2021-2022學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué) 第一章 空間向量與立體幾何 12 空間向量在立體幾何中的應(yīng)用

1.2.4二面角

新課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)業(yè)水平要求

1.「解二面角的有關(guān)概念，理解二面向及二面角的平面角的定義.（數(shù)學(xué)抽

1.能用向量語(yǔ)言表述二面角.

象）

??能川向量方法解決二面角問(wèn)題.體會(huì)向量

2.掌握求二面角大小的基本方法及步驟.（直觀想象、邏輯推理）

方法在研究幾何問(wèn)題中的作用.

3.能結(jié)合圖形,靈活選擇方法解決與二面角有關(guān)的問(wèn)題.（邏輯推理）

,必備知識(shí)-自主學(xué)習(xí).

1.什么是二面角？

導(dǎo)思

2.怎樣求二面角的大小？

1.二面角的定義及相關(guān)概念

二面角的定義從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形稱(chēng)為二面角

棱這條直線稱(chēng)為二面角的棱

面這兩個(gè)半平面稱(chēng)為二面角的面

范圍0°W0^180°

在二面角a713的棱/上任取一點(diǎn)0,以點(diǎn)。為垂足，分別在半

平面a和B內(nèi)作垂直于棱/的射線0A和0B,則射線0A和0B

所成的角/A0B稱(chēng)為二面角的平面角

二面角的平面角

vv\

直二面角平面角是直角的二面角稱(chēng)為直二面角

兩個(gè)相交平面所成兩個(gè)相交平面所形成的四個(gè)二面角中，不小于0。且不大于90°

的角的角

田考,

，心勺拿

二面角的大小、二面角的平面角的大小、兩個(gè)相交平面所成角的大小的范圍是相同的

嗎？

提示：不相同.二面角的大小和二面角的平面角的大小的范圍是，兩個(gè)相交平面所成

角的大小的范圍是.

2.射影面積公式

已知平面B內(nèi)一個(gè)多邊形的面積為s,它在平面a內(nèi)的射影圖形的面積為S',平面a和

平面B所成的二面角的大小為e，則cose=.

田老,

如圖，若aABC在平面a上的射影為△A'BC,二面角ABCA'的大小為6，則cos9,

SAABC/SAA-BC的關(guān)系是怎樣的？

提示:cos0二.

3.用向量的夾角度量二面角

設(shè)平面a與B所成角的大小為。,ni,也為兩個(gè)非零向量.

⑴當(dāng)nilla,n2llp,ni±/,n2±/,且rii,血的方向分別與半平面a,0的延伸方向

相同,則。=<ni,n2).

(2)當(dāng)ni_La,ri2_LB,貝1|6=,m〉或9=TT-(ni,n2).

田老.

二面角的大小與其兩個(gè)半平面的法向量的夾角有什么關(guān)系？

提示：二面角的大小與其兩個(gè)半平面的法向量的夾角大小相等或互補(bǔ).

>基礎(chǔ)小測(cè)3

1.辨析記憶(對(duì)的打"V",錯(cuò)的打"x").

(1)二面角是指兩個(gè)平面相交的圖形.()

(2)二面角的平面角的兩條邊分別在二面角的兩個(gè)面內(nèi)且都與棱垂直.()

(3)兩個(gè)半平面的法向量的夾角的大小與二面角的大小相等.()

提示：(l)x.二面角是指從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形.

(2)4.根據(jù)二面角的平面角的定義可得.

(3)x.相等或互補(bǔ).

2.如果一個(gè)二面角的兩個(gè)半平面分別平行于另一個(gè)二面角的兩個(gè)半平面，則這兩個(gè)

二面角的關(guān)系是()

A.相等B.互補(bǔ)

C.相等或互補(bǔ)D.不能確定

【解析】選C.由等角定理可知這兩個(gè)二面角的平面角相等或互補(bǔ).

3.(教材例題改編)如圖所示,三棱推PABC中，PA,平面ABC,/BAC=90°,則二

面角BPAC的大小等于.

p

【解析】因?yàn)镻A，平面ABC,所以PA±AB,PA±AC,所以NBAC為二面角B-

PAC的平面角，

又NBAC=90。.所以所求二面角的大小為90°.

