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文檔簡(jiǎn)介

分式的知識(shí)點(diǎn)及典型例題分析

1、分式的定義:

方15c各9a5a-b3a2-b2°215xy11x2+13xy

例:下列式子中,-----、8a?b、-一、-------、---------、2-一、—>——、一、------、—>

x+y232x-y4am6x227i

31

——、。+—中分式的個(gè)數(shù)為()(A)2(B)3(C)4(D)5

x+ym

練習(xí)題:(1)下列式子中,是分式的有,

在工⑵£,1;⑶M⑷02;(5)2上⑹

x+523a7ib2x2+y2

(2)下列式子,哪些是分式?

a3y3lxx-^xy1h

5無2+4y8+乃x—2y45

2、分式有,無意義,總有意義:

2r+1

例1:當(dāng)X_________時(shí),分式」一有意義;例2:分式「一中,當(dāng)》=—時(shí),分式?jīng)]有意義

x-52-x

例3:當(dāng)x時(shí),分式一一有意義。x

例4:當(dāng)x時(shí),分式有意義

-----------X2-1X2+1

1

例5:尤,y滿足關(guān)系時(shí),分式口無意義;

%+y

例6:無論x取什么數(shù)時(shí),總是有意義的分式是()

2xx3xx—5

A.——B.------C.——D.

x+12x4-1x3+lX2

X

例7:使分式有意義的x的取值范圍為()A.xw2B.x豐—2C.x>—2D.x<2

x+2

x—2

例8:要是分式?jīng)]有意義,則x的值為)A.2B.-1或-3C.-1D.3

(x+l)(x-3)

3、分式的值為零:

1—2。X2-1

例1:當(dāng)X________時(shí),分式L衛(wèi)的值為0例2:當(dāng)x________時(shí),分式^—的值為0

Q+1X+1

例3:如果分式@二的值為為零,則a的值為()A.±2B.2

C.-2D.以上全不對(duì)

。+2

2

Y—Y

例4:能使分式F—的值為零的所有X的值是()

x--1

Ax=0Bx=1Cx=O或x=lDx=O或1=±1

x-9

例5:要使分式f--------的值為。,則x的值為()4.3或-3B.3C.-3D2

-5x+6

例6:若:+1=0,則@是()A.正數(shù)B.負(fù)數(shù)C.零D.任意有理數(shù)

4、分式的基本性質(zhì)的應(yīng)用:

例1:身=一;6x(.V+z?=——;如果5(3"+1)=*成立,則a的取值范圍是________

aaby3(y+z)2y+z7(3tz+l)7

,.ab~1—b+cb—c

例2:=-----------------=--------------

曲()?()

例3:如果把分式竺學(xué)中的a和b都擴(kuò)大10倍,那么分式的值()

a+b

A、擴(kuò)大10倍B、縮小10倍C、是原來的20倍D、不變

例4:如果把分式」1匕0x中的x,y都擴(kuò)大10倍,則分式的值()

x+y

A.擴(kuò)大100倍B.擴(kuò)大10倍C,不變D.縮小到原來的

10

例5:如果把分式一壬二中的x和y都擴(kuò)大2倍,即分式的值()

x+y

A、擴(kuò)大2倍;B、擴(kuò)大4倍;C、不變;D縮小2倍

例6:如果把分式工二工中的x和y都擴(kuò)大2倍,即分式的值()

x+y

A、擴(kuò)大2倍;B、擴(kuò)大4倍;C、不變;D縮小2倍

例7:如果把分式二二上中的x和y都擴(kuò)大2倍,即分式的值()

xy

A、擴(kuò)大2倍;B、擴(kuò)大4倍;C、不變;D縮小,倍

2

例8:若把分式土色的x、y同時(shí)縮小12倍,則分式的值()

2x

A.擴(kuò)大12倍B.縮小12倍C.不變D.縮小6倍

例9:若x、y的值均擴(kuò)大為原來的2倍,則下列分式的值保持不變的是()

