專題37 軸對稱、平移、旋轉(zhuǎn)【十二大題型】（舉一反三）（解析版）

專題37軸對稱、平移、旋轉(zhuǎn)【十二大題型】TOC\o"1-3"\h\u【題型1軸對稱圖形、中心對稱圖形的識別】 1【題型2與坐標(biāo)系有關(guān)的對稱、平移、旋轉(zhuǎn)問題】 4【題型3與幾何圖形有關(guān)的折疊問題】 7【題型4與拋物線有關(guān)的折疊問題】 14【題型5利用軸對稱求最值】 23【題型6根據(jù)中心對稱的性質(zhì)求面積、長度、角度】 33【題型7與軸對稱、平移、旋轉(zhuǎn)有關(guān)的規(guī)律探究問題】 43【題型8用平移、軸對稱、旋轉(zhuǎn)、中心對稱作圖】 48【題型9旋轉(zhuǎn)或軸對稱綜合題之線段問題】 53【題型10旋轉(zhuǎn)或軸對稱綜合題之面積問題】 65【題型11旋轉(zhuǎn)或軸對稱綜合題之角度問題】 81【題型12利用平移、軸對稱、旋轉(zhuǎn)、中心對稱設(shè)計圖案】 91【知識點(diǎn)軸對稱、平移、旋轉(zhuǎn)】1.平移(1)定義：把一個圖形沿著某一直線方向移動，這種圖形的平行移動，簡稱為平移。(2)平移的性質(zhì)：平移后的圖形與原圖形全等；對應(yīng)角相等；對應(yīng)點(diǎn)所連的線段平行(或在同一條直線上)且相等。(3)坐標(biāo)的平移：點(diǎn)（x，y）向右平移a個單位長度后的坐標(biāo)變?yōu)椋▁+a，y）；點(diǎn)（x，y）向左平移a個單位長度后的坐標(biāo)變?yōu)椋▁-a，y）；點(diǎn)（x，y）向上平移a個單位長度后的坐標(biāo)變?yōu)椋▁，y+a）；點(diǎn)（x，y）向下平移a個單位長度后的坐標(biāo)變?yōu)椋▁，y-a）。2.軸對稱(1)軸對稱：把一個圖形沿著某一條直線折疊，如果它能夠與另一個圖形重合，那么就說這兩個圖形關(guān)于這條直線成軸對稱。這條直線叫做對稱軸，折疊后重合的點(diǎn)是對應(yīng)點(diǎn)，叫做對稱點(diǎn)。(2)軸對稱圖形：如果一個平面圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形。這條直線叫做它的對稱軸。(3)軸對稱的性質(zhì)：關(guān)于某條直線對稱的圖形是全等形。經(jīng)過線段中點(diǎn)并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線。如果兩個圖形關(guān)于某條直線對稱，那么對稱軸是任何一對對應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線。軸對稱圖形的對稱軸，是任何一對對應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線。(4)線段垂直平分線的性質(zhì)線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個端點(diǎn)的距離相等；與一條線段兩個端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在線段的垂直平分線上。(5)坐標(biāo)與軸對稱：點(diǎn)（x，y）關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（x，-y）；點(diǎn)（x，y）關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（-x，y）；3.旋轉(zhuǎn)(1)旋轉(zhuǎn)定義：把一個平面圖形繞著平面內(nèi)某一點(diǎn)O轉(zhuǎn)動一個角度，叫做圖形的旋轉(zhuǎn)。點(diǎn)O叫做旋轉(zhuǎn)中心，轉(zhuǎn)動的角叫做旋轉(zhuǎn)角。如果圖形上的點(diǎn)P經(jīng)過旋轉(zhuǎn)變?yōu)辄c(diǎn)P′，那么這兩個點(diǎn)叫做這個旋轉(zhuǎn)的對應(yīng)點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：①對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；②對應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；③旋轉(zhuǎn)前后的圖形全等。(2)中心對稱定義：把一個圖形繞著某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，如果它能夠與另一個圖形重合，那么就說這兩個圖形關(guān)于這個點(diǎn)對稱或中心對稱。這個點(diǎn)叫做對稱中心。這兩個圖形在旋轉(zhuǎn)后能重合的對應(yīng)點(diǎn)叫做關(guān)于對稱中心的對稱點(diǎn)。中心對稱的性質(zhì)：①中心對稱的兩個圖形，對稱點(diǎn)所連線段都經(jīng)過對稱中心，而且被對稱中心所平分；②中心對稱的兩個圖形是全等圖形。(3)中心對稱圖形定義：如果一個圖形繞一個點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°后能與自身重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形。這個點(diǎn)叫做它的對稱中心。(4)關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)兩個點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱時，它們的坐標(biāo)符號相反，即點(diǎn)P(x，y)關(guān)于原點(diǎn)O的對稱點(diǎn)為P′(-x，-y)。【題型1軸對稱圖形、中心對稱圖形的識別】【例1】（2023·廣東東莞·一模）如所示圖形中，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了中心對稱圖形與軸對稱圖形，根據(jù)軸對稱圖形和中心對稱圖形的定義進(jìn)行逐一判斷即可，如果一個平面圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形就叫做軸對稱圖形；把一個圖形繞著某一個點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形，這個點(diǎn)就是它的對稱中心．掌握中心對稱圖形與軸對稱圖形的判斷是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：A．原圖既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，故此選項(xiàng)符合題意；B．原圖是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意；C．原圖不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意；D．原圖不是中心對稱圖形，是軸對稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意．故選：A．【變式1-1】（2023·安徽合肥·?？家荒＃┤绻粋€圖形繞著一個點(diǎn)至少旋轉(zhuǎn)72度才能與它本身重合，則下列說法正確的是（

