山西省金科大聯(lián)考2023-2024學年高二上學期開學考試數(shù)學試題【含答案】

2023～2024學年第一學期開學考高二數(shù)學考生注意：1.本試卷分選擇題和非選擇題兩部分.滿分150分，考試時間120分鐘.2.答題前，考生務必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內項目填寫清楚.3.考生作答時，請將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效.4.本卷命題范圍：人教A版必修第一冊，必修第二冊，選擇性必修第一冊第一章～第二章第3節(jié).一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.直線，，，的圖象如圖所示，則斜率最小的直線是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由題圖確定直線斜率的大小關系即可.【詳解】由圖知：，故斜率最小的直線是.故選：B2.若復數(shù)滿足，則的共軛復數(shù)在復平面內對應的點位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】C【解析】【分析】根據(jù)復數(shù)的除法及共軛復數(shù)判斷即可得解.【詳解】，，，故對應點在第三象限，故選：C3.在空間直角坐標系中，已知平行四邊形的三個頂點的坐標分別為，，，則點的坐標為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)平行四邊形對角線的交點為中點可得答案.【詳解】設，因為與的中點相同，所以，解得，所以.故選：A.4.已知直線：與：，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】【分析】由兩線平行的判定列方程求參數(shù)a，注意驗證是否存在重合情況，結合充分、必要性定義判斷條件間的關系》【詳解】由，則，即，故或，時，，，即，顯然兩線重合；時，則，，即，故.綜上，“”是“”的充要條件.故選：C5.如圖，在三棱錐中，是邊長為3的正三角形，是上一點，，為的中點，為上一點且，則（）A.5 B.3 C. D.【答案】D【解析】【分析】以為一組基底，表示求解.【詳解】解：以為一組基底，則，，，，，，，所以.故選：D6.已知點在線段上，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】將問題化為求原點到線段上點距離的平方的范圍，進而求目標式的距離.【詳解】由的圖象如下，又是上圖線段上的一點，且為原點到該線段上點距離的平方，上述線段端點分別為，到原點距離的平方分別為，由圖知：原點到線段的距離，則，綜上，，故.故選：B7.已知函數(shù)在區(qū)間上有且僅有1個零點，則的取值范圍是（）A B. C. D.【答案】D【解析】【分析】應用三角恒等變換化簡，結合正弦型函數(shù)的性質及區(qū)間零點個數(shù)求參數(shù)范圍即可.【詳解】，在上，，即有且僅有1個零點，所以，則.故選：D8.已知三棱錐的體積為13，是空間中一點，，則三棱錐的體積是（）A.5 B.6 C.7 D.8【答案】C【解析】【分析】根據(jù)空間向量基本定理，結合四點共面性質、共線向量的性質、三棱錐體積的性質進行求解即可.【詳解】由，因為，所以在平面內存在一點，使得成立，即，，故選：C二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.在空間直角坐標系中，點的坐標為，則下列說法正確的是（）A.點關于原點對稱的點是B.點關于軸對稱的點是C.點關于平面，對稱的點是D.點關于點對稱的點是【答案】AC【解析】【分析】利用點關于原點的對稱點的特點可判斷A的正誤；根據(jù)點關于坐標軸對稱點的特點可判斷B的正誤；利用點關于坐標平面對稱點的特點可判斷C的正誤；利用點關于點對稱的特點可判斷D.【詳解】空間直角坐標系中，點.對于A，點關于于原點對稱的點的坐標是，A正確；對于B，點關于軸對稱的點的坐標是，B錯誤；對于C，點關于平面對稱點的坐標是，C正確；對于D，點關于點對稱點的坐標是，D錯誤；綜上知，正確的選項是AC.故選：AC.10.2023年7月28日，第31屆世界大學生夏季運動會（簡稱大運會）在四川成都開幕，這是繼2001北京大運會，2011深圳大運會之后，中國第三次舉辦夏季大運會.