答案：90°

關(guān)鍵能力?合作學(xué)習(xí)

類(lèi)型一二面角的概念及利用定義法求二面角（數(shù)學(xué)抽象、直觀想象）

題組訓(xùn)練,

1.如圖，正方體ABCDAiBiJDi的棱長(zhǎng)為1,E,F分別為棱AD,BC的中點(diǎn)，則

平面CiDiEF與底面ABCD所成的二面角的余弦值為（）

2.已知二面角a0的大小是，m,n是異面直線,且m±a,n_Lp,則m,n所成的

角為（）

A.B.C.D.

3.在邊長(zhǎng)為a的正△ABC中，ADJ_BC于D,沿AD折成二面角BADC后，BC=

a,這時(shí)二面角BADC的大小為（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

【解析】1.選B.根據(jù)題意，EFL平面ADDiAi,所以ED」EF,ED1EF,

所以/DiED是平面CiDiEF與底面ABCD所成的二面角的平面角，在RtADiED

中，ED=,EDi==,

所以cosZDiED==.

2.選C.如圖，過(guò)二面角a/p內(nèi)一點(diǎn)P,分別作PA〃m,PB//n,則PA±a,PB±p,

且/_L平面PAB.

設(shè)平面PAB交/于O,則/_LOA,/_LOB,ZAOB為二面角a/0的平面角,即/

AOB=,故NAPB=,

則異面直線m,n所成的角為.

3.選C.在邊長(zhǎng)為a的正△ABC中，ADLBC于D,沿AD折成二面角BADC,由定

義知，ZBDC為所求二面角的平面角，又BC=BD=DC=a,所以4BDC為等邊三

角形，所以/BDC=60。.

"ft

用定義求二面角的步驟

(1)作(找)出二面角的平面角；

(2)證明所作平面角即為所求二面角的平面角；

(3)解三角形求角.

類(lèi)型二利用三垂線定理或射影面積公式求二面角(直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算)

【典例】已知在三棱錐PABC中，PC，平面ABC,AB=BC=CA=PC.求二面角B-

APC的余弦值.

四步內(nèi)容

理解條件：①三棱錐PABC中，PC,平面ABC,

題意②AB=BC=CA=PC.

結(jié)論：求二面角BAPC的余弦值.

思路可利用三垂線定理作出二面角的平面角，再求解；還可用射影面積公式

探求求解.

方法一：如圖，過(guò)點(diǎn)B作BELAC于點(diǎn)E,則E為AC的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作

EF_LPA于點(diǎn)F,連接BF.因?yàn)镻C_L平面ABC,PCu平面PAC,

書(shū)寫(xiě)

表達(dá)

B

四步內(nèi)容

所以平面PAC_L平面ABC.

又因?yàn)锽E_LAC,BEu平面ABC,平面ABCC平面PAC=AC,所以8￡，平

面PAC.由三垂線定理有BFXPA,所以NBFE是二面角BPAC的平面

書(shū)寫(xiě)

角.設(shè)PC=L由E是AC中點(diǎn)，

表達(dá)

得BE=,EF=Xsin45°=,

所以BF=,所以cosNBFE==.

方法二：（利用射影面積公式）如圖，過(guò)點(diǎn)B作BELAC于點(diǎn)E,連接PE.

B

四步內(nèi)容

因?yàn)镻C，平面ABC,ACu平面PAC,

所以平面PACJ_平面ABC.

所以4PAE是4PAB在平面PAC上的射影.

設(shè)PC=1,則PA=PB=,AB=1,

所以4PAB中AB邊上的高h(yuǎn)=.

書(shū)寫(xiě)

所以SAPAB_9又SAPAE=SAPAC=.

表達(dá)

設(shè)二面角BPAC的大小為9,

由射影面積公式有cos0==.

注意書(shū)寫(xiě)的規(guī)范性：

①利用三垂線定理作二面角的平面角的步驟；

②利用射影面積公式求相應(yīng)圖形的面積.

題后三垂線定理或其逆定理的作用在于作二面角的平面角，而射影面積公式

反思不需要作.

I解題策略

1.用三垂線定理或逆定理作二面角的平面角的作法：

(1)在其中一個(gè)面內(nèi)找一特殊點(diǎn)A,過(guò)A作另一個(gè)平面的垂線,垂足為B;

(2)過(guò)A作棱的垂線，垂足為C(或過(guò)B作棱的垂線,垂足為C),連接BC(或連接

AC);

(3)由三垂線的逆定理(及三垂線定理)得平面角ZACB.

