高中數(shù)學(xué)學(xué)案匯編

§1.1正弦定理

1.掌握正弦定理的內(nèi)容；

2.掌握正弦定理的證明方法;

3.會(huì)運(yùn)用正弦定理解斜三角形的兩類基本問(wèn)題.

4學(xué)習(xí)過(guò)程

一、課前準(zhǔn)備

試驗(yàn)：固定AA8C的邊C8及N8,使邊AC繞著頂點(diǎn)C轉(zhuǎn)動(dòng).

思考：ZC的大小與它的對(duì)邊AB的長(zhǎng)度之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？

顯然，邊4B的長(zhǎng)度隨著其對(duì)角NC的大小的增大而.能否用一個(gè)等式把這種關(guān)系

精確地表示出來(lái)？

二、新課導(dǎo)學(xué)

派學(xué)習(xí)探究

探究1：在初中，我們已學(xué)過(guò)如何解直角三角形，下面就首先來(lái)探討直

角三角形中，角與邊的等式關(guān)系.如圖，在RtAABC中，設(shè)BC=a,

AC=b,AB=cf

根據(jù)銳角三角函數(shù)中正弦函數(shù)的定義，

W—=sinA,—=sinB,又sinC=1=￡,

ccc

從而在直角三角形ABC中，—=—=—.

sinAsinBsinC

探究2：那么對(duì)于任意的三角形，以上關(guān)系式是否仍然成立？

可分為銳角三角形和鈍角三角形兩種情況：

當(dāng)A4BC是銳角三角形時(shí)，設(shè)邊A8上的高是CD,根據(jù)任意角三角函數(shù)的定義,

WCD=asinB-bsinA,則一--=---,

sinAsinB

同理可得一J=—乙，

sinCsmB

sinAsinBsinC

類似可推出，當(dāng)△ABC是鈍角三角形時(shí)，以上關(guān)系式仍然成立.請(qǐng)你試試導(dǎo).

新知：正弦定理

在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的的比相等，即

a_b_c

sinAsinBsinC

試試：

(1)在AA8C中，一定成立的等式是().

A.〃sinA=bsinBB.acosA=0cos8

C.asinB=/?sinAD.acosB=4>cosA

(2)已知△ABC中，a=4,b=8,ZA=30°,則等于.

［理解定理］

(1)正弦定理說(shuō)明同一三角形中，邊與其對(duì)角的正弦成正比，且比例系數(shù)為同一正數(shù)，即

存在正數(shù)&使a=ksinA,,c=ksinC；

(2)=-^-=，-等價(jià)于____________,-.

sinAsin8sinCsinCsin3sinAsinC

(3)正弦定理的基本作用為：

①已知三角形的任意兩角及其一邊可以求其他邊，如。=史見(jiàn)4；b=______________.

sin8

②已知三角形的任意兩邊與其中一邊的對(duì)角可以求其他角的正弦值，

如sinA=—sinfi；sinC=______________.

b

(4)一般地，已知三角形的某些邊和角，求其它的邊和角的過(guò)程叫作解三角形.

X典型例題

例1.在AABC中,已知A=45°,B=60°,a=42cm,解三角形.

變式：在AABC中，已知8=45',C=60°,a=12cm,解三角形.

例2.在AA8C中,1=&,4=45°,4=2,求匕和51.

變式：在AABC中，b=G,B=60,c=l,求a和A,C.

三、總結(jié)提升

派學(xué)習(xí)小結(jié)

1.正弦定理：，_=上=，

sinAsinBsinC

2.正弦定理的證明方法：①三角函數(shù)的定義，

還有②等積法，③外接圓法，④向量法.

3.應(yīng)用正弦定理解三角形：

①已知兩角和一邊；

②已知兩邊和其中一邊的對(duì)角.

派知識(shí)拓展

/一=―也=—J=2R,其中2R為外接圓直徑.

sin4sin8sinC

心學(xué)習(xí)評(píng)價(jià)

X自我評(píng)價(jià)你完成本節(jié)導(dǎo)學(xué)案的情況為（）.

A.很好B.較好C.一般D.較差

X當(dāng)堂檢測(cè)（時(shí)量：5分鐘滿分：10分）計(jì)分：

1.在A4BC中，若您4=2,則AABC是（）.

cosBa

A.等腰三角形B.等腰三角形或直角三角形

C.直角三角形D.等邊三角形

2.已知△ABC中，A：B：C=1：1：4,

則Q：匕：C等于（）.

A.1：1：4B.1：1：2C.1：1：V3

D.2：2：百

3.在△ABC中，若sinA>sin5,則A與8的大小關(guān)系為（）.

A.B.A<B

C.A>BD.A、8的大小關(guān)系不能確定

4.已知△A8C中,sinA:sinB:sinC=1:2:3,則〃：b:c=.

5.已知△ABC中,/A=60°,a=>/3,貝（I

a+b+c_

sin4+sin8+sinC'

心課后作業(yè)

1.已知△ABC中，48=6,/A=30°,ZB=120°,解此三角形.

2.已知△ABC中，sinA:sinB:smC=k：（&+1）：2k（kf求實(shí)數(shù)&的取值范圍為.

§1.2余弦定理

心學(xué)習(xí)目標(biāo)

1.掌握余弦定理的兩種表示形式；

2.證明余弦定理的向量方法；

3.運(yùn)用余弦定理解決兩類基本的解三角形問(wèn)題.

心學(xué)習(xí)過(guò)程

一、課前準(zhǔn)備

復(fù)習(xí)1：在一個(gè)三角形中，各和它所對(duì)角的的相等，即=

復(fù)習(xí)2：在AABC中，已知c=10,A=45°,C=30。，解此三角形.