2

、生n3%3x3/

AB、—7C、D、

2y2y22/

例10:根據(jù)分式的基本性質(zhì),分式二^可變形為(

)

a-b

a

A---B—^―C———D

-a-ba+ha-ba+b

0.2x—0.012

例11:不改變分式的值,使分式的分子、分母中各項(xiàng)系數(shù)都為整數(shù),

—x—0.05

I—Y

例12:不改變分式的值,使分子、分母最高次項(xiàng)的系數(shù)為正數(shù),---------_

1+九一廠-

5、分式的約分及最簡(jiǎn)分式:

\b-a\

b-aa-bJ1=-i;(4)=±z=q中

例1:下列式子(1);一)',—;(2)(3)----

x--yc-aaa-b-x-yy

正確的是()A、1個(gè)B、2個(gè)C、3個(gè)D、4個(gè)

例2:下列約分正確的是()

x+yx+y_12xy21

A、I,;B、=0;C、D、

x+yx2+xyx4/y2

例3:下列式子正確的是()

AOB.qJ八c-dc+dc-d-c+d八

3=c._Z+£=2±£D.------------=------------=0

2x+ya-yXX-xa

例4:下列運(yùn)算正確的是)

a241a2_aJ__J__J_

A、----=-------B、C、D、

a-ha+bxx22mmm

例5:下列式子正確的是)

2

bba+b八—cibiO.ltz-0.3/?a-3b

A.-=—B.-----=0C.-----------------二-1D.

aaa+ha-h0.2a+h2a+b

mmmm

例6:化簡(jiǎn)-----『的結(jié)果是()A、B、C、D、

9-m2m+3"2+3m-33-m

11

—x+-y

-4x2y_3-x13x+5y

例7:約分:53

22:r

6xyX2-93xyxy0.6x-y

a2-441ya(a+b)

例8:約分:

6+4a+416x2yb(a+b)

ax+ayf-16x2-9-\4a2hc3

x2-y2x"+8x+162i+62\a3bc

9-m2_5ab_x2-9

m+320a2bx2-6x+9

a+2a-b4a」一中,最簡(jiǎn)分式有(

例9:分式)

a2+3a2-b212(a-b)x-2

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

6、分式的乘,除,乘方:

26V-25/16x3y456x4

計(jì)算:(1)15/.39y7(2)(3)一

125ai°10O?13a

a-ba2b~a4x-2x2-25a~—1。+1

計(jì)算:(4)(5)-------?------------(6)

a2+abab-a1x+5x~~4ci~+4。+4Q+2

<22-4x

計(jì)算:(7)6xy?歹(8)-6ab^—(9)(所辦言

2a

2/5y.10yx2-lx+3/—1/八Q+2

計(jì)算:(10)(11)+(1)?2(12)—~~-——;+(Q+l)--------

3/J+6x+9+X6r+4Q+4a-\

計(jì)算幺ci—」\1/一、2a-6/々、3—a

:(13)~9-----------;(14)--------------------------------------------------

Q+2a~—2。+1ci4—4。+。~一6

222

X3分%-y孫+y

求值題:(1)已知:一,求的值。

y4x2—2xy+y2x2-xy

22

求\的值。

(2)已知:x+9y=y-3x9

x+y

---=3,求2x+3xy—2.y的值。

(3)已知:

x-2xy-y

3

計(jì)算:

計(jì)算:

與w求…的值。

求值題:(1)已知:

2

(2)已知:一—10工+25+卜-3|=0求---------的值。

2xy+2y

22

例題:計(jì)算(x2+y)+上上2?的結(jié)果是()A_211

+yC-D

xx+yx+yyi+y

例題:化簡(jiǎn)X十三?二-的結(jié)果是(

)A.1B.xyC.2D.土

:yxx)'

2元3-8xx+2x~—2x+12—2x2a+2.〃+1

計(jì)算:(1)---------X------(2)(3)(一一1)?

x+4x+42x-4x2-1x+1—2。+12。-2

7、分式的通分及最簡(jiǎn)公分母:

112

例1:分式-----—r,---------的最簡(jiǎn)公分母是()

m+nm—〃m-n

A.(m+?)(m2—n2)B.(m2—n2)2C.(m+n)2(m-n)D.m2-n2

例2:對(duì)分式上,三,一匚通分時(shí),最簡(jiǎn)公分母是()

