高中數(shù)學(xué)第一章集合與函數(shù)概念1.1.3集合的基本運算第二課時補集及綜合應(yīng)用省公開課一等獎新名師

第二課時補集及綜合應(yīng)用1/29目標導(dǎo)航課標要求1.了解全集、補集含義,會求給定集合補集.2.能夠處理交集、并集、補集綜合運算問題.3.能借助Venn圖,利用集合相關(guān)運算處理相關(guān)實際應(yīng)用問題.素養(yǎng)達成經(jīng)過本節(jié)內(nèi)容學(xué)習(xí),使學(xué)生體會數(shù)形結(jié)合思想及補集思想應(yīng)用,提升學(xué)生數(shù)學(xué)運算和分析能力.2/29新知探求課堂探究3/29新知探求·素養(yǎng)養(yǎng)成【情境導(dǎo)學(xué)】導(dǎo)入一相對于某個集合U,其子集中元素是U中一部分,那么剩下元素也應(yīng)組成一個集合,這兩個集合對于U組成了相對關(guān)系,這就驗證了“事物都是對立和統(tǒng)一關(guān)系”.集合中部分元素組成集合與集合U之間關(guān)系就是部分與整體關(guān)系.這就是本節(jié)研究內(nèi)容——補集和全集.導(dǎo)入二U={1,2,3,4,5,6,7,8},A={1,2,3}.想一想1:在導(dǎo)入一中,假如我們研究集合中,全部元素都在集合U中,能否要求集合U為全集?(能夠)想一想2:導(dǎo)入二中,由集合U中去掉屬于集合A元素,剩下元素組成新集合是什么?({4,5,6,7,8})4/29自然語言對于一個集合A,由全集U中全部元素組成集合稱為集合A相對于全集U補集,記作.符號語言?UA=

.圖形語言1.全集普通地,假如一個集合含有我們所研究問題中包括

,那么就稱這個集合為全集.通常記作

.2.補集全部元素知識探究U不屬于集合A?UA{x|x∈U,且x?A}5/29探究:若集合A是全集U子集,x∈U,則x與集合A關(guān)系有幾個?答案:若x∈U,則x∈A或x∈?UA,二者必居其一.【拓展延伸】德·摩根定律設(shè)集合U為全集,集合A,B是集合U子集.(1)如圖(1),?U(A∩B)=(?UA)∪(?UB);6/29(2)如圖(2),?U(A∪B)=(?UA)∩(?UB).上面兩組集合相等關(guān)系,能夠經(jīng)過Venn圖清楚明了地表示出來,所以,我們應(yīng)學(xué)會用Venn圖處理相關(guān)集合問題.7/291.(補集定義)若B=?UA,則(

)(A)A?B (B)B?A (C)A?U (D)A=BC自我檢測解析:由題意知?U

A={2,4,7},選C.2.(補集運算)已知全集U={1,2,3,4,5,6,7},集合A={1,3,5,6},則?UA等于(

)(A){1,3,5,6} (B){2,3,7}(C){2,4,7} (D){2,5,7}C8/293.(補集運算)已知全集為R,集合A={x|x≥1},那么集合?RA等于(

)(A){x|x>1} (B){x|x>-1}(C){x|x<1} (D){x|x<-1}C4.(補集運算)已知全集U=R,A={x|x≤0},B={x|x≥1},則集合?U(A∪B)等于(

)(A){x|x≥0} (B){x|x≤1}(C){x|0≤x≤1} (D){x|0<x<1}D解析:A∪B={x|x≤0或x≥1},所以?U(A∪B)={x|0<x<1}.故選D.9/29答案:{x|-3≤x≤0或2≤x≤3}

{x|0<x<1}

{x|-3≤x<1或2≤x≤3}5.(綜合運算)已知集合U={x|-3≤x≤3},M={x|-1<x<1},?UN={x|0<x<2},那么集合N=

,M∩(?UN)=

,M∪N=

.

10/29題型一補集運算【例1】(1)已知全集為U,集合A={1,3,5,7},?UA={2,4,6},?UB={1,4,6},則集合B=

;課堂探究·素養(yǎng)提升解析:(1)法一因為A={1,3,5,7},?UA={2,4,6},所以U={1,2,3,4,5,6,7}.又?UB={1,4,6},所以B={2,3,5,7}.法二滿足題意Venn圖如圖所表示.由圖可知B={2,3,5,7}.答案:(1){2,3,5,7}

11/29(2)已知全集U={x|x≤5},集合A={x|-3≤x<5},則?UA=

.

解析:(2)將集合U和集合A分別表示在數(shù)軸上,如圖所表示.由補集定義可知?UA={x|x<-3或x=5}.答案:(2){x|x<-3或x=5}12/29

求集合補集方法(1)定義法:當集合中元素較少時,可利用定義直接求解.(2)Venn圖法:借助Venn圖可直觀地求出全集及補集.(3)數(shù)軸法:當集合中元素連續(xù)且無限時,可借助數(shù)軸求解,此時需注意端點問題.方法技巧13/29即時訓(xùn)練1-1:(1)(·廣平縣一中高一月考)設(shè)集合A={x∈N*|x≤6},B={2,4},則?AB等于()(A){2,4} (B){0,1,3,5}(C){1,3,5,6} (D){x∈N*|x≤6}(2)已知U={x|x>0},A={x|2≤x<6},則?UA=

.