思考：已知兩邊及夾角，如何解此三角形呢？

二、新課導(dǎo)學(xué)

派探究新知

問(wèn)題：在AA8C中，AB、BC、C4的長(zhǎng)分別為c、a、b.

'：AC=,

：.AC?AC=

同理可得：a2=b2+c2-2bccosA,

c2=a2+b2-labcosC.

新知：余弦定理：三角形中任何一邊的—等于其他兩邊的的和減去這兩邊與它們的

夾角的的積的兩倍.

思考：這個(gè)式子中有兒個(gè)量？

從方程的角度看已知其中三個(gè)量，可以求出第四個(gè)量，能否由三邊求出一角？

從余弦定理，又可得到以下推論：

［理解定理］

(1)若C=90。，則cosC=—,這忖

由此可知余弦定理是勾股定理的推廣，勾股定理是余弦定理的特例.

(2)余弦定理及其推論的基本作用為：

①己知三角形的任意兩邊及它們的夾角就可以求出第三邊；

②已知三角形的三條邊就可以求出其它角.

試試：

(1)ZiABC中，。=36，c=2,8=150",求b.

(2)ZiABC中，a=2,b=應(yīng)，。=0+1,求4.

派典型例題

例1.在△A8C中，已知a=G，b=y［2,8=45、求A,C和c.

9

變式：在△48C中，若AB=yj5，AC=59且cosC——，則8C=

10--------

例2.在aABC中，已知三邊長(zhǎng)a=3,b=4,c=V37,求三角形的最大內(nèi)角.

變式：在AABC中，^a2=h2+c2+bc,求角A.

三、總結(jié)提升

派學(xué)習(xí)小結(jié)

1.余弦定理是任何三角形中邊角之間存在的共同規(guī)律，勾股定理是余弦定理的特例;

2.余弦定理的應(yīng)用范圍：

①已知三邊，求三角；

②已知兩邊及它們的夾角，求第三邊.

X知識(shí)拓展

在AABC中，

若/+/=。2,則角C是直角；

若則角c是鈍角；

若則角C是銳角.

心學(xué)習(xí)評(píng)價(jià)

X自我評(píng)價(jià)你完成本節(jié)導(dǎo)學(xué)案的情況為（）.

A.很好B.較好C.一般D.較差

派當(dāng)堂檢測(cè)（時(shí)量：5分鐘滿分：10分）計(jì)分：

1.已知〃=百，c=2,8=150°,則邊〃的長(zhǎng)為（）.

A.叵B,V34C.叵D.后

22

2.已知三角形的三邊長(zhǎng)分別為3、5、7,則最大角為（）.

A.60°B.75°C.120°D.150°

3.已知銳角三角形的邊長(zhǎng)分別為2、3、x,則x的取值范圍是（）.

A.V5<x<V13B.V13<x<5

C.2Vxe遙D.V?<x<5

4.在△ABC中，|而|=3,|AC|=2,而與前的夾角為60°,則|而一記尸

5.在△ABC中，已知三邊〃、b、c滿足

b2+a2-c2^ab,則/C等于.

課后作業(yè)

17

1.在△ABC中，已知a=7,0=8,cosC=—，求最大角的余弦值.

14

2.在△ABC中，48=5,8c=7,AC=8,求而的值.

§1.3正弦定理和余弦定理（練習(xí)）

1.進(jìn)一步熟悉正、余弦定理內(nèi)容；

2.掌握在已知三角形的兩邊及其中一邊的對(duì)角解三角形時(shí)，有兩解或一解或無(wú)解等情形.

一、課前準(zhǔn)備

復(fù)習(xí)1：在解三角形時(shí)

已知三邊求角，用定理；

已知兩邊和夾角，求第三邊，用定理；

已知兩角和一邊，用定理.

復(fù)習(xí)2：在△ABC中，已知A=&,a=25亞,b=50^2,解此三角形.

6

二、新課導(dǎo)學(xué)

X學(xué)習(xí)探究

探究：在△ABC中，已知下列條件，解三角形.

?A=-,a=25,6=500；

6

②A=—,a=50",b=50y/2；

63

③A=-ffl=50,fe=50V2.

6

思考：解的個(gè)數(shù)情況為何會(huì)發(fā)生變化？

新知：用如下圖示分析解的情況（A為銳角時(shí)）.

已知邊a,b和/A

僅有…個(gè)解

試試：

1.用圖示分析（A為直角時(shí)）解的情況？

2.用圖示分析（A為鈍角時(shí)）解的情況?

派典型例題

例1.在A4BC中，已知a=80,6=100,44=45°,試判斷此三角形的解的情況.

變式：在AA8C中，若a=l,c=~,ZC=40°,則符合題意的b的值有個(gè).

2---------

c=2,求——竺"——的值.

例2.在A4BC中，4=60。，b=\,

sinA+sin3+sinC

變式：在AA8C中，若a=55,6=16,且，"sinC=220石，求角C.

2

三、總結(jié)提升

派學(xué)習(xí)小結(jié)

1.已知三角形兩邊及其夾角（用余弦定理解決）；

2.已知三角形三邊問(wèn)題（用余弦定理解決）；

3.已知三角形兩角和一邊問(wèn)題（用正弦定理解決）；

4.已知三角形兩邊和其中一邊的對(duì)角問(wèn)題（既可用正弦定理，也可用余弦定理，可能有一

解、兩解和無(wú)解三種情況）.

X知識(shí)拓展

在△ABC中，已知a,b,A,討論三角形解的情況：①當(dāng)A為鈍角或直角時(shí)，必須a>匕才

能有且只有一解；否則無(wú)解；

②當(dāng)A為銳角時(shí)，

如果那么只有一解；

如果a<6,那么可以分下面三種情況來(lái)討論：

（1）若a>〃sinA,則有兩解;

（2）若。=bsinA,則只有一解;

（3）若a</?sin4,則無(wú)解.