在成都大運會中，中國代表團取得了傲人的成績.為向大學生普及大運會的相關知識，某高校進行“大運會知識競賽”，并隨機抽取了40名學生，他們的得分（滿分100分）按，，，，分組得到的頻率分布直方圖如圖所示（得分均在內），則下列說法正確的是（）A.圖中的值為0.035B.若要求有63%的學生及格，則及格分數(shù)線約為79.4C.這40名學生的平均成績約為75分D.從得分在和的學生中隨機抽取2人，這2人組別不同的概率為【答案】ABCD【解析】【分析】A.利用各小矩形的面積之和為1求解判斷；B.設及格分數(shù)為x，由求解判斷；C.利用平均數(shù)公式求解判斷；D.先得到分數(shù)在內和在內的人數(shù)，利用古典概型的概率求解判斷.【詳解】A.由，解得，故正確；B.設及格分數(shù)為x，則，解得，故正確；C.，故正確；D.分數(shù)在內的人數(shù)為人，分數(shù)在內的有人，則從得分在和學生中隨機抽取2人，這2人組別不同的概率為，故正確；故選：ABCD11.如圖，在正四棱錐中，，，分別是，的中點，則下列說法正確的是（）A. B.直線和所成角的余弦值是C.點到直線的距離是 D.點到平面的距離是2【答案】ABC【解析】【分析】連接，利用中位線、正四棱錐的性質判斷A；過作，交延長線于，若為中點，連接，先證為平行四邊形，由異面直線定義確定直線和所成角的平面角，再求其余弦值判斷B；中求各邊長，余弦定理求，進而求點到直線的距離判斷C；證面，等體積法有求點面距離判斷D.【詳解】A：連接，分別為，的中點，即為中位線，則，由為正四棱錐，故為正方形，則，所以，對；B：過作，交延長線于，若為中點，連接，又，即，則為平行四邊形，故，，而且，故且，即為平行四邊形，所以且，故直線和所成角，即為或其補角，及正四棱錐的性質知：側面為等邊三角形，底面為正方形，且棱長均為，所以，，，故直線和所成角的余弦值是，對；C：中，又，則，所以，則，所以，故，所以點到直線的距離是，對；D：由上分析知：，若為底面中心，則為中點，，連接，交為，則，則，又，，面，所以面，即面，易知：，令到平面的距離為，則，由，則中上的高為，故，由，，則，所以，錯.故選：ABC12.唐代詩人李頎的詩《古從軍行》開頭兩句：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”隱藏著一個有趣的數(shù)學問題——“將軍飲馬”，即某將軍觀望完烽火臺之后從山腳的某處出發(fā)，先去河邊飲馬，再返回軍營，怎樣走能使總路程最短?在平面直角坐標系中有兩條河流，，其方程分別為，，點，，則下列說法正確的是（）A.將軍從出發(fā)，先去河流飲馬，再返回的最短路程是7B.將軍從出發(fā)，先去河流飲馬，再返回的最短路程是7C.將軍從出發(fā)，先去河流飲馬，再去河流飲馬，最后返回的最短路程是D.將軍從出發(fā)，先去河流飲馬，再去河流飲馬，最后返回的最短路程是【答案】AC【解析】【分析】確定關于，的對稱點，利用兩點距離最小判斷A、B；確定關于，的對稱點，利用兩點距離最小判斷C、D；【詳解】由關于，的對稱點分別為，而，從出發(fā)，先去河流飲馬，再返回的最短路程是，A對；從出發(fā)，先去河流飲馬，再返回的最短路程是，B錯；由關于，的對稱點分別為，從出發(fā)，先去河流飲馬，再去河流飲馬，最后返回的最短路程，C對；從出發(fā)，先去河流飲馬，再去河流飲馬，最后返回的最短路程是，D錯.故選：AC三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.在梯形中，，且和所在直線的方程分別是與，則梯形的面積為___________.【答案】【解析】【分析】先求得直線和之間的距離，即梯形的高，再利用梯形的面積公式求解.【詳解】解：直線和之間的距離為：，即梯形的高為，又，所以梯形的面積為，故答案為：14.已知直線的方向向量，平面的法向量，則直線與平面的位置關系是___________.【答案】或【解析】分析】由確定正確答案.【詳解】依題意，所以或.故答案為：或15.已知直線經(jīng)過點，且，兩點到直線的距離相等，則直線的方程為___________.【答案】或【解析】【分析】根據(jù)直線與直線平行，過直線過線段的中點進行分類討論，從而求得的方程.【詳解】直線的斜率為，所以過且平行于直線的直線方程為.線段的中點坐標為，所以過與線段中點的直線的方程為.所以直線或符合題意.故答案為：或16.