解析:(1)因為A={x∈N*|x≤6}={1,2,3,4,5,6},B={2,4},所以?AB={1,3,5,6}.故選C.(2)如圖,分別在數(shù)軸上表示兩集合,則由補集定義可知,?UA={x|0<x<2,或x≥6}.答案:(1)C

(2){x|0<x<2,或x≥6}14/29題型二集合交、并、補綜合運算【例2】(1)已知U={1,2,3,4,5,6,7,8},A={3,4,5},B={4,7,8},求:(?UA)∩(?UB),A∩(?UB),(?UA)∪B;解:(1)法一

因為?UA={1,2,6,7,8},?UB={1,2,3,5,6},所以(?UA)∩(?UB)={1,2,6},A∩(?UB)={3,5},(?UA)∪B={1,2,4,6,7,8}.法二

畫出Venn圖,如圖所表示,可得(?UA)∩(?UB)={1,2,6},A∩(?UB)={3,5},(?UA)∪B={1,2,4,6,7,8}.15/29(2)設(shè)全集為R,A={x|3≤x<7},B={x|2<x<10},求?RB,?R(A∪B)及(?RA)∩B.解:(2)把集合A,B在數(shù)軸上表示以下:由圖知?RB={x|x≤2或x≥10},A∪B={x|2<x<10},所以?R(A∪B)={x|x≤2,或x≥10}.因為?RA={x|x<3,或x≥7},所以(?RA)∩B={x|2<x<3,或7≤x<10}.16/29誤區(qū)警示(1)利用數(shù)軸求集合交、并、補集運算時需注意點虛實情況改變.17/29即時訓(xùn)練2-1:(1)設(shè)全集U={1,2,3,4,5},若A∩B={2},(?UA)∩B={4},(?UA)∩(?UB)={1,5},則以下結(jié)論中正確是(

)(A)3?A,3?B (B)3?A,3∈B(C)3∈A,3?B (D)3∈A,3∈B解析:(1)由Venn圖可知,3∈A,3?B,故選C.18/29(2)如圖所表示,U是全集,A,B是U子集,則陰影部分所表示集合是(

)(A)A∩B (B)A∪B(C)B∩(?UA) (D)A∩(?UB)(3)集合S={x∈N*|-2<x<9},M={3,4,5},P={1,3,6},則{2,7,8}是(

)(A)M∪P (B)M∩P(C)(?SM)∪(?SP) (D)(?SM)∩(?SP)解析:(2)由Venn圖可知陰影部分為B∩(?UA).故選C.(3)?SM={1,2,6,7,8},?SP={2,4,5,7,8},所以{2,7,8}=(?SM)∩(?SP).故選D.19/29【備用例1】已知集合A={x|2x-4<0},B={x|0<x<5},全集U=R,求:(1)A∩B;(2)(?UA)∩B.解:A={x|2x-4<0}={x|x<2},B={x|0<x<5},(1)A∩B={x|0<x<2}.(2)因為A={x|x<2},全集U=R,所以?UA={x|x≥2},則(?UA)∩B={x|2≤x<5}.20/29題型三補集綜合應(yīng)用【例3】

設(shè)全集為R,集合A={x|a≤x≤a+3},?RB={x|-1≤x≤5}.(1)若A∩B≠,求a取值范圍;(2)若A∩B≠A,求a取值范圍.(2)假設(shè)A∩B=A,則A?B,結(jié)合數(shù)軸得a+3<-1,或a>5,即a<-4,或a>5.所以當A∩B≠A時,a取值范圍是{a|-4≤a≤5}.21/29變式探究:若本題(2)改為A∪?RB≠A,求a取值范圍.22/29方法技巧求解一些與不等式相關(guān)集合問題時,若不易直接求解,或者較難分析,可利用“正難則反”思想轉(zhuǎn)化.“正難則反”策略利用是補集思想,即已知全集U,求子集A,若直接求A困難,可先求?UA,再由?U(?UA)=A求A.23/29即時訓(xùn)練3-1:已知集合A={x|(x+2)(x-5)>0},B={x|m≤x<m+1},且B?(?RA),則實數(shù)m取值范圍是

.

答案:{m|-2≤m≤4}24/29【備用例2】設(shè)全集I=R,已知集合M={x|(x+3)2≤0},N={x|x2+x-6=0}.(1)求(?IM)∩N;(2)記集合A=(?IM)∩N,已知集合B={x|a-1≤x≤5-a,a∈R},若A∪B=A,求實數(shù)a取值范圍.解:(1)因為M={x|(x+3)2≤0}={-3},N={x|x2+x-6=0}={-3,2},所以?IM={x|x∈R且x≠-3},所以(?IM)∩N={2}.25/29題型四易錯辨析——概念認識不到位致誤錯解:因為?UA={5},所以5∈U,且5?A,所以a2