心學(xué)習(xí)評(píng)價(jià)

X自我評(píng)價(jià)你完成本節(jié)導(dǎo)學(xué)案的情況為（).

A.很好B.較好C.一般D.較差

X當(dāng)堂檢測(cè)（時(shí)量：5分鐘滿分：10分）計(jì)分：

1.已知為的邊，A、B分別是外人的對(duì)角，且也?=二則上心的值=（）.

sin33b

1245

A.-B.-C.-D.-

3333

2.已知在△ABC中，sinA:sinB:sinC=3：5：7,那么這個(gè)三角形的最大角是（）.

A.135°B.90°C.120°D.150°

3.如果將直角三角形三邊增加同樣的長(zhǎng)度，則新三角形形狀為（）.

A.銳角三角形B.直角三角形

C.鈍角三角形D.由增加長(zhǎng)度決定

4.在△ABC中，sinA:sinB:sinC=4:5:6,則cos8=.

5.已知△48C中，bcosC=ccosB,試判斷△4BC的形狀.

J課后作業(yè)

1.在AABC中，a=xcm,b=2cm,ZB=45。，如果利用正弦定理解三角形有兩解，求x

的取值范圍.

.2122

2.在AABC中，其三邊分別為〃、b、c,且滿足）absinC="十’一。，求角C

24

§1.3應(yīng)用舉例一①測(cè)量距離

能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識(shí)和方法解決一些有關(guān)測(cè)量距離的實(shí)際問(wèn)題

一、課前準(zhǔn)備

復(fù)習(xí)1：在△4BC中，NC=60°,a+b=2也+2,c=2&,則乙4為.

復(fù)習(xí)2：在△ABC中，sio4=—,判斷三角形的形狀.

cosB+cosC

二、新課導(dǎo)學(xué)

X典型例題

例1.如圖，設(shè)A、8兩點(diǎn)在河的兩岸，要測(cè)量?jī)牲c(diǎn)之間的距離，測(cè)量者在4的同側(cè)，在所

在的河岸邊選定一點(diǎn)C,測(cè)出4c的距離是55m,ZBAC=5\°,ZACB=15°.求A、B兩點(diǎn)

的距離（精確到0.1m）.

n

提問(wèn)1：A4BC中，根據(jù)己知的邊和對(duì)應(yīng)角，運(yùn)用哪個(gè)定理比較適當(dāng)？

提問(wèn)2：運(yùn)用該定理解題還需要那些邊和角呢?

分析：這是一道關(guān)于測(cè)量從一個(gè)可到達(dá)的點(diǎn)到一個(gè)不可到達(dá)的點(diǎn)之間的距離的問(wèn)題

題目條件告訴了邊48的對(duì)角，AC為已知邊，

再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理很容易根據(jù)兩個(gè)己知角算出4c的對(duì)角，

應(yīng)用正弦定理算出AB邊.

新知1：基線

在測(cè)量上，根據(jù)測(cè)量需要適當(dāng)確定的叫基線.

例2.如圖，4、B兩點(diǎn)都在河的對(duì)岸（不可到達(dá)），設(shè)計(jì)一種測(cè)量A、B兩點(diǎn)間距離的方法.

分析：這是例1的變式題，研究的是兩個(gè)的點(diǎn)之間的距離測(cè)

量問(wèn)題.

首先需要構(gòu)造三角形，所以需要確定C、。兩點(diǎn).

根據(jù)正弦定理中已知三角形的任意兩個(gè)內(nèi)角與一邊既可求出另兩

邊的方法，分別求出AC和6C,

再利用余弦定理可以計(jì)算出AB的距離.

變式:若在河岸選取相距40米的C、。兩點(diǎn)，測(cè)得NBC4=60°,N4CD=30°,NCD8=45°,

ABDA=60°.

練：兩燈塔人B與海洋觀察站C的距離都等于ah”，燈塔A在觀察站C的北偏東30°,

燈塔8在觀察站C南偏東60°,則A、B之間的距離為多少？

三、總結(jié)提升

派學(xué)習(xí)小結(jié)

1.解斜三角形應(yīng)用題的一般步驟：

（1）分析：理解題意，分清已知與未知，畫(huà)出示意圖

（2）建模：根據(jù)已知條件與求解目標(biāo)，把已知量與求解量盡量集中在有關(guān)的三角形中，建

立一個(gè)解斜三角形的數(shù)學(xué)模型；

（3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得數(shù)學(xué)模型的解

（4）檢驗(yàn)：檢驗(yàn)上述所求的解是否符合實(shí)際意義，從而得出實(shí)際問(wèn)題的解.

2.基線的選?。?/p>

測(cè)量過(guò)程中，要根據(jù)需要選取合適的基線長(zhǎng)度，使測(cè)量具有較高的精確度.

心學(xué)習(xí)評(píng)價(jià)

派自我評(píng)價(jià)你完成本節(jié)導(dǎo)學(xué)案的情況為（）.

A.很好B.較好C.一般D.較差

X當(dāng)堂檢測(cè)（時(shí)量：5分鐘滿分：10分）計(jì)分：

1.水平地面上有一個(gè)球，現(xiàn)用如下方法測(cè)量球的大小，用銳角45。的等腰直角三角板的斜邊

緊靠球面,P為切點(diǎn)，一條直角邊AC緊靠地面，并使三角板與地面垂直，如果測(cè)得尸A=5cm,

則球的半徑等于（）.

A.5cm

B.Syflcni

C.5（夜+l）c機(jī)（1/

D.6cmk

2.臺(tái)風(fēng)中心從A地以,,———每小時(shí)20千米的速度向東北方向

AC

移動(dòng)，離臺(tái)風(fēng)中心30千米內(nèi)的地區(qū)為危險(xiǎn)區(qū)，城市B在4的正東40千米處，B城市處于

危險(xiǎn)區(qū)內(nèi)的時(shí)間為().