）A．這個圖形一定是中心對稱圖形．B．這個圖形既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形．C．這個圖形旋轉(zhuǎn)216度后能與它本身重合．D．這個圖形既不是中心對稱圖形，也不是軸對稱圖形．【答案】C【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)對稱性，至少旋轉(zhuǎn)72°，旋轉(zhuǎn)72度可以與原圖形重合，則圖形可以平分成5個全等的部分，因而是軸對稱圖形，不可能是中心對稱圖形，據(jù)此即可求解．【詳解】解：∵旋轉(zhuǎn)72°可以與原圖形重合，則圖形可以平分成5個全等的部分，因而可能是軸對稱圖形，不可能是中心對稱圖形，故A，B，D錯誤．由于216°÷72°=3，這個圖形旋轉(zhuǎn)216°后能與它本身重合，故C選項(xiàng)正確．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)對稱圖形，要明確，旋轉(zhuǎn)某一個角度后，圖形與原圖形重合，這樣的圖形稱為旋轉(zhuǎn)對稱圖形．【變式1-2】2023·福建泉州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如所示的四個交通標(biāo)志圖中，為旋轉(zhuǎn)對稱圖形的是（

）A．

B．

C．D．

【答案】D【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)對稱圖形的定義對四個圖形進(jìn)行分析即可．【詳解】解：題中所示的四個交通標(biāo)志圖中，只有選項(xiàng)D旋轉(zhuǎn)120°與原圖形重合，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查旋轉(zhuǎn)對稱圖形的概念：把一個圖形繞著一個定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一個角度后，與初始圖形重合，這種圖形叫做旋轉(zhuǎn)對稱圖形，這個定點(diǎn)叫做旋轉(zhuǎn)對稱中心，旋轉(zhuǎn)的角度叫做旋轉(zhuǎn)角．【變式1-3】（2023·山東青島·統(tǒng)考三模）下列圖形中，既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形的有（）

A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】A【分析】本題考查中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念；根據(jù)軸對稱圖形和中心對稱圖形的定義逐項(xiàng)分析即可．【詳解】解：左起第一和第二兩個圖形是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形；第三個圖形既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形；第四個圖形是中心對稱圖形，不是軸對稱圖形．所以既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形的有1個．故選：A．【題型2與坐標(biāo)系有關(guān)的對稱、平移、旋轉(zhuǎn)問題】【例2】（2023·江蘇無錫·統(tǒng)考二模）如圖，在△BDE中，∠BDE=90°，BD=42，點(diǎn)D的坐標(biāo)是45,0，tan∠BDO=13，將△BDE旋轉(zhuǎn)到△ABC

A．25,1255 B．35【答案】D【分析】設(shè)旋轉(zhuǎn)中心為點(diǎn)P，連接PD，過點(diǎn)P作PF⊥x軸于點(diǎn)F，過點(diǎn)P作PH⊥BD于H，并延長交x軸于G，如圖，根據(jù)題意得：AB,BD的垂直平分線的交點(diǎn)即為旋轉(zhuǎn)中心點(diǎn)P，再由點(diǎn)C在BD上，可得PH=DH=22，并求出PD的長，解直角三角形求出DG的長，進(jìn)而利用勾股定理求出DF、PF【詳解】解：設(shè)旋轉(zhuǎn)中心為點(diǎn)P，連接PD，過點(diǎn)P作PF⊥x軸于點(diǎn)F，過點(diǎn)P作PH⊥BD于H，并延長交x軸于G，如圖，