2x3y24xy

A.24ry3B.12x2y2C.24xy2D.12A-y2

2[[22

例3:下面各分式:牛工,孚斗,二口,之二,其中最簡(jiǎn)分式有()個(gè)。

jr+xx-yx+1x-y

A.4B.3C.2D.1

例4:分式二一,'—的最簡(jiǎn)公分母是

a2-42。-4

例5:分式a與!的最簡(jiǎn)公分母為________________:

b

1-1

例6:分式工一——的最簡(jiǎn)公分母為__________

x-y尤+孫

8、分式的加減:

22〃2a2-1-3a2-4

例1:—例2:

mma2-1a2-1

gVxgx+2yy2x

例3:-^―+-----=__________________例4:—^+―r1r一一o——7=__________________

x-yy-xx-yy-xx-y

4m—1ba2b2

計(jì)算:(1)——十--(2)」一十(3)

m+3m+3a-bb-a(a—b)2(b-a)2

5。%+33a2h-58+。%

ab1ab1ab~

13115

iii—

例5:化簡(jiǎn)一+「-+」-等于()A.2xB.2xc.6xD.6x

x2x3x

bca2a1例8:--3---—

例6:+—例7

abC,a2-4Q—2(x—3)2)-x

Xx+612〃+lci—2

例9:+一例11:4+1...-

222

x-3x-3xX例10:a+a-2a-4-a-\

X2

例12:-x-1

X—1

hah14x-1122

練習(xí)題!:(1)-----十(2)i)i——-(3)——+——.

a+bb--a22-xx-42+xci—93—u

b2

(4)----+a+b(5)2--—____2L

a-bx-),y-x

a11a2—a—\

例13:計(jì)算。+1———的結(jié)果是()A----B-----CDQ1

a一1a-1a-1a-\

I2x

例14:請(qǐng)先化簡(jiǎn):-.....F-,然后選擇一個(gè)使原式有意義而又喜歡的數(shù)代入求值.

x-2X2-4

Y1—2丫

例15:已知:X2+4X-3=0求-------,的值。

x+2x+4x+4

9、分式的混合運(yùn)算:

42xx+3x~-2x+1

例1:-A--------------5-------------------1---------------例2:-----?------------

x~-16x-4x+4x+1x~-1x~+4x+3

.x—2x+2一2%4x

例3:例4:

x+2~x-2x+3jx+1

例5:|1j4———x-y.一一),2

例6:

(1—XJX-1x+2y%2+4xy+4y2

(」一--L)+&J

x+lxV1

例7x-yx+yx-2xy+y例8:

x~~x尤2—2x+1/x

x+2x-\、x-4

---------;--------)+-----

x-2xx-4JC+4x

練習(xí)題:

10、分式求值問題:

?72丫+18

例1:己知x為整數(shù),且^+^+1上為整數(shù),求所有符合條件的“值的和.

x+33-xx-9

24111

例2:已知x=2,y=—,求----+----的值.

2(x-y)2x+yx-y)

例3:已知實(shí)數(shù)x滿足4X2-4X+1=0,則代數(shù)式2x+'-的值為

2x

例4:已知實(shí)數(shù)a滿足/+2a—8=0,求-----的值.

。+1u~-1〃~+4/z+3

例5:若x+'=3x2

求的值是().A.一B.——C.D.-

x/+/+181024

13,求代數(shù)式2x二147二2.丫的值

例6:已知---

xyx-2xy-y

Q+1a—3以~—6。+9

例7:先化簡(jiǎn),再對(duì)〃取一個(gè)合適的數(shù),代入求值

(2-3Q+2a2-4

練習(xí)題:

x2-4x_,ci~-8。+16a2+ab

(1)—z---------,其中x=5.(2),其中3=5⑶/,其中a=-3,b=2

x~—8x+16a2-\6+2ab+b?

a2-l。+1甘+-OC%+2x-1x—4

(4)4------;其中a-85;(5)()---,其中x=-1

ci~+4a+4a+2—2xx"—4x+4X

先化簡(jiǎn),再求值:工二二+(戶2

(6)3).其中X=-2.

2九一4x—2

aa2a22

(7))X)+1,其中々=—,/?=-3

a-ha2-lab-^-b2a+ha2-b2

、x2—1

(8)先化簡(jiǎn),14--―再選擇一個(gè)你喜歡的數(shù)代入求值.