A.0.5小時(shí)B.1小時(shí)

C.1.5小時(shí)D.2小時(shí)

3.在A48c中，已知(a2+b2)sin(A-B)=(a2-〃)sin(A+B),

則AABC的形狀().

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形

4.在AA8C中，已知。=4,b=6,C=120°,則sinA的值是.

5.一船以每小時(shí)15km的速度向東航行，船在A處看到一個(gè)燈塔B在北偏東60。，行駛4h

后，船到達(dá)C處，看到這個(gè)燈塔在北偏東15。，這時(shí)船與燈塔的距離為km.

，心課后作業(yè)

1.隔河可以看到兩個(gè)目標(biāo)，但不能到達(dá)，在岸邊選取相距Gkm的C、。兩點(diǎn)，并測(cè)得/

4cB=75°,NBCD=45°,ZADC=30°,ZADB=45°,4、B、C、。在同一個(gè)平面，

求兩目標(biāo)A、B間的距離.

2.某船在海面A處測(cè)得燈塔C與A相距10百海里，且在北偏東30。方向；測(cè)得燈塔B與4

相距15后海里，且在北偏西75。方向.船由A向正北方向航行到。處，測(cè)得燈塔B在南偏

西60。方向.這時(shí)燈塔C與。相距多少海里？

§1.3應(yīng)用舉例一②測(cè)量高度

?Q學(xué)習(xí)目標(biāo)

1.能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識(shí)和方法解決?些有關(guān)底部不可到達(dá)的物體高度測(cè)量

的問(wèn)題；

2.測(cè)量中的有關(guān)名稱.

4學(xué)習(xí)過(guò)程

一、課前準(zhǔn)備

復(fù)習(xí)1：在AABC中，竺4=2=9,則AABC的形狀是怎樣?

cosBa?>

復(fù)習(xí)2：在△ABC中，ab、c分別為NA、NB、NC的對(duì)邊，若A/3,求A:B:C

的值.

二、新課導(dǎo)學(xué)

派學(xué)習(xí)探究

新知：坡度、仰角、俯角、方位角

方位角一從指北方向順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平轉(zhuǎn)角；

坡度一沿余坡向上的方向與水平方向的夾角；

仰角與俯角一視線與水平線的夾角當(dāng)視線在水平線之上時(shí)，稱為仰角；當(dāng)視線在水平線之下

時(shí)，稱為俯角.

探究：A8是底部8不可到達(dá)的一個(gè)建筑物，A為建筑物的最高點(diǎn)，設(shè)計(jì)一種測(cè)量建筑物高

度A8的方法.

分析：選擇基線"G,使H、G、B三點(diǎn)共線,

要求A8,先求AE

在A4CE中，可測(cè)得角,關(guān)鍵求AC

在AAC。中，可測(cè)得角,線段,又有a

故可求得AC

派典型例題

例1.如圖，在山頂鐵塔上B處測(cè)得地面上一點(diǎn)4的俯角&=54。40',在塔底C處測(cè)得A處

的俯角4=50。1'.已知鐵塔8c部分的高為27.3〃?，求出山高CD（精確到1m）

例2.如圖，一輛汽車(chē)在一條水平的公路上向正東行駛，到A處時(shí)測(cè)得公路南側(cè)遠(yuǎn)處一山頂

。在東偏南15’的方向上，行駛北加后到達(dá)B處，測(cè)得此山頂在東偏南25°的方向上，仰角

為8°,求此山的高度CD

問(wèn)題1：

欲求出C。，思考在哪個(gè)三角形中研究比較適合呢？

問(wèn)題2：

在ABCD中，已知BD或8c都可求出C。，根據(jù)條件，易計(jì)

算出哪條邊的長(zhǎng)?

變式:某人在山頂觀察到地面上有相距2500米的A、B兩個(gè)目標(biāo)，測(cè)得目標(biāo)A在南偏西57°,

俯角是60°,測(cè)得目標(biāo)B在南偏東78°,俯角是45°,試求山高.

三、總結(jié)提升

派學(xué)習(xí)小結(jié)

利用正弦定理和余弦定理來(lái)解題時(shí)，要學(xué)會(huì)審題及根據(jù)題意畫(huà)方位圖，要懂得從所給的

背景資料中進(jìn)行加工、抽取主要因素，進(jìn)行適當(dāng)?shù)暮?jiǎn)化.

X知識(shí)拓展

在湖面上高八處，測(cè)得云之仰角為a,湖中云之影的俯角為廣，則云高為sin(c+.)

sm(a-B)

心學(xué)習(xí)評(píng)價(jià)

派自我評(píng)價(jià)你完成本節(jié)導(dǎo)學(xué)案的情況為（）.

A.很好B.較好C.一般D.較差

派當(dāng)堂檢測(cè)（時(shí)量：5分鐘滿分：10分）計(jì)分：

1.在AABC中，下列關(guān)系中一定成立的是（）.

A.a>hsinAB.a=hsinA

C.a<bsinAD.a>bsinA

2.在AABC中，AB=3,BC=>/\3,AC=4,則邊AC上的高為（）.

A.—B.—C.-D.3G

222

3.0、C、8在地面同一直線上，￡>C=100米，從。、C兩地測(cè)得A的仰角分別為30。和45。，

則A點(diǎn)離地面的高4B等于（）米.

A.100B.50百

C.50（73-1）D.50（73+1）

4.在地面上C點(diǎn)，測(cè)得一塔塔頂A和塔基B的仰角分別是60。和30。，已知塔基B高出地面

20m,則塔身AB的高為m.