根據(jù)題意得：AB,BD的垂直平分線的交點(diǎn)即為旋轉(zhuǎn)中心點(diǎn)P，∵點(diǎn)C在BD上，∴點(diǎn)P到AB,BD的距離相等，都是12BD，即∴PD=2∵tan∴HG=2∴PG=823設(shè)DF=x，則GF=4由勾股定理得PF∴82解得x=4∴DF=4∴PF=∵D45,0∴OF=OD-DF=16∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為16故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了坐標(biāo)與圖形變化——旋轉(zhuǎn)，解直角三角形，勾股定理等等，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)確定出旋轉(zhuǎn)中心的位置是解題的關(guān)鍵．【變式2-1】（2023·廣東潮州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）在平面直角坐標(biāo)系中，線段AB平移得到線段CD，點(diǎn)A-1，4的對應(yīng)點(diǎn)C1，A．4，-1 B．0，3 C．【答案】A【分析】根據(jù)點(diǎn)A、C的坐標(biāo)確定出平移規(guī)律，再根據(jù)平移規(guī)律解答即可．【詳解】解：∵點(diǎn)A-1，4的對應(yīng)點(diǎn)C∴平移規(guī)律為向右平移2個單位，向下平移2個單位，∴B2，1的對應(yīng)點(diǎn)D故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了坐標(biāo)與圖形變化﹣平移，平移中點(diǎn)的變化規(guī)律是：橫坐標(biāo)右移加，左移減；縱坐標(biāo)上移加，下移減．【變式2-2】（2023·吉林長春·二模）在平面直角坐標(biāo)系中，已知A2，1，現(xiàn)將A點(diǎn)繞原點(diǎn)O逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到AA．-1，2 B．2，-1 C．【答案】A【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)進(jìn)行判斷作答即可．【詳解】解：如圖，過A作AB⊥x軸于B，過A1作A1B

∵將A點(diǎn)繞原點(diǎn)O逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到A1∴由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，OB∴A1-1故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)90度的點(diǎn)的坐標(biāo)．解題的關(guān)鍵在于對知識的熟練掌握與靈活運(yùn)用．【變式2-3】（2023·四川眉山·校考三模）平面直角坐標(biāo)系內(nèi)有一點(diǎn)Mx,y，已知x，y滿足4x+3+(5y-2)2=0，則點(diǎn)M關(guān)于y【答案】一【分析】根據(jù)4x+3+(5y-2)2=0得到【詳解】∵4x+3+∴x=-3∴M-∴N3故點(diǎn)N在第一象限，故答案為：一．【點(diǎn)睛】本題考查了實(shí)數(shù)的非負(fù)性，關(guān)于y軸對稱縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變相反數(shù)，熟練掌握對稱點(diǎn)的確定是解題的關(guān)鍵．【題型3與幾何圖形有關(guān)的折疊問題】【例3】（2023·廣西南寧·?？级＃┤鐖D，已知平行四邊形紙片ABCDAD>AB，將平行四邊形紙片沿過點(diǎn)A的直線折疊，使點(diǎn)B落在邊AD上，點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)為F，折痕為AE，點(diǎn)E在邊BC上，連接BF，若AE=4,BF=8，則四邊形ABEF的面積為（

A．64 B．48 C．32 D．16【答案】D【分析】先證明四邊形ABEF為菱形，再根據(jù)菱形的面積等于對角線乘積的一半，進(jìn)行求解即可．【詳解】解：∵平行四邊形紙片ABCDAD>AB，將平行四邊形紙片沿過點(diǎn)A的直線折疊，使點(diǎn)B落在邊AD上，點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)為F，折痕為AE∴AF∥BE，AB=AF,BE=EF,∠BAE=∠FAE，∴∠FAE=∠BEA，∴∠BAE=∠BEA，∴AB=BE，∴AB=AF=BE=EF，∴四邊形ABEF為菱形，∴四邊形ABEF的面積為12故選D．【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是證明四邊形ABEF為菱形．【變式3-1】（2023·河南·統(tǒng)考中考模擬）將三角形紙片△ABC按如圖所示的方式折疊，使點(diǎn)B落在邊AC上，記為點(diǎn)B'，折痕為EF，已知AB=AC=3，BC=4．若以點(diǎn)B'、F、C為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似，則BF的長度是【答案】127或【分析】本題考查折疊的性質(zhì)，三角形相似的判定和性質(zhì)．利用分類討論的思想是解題關(guān)鍵．結(jié)合折疊的性質(zhì)可設(shè)BF=B'F=x，則CF=4-x．分類討論：①當(dāng)∠ABC=∠B'FC時，此時△ABC∽△B'FC，得出B【詳解】解：由折疊的性質(zhì)可知BF=B設(shè)BF=B'F=x∵∠ACB=∠B∴可分類討論：①當(dāng)∠ABC=∠B'FC∴B'FAB解得：x=12∴此時BF的長度是127②當(dāng)∠ABC=∠FB'C∴B'FAB解得：x=2，∴此時BF的長度是2．故答案為：127或2【變式3-2】（2023·山西大同·校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于半徑為8cm的⊙O中，連接CE，AC，AE，沿直線CE折疊，使得點(diǎn)D與點(diǎn)O重合，則圖中陰影部分的面積為（