X7x

11、分式其他類型試題:

234_5__6_

例1:觀察下面一列有規(guī)律的數(shù):根據(jù)其規(guī)律可知第〃個(gè)數(shù)應(yīng)

381524)35,48

是.(〃為正整數(shù))

1248與,…,根據(jù)你的發(fā)現(xiàn),它的第8項(xiàng)是

例2:觀察下面一列分式:2'3,4,,第n項(xiàng)

xXXXX

是。

例3:按圖示的程序計(jì)算,若開始輸入的n值為4,則最后輸出的結(jié)果m是()

A10B20C55D50

例4:當(dāng)乂=_______時(shí),分式」一與一絲一互為相反數(shù).

5-x2—3x

113

例5:在正數(shù)范圍內(nèi)定義一種運(yùn)算☆,其規(guī)則為?!钬?一+7,根據(jù)這個(gè)規(guī)則^^(九+1)=—的解為

ab2

222

()A.x=—B.x=1C.x=——或1D.x=一或一1

333

例6:已知一士一二4+"K,則4=______B=____c=_______;

x(x+4)xx+4

3y+7

例7:已知土+“,則()

(y-l)(y-2)y-1y-2

A.A=_10,B=13B.A=10,B=13C.A=10,B=-13D.A=—10,B=—13

2

例8:已知2x=3y,求y的值;

x2+y2x2-y2

例9:設(shè)加一〃=則'一』的值是()A.」一B.0

C.1D.-1

mnmn

例10:請(qǐng)從下列三個(gè)代數(shù)式中任選兩個(gè)構(gòu)成一個(gè)分式,并化簡(jiǎn)該分式

x2Txy+4y2x-24y~2x—2y

例11:先填空后計(jì)算:

xiy-____________O—_____________O—______________o

n〃+l1〃+2〃+2〃+3

②(本小題4分)計(jì)算:一?—+-----]------+------?------+…+----------]---------

〃(〃+1)(〃+1)(〃+2)(〃+2)(〃+3)("+2003(〃+200&

,1111

解:-------1---------------1--------------F???H---------------------

〃(〃+1)(n+l)(72+2)(〃+2)(〃+3)(〃+200為(〃+2008

12、化為一元一次的分式方程:

x—1

例1:如果分式-----的值為一1,則X的值是

2x+l

例2:要使二5一與——4的值相等,則產(chǎn)__________o

x—1x—2

例3:當(dāng)0)=_____時(shí),方程y=2的根為一.

m-x2

2

例4:如果方程-------=3的解是x=5,則a=,,

../、23/仆2—x1

例5:(1)—=——(2)-----+-----=1

x1+1x-33-x

X—216_x+2

例6:解方程:

x+2%2-4x-2

nY—4-

例7:已知:關(guān)于x的方程1+——=上二無解,求a的值。

x—33-x

y4-

例8:已知關(guān)于x的方程——=-1的根是正數(shù),求a的取值范圍。

x-2

例9:若分式」I一與上Y-」2的2倍互為相反數(shù),則所列方程為____________________________

x+2x-3

例10:當(dāng)ni為何值時(shí)間?關(guān)于X的方程12—=———土土的解為負(fù)數(shù)?

x-x—2x+1x—2

h—xx-b

例11:解關(guān)于x的方程-----+2=------(awO)

aa

例12:解關(guān)于x的方程:士=+==一^虧3*0)

a+bci—hci~-u

v__1y__OOYI"

例13:當(dāng)a為何值時(shí),---=—竺二一的解是負(fù)數(shù)?

