到3+2V2,故D正確.【解題思路】根據(jù)基本不等式以及“1”的妙用判斷各選項.【解答過程】對于A,當(dāng)且僅當(dāng)x=y=1時取等號，故A正,【題型6【題型6多次使用基本不等式求最值】則a+b的最小值為()【解題思路】先根據(jù)基本不等式求出.然后即可根據(jù)不等式的性質(zhì)得出(a+b)2≥列出兩個等號同時成立的條件，即可得出答案.【解答過程】由已知可得，a>0,b>0,a+b>0.當(dāng)且僅當(dāng)即2a=3b時等號成立.當(dāng)且僅當(dāng),即時，兩個等號同時成立.A.2√2-1B.2v2+1C.V2-1, 得最小值4得最小值4,,A.√2B.2-γ2C.3-γ2所l,,不方便師生出行，還存在嚴(yán)重安全問題.為此學(xué)校決定利用原水池改建一個深3米，底面面積16平方米的長150元，地面每平方米400元.設(shè)泳池寬為x米.(2≤x≤6)(2)根據(jù)題意，列出不等式，分離參數(shù)，再結(jié)合基本不等式代入計算，即可得到結(jié)果.同時考慮到節(jié)省費(fèi)用，擬借助校門口一側(cè)原有墻體建造一間高為4米、底面積為24平方米、背面靠墻體的長方體形狀的隔離室。隔離室的正面需開一扇安全門，此門高為2米，且此門高為此門底的背面靠墻，故無需建墻費(fèi)用，但需粉飾.現(xiàn)學(xué)校面向社會公開招標(biāo)，甲工程隊給出的報價：正面為每平方米360元，左右兩側(cè)面為每平方米300元，已有墻體粉飾為每平方米100元，屋頂和地面以及安全門報價共計12000元.設(shè)隔離室的左右兩側(cè)面的底邊長度均為x米(1≤x≤5).無論左右兩側(cè)底邊長為多少，乙工程隊都能競標(biāo)成功(注：整體報價小者競標(biāo)成功),若存在，求出t滿足(2)由題意知，(2)由題意知，,當(dāng)且僅當(dāng)即存在實數(shù)0無論左右兩側(cè)長為多少，乙工程隊都能競標(biāo)成功.【變式7-3】(2023上·重慶·高一?？茧A段練習(xí))為宜傳2023年杭州亞運(yùn)會，某公益廣告公司擬在一張面積為36000cm2的矩形海報紙(記為矩形ABCD,如圖)上設(shè)計四個等高的宣傳欄(欄面分別為兩個等腰三角形和兩個全等的直角三角形),為了美觀，要求海報上所有水平方向和豎直方向的留空寬度均為10cm,設(shè)(1)將四個宣傳欄的總面積y表示為x的表達(dá)式，并寫出x并求出此時宣傳欄的最大面積.【解題思路】(1)根據(jù)題意列出總面積y表示為x的表達(dá)式即可.(2)根據(jù)(1)利用基本不等式求可使用宣傳欄總面積最大時|AD|和|CD|的值.【解答過程】(1)根據(jù)題意|DC|=xcm,矩形海報紙面積為36000cm2,可使用宣傳欄總面積最大為25000cm2.【題型8【題型8與其他知識交匯的最值問題】2acosAcosB(A≤B).(2)表示出所求面積后運(yùn)用基本不等式即可求解.【解答過程】(1)由已知和正弦定理可得：所以sinC=sin2AcosB-sinBcos2A=sin(2A-B)>0.故△ABC面積的最小【解答過程】(1)由題可知圓C的圓心為C(0,0),半徑r=3.(2)當(dāng)直線l的斜率存在且不為0時，設(shè)直線l的方程為y=,可得k=1;A.x+y≤1C.x2+y2≤2D,,,滿足等式，但是x2+y2≥1不成立，所以D錯誤.C.log?a+log?b≥-2【解題思路】根據(jù)a+b=1,結(jié)合基本不等式及二次函數(shù)知識近線分別交于D,E兩點，若△ODE的面積為8,則C的焦距的最小值為()A.4B.8【解題思路】因為(),可得雙曲線的漸