5.在AABC中，b=2及,a=2,且三角形有兩解，則A的取值范圍是.

課后作業(yè)

1.為測(cè)某塔AB的高度，在一幢與塔48相距20,”的樓的樓頂處測(cè)得塔頂4的仰角為30°,

測(cè)得塔基B的俯角為45°,則塔AB的高度為多少〃?？

2.在平地上有4、B兩點(diǎn),A在山的正東，B在山的東南，且在A的南25°西300米的地

方，在A側(cè)山頂?shù)难鼋鞘?0°,求山高.

§1.3應(yīng)用舉例一③測(cè)量角度

能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識(shí)和方法解決-一些有關(guān)計(jì)算角度的實(shí)際問(wèn)題.

一、課前準(zhǔn)備

復(fù)習(xí)1：在△A8C中，已知c=2,C=~,且,absinC=JL求a,b.

32

復(fù)習(xí)2：設(shè)AABC的內(nèi)角4,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且4=60°,c=3,求色的值.

C

二、新課導(dǎo)學(xué)

X典型例題

例1.如圖，一艘海輪從A出發(fā)，沿北偏東75°的方向航行67.5nmile后到達(dá)海島B,然后

從B出發(fā)，沿北偏東32°的方向航行54.0nmile后達(dá)到海島C.如果下次航行直接從A出發(fā)

到達(dá)C,此船應(yīng)該沿怎樣的方向航行，需要航行多少距離?（角度精確到0.1。，距離精確到O.Oln

mile）

分析：

首先由三角形的內(nèi)角和定理求出角/ABC,

然后用余弦定理算出AC邊，

再根據(jù)正弦定理算出AC邊和AB邊的夾角ZCAB.

例2.某巡邏艇在A處發(fā)現(xiàn)北偏東45°相距9海里的C處有一艘走私船，正沿南偏東75°的

方向以10海里/小時(shí)的速度向我海岸行駛，巡邏艇立即以14海里/小時(shí)的速度沿著直線方向

追去，問(wèn)巡邏艇應(yīng)該沿什么方向去追？需要多少時(shí)間才追趕上該走私船？

X動(dòng)手試試

練1.甲、乙兩船同時(shí)從B點(diǎn)出發(fā)，甲船以每小時(shí)10(6+1)而的速度向正東航行，乙船以

每小時(shí)20k機(jī)的速度沿南60°東的方向航行，1小時(shí)后甲、乙兩船分別到達(dá)4、C兩點(diǎn)，求

A、C兩點(diǎn)的距離，以及在A點(diǎn)觀察C點(diǎn)的方向角.

練2.某漁輪在4處測(cè)得在北45°的C處有一魚(yú)群，離漁輪9海里，并發(fā)現(xiàn)魚(yú)群正沿南75°

東的方向以每小時(shí)10海里的速度游去，漁輪立即以每小時(shí)14海里的速度沿著直線方向追捕,

問(wèn)漁輪應(yīng)沿什么方向，需幾小時(shí)才能追上魚(yú)群？

三、總結(jié)提升

X學(xué)習(xí)小結(jié)

1.已知量與未知量全部集中在一個(gè)三角形中，依次利用正弦定理或余弦定理解之.；

2.已知量與未知量涉及兩個(gè)或幾個(gè)三角形，這時(shí)需要選擇條件足夠的三角形優(yōu)先研究，再

逐步在其余的三角形中求出問(wèn)題的解.

X知識(shí)拓展

已知A48C的三邊長(zhǎng)均為有理數(shù)，A=3。，B=20,則cos5。是有理數(shù)，還是無(wú)理數(shù)？

因?yàn)镃=i-56?,由余弦定理知

2/22

cosC=-~~七J為有理數(shù)，

2ab

所以cos58=-cos（乃一50）=一cos。為有理數(shù).

心學(xué)習(xí)評(píng)價(jià)

派自我評(píng)價(jià)你完成本節(jié)導(dǎo)學(xué)案的情況為().

A.很好B.較好C.一般D.較差

派當(dāng)堂檢測(cè)(時(shí)量：5分鐘滿分：10分)計(jì)分：

1.從A處望8處的仰角為a,從8處望A處的俯角為￡,則a,〃的關(guān)系為().

A.a>/3B.a=P

C.a+月=90°D.a+/=180°

2.已知兩線段a=2,b=2五,若以a、b為邊作三角形，則邊。所對(duì)的角A的取值范圍是

().

A.(J,y)B.(0,勺

o3o

c.(0,y)D.%]

3.關(guān)于x的方程sinAx2+2sin8x+sinC=0有相等實(shí)根，且A、B、C是△的三個(gè)內(nèi)角，則

三角形的三邊。、氏c滿足().

A.b=acB.a=bc

C.c=ahD.b2=ac

4.A4BC中，已知a:b:c=(百+1):(G-1)：屈,則此三角形中最大角的度數(shù)為.

5.在三角形中，己知:A,a,匕給出下列說(shuō)法：

(1)若A290°,且aWb,則此三角形不存在

(2)若4290°,則此三角形最多有一解

(3)若4<90°,且a=bsin4,則此三角形為直角三角形，且B=90°

(4)當(dāng)A<90°,時(shí)三角形一定存在

(5)當(dāng)A<90°,且bsin/lq幼時(shí)，三角形有兩解

其中正確說(shuō)法的序號(hào)是.

課后作業(yè)

1.我艦在敵島4南偏西50。相距12海里的8處，發(fā)現(xiàn)敵艦正由島沿北偏西10。的方向以10

海里/小時(shí)的速度航行向我艦需以多大速度、沿什么方向航行才能用2小時(shí)追上敵艦？

§1.3應(yīng)用舉例一④解三角形

1.能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識(shí)和方法進(jìn)一步解決有關(guān)三角形的問(wèn)題;

2.掌握三角形的面積公式的簡(jiǎn)單推導(dǎo)和應(yīng)用；

3.能證明三角形中的簡(jiǎn)單的恒等式.