X—2X4-1(X—2)(%4-1)

2_2

例14:先化簡(jiǎn),再求值:一J.上二^+W2x+2—2,其中x,y滿足方程組〈x+2y=3

(x-y)x+yx-y=-2

Y—1x_m

例15知關(guān)于X的方程d一的解為負(fù)值,求m的取值范圍。

x+2x—1(尤+2)(x—1)

1_4⑵3x+2_,、I35

練習(xí)題:(1)⑵X.10⑶—

x-4x2-16x(x-l)1-X2l-XI+X

x_x-2⑸?5%一-4_2x+51/、11

(4)\07-->

x-5x+62x—43x—621一1—1

-^-+3=-^-(8)1212(9)31一3

(7)

x-22-x犬+33-xx2-92x—21—x

13、分式方程的增根問題:

X)77

例1:分式方程一有增根,則<11=_____

冗-3x—3

例2:當(dāng)k的值等于時(shí),關(guān)于x的方程一k三+2=-4-JX不會(huì)產(chǎn)生增根;

x-3x-3

2m¥3

------1—;---=-----

例3:若解關(guān)于x的分式方程x-2X2-4x+2會(huì)產(chǎn)生增根,求m的值。

Xin

例4:機(jī)取_________時(shí),方程一一-2=——會(huì)產(chǎn)生增根;

x—3x—3

Xvn~

例5:若關(guān)于x的分式方程一--2二上二無解,則勿的值為—

x—3x—3

例6:當(dāng)k取什么值時(shí)?分式方程一Y匚+-K----二Y=0有增根.

X—1X-1X+1

例7:若方程二二="一有增根,則m的值是()A.4B.3C.-3D.1

x-4x-4

3a4

例8:若方程一---有增根,則增根可能為()

x-2xx(x-2)

A、0B、2C、0或2I)、1

7722

)ABCD--

2277

例5:已知2x=3y,求一一上二的值;

f+/%--V

八Lhaca2—ab+h2

例6:如果——=2,貝U-----------

ba2+b2-------------

例7:已知-ci^―與h的和等于-4^x―,則a=,b=o

x+2x-2x2-4

例8:若xy=x—y#0,則分式----=()—B、y-xC>1D、—1

yxxy

Y-24x1li-

例9:有一道題“先化簡(jiǎn),再求值:土」+)十一一,其中X=-75。”小玲做題時(shí)把“X=—G"

x+2X2-4X2-4

錯(cuò)抄成了“x=口,但她的計(jì)算結(jié)果也是正確的,請(qǐng)你解釋這是怎么回事?

1-1

例10:有這樣一道數(shù)學(xué)題:“己知:a=2005,求代數(shù)式a(l+—)—^a—5■的值”,王東在計(jì)算時(shí)錯(cuò)把“a=2005”

aa-1

抄成了“a=2050”,但他的計(jì)算結(jié)果仍然正確,請(qǐng)你說說這是怎么回事。

X2—2x+1—1

例11:有這樣一道題:“計(jì)算:,十口x一一X的值,其中x=2007”,某同學(xué)把x=2007錯(cuò)抄

x~-1X~+X

成x=2008,但它的結(jié)果與正確答案相同,你說這是怎么回事?

例題:已知x+—=3,求丁J-的值。

XX+X+1

15、分式的應(yīng)用題:

(1)列方程應(yīng)用題的步驟是什么?(1)審;(2)設(shè);(3)列;(4)解;(5)答.

(2)應(yīng)用題有幾種類型;基本公式是什么?基本上有四種:

a.行程問題:基本公式:路程=速度X時(shí)間而行程問題中又分相遇問題、追及問題.

b.數(shù)字問題:在數(shù)字問題中要掌握十進(jìn)制數(shù)的表示法.

c.工程問題:基本公式:工作量=工時(shí)乂工效.

dj順?biāo)嫠畣栴}:V頷水=V悔水+v水.VJJ!*=V*.

工程問題:

例1:一項(xiàng)工程,甲需x小時(shí)完成,乙需y小時(shí)完成,則兩人一起完成這項(xiàng)工程需要小時(shí)。

例2:小明和小張兩人練習(xí)電腦打字,小明每分鐘比小張少打6個(gè)字,小明打120個(gè)字所用的時(shí)間和小張

打180個(gè)字所用的時(shí)間相等。設(shè)小明打字速度為x個(gè)/分鐘,則列方程正確的是()

,1201801201800120180八120180

A----=——Bn-------=——C——=-------D——=------

x+6xx-6xxx+6xx-6

例3:某工程需要在規(guī)定日期內(nèi)完成,如果甲工程隊(duì)獨(dú)做,恰好如期完成;如果乙工作隊(duì)獨(dú)做,則超過規(guī)定日

期3天,現(xiàn)在甲、乙兩隊(duì)合作2

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