已知函數(shù)，若互不相等的實數(shù)，，，，，滿足，則的取值范圍是____________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)解析式畫出函數(shù)草圖，利用絕對值函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、二次函數(shù)性質得，，，結合對勾函數(shù)性質求零點之和的范圍.【詳解】根據(jù)解析式可得草圖如下：要使互不相等的實數(shù)滿足，由圖知：，，，且，令，則或；令，則或；令，則；令，則；令，則；令，則或；所以，所以，在上遞增，所以.故答案為：四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知的三個頂點分別為，，.（1）求邊上的高所在直線的方程；（2）求邊上的中線所在直線的方程.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先求得直線斜率，利用點斜式求得邊上的高所在直線的方程.（2）先求得點坐標，再根據(jù)兩點式求得邊上的中線所在直線的方程.【小問1詳解】，所以直線的斜率為，所以直線的方程為【小問2詳解】線段的中點，所以直線所在直線方程為.18.已知是空間的一個基底，且，，，.（1）求證：，，，四點共面；（2）能否作為空間的一個基底?若能，試用這一基底表示；若不能，請說明理由.【答案】（1）證明見解析（2）不能作為基底，理由見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)向量的線性(加減)關系判斷是否成立，即可證結論；（2）判斷是否成立即可.【小問1詳解】由，，而，則，所以，，，四點共面；【小問2詳解】若共面，則，即，所以，則，可得，所以，故不能作為基底.19.在中，角，，的對邊分別是，，，.（1）求；（2）若，，是邊上一點，且__________，求的長.在①平分；②；③這三個條件中任選一個，補充到題干中的橫線位置，并作答.注：如果選擇多個條件分別作答，按第一個解答計分.【答案】（1）（2）選①；選②；選③【解析】【分析】（1）利用正弦定理統(tǒng)一為角，再由三角恒等變換求解；（2）選①利用三角形面積公式及等積法求解，選②利用向量的數(shù)量積運算求模即可得解，選③由余弦定理及直角三角形中勾股定理求解.【小問1詳解】，，，，，，，，，，即【小問2詳解】若選①，則，如圖，設，則，即，解得，所以.若選②，則為中點，如圖，所以，則，所以，即.若選③，如圖，由余弦定理可得，即，，因為，設，則在和中，，即，解得，即.20.如圖，在直三棱柱中，，，三棱柱的側面積為.（1）求證：平面平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.【答案】（1）證明詳見解析（2）【解析】【分析】（1）建立空間直角坐標系，利用向量法證得平面平面；（2）利用向量法求得直線與平面所成角的正弦值.【小問1詳解】依題意，，所以，所以，根據(jù)直三棱柱的性質可知平面，而平面，所以，由此以為原點建立如圖所示空間直角坐標系，則，設平面的法向量為，則，故可得.平面的一個法向量是，由于，所以，所以平面平面.【小問2詳解】由（1）得平面的法向量，，設直線與平面所成角為，則.21.已知直線：恒過點，且與軸，軸分別交于，兩點，為坐標原點.（1）求點的坐標；（2）當點到直線的距離最大時，求直線的方程；（3）當取得最小值時，求的面積.【答案】（1）（2）（3）或【解析】【分析】（1）將直線方程化為，即可確定定點；（2）由題意到直線的距離，列方程求參數(shù)，即可得直線方程；（3）由題意，，且、，結合基本不等式求最小值，確定取值條件，進而求的面積.【小問1詳解】由，則直線恒過.【小問2詳解】要使點到直線的距離最大，即到直線的距離，所以，整理得，故，所以，即.【小問3詳解】由題意，直線的截距均不為0，則，，且、，所以，僅當時等號成立，所以時取最小值，當，則，，此時的面積為；當，則，，此時的面積為；所以的面積為或.22.如圖，菱形和正方形所在平面互相垂直，，.

（1）求證：平面；（2）若是線段上的動點，求平面與平面夾角的余弦值的取值范圍.【答案】（1）見解析（2）【解析】【分析】（1）由面面平行的性質定理和判定定理證明即可；（2）由面面垂直的性質定理證明平面，以為原點，建立空間直角坐標系，分別求得平面和平面的一個法向量和，由向量的夾角公式結合二次函數(shù)的性質，即可求解.【小問1詳解】因為四邊形是菱形，所以