一、課前準(zhǔn)備

復(fù)習(xí)1：在AA8C中

(1)若a=l力=?B=120°,貝IJA等于.

(2)若。=36，6=2,C=150°,貝Uc=

復(fù)習(xí)2：

在AABC中，a=3百，b=2,C=150°,則高8。=,三角形面積=

二、新課導(dǎo)學(xué)

派學(xué)習(xí)探究

探究：在AABC中，邊8c上的高分別記為右，那么它如何用已知邊和角表示?

ha=bsinC=csinB

根據(jù)以前學(xué)過(guò)的三角形面積公式S=-ah,

2

代入可以推導(dǎo)出下面的三角形面積公式，S=-absmC,

2

或5=,

同理5=.

新知：三角形的面積等于三角形的任意兩邊以及它們夾角的正弦之積的一半.

X典型例題

例1.在AABC中，根據(jù)下列條件，求三角形的面積S(精確到0.1cm?)：

(1)已知a=14.8cm,c=23.5cm,5=148.5°；

(2)已知5=62.7°,C=65.8°,fe=3.16cm；

(3)已知三邊的長(zhǎng)分別為a=41.4cm,Z;=27.3cm,

c=38.7cm.

變式：在某市進(jìn)行城市環(huán)境建設(shè)中，要把一個(gè)三角形的區(qū)域改造成室內(nèi)公園，經(jīng)過(guò)測(cè)量得到

這個(gè)三角形區(qū)域的三條邊長(zhǎng)分別為68m,88m,127m,這個(gè)區(qū)域的面積是多少？(精確到

0.1cm2)

例2.在△ABC中，求證：

/［、a2+Z?2sin2A+sin2B

⑴——=----;

csmC

(2)a2+b2+c2=2(bccosA-^-cacosB+abcosC).

小結(jié)：證明三角形中恒等式方法：應(yīng)用正弦定理或余弦定理，“邊”化“角”或“角”化

“邊”.

X動(dòng)手試試

練1.在AABC中，已知a=28a”，c=33cm,8=45°,則△ABC的面積是.

練2.在A48C中，求證：

c(acosB-bcosA)=a2-b1.

三、總結(jié)提升

派學(xué)習(xí)小結(jié)

1.三角形面積公式：

S=—ahsinC==.

2-----------------------------

2.證明三角形中的簡(jiǎn)單的恒等式方法：應(yīng)用正弦定理或余弦定理，“邊”化“角”或“角”

化“邊”.

X知識(shí)拓展

三角形面積S=Jp(p-a)(p-b)(p-c),

這里p=；(a+/,+c),這就是著名的海倫公式.

心學(xué)習(xí)評(píng)價(jià)

派自我評(píng)價(jià)你完成本節(jié)導(dǎo)學(xué)案的情況為（）.

A.很好B.較好C.一般D.較差

派當(dāng)堂檢測(cè)（時(shí)量：5分鐘滿分：10分）計(jì)分：

1.在A48c中，a=2,b=^3,C=60°,貝US.BC=（）.

A.273B.—C.GD.-

22

2.三角形兩邊之差為2,夾角的正弦值為4士，面積為9N,那么這個(gè)三角形的兩邊長(zhǎng)分別是

52

（）.

A.3和5B.4和6C.6和8D.5和7

3.在A4BC中，若2cos8-sin4=sinC,則448c一定是（）三角形.

A.等腰B.直角C.等邊D.等腰直角

4,AA8C三邊長(zhǎng)分別為3,4,6,它的較大銳角的平分線分三角形的面積比是.

5.已知三角形的三邊的長(zhǎng)分別為a=54c”？，b=61cm,c=71cm,則△48C的面積

是.

一課后作業(yè)

2.已知在A4BC中，ZB=30\b=6,c=66，求a及AABC的面積S.

2.在△ABC中，若

sinA+sinB=sinC.(cosA+cosB),試判斷△ABC的形狀.

§1.3應(yīng)用舉例（練習(xí)）

?Q學(xué)習(xí)目標(biāo)

1.能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識(shí)和方法解決一些有關(guān)測(cè)量的實(shí)際問(wèn)題;

2.三角形的面積及有關(guān)恒等式.

一學(xué)習(xí)過(guò)程

一、課前準(zhǔn)備

復(fù)習(xí)1：解三角形應(yīng)用題的關(guān)鍵：將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解三角形問(wèn)題來(lái)解決.

復(fù)習(xí)2：基本解題思路是：

①分析此題屬于哪種類型（距離、高度、角度）；

②依題意畫(huà)出示意圖，把已知量和未知量標(biāo)在圖中；

③確定用哪個(gè)定理轉(zhuǎn)化，哪個(gè)定理求解；

④進(jìn)行作答，并注意近似計(jì)算的要求.

二、新課導(dǎo)學(xué)

X典型例題

例1.某觀測(cè)站C在目標(biāo)A的南偏西25。方向，從A出發(fā)有一條南偏東35°走向的公路，在C

處測(cè)得與C相距31癡的公路上有一人正沿著此公路向A走去，走206到達(dá)D,此時(shí)測(cè)得

C。距離為21km,求此人在。處距A還有多遠(yuǎn)？

例2,在某點(diǎn)B處測(cè)得建筑物AE的頂端A的仰角為。，沿BE方向前進(jìn)30m,至點(diǎn)C處測(cè)

得頂端A的仰角為29,再繼續(xù)前進(jìn)10Gm至O點(diǎn)，測(cè)得頂端4的仰角為40,求。的大

小和建筑物AE的高.