A．323cm2 B．83cm2【答案】A【分析】根據(jù)正六邊形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)以及圓的對稱性可得出OM=MD=12OC=4cm，再根據(jù)直角三角形的邊角關(guān)系求出CM，進(jìn)而求出CE【詳解】解：如圖，連接OD，交CE于點(diǎn)M，則OD⊥CE，

由折疊可知OM=MD=1∠COM=360°在Rt△COMCM=3∴CE=2CM=83由題意可知，△ACE是等邊三角形，陰影部分面積等于S四邊形連接OA，點(diǎn)O為△ACE的內(nèi)心，到三邊的距離相等，S△OAC∴=2×=323故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查正多邊形和圓，翻折的性質(zhì)以及直角三角形的邊角關(guān)系，掌握正六邊形和圓的性質(zhì)以及直角三角形的邊角關(guān)系是正確解答的前提．【變式3-3】（2023·河南周口·校聯(lián)考模擬預(yù)測）綜合與實(shí)踐課上，老師讓同學(xué)們以“正方形的折疊”為主題開展實(shí)踐活動．(1)操作判斷操作一：如圖（1），正方形紙片ABCD，點(diǎn)E是BC邊上（點(diǎn)E不與點(diǎn)B，C重合）任意一點(diǎn)，沿AE折疊△ABE到△AFE，如圖（2）所示；操作二：將圖（2）沿過點(diǎn)F的直線折疊，使點(diǎn)E的對稱點(diǎn)G落在AE上，得到折痕MN，點(diǎn)C的對稱點(diǎn)記為H，如圖（3）所示；操作三：將紙片展平，連接BM，如圖（4）所示．根據(jù)以上操作，回答下列問題：①B，M，N三點(diǎn)（填“在”或“不在”)一條直線上；②AE和BN的位置關(guān)系是，數(shù)量關(guān)系是；③如圖（5），連接AN，改變點(diǎn)E在BC上的位置，（填“存在”或“不存在”)點(diǎn)E，使AN平分∠DAE．(2)遷移探究蘇鈺同學(xué)將正方形紙片換成矩形紙片ABCD，AB=4，BC=6，按照（1）中的方式操作，得到圖（6）或圖（7）．請完成下列探究：①當(dāng)點(diǎn)N在CD上時，如圖（6），BE和CN有何數(shù)量關(guān)系？并說明理由；②當(dāng)DN的長為1時，請直接寫出BE的長．【答案】(1)①在，②AE⊥BN，相等；③不存在；(2)①BECN=23，理由見解析；②【分析】（1）①E的對稱點(diǎn)為E'，BF⊥EE'，MF⊥EE'，即可判斷；②由①AE⊥BN，由同角的余角相等得∠BAE=∠CBN，由AAS可判定△ABE≌△BCN，由全等三角形的性質(zhì)即可得證；③由AAS可判定△DAN≌△MAN，由全等三角形的性質(zhì)得AM=AD（2）①由（1）中的②可判定△ABE∽△BCN，由三角形相似的性質(zhì)即可求解；②當(dāng)N在CD上時，△ABE∽△BCN，由三角形相似的性質(zhì)即可求解；當(dāng)N在AD上時，同理可判定△ABE∽△NAB，由三角形相似的性質(zhì)即可求解．【詳解】（1）解：①E的對稱點(diǎn)為E'∴BF⊥EE'，∴B、F、M共線，故答案為：在；②由①知：B、F、M共線，N在FM上，∴AE⊥BN，∴∠AMB=90°，∴∠ABM+∠BAE=90°，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ABC=∠BCN=90°，AB=BC，∴∠CBN+∠ABM=90°，∴∠BAE=∠CBN，在△ABE和△BCN中∠BAE=∠CBN∠ABC=∠BCN∴△ABE≌△BCN(AAS)，∴AE=BN，故答案為：相等；③不存在，理由如下：假如存在，∵AN平分∠DAE，∴∠DAN=∠MAN，∵四邊形ABCD是正方形，AM⊥BN，∴∠D=∠AMN=90°，在△DAN和△MAN中∠D=∠AMN∴△DAN≌△MAN(AAS)，∴AM=AD，∵AD=AB，∴AB=AM，∵AB是Rt△ABM∴AB>AM，∴AB=AM與AB>AM矛盾，故假設(shè)不成立，所以答案為：不存在；（2）解：①BECN由（1）中的②得：∠BAE=∠CBN，∠ABE=∠C=90°，∴△ABE∽△BCN，∴BECN②當(dāng)N在CD上時，CN=CD-DN=3，由①知：△ABE∽△BCN，∴BECN∴BE=2當(dāng)N在AD上時，AN=AD-DN=5，∵∠BAE=∠CBN=∠ANB，∠ABE=∠BAN=90°，∴△ABE∽△NAB，∴BEAB∴BE4∴BE=16綜上所述：BE=2或165【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，三角形相似的判定及性質(zhì)，掌握相關(guān)的判定方法及性質(zhì)，“十字架”典型問題的解法是解題的關(guān)鍵．【題型4與拋物線有關(guān)的折疊問題】【例4】（2023·廣西貴港·統(tǒng)考三模）拋物線y=-12x2+32x+c與x軸交于A、B兩點(diǎn)，且點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)，與y軸交于點(diǎn)