2.對(duì)射影面積公式的理解：

(1)來(lái)源：三垂線定理.

(2)適用范圍：當(dāng)二面角的一個(gè)半平面上的封閉圖形的面積及它在另一個(gè)半平面上的

射影的面積已知或者已求出.

(3)優(yōu)勢(shì)：不需要作出二面角的平面角.

跟蹤訓(xùn)練'

如圖,在直三棱柱ABCAiBiCi中，AB=1,AC=AAi=,zABC=60°.

B

(1)證明：ABXAiC;

⑵求二面角AAiCB的正切值.

【解析】（1）因?yàn)槿庵鵄BCAiBiCi為直三棱柱，

所以AB_LAAi,在4ABC中，AB=1,AC=,ZABC=60°,

所以NBAC=90。,即ABXAC.

又ACClAAi=A,所以AB_L平面ACCiAi，

又AiCu平面ACCiAi,所以AB±AiC.

（2）如圖，作AD±AiC于D點(diǎn)，連接BD.由三垂線定理知BD1A1C,所以/ADB為

二面角AAiCB的平面角.在RtAAAiC中，AD===.

在RtABAD中，tanNADB==,

所以二面角AAiCB的正切值為.

類(lèi)型三利用向量法求二面角（邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算）

利用棱的垂線的方向向量求二面角

【典例】如圖,在一個(gè)二面角的棱上有兩個(gè)點(diǎn)A,B，線段AC,BD分別在這個(gè)二面

角的兩個(gè)面內(nèi)，并且都垂直于棱AB,AB=4,AC=6,BD=8,CD=2,則這個(gè)二

面角的度數(shù)為（）

c

AB

D

A.30°B.45°C.60°D.120°

【思路導(dǎo)引】利用空間向量的數(shù)量積及其性質(zhì)求解.

【解析】選C.設(shè)所求二面角的大小為。，則〈，〉=0.

因?yàn)?++,所以2=(++y=2+2+2+2.+2.+2.,

即(2)2=82+42+62-2x8x6cos0,

所以cos0=.

因?yàn)?。戌勺80。，所以0=60°.

?變式探究

若本例改為：如圖,在大小為45°的二面角AEFD中,四邊形ABFE與CDEF都是邊

長(zhǎng)為1的正方形，則點(diǎn)B與點(diǎn)D兩點(diǎn)間的距離是()

A____________R

DC

A.B.C.1D.

【解析】選D.因?yàn)樗倪呅蜛BFE與CDEF都是邊長(zhǎng)為1的正方形,所以=-=0,

又大小為45。的二面角AEFD中，

所以?=ixlxcos(180°-45°)=-.

因?yàn)?++,

所以2=2+2+2+2.+2,+2.=3-,所以|=.

利用半平面的法向量求二面角

【典例】如圖,在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1_L平面ABC,AAi=AC=BC,zACB

=90°,M為AB的中點(diǎn).

(1)求證：AQII平面BiCM;

(2)求二面角ACiMBi的正弦值.

【思路導(dǎo)引】(1)連接BCi,設(shè)BCiABiC=O,連接OM,由三角形中位線定理可得

OM/7AC1,再由直線與平面平行的判定可得ACiII平面BiCM;

⑵以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以CA,CB,CQ所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐

標(biāo)系，令BC=1,求出所用點(diǎn)的坐標(biāo)，分別求出平面AMQ與平面BiCiM的一個(gè)法

向量，由兩法向量所成角的余弦值可得二面角AQMBi的正弦值.

【解析】⑴連接BCi,設(shè)BCiCBiC=。,連接OM,

因?yàn)樗倪呅蜝CGBi為矩形，

所以。為BG的中點(diǎn)，

又因?yàn)镸為AB的中點(diǎn)，所以O(shè)M〃AG,

因?yàn)镺Mu平面BiCM,ACiC平面BiCM,

所以AG〃平面BiCM；

(2)如圖，以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以CA,CB,CG所在直線為x,y,z軸建立空間直

角坐標(biāo)系.

令BC=1,則A(,0,0),Ci(0,0,),Bi(0,1,),M.

貝?。?,MCi=,MBi=.

