專題03 填空壓軸題（解析版）

專題03填空壓軸題1．（2023?上海）在中，，，，點在邊上，點在延長線上，且，如果過點，過點，若與有公共點，那么半徑的取值范圍是．【答案】【詳解】連接，如圖：過點，且，的半徑為7，過點，它的半徑為，且，，，，，，在邊上，點在延長線上，，，與有公共點，，，由①得：，解方程得：或，畫出函數的大致圖象如下：由函數圖象可知，當時，，即不等式①的解集為，同理可得：不等式②的解集為或，不等式組的解集為，又，半徑的取值范圍是．故答案為：．2．（2022?上海）定義：有一個圓分別和一個三角形的三條邊各有兩個交點，截得的三條弦相等，我們把這個圓叫作“等弦圓”，現在有一個斜邊長為2的等腰直角三角形，當等弦圓最大時，這個圓的半徑為．【答案】【詳解】如圖，圓與三角形的三條邊都有兩個交點，截得的三條弦相等，圓心就是三角形的內心，當過點時，且在等腰直角三角形的三邊上截得的弦相等，即，此時最大，過點分別作弦、、的垂線，垂足分別為、、，連接、、，，，，，，，由，，設，則，，解得，即，在中，，故答案為：．3．（2021?上海）定義：在平面內，一個點到圖形的距離是這個點到這個圖上所有點的最短距離，在平面內有一個正方形，邊長為2，中心為，在正方形外有一點，，當正方形繞著點旋轉時，則點到正方形的最短距離的取值范圍為．【答案】【詳解】如圖：設的中點是，過點時，點與邊上所有點的連線中，最小，此時最大，過頂點時，點與邊上所有點的連線中，最大，此時最小，如圖①：正方形邊長為2，為正方形中心，，，，，，；如圖②：正方形邊長為2，為正方形中心，，，，，，；的取值范圍為．故答案為：．4．（2020?上海）在矩形中，，，點在對角線上，圓的半徑為2，如果圓與矩形的各邊都沒有公共點，那么線段長的取值范圍是．【答案】【詳解】在矩形中，，，，，如圖1，設與邊相切于，連接，則，，，，，，如圖2，設與邊相切于，連接，則，，，，，，，如果圓與矩形的各邊都沒有公共點，那么線段長的取值范圍是，故答案為：．5．（2019?上海）在和△中，已知，，，，點、分別在邊、上，且△，那么的長是．【答案】【詳解】△，可以將△與重合，如圖，，，，，，，，解得，的長為，故答案為．6．（2023?徐匯區(qū)二模）如圖，在直角坐標系中，已知點、點，的半徑為5，點是上的動點，點是線段的中點，那么長的取值范圍是．【答案】【詳解】、點，，，，連接，，取的中點，即的坐標，連接，又分別是、的中點，，是定點，，即點的運動軌跡是以點為中心，為半徑的圓．，點坐標，，的取值范圍是，即，即．故答案為：．7．（2023?楊浦區(qū)二模）如圖，已知在扇形中，，半徑，點在弧上，過點作于點，于點，那么線段的長為．【答案】【詳解】如圖，連接，取的中點，連接，，在和中，點是斜邊的中點，，根據圓的定義可知，點，，，四點均在同一個圓，即上，又，，，過點作，垂足為點，由垂徑定理得，，在中，，，．故答案為：．8．（2023?徐匯區(qū)一模）規(guī)定：如果經過三角形一個頂點的直線把這個三角形分成兩個小三角形，其中一個小三角形是等腰三角形，另一個小三角形和原三角形相似，那么符合這樣條件的三角形稱為“和諧三角形”，這條直線稱為這個三角形的“和諧分割線”．例如，如圖所示，在中，，，是斜邊上的高，其中是等腰三角形，且和相似，所以是“和諧三角形”，直線為的“和諧分割線”．請依據規(guī)定求解問題：已知是“和諧三角形”，，當直線是的“和諧分割線”時，的度數是（寫出所有符合條件的情況）【答案】或或或【詳解】若是等腰三角形，與相似，如圖1，當，時，，，如圖2，當，時，，，當是等腰三角形，與相似時，如圖3，當，時，，，如圖4，當，時，，設，，，，，綜上所述：或或或，故答案為或或或．9．（2023?浦東新區(qū)二模）我們規(guī)定：兩個正多邊形的中心之間的距離叫做中心距，在同一個平面內有邊長都為6的正三角形和正方形，當它們的一邊重合時，中心距為．【答案】或【詳解】如圖1，設正三角形和正方形的中心分別為和，正三角形和正方形是軸對稱圖形，它們的一邊重合，正三角形和正方形的中心點在它們的對稱軸上，連接并延長交于，則，連接，則，，，中心距為，如圖2，同理可得中心距為，故答案為：或．10．（2023?楊浦區(qū)一模）如圖，已知在矩形中，，，將矩形繞點旋轉，使點恰好落在對角線上的點處，點、分別落在點、處，邊、分別與邊交于點、，那么線段的長為．【答案】【詳解】如圖，過點作于點，在矩形中，，，，將矩形繞點旋轉，使點恰好落在對角線上的點處，，，，，，，△，，即，，，，，，，△，，即，，，，，設，則，，，△，，即，解得：，，．