(1)求拋物線的解析式與A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)．(2)若點(diǎn)E的縱坐標(biāo)為0，且以A，E，(3)過點(diǎn)M作直線CD的垂線，垂足為N，若將△CMN沿CM翻折，點(diǎn)N的對應(yīng)點(diǎn)為N'，則是否存在點(diǎn)M，使點(diǎn)N'則恰好落在x軸上？若存在，求出此時點(diǎn)【答案】(1)y=-12(2)M(0,2)或3-412(3)存在，M(1,3)或(5,-3)【分析】（1）可先求得點(diǎn)C的坐標(biāo)，將其代入拋物線的解析式求得c的值，令y=0，求得x的值，進(jìn)而求得點(diǎn)A,B的坐標(biāo)；（2）分為AD為邊和AD為對角線兩種情形，當(dāng)AD為邊時，分為?ADME,?ADEM，前者觀察點(diǎn)M和點(diǎn)C重合，后者點(diǎn)M的縱坐標(biāo)和點(diǎn)D坐標(biāo)互為相反數(shù)，進(jìn)而求得結(jié)果，點(diǎn)AD為對角線時，點(diǎn)M和點(diǎn)C重合；（3）證明CNMN'是正方形，求得CM的解析式為：y=x+2和【詳解】（1）解：∵CD∥x軸，∴C(0,2),把x=0,y=2代入y=-12∴y=-由-12∴A(-1,0).B(4,0);（2）如圖1，

當(dāng)AD為邊時，?AE1M1D，此時M?AM2E3D時，點(diǎn)M∴-∴x=∴當(dāng)AD為對角線時，此時點(diǎn)M和點(diǎn)C重合，綜上所述：M(0,2)或3-412（3）如圖2，