~156

例3,如圖，在四邊形A8CC中，AC平分ND48,NABC=60°,AC=7,AD=6,S^Dc=-^-

求AB的長(zhǎng).

D

A/4

2

ko°

Bc

X動(dòng)手試試

練1.為測(cè)某塔4B的高度，在一幢與塔4B相距20m的樓的樓頂處測(cè)得塔頂A的仰角為30°,

測(cè)得塔基8的俯角為45°,則塔AB的高度為多少m?

練2.兩燈塔A、B與海洋觀察站C的距離都等于akm,燈塔A在觀察站C的北偏東30°,

燈塔B在觀察站C南偏東60°,則A、B之間的距離為多少？

三、總結(jié)提升

派學(xué)習(xí)小結(jié)

1.解三角形應(yīng)用題的基本思路，方法;

2.應(yīng)用舉例中測(cè)量問(wèn)題的強(qiáng)化.

X知識(shí)拓展

秦九韶“三斜求積”公式:

心學(xué)習(xí)評(píng)價(jià)

派自我評(píng)價(jià)你完成本節(jié)導(dǎo)學(xué)案的情況為（）.

A.很好B.較好C.一般D.較差

派當(dāng)堂檢測(cè)（時(shí)量：5分鐘滿分：10分）計(jì)分：

1.某人向正東方向走后，向右轉(zhuǎn)150。，然后朝新方向走3toz,結(jié)果他離出發(fā)點(diǎn)恰好

百km,則x等于（）.

A.V3B.2拒C.G或2百D.3

2.在200米的山上頂，測(cè)得山下一塔頂與塔底的俯角分別為30",60,則塔高為（）米.

A200口200g「400卜400G

A?------D.------------C.------L）.----------

3333

3.在AABC中，乙4=60。，4c=16,面積為2206,那么8c的長(zhǎng)度為（）.

A.25B.51C.49GD.49

4.從200米高的山頂A處測(cè)得地面上某兩個(gè)景點(diǎn)8、C的俯角分別是30°和45°,且/R4c

=45°,則這兩個(gè)景點(diǎn)8、C之間的距離.

5.?貨輪航行到M處，測(cè)得燈塔5在貨輪的北偏東15°相距20里處，隨后貨輪按北偏西

30°的方向航行，半小時(shí)后，又測(cè)得燈塔在貨輪的北偏東45。，則貨輪的速度.

課后作業(yè)

1.3.5米長(zhǎng)的棒斜靠在石堤旁，棒的端在離堤足1.2米地面上，另端在沿堤上2.8米的地

方，求堤對(duì)地面的傾斜角.

2.已知a,h,c為△ABC的三個(gè)內(nèi)角力，B,C的對(duì)邊，向量m=（百,一1）,“=（cosA,

sinA）.若機(jī)且acos8+0cosA=csinC,求角8.

第一章解三角形（復(fù)習(xí)）

?Q學(xué)習(xí)目標(biāo)

能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識(shí)和方法解決一些有關(guān)測(cè)量距離的實(shí)際問(wèn)題.

一、課前準(zhǔn)備

復(fù)習(xí)1：正弦定理和余弦定理

（1）用正弦定理：

①知兩角及一邊解三角形；

②知兩邊及其中一邊所對(duì)的角解三角形（要討論解的個(gè)數(shù)）.

（2）用余弦定理：

①知三邊求三角；

②知道兩邊及這兩邊的夾角解三角形.

復(fù)習(xí)2：應(yīng)用舉例

①距離問(wèn)題，②高度問(wèn)題，

③角度問(wèn)題，④計(jì)算問(wèn)題.

練：有一長(zhǎng)為2公里的斜坡，它的傾斜角為30°,現(xiàn)要將傾斜角改為45°,且高度不變.則

斜坡長(zhǎng)變?yōu)?

二、新課導(dǎo)學(xué)

派典型例題

例1.在AA8C中tan（A+8）=l,且最長(zhǎng)邊為1,tanA>tanB,tanB=-,求角C的大小及

2

△ABC最短邊的長(zhǎng).

例2.如圖，當(dāng)甲船位于處時(shí)獲悉，在其正東方向相距20海里的B處有一艘漁船遇險(xiǎn)等

待營(yíng)救,甲船立即前往救援，同時(shí)把消息告知在甲船的南偏西30°，相距10海里C處的乙

船，試向乙船應(yīng)朝北偏東多少度的方向沿直線前往B處救援（角度精確到廣）？

北

例3.在AA8C中，設(shè)螞2=與士，求A的值.

tanBb

X動(dòng)手試試

練1.如圖，某海輪以60nmile/h的速度航行，在A點(diǎn)測(cè)得海面上油井P在南偏東60°,

向北航行40min后到達(dá)B點(diǎn)，測(cè)得油井P在南偏東30°,海輪改為北偏東60°的航向再行

駛80min到達(dá)C點(diǎn)，求尸、C間的距離.

練2.在aABC中，6=10,A=30°,問(wèn)。取何值時(shí)，此三角形有一個(gè)解？?jī)蓚€(gè)解？無(wú)解？

三、總結(jié)提升

派學(xué)習(xí)小結(jié)

1.應(yīng)用正、余弦定理解三角形；

2.利用正、余弦定理解決實(shí)際問(wèn)題（測(cè)量距離、高度、角度等）；

3.在現(xiàn)實(shí)生活中靈活運(yùn)用正、余弦定理解決問(wèn)題.（邊角轉(zhuǎn)化）.

X知識(shí)拓展

設(shè)在AABC中，已知三邊a,b,c,那么用已知邊表示外接圓半徑R的公式是

Jp(p-a)(p-b)(p-c)

心學(xué)習(xí)評(píng)價(jià)

派自我評(píng)價(jià)你完成本節(jié)導(dǎo)學(xué)案的情況為().