故答案為：．11．（2023?黃浦區(qū)二模）我們規(guī)定：在四邊形中，是邊上的一點，如果與全等，那么點叫做該四邊形的“等形點”．在四邊形中，，，，，如果該四邊形的“等形點”在邊上，那么四邊形的周長是．【答案】8或【詳解】四邊形的“等形點”在邊上，與全等，，，，如圖，當時，，，四邊形是平行四邊形，，四邊形的周長為：；如圖，當時，，，，，，，，，，，，，，四邊形的周長為：，故答案為：8或．12．（2023?虹口區(qū)一模）我們規(guī)定：如果一個三角形一邊上的高等于這條邊，那么這個三角形叫做“等高底”三角形，這條邊叫做這個三角形的“等底”．如圖，已知直線，與之間的距離是3，“等高底”的“等底”在直線上（點在點的左側），點在直線上，，將繞點順時針旋轉得到△，點、的對應點分別為點、，那么的長為．【答案】或6【詳解】當邊上是高在形內時，如圖：，，，，當邊上是高在形外時：，故答案為：或6．13．（2023?嘉定區(qū)二模）如圖，在中，，，，點、分別是邊、的中點，聯結．將繞點順時針方向旋轉，點、的對應點分別是點、如果點落在線段上，那么線段．【答案】【詳解】點、分別是邊、的中點，，，，，，，將繞點順時針方向旋轉，，，，，，在和△中，，△，，，，點，點，點，點四點共圓，，，，，故答案為：．14．（2023?普陀區(qū)一模）如圖，在中，為邊上的中線，，，．將繞點以逆時針方向旋轉得到△，點、分別與點、對應．連接，與線段交于點．如果點、、在同一條直線上，那么．【答案】【詳解】以為原點，所在直線為軸建立直角坐標系，過作于，設交軸于，如圖：為邊上的中線，，，，，設，則，，，解得，，，，，由，，得直線解析式為，將繞點以逆時針方向旋轉得到△，，，，，，，，，四邊形是矩形，，，，，，，，由，，得直線解析式為，聯立得，，，，故答案為：．15．（2023?閔行區(qū)二模）閱讀理解：如果一個三角形中有兩個內角、滿足，那么我們稱這個三角形為特征三角形．問題解決：如圖，在中，為鈍角，，，如果是特征三角形，那么線段的長為．【答案】【詳解】由題意可分：①設，，則在上截取一點，使得，如圖所示：，，，為鈍角，故不存在；②設，，過點作于點，過點作于點，如圖所示：是特征三角形，即，且，，平分，，，，設，，，則有，，，在中，由勾股定理得，解得：或（舍去），；故答案為：．16．（2023?靜安區(qū)二模）在平面直角坐標系中，我們定義點的“關聯點”為，如果已知點在直線上，點在的內部，的半徑長為（如圖所示），那么點的橫坐標的取值范圍是．【答案】【詳解】點在直線上，設點的坐標為，則點的坐標為，，點在的內部，，整理得：，，點的橫坐標的取值范圍是．故答案為：．17．（2023?崇明區(qū)二模）如圖，已知在兩個直角頂點重合的和中，，，，，將繞著點順時針旋轉，當點恰好落在邊上時，聯結，那么．【答案】【詳解】和中，，，，，，，，，，，，，，，，設，則，在中，，，（負根已經舍去），．18．（2023?長寧區(qū)一模）如圖，在平面直角坐標系中，，，點為圖示中正方形網格交點之一（點除外），如果以、、為頂點的三角形與相似，那么點的坐標是．【答案】或或【詳解】由圖可知，是兩條直角邊的比為的直角三角形，在方格中畫出與相似的三角形，如圖：點的坐標是或或，故答案為：或或．19．（2023?楊浦區(qū)三模）如圖，已知在中，，，將繞點順時針旋轉，點、分別落在點、處，連接，如果，那么邊的長為．【答案】【詳解】如圖，連接，，將繞點順時針旋轉，點、分別落在點、處，，．，，與是等邊三角形，．，，，，點，，三點共線，，，．設，，，，，（負值舍去），的長為，故答案為：．20．（2023?金山區(qū)一模）如圖，為等腰直角三角形，，，為的重心，為線段上任意一動點，以為斜邊作等腰（點在直線的上方），為的重心，設、兩點的距離為，那么在點運動過程中的取值范圍是．【答案】【詳解】當與重合時，與重合，此時最小為0，當與重合時，最大，連接并延長交于，連接并延長交于，連接，過作于，如圖：為等腰直角三角形的重心，為中點，，和是等腰直角三角形，，，，，是為等腰的重心，為中點，，，，，，共線，，，，，，，即，，，，，最大值為，的范圍是，故答案為：．21．（2023?松江區(qū)一模）已知中，，，將繞點旋轉至△，如果直線，垂足記為點，那么的值為．【答案】或【詳解】設，則，，當旋轉時，，，，，，，同理：當旋轉時，，故答案為：或．22．