由折疊知，∠CNM=∠CN∵∠NCN∴四邊形CNMN∵CN=CN∴矩形CNMN∴CM平分∠NCN當(dāng)CM1平分直線CM1的解析式為：由-12x2+3當(dāng)x=1時，y=1+2=3，∴M1當(dāng)CM2平分直線CM2的解析式為：由-12x2+3當(dāng)x=5時，y=-5+2=-3，∴綜上所述：M(1,3)或(5,-3)．【點(diǎn)睛】本題以二次函數(shù)為背景，考查了求二次函數(shù)的解析式，求一次函數(shù)的解析式，解一元二次方程，平行四邊形的分類，正方形的判定和性質(zhì)等知識點(diǎn)，解決問題的關(guān)鍵是正確分類，畫出圖形．【變式4-1】（2023·山東棗莊·?？寄M預(yù)測）已知：如圖，拋物線y=-x2+bx+c經(jīng)過原點(diǎn)O，它的對稱軸為直線x=2，動點(diǎn)P從拋物線的頂點(diǎn)A出發(fā)，在對稱軸上以每秒1個單位的速度向下運(yùn)動，設(shè)動點(diǎn)P運(yùn)動的時間為t秒，連接OP并延長交拋物線于點(diǎn)B，連接OA(1)求拋物線解析式及頂點(diǎn)坐標(biāo)；(2)當(dāng)三點(diǎn)A，O，B構(gòu)成以為OB為斜邊的直角三角形時，求t的值；(3)將△PAB沿直線PB折疊后，那么點(diǎn)A的對稱點(diǎn)A1能否恰好落在坐標(biāo)軸上？若能，請直接寫出所有滿足條件的t【答案】(1)y=-x2(2)1秒(3)能，(5-5)秒或25秒或(5+5)秒【分析】（1）根據(jù)拋物線過原點(diǎn)，對稱軸為直線x=2，待定系數(shù)求解析式即可求解；（2）設(shè)B(x，-x2+4x)．三點(diǎn)A，O，B構(gòu)成以為OB為斜邊的直角三角形，勾股定理得出OA2+AB2=OB2，B(52,154)（3）分三種情況討論，①點(diǎn)A1在x軸正半軸上；②點(diǎn)A1在y軸負(fù)半軸上，③點(diǎn)A1【詳解】（1）解：由題意得c=0-b解得b=4c=0∴拋物線的解析式為y=-x∵y=-x∴頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2,4)；（2）如圖1，設(shè)B(x，∵三點(diǎn)A，O，B構(gòu)成以O(shè)B為斜邊的直角三角形，∴OA即22整理，得2x解得x1=52，x∴B(52,154設(shè)直線OB的解析式為y=kx，則52k=15解得k=3_∴y=3_2當(dāng)x=2時，y=3，∴AP=4-3=1，∴t=1÷1=1(秒)；（3）分三種情況：①若點(diǎn)A1在x軸正半軸上，如圖2可得PD即(4-t)2+(25解得t=5-5；②若點(diǎn)A1在y軸負(fù)半軸上，如圖3，連接AA1交OB可得OA∴∠OA∵OA∴∠OA∴∠OAA∵AA∴∠在△OAE與△PAE中，∠OAE=∠PAEAE=AE∴△OAE≌△PAE(ASA∴OA=PA=25，∴t=25；③若點(diǎn)A1在x軸負(fù)半軸上，如圖可得PD即(t-4)2解得t=5+5；綜上所述，所有滿足條件的t的值為(5-5)秒或25秒或(5+5)秒．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)綜合問題，特殊三角形問題，軸對稱的性質(zhì)，勾股定理，掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式4-2】（2023·山西臨汾·統(tǒng)考一模）綜合與探究如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=14x2-32x-4與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)B在點(diǎn)A的右側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C．將△ABC沿(1)求點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)．(2)求直線BD的函數(shù)表達(dá)式．(3)在拋物線上是否存在點(diǎn)P，使∠PCB=∠ABC？若存在，請求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】(1)A(2)y=(3)存在，點(diǎn)P的坐標(biāo)為6,-4或34【分析】（1）根據(jù)當(dāng)y=0時，可得14x2-32x-4=0，解一元二次方程即可得出點(diǎn)A,B（2）過點(diǎn)D作DE⊥x軸于點(diǎn)E，先利用勾股定理的逆定理判斷出∠ACB=90°，再根據(jù)軸對稱的性質(zhì)、三角形中位線定理可得OC為△ADE的中位線，從而可得D-2,8（3）分兩種情況：①點(diǎn)P在BC下方和②點(diǎn)P在BC上方，再根據(jù)平行線的性質(zhì)、等腰三角形的三線合一分別求出與PC平行的直線，然后結(jié)合二次函數(shù)和一次函數(shù)的性質(zhì)求解即可得．