A.很好B.較好C.一般D.較差

派當(dāng)堂檢測(cè)(時(shí)量：5分鐘滿分：10分)計(jì)分：

1.已知△48C中，A8=6,乙4=30°,/8=120。，則△ABC的面積為().

A.9B.18C.9D.1873

2.在△ABC中，若02=/+/+劭，則/C=().

A.60°B.90°C.150°D.120°

3.在AABC中，a=80,b=l00,4=30°,則B的解的個(gè)數(shù)是().

A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.不確定的

4.在△ABC中，a=3近,b=2y/5,cosC=；,則5小膻=

5.在AABC中,a、b、c分別為/A、53、5c的對(duì)邊,^a2=b2+c2-2bcsinA,則A=

心課后作業(yè)

1.已知A、B、C為A48C的三內(nèi)角，且其對(duì)邊分別為a、b、c,若

cosBcosC-sinBsinC=—.

2

(1)求A；

⑵若〃=2VM+C=4,求AA8C的面積.

2.在△ABC中，a也c分別為角A、8、C的對(duì)邊，a2-c2=b2,a=3,△ABC的面

積為6,

(1)求角4的正弦值；(2)求邊b、c.

§2.1數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示法(1)

1.理解數(shù)列及其有關(guān)概念，了解數(shù)列和函數(shù)之間的關(guān)系；

2.了解數(shù)列的通項(xiàng)公式，并會(huì)用通項(xiàng)公式寫(xiě)出數(shù)列的任意一項(xiàng);

3.對(duì)于比較簡(jiǎn)單的數(shù)列，會(huì)根據(jù)其前幾項(xiàng)寫(xiě)出它的個(gè)通項(xiàng)公式.

一、課前準(zhǔn)備

(預(yù)習(xí)教材尸28~尸3。，找出疑惑之處)

復(fù)習(xí)1：函數(shù)---,當(dāng)x依次取1,2,3,…時(shí)，其函數(shù)值有什么特點(diǎn)？

復(fù)習(xí)2：函數(shù)y=7x+9,當(dāng)x依次取1,2,3,…時(shí)，其函數(shù)值有什么特點(diǎn)？

二、新課導(dǎo)學(xué)

X學(xué)習(xí)探究

探究任務(wù)：數(shù)列的概念

1.數(shù)列的定義：的一列數(shù)叫做數(shù)列.

2.數(shù)列的項(xiàng)：數(shù)列中的都叫做這個(gè)數(shù)列的項(xiàng).

反思：

(1)如果組成兩個(gè)數(shù)列的數(shù)相同而排列次序不同，那么它們是相同的數(shù)列？

⑵同一個(gè)數(shù)在數(shù)列中可以重復(fù)出現(xiàn)嗎？

3.數(shù)列的一般形式：卬,%，%，???，％，???，或簡(jiǎn)記為｛可｝，其中是數(shù)列的第一項(xiàng).

4.數(shù)列的通項(xiàng)公式：如果數(shù)列｛凡｝的第w項(xiàng)與〃之間的關(guān)系可以用來(lái)表

示，那么就叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式.

反思：

⑴所有數(shù)列都能寫(xiě)出其通項(xiàng)公式?

⑵一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是唯-?

⑶數(shù)列與函數(shù)有關(guān)系嗎？如果有關(guān)，是什么關(guān)系？

5.數(shù)列的分類：

1）根據(jù)數(shù)列項(xiàng)數(shù)的多少分?jǐn)?shù)列和數(shù)列；

2）根據(jù)數(shù)列中項(xiàng)的大小變化情況分為數(shù)列，

數(shù)列，數(shù)列和數(shù)列.

X典型例題

例1寫(xiě)出下面數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式，使它的前4項(xiàng)分別是下列各數(shù):

⑵1,0,1,0.

變式：寫(xiě)出下血數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式，使它的前4項(xiàng)分別是下列各數(shù):

⑴LM2,3；

251017

⑵1,—1,1,-1；

小結(jié)：要由數(shù)列的若干項(xiàng)寫(xiě)出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式，只需觀察分析數(shù)列中的項(xiàng)的構(gòu)成規(guī)律,

將項(xiàng)表示為項(xiàng)數(shù)的函數(shù)關(guān)系.

7竺士，求這個(gè)數(shù)列的第四項(xiàng)和第五項(xiàng).

例2已知數(shù)列2,2,…的通項(xiàng)公式為q,=

變式：已知數(shù)列石，而，后,后，回，…，則5后是它的第項(xiàng).

小結(jié)：已知數(shù)列的通項(xiàng)公式，只要將數(shù)列中的項(xiàng)代入通項(xiàng)公式，就可以求出項(xiàng)數(shù)和項(xiàng).

派動(dòng)手試試

練1.寫(xiě)出下面數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式，使它的前4項(xiàng)分別是下列各數(shù)：

(1)1,-；

357

⑵1,血，6，2.

練2.寫(xiě)出數(shù)列｛/_〃｝的第20項(xiàng)，第n+1項(xiàng).

三、總結(jié)提升

派學(xué)習(xí)小結(jié)

1.對(duì)于比較簡(jiǎn)單的數(shù)列，會(huì)根據(jù)其前幾項(xiàng)寫(xiě)出它的一個(gè)通項(xiàng)公式;

2.會(huì)用通項(xiàng)公式寫(xiě)出數(shù)列的任意一項(xiàng).

X知識(shí)拓展

數(shù)列可以看作是定義域?yàn)檎麛?shù)集的特殊函數(shù).

思考：設(shè)/(")=1+1+」+…N*)那么八〃+1)-/(〃)等于()

233n-1

A1-11

A.-----B.1-----

3〃+23n3及+1

「I1-Il1

3n+1