（2023?虹口區(qū)二模）如圖，在矩形中，，點在邊上，，聯結，將沿著翻折，點的對應點為，聯結、，分別交邊于點，，如果，那么的長是．【答案】【詳解】延長，交的延長線于點，如圖，，，即，，，，四邊形為矩形，，，，，，，即，，，根據折疊的性質可得，，，，，，，，，，，在中，，，，，，，，，，，，，即，．故答案為：．23．（2023?松江區(qū)二模）我們定義：二次項系數之和為1，圖象都經過原點且對稱軸相同的兩個二次函數稱作互為友好函數．那么的友好函數是．．【答案】【詳解】，二次項系數為2，對稱軸為直線，的友好函數是，故答案為：．24．（2023?青浦區(qū)一模）定義：如圖1，點，把線段分割成、和，如果以、、為邊的三角形是一個直角三角形，那么稱點、是線段的勾股分割點．問題：如圖2，在中，已知點、是邊的勾股分割點（線段，射線、與射線分別交于點、．如果，，，那么的值為．【答案】【詳解】點、是邊的勾股分割點（線段，，，，，，，，，，同理，，．故答案為：．25．（2023?長寧區(qū)二模）如圖，將平行四邊形沿著對角線翻折，點的對應點為，交于點，如果，，且，那么平行四邊形的周長為．（參考數據：，【答案】【詳解】四邊形是平行四邊形，，，，，，，，，，，，，，在等腰中，，，，平行四邊形的周長．故答案為：．26．（2023?寶山區(qū)二模）如果一個三角形的兩個內角與滿足，那么我們稱這樣的三角形為“倍角互余三角形”．已知在中，，，，點在邊上，且是“倍角互余三角形”，那么的長等于．【答案】或【詳解】如圖，，，，作于，設，，①當時，，，，，，，，設，，，，即．②當時，，，，即，，．故答案為：或．27．（2023?奉賢區(qū)一模）我們知道四邊形具有不穩(wěn)定性，容易變形（給定四邊形各邊的長，其形狀和大小不確定）．如圖，一個矩形發(fā)生變形后成為一個平行四邊形，設這個平行四邊形中較小的內角為，我們把的值叫做這個平行四邊形的“變形系數”，如果矩形的面積為5，其變形后的平行四邊形的面積為4，那么這個平行四邊形的“變形系數”是．【答案】【詳解】設矩形的長和寬分別為，，變形后的平行四邊形的高為，，，，，．故答案為：．28．（2023?金山區(qū)二模）已知中，，，，點是線段上的動點，點在線段上，如果點關于直線對稱的點恰好落在線段上，那么的最大值為．【答案】【詳解】在中，，，，，．點關于直線對稱的點恰好落在線段上，．點在線段上，，當取最小值時取最大值．如圖，當時，最小．，，，即的最大值為．故答案為：．29．（2023?崇明區(qū)一模）如圖，在中，，，，點在邊上，點在射線上，將沿翻折，使得點落在點處，當且時，的長為．【答案】【詳解】如圖，延長交于點，，，，，，，，，，由翻折得，，解得，，，，，，，，，，，，，解得，故答案為：．30．（2023?普陀區(qū)二模）在中，，，，為中點（如圖），為射線上一點，將沿著翻折得到△，點的對應點為，如果，那么．【答案】或6【詳解】①當點在線段上時，如圖，，為中點，，，，，根據折疊可知，，，，，，設，則，在△中，，，解得：，；②當點在的延長線上時，如圖，，為中點，，，，，根據折疊可知，，，，，設，則，在△中，，，解得：，．綜上，的長為或6．故答案為：或6．31．（2023?青浦區(qū)二模）如圖，在中，，，，點是邊的中點，點在邊上，將沿所在的直線翻折，點落在點處，如果，那么．【答案】【詳解】如圖，連接，過點作于點，在中，，，，，，，為的中點，，根據折疊的性質可得，，，，，，四邊形為矩形，，，，，在中，，．故答案為：．32．（2023?奉賢區(qū)二模）如圖，在正方形中，點、分別在邊、上，．將沿直線翻折，如果點的對應點恰好落在線段上，那么的正切值是．【答案】2【詳解】四邊形是正方形，，，過點作于，，，，，將沿直線翻折，如果點的對應點恰好落在線段上，，，，，，，，，，設，則，在中，由勾股定理得，，，，，，，；在中，，在中，，，．故答案為：2．33．（2023?靜安區(qū)校級一模）定義：把二次函數與，、是常數）稱作互為“旋轉函數”．如果二次函數與、是常數）互為“旋轉函數”，寫出點的坐標．【答案】，【詳解】根據題意得，解得．點的坐標為，，故答案為：，．34．（2023?浦東新區(qū)模擬）如圖，已知中，，，，點、分別在線段、上，將沿直線折疊，使點的對應點恰好落在線段上，當為直角三角形時，折痕的長為．【答案】或【詳解】分兩種情況：①如圖，當時，是直角三角形，在中，，，，，，由折疊可得，，，，，，，，，；②如圖，