【詳解】（1）解：當(dāng)y=0時，14解得x1=-2，∵點(diǎn)B在點(diǎn)A的右側(cè)，∴A-2,0當(dāng)x=0時，y=-4，∴C0,-4（2）解：如圖，過點(diǎn)D作DE⊥x軸于點(diǎn)E，∵A-2,0，B8,0，∴OA=2，OB=8，OC=4，∴AB=8--2=10，AC=2∴AC∴∠ACB=90°，又∵將△ABC沿BC所在的直線折疊得到△DBC，點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)為D，∴A,C,D三點(diǎn)在一條直線上，由軸對稱的性質(zhì)得：CD=AC，BD=AB，∵OC⊥AB，DE⊥AB，∴DE∥OC，∴OC為△ADE的中位線，AO=OE=2，∴DE=2OC=8，∴D2,-8設(shè)直線BD的函數(shù)表達(dá)式為y=kx+b，將點(diǎn)B8,0，D2,-8代入得：8k+b=02k+b=-8則直線BD的函數(shù)表達(dá)式為y=4（3）解：在拋物線上存在點(diǎn)P，使∠PCB=∠ABC，①如圖，當(dāng)點(diǎn)P在BC下方時，∵∠PCB=∠ABC，∴PC∥AB，∴點(diǎn)C，P的縱坐標(biāo)相等，∴點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為-4，令y=-4，則14x2-3∴P6,-4②如圖，當(dāng)點(diǎn)P在BC上方時，由（2）可知，A，C，D三點(diǎn)在一條直線上，BD=AB，∠ACB=90°，∴∠ABC=∠DBC，∵∠PCB=∠ABC，∴∠PCB=∠DBC，∴PC∥BD，則可設(shè)直線PC的函數(shù)表達(dá)式為y=4∵點(diǎn)C的坐標(biāo)為0,-4，∴c=-4，∴直線PC的函數(shù)表達(dá)式為y=4當(dāng)43x-4=14x∴點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為343當(dāng)x=343時，∴P34綜上，在拋物線上存在點(diǎn)P，使∠PCB=∠ABC，點(diǎn)P的坐標(biāo)為6,-4或343【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)與二次函數(shù)的綜合、折疊的性質(zhì)、三角形中位線定理、等腰三角形的三線合一等知識點(diǎn)，較難的是題（3），正確分兩種情況討論是解題關(guān)鍵．【變式4-3】（2023·湖南岳陽·統(tǒng)考一模）如圖①，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線F1:y=x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A1,0和點(diǎn)B(3,0)，與y軸交于點(diǎn)C，經(jīng)過點(diǎn)A的直線l與y軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)D，與拋物線F(1)求拋物線F1(2)如圖②，點(diǎn)P是拋物線F1上位于x軸下方的一動點(diǎn)，連接CP、EP，CP與直線l交于點(diǎn)Q，設(shè)△EPQ和△ECQ的面積為S1和(3)如圖③，將拋物線F1沿直線x=m翻折得到拋物線F2，且直線l與拋物線F2【答案】(1)y=x(2)S1S2(3)m=7【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解即可；（2）結(jié)合（1）求得直線l的解析式為y=x-1，過點(diǎn)P作PM⊥x軸，交AE于點(diǎn)M，則PM∥CD，易得△MPQ～△DCQ即PQCQ=PMCD，由△EPQ和△ECQ的底在同一直線上，且有相同的高，故S1S2=PQCQ=PMCD（3）求得拋物線y=x2-4x+3的頂點(diǎn)坐標(biāo)為2,-1，將2,-1沿直線x=m翻折得2m-2,-1，故將拋物線F1：y=x2-4x+3沿直線x=m翻折得到拋物線F2為y=x-2m-22-1，即【詳解】（1）解：將點(diǎn)A1,0和點(diǎn)B(3,0)代入y=1+b+c=09+3b+c=0解得b=-4c=3拋物線F1的解析式為:y=（2）∵OD=OA，A1,0則D0,-1設(shè)直線l的解析式為y=kx+n，k+n=0n=-1解得:k=1n=-1可得直線l的解析式為：y=x-1，過點(diǎn)P作PM⊥x軸，交AE于點(diǎn)M，則PM∥∴△MPQ～△DCQ，∴PQCQ△EPQ和△ECQ的底在同一直線上，且有相同的高，則S1∴S1由（1）可知C0,3，D∴CD=4，設(shè)Pa,則Ma,a-1∴PM==-a-∴PM的最大值為94則PMCD的最大值為PM∴S1S2（3）拋物線y=x2,-1，將2,-1沿直線x=m翻折得：2m-2,-1，故將拋物線F1：y=x2得到拋物線F2：y=即：y=x令x2即xΔ==8m-7，又∵直線l與拋物線F2∴8m-7=0，∴m=7【點(diǎn)睛】本題考查了代入法求一次函數(shù)、二次函數(shù)解析式，一次函數(shù)與二次函數(shù)綜合，相似三角形的判定和性質(zhì)，翻折問題，交點(diǎn)情況即一元二次方程解的情況；解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)性質(zhì)，靈活求解．【題型5利用軸對稱求最值】【例5】（2023·遼寧盤錦·統(tǒng)考中考真題）如圖，四邊形ABCD是矩形，AB=10，AD=42，點(diǎn)P是邊AD上一點(diǎn)（不與點(diǎn)A，D重合），連接PB，PC．點(diǎn)M，N分別是PB，PC的中點(diǎn)，連接MN，AM，DN，點(diǎn)E在邊AD上，