設(shè)平面AMCi的一^個(gè)法向量為m=(xi,yi,zi).

由，

取xi=1,得m=(l,,1)；

設(shè)平面BiCiM的一個(gè)法向量為n=(X2,y2,Z2).

由，

取X2=1,得n=.

設(shè)二面角ACiMB,的平面角為e,

則|cos0|==,

則sin。==.

即二面角ACiMBi的正弦值為.

?解題策略

利用向量法求二面角的兩種方法

方法一：分別在二面角a小的面a邛內(nèi)，沿a邛延伸的方向作向量n4/,m，/,貝!J

可用(ni,n2)度量這個(gè)二面角的大小.

方法二：通過(guò)法向量求解

設(shè)mi±a,m2±P,

則(mi,m2)與該二面角相等或互補(bǔ).

。題組訓(xùn)練、

1.如圖，二面角。不等于120。，A,B是棱/上兩點(diǎn)，BD,AC分別在半平面a,P

內(nèi),AC±/,BD±/,且2AB=AC=BD=2,則CD的長(zhǎng)等于()

A.2B.C.4D.5

【解析】選B.過(guò)點(diǎn)D作0D〃/,OA//BD,ODPOA=O,

因?yàn)锳C±/,BD±/,0D=AB=1,OA=BD=2,OC==

2.已知平面a的一個(gè)法向量為ni=(l,-3,),平面B的一個(gè)法向量為n2=(5,

1,),若an[3=/,則二面角a用的余弦值為()

A.B.-

C.或-D.或一

【解析】選C.因?yàn)槠矫鎍的一個(gè)法向量為m=(l,-3,),平面p的一個(gè)法向量為

n2=(5,1,),

所以cos(ni,n2)==

所以二面角a/p的余弦值為或

3.如圖，在直三棱柱ABCAiBiQ中，AB±AC,AiA=AB=AC,D是AB的中

點(diǎn).

(1)證明:AC,平面AAiBiB;

(2)求二面角CiBiDAi的正弦值.

【解析】⑴由直三棱柱ABCABCI性質(zhì)知：AAi，平面ABC,

因?yàn)锳Cu平面ABC,所以AAilAC,

因?yàn)锳B±AC,ABAAAi=A,ABu平面AAiBiB,AAg平面AABB,所以AC±

平面AAiBiB；

⑵由⑴知AAi,AB,AC兩兩垂直，以A為原點(diǎn),分別以AAi,AB,AC為x,y,

z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AB=2.

則D(0,1,0),Bi(2,2,0),Ci(2,0,2),DBi=(2,1,0),

DCi=(2,-1,2),設(shè)平面BiCiD的一個(gè)法向量m=(x,y,z),

則，

取x=1,得m=(l,-2,-2),

平面AiBiD的一個(gè)法向量n=(0,0,1),

所以cos(m,n〉===-,

所以二面角GBiDAi的正弦值為=.

【補(bǔ)償訓(xùn)練】

如圖，在四棱錐PABCD中,底面ABCD為直角梯形，ABllCD,AB±AD,PA,底

面ABCD,E為BP的中點(diǎn)，AB=2,PA=AD=CD=1.

⑴證明:EC〃平面PAD;

(2)求二面角EACP的正弦值.

【解析】⑴如圖，取AP的中點(diǎn)F,連接EF,DF,

因?yàn)锽E=PE,PF=AF,所以EF觸AB,

因?yàn)橹苯翘菪蜛BCD中，AB〃CD,AB=2,

PA=AD=CD=1,

所以CDAB,所以CDEF,

所以四邊形EFDC是平行四邊形，所以EC〃FD,

因?yàn)镈Fu平面PAD,ECC平面PAD,

所以EC〃平面PAD.

(2)如圖，因?yàn)镻AL平面ABCD,ABXAD,

所以AP,AB,AD兩兩垂直，以A為原點(diǎn)，AB為x軸，AD為y軸，AP為z軸，

建立空間直角坐標(biāo)系,myA(0,0,0),P(0,0,1),C(1,1,0),B(2,0,0),E,

=(0,0,1),=(1,1,0),=,

設(shè)平面APC的法向量m=(x,y,z),

則，

取x=1,得m=(1,-1,0),

設(shè)平面EAC的法向量n=(a,b,c),

則，取a=l,得n=(l,-1,-