A．23 B．3 C．32 D【答案】C【分析】根據(jù)直線三角形斜邊中線的性質(zhì)可得AM=12BP，DN=12CP，通過證明四邊形MNDE是平行四邊形，可得ME=DN，則AM+ME=AM+DN=12BP+CP，作點(diǎn)C關(guān)于直線AD的對稱點(diǎn)M，則BP+CP=BP+PM，點(diǎn)B【詳解】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠BAP=∠CDP=90°，AD∥∵點(diǎn)M，N分別是PB，∴AM=12BP，DN=12∵AD∥BC，∴MN∥又∵M(jìn)E∥∴四邊形MNDE是平行四邊形，∴ME=DN，∴AM+ME=AM+DN=1如圖，作點(diǎn)C關(guān)于直線AD的對稱點(diǎn)M，連接PM，BM，

則BP+CP=BP+PM，當(dāng)點(diǎn)B，P，M三點(diǎn)共線時，BP+PM的值最小，最小值為BM，在Rt△BCM中，MC=2CD=2AB=210，∴BM=B∴AM+ME的最小值=1故選C．【點(diǎn)睛】本題考查矩形的性質(zhì)，直線三角形斜邊中線的性質(zhì)，中位線的性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)，勾股定理，線段的最值問題等，解題的關(guān)鍵是牢固掌握上述知識點(diǎn)，熟練運(yùn)用等量代換思想．【變式5-1】（2023·江蘇鹽城·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，已知，等邊△ABC中，AB=6，將△ABC沿AC翻折，得到△ADC，連接BD，交AC于O點(diǎn)，E點(diǎn)在OD上，且DE=2OE，F(xiàn)是BC的中點(diǎn)，P是AC上的一個動點(diǎn)，則PF-PE的最大值為．【答案】3【分析】由折疊可證四邊形ABCD為菱形，BO是AC邊上的中線，如圖，連接AE、AF、PM，交BD于M，AF是BC邊上的中線，∠BAC的角平分線，則BM=2OM，AM=2MF，∠CAF=30°，由DE=2OE，可得OM=OE，則PE=PM，AE=AM，PF-PE=PF-PM，可知當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到點(diǎn)A時，PF-PE最大，最大為【詳解】解：∵△ABC為等邊三角形，AB=6，∴AB=AC=BC=6，∵將△ABC沿AC翻折，得到△ADC，∴AD=CD=BC=AB=6，∴四邊形ABCD為菱形，∴DO=BO，AO=CO=3，BD⊥AC，∴BO是AC邊上的中線，如圖，連接AE、AF、PM，交∵F是BC的中點(diǎn)，∴AF是BC邊上的中線，∠BAC的角平分線，∴BM=2OM，AM=2MF，∠CAF=30°，∵DE=2OE，∴OM=OE，∵BD⊥AC，∴PE=PM，AE=AM，∴PF-PE=∴當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到點(diǎn)A時，PF-PE最大，最大為FM，∵∠CAF=30°，∴CF=3，由勾股定理得，AF=A∴FM=1故答案為：3．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形中線的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，菱形的判定與性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的判定與性質(zhì)，含30°的直角三角形等知識．根據(jù)題意確定最大值的情況是解題的關(guān)鍵．【變式5-2】（2023·江蘇宿遷·統(tǒng)考二模）如圖，菱形ABCD的邊長為10，tanA=43，點(diǎn)M為邊AD上的一個動點(diǎn)且不與點(diǎn)A和點(diǎn)D重合，點(diǎn)A關(guān)于直線BM的對稱點(diǎn)為點(diǎn)A'，點(diǎn)N為線段CA'的中點(diǎn)，連接【答案】65【分析】根據(jù)A，A'關(guān)于直線BM對稱，得到BA'=10，取BC的中點(diǎn)K，NK是△A'BC的中位線，則NK=5，作DH⊥BC【詳解】解：如圖，連接BA'，取BC的中點(diǎn)K，連接NK，作DH⊥BC于∵四邊形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=AD=10，∵點(diǎn)A關(guān)于直線BM的對稱點(diǎn)為點(diǎn)A'∴BA∵點(diǎn)N為線段CA'的中點(diǎn),點(diǎn)K是∴NK是△A∴NK=1∵tanA=∴DH=4x，CH=3x在Rt△CDH中，由勾股定理得D∴16x解得x=2（負(fù)值舍去），∴CH=6，∵CK=KB=5，∴HK=CH-CK=1，∴DK=D∵DN≥DK-NK，∴DN≥65∴DN的最小值為65-5故答案為：65-5【點(diǎn)睛】本題主要考查了軸對稱的性質(zhì)，三角形中位線定理，菱形的性質(zhì)，解直角三角形，勾股定理，三角形三邊關(guān)系的應(yīng)用，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．【變式5-3】（2023·浙江·統(tǒng)考二模）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E為邊BC上一個動點(diǎn)，作點(diǎn)B關(guān)于AE的對稱點(diǎn)B'，連接并延長DB'，交AE延長線于點(diǎn)F，連接B

(1)求證：BF=B(2)求∠BB(3)若AB=2，在點(diǎn)E的運(yùn)動過程中，求點(diǎn)F到BC距離的最大值．【答案】(1)證明見解析(2)135°(3)2【分析】（1）根據(jù)題意可得AE垂直平分BB'，則（2）如圖所示，連接AB'，證明AB=AB'=AD，得到∠AB（3）如圖所示，連接AC、BD交于O，設(shè)BB'與AF交于H，先求出∠AFD=45°，則點(diǎn)F在以點(diǎn)O為圓心，2為半徑的圓弧上運(yùn)動，即劣弧BC上運(yùn)動；過點(diǎn)O作OM⊥BC交BC于N，交⊙O于M，則點(diǎn)F到【詳解】（1）證明：∵點(diǎn)B關(guān)于AE的對稱點(diǎn)為B'∴AE垂直平分BB∴BF=B（2）解：如圖所示，連接AB∵AE垂直平分BB∴AB=AB∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=AD，∴AB=AB∴∠ABB∵∠ABB∴∠ABB∴∠BB

（3）解：如圖所示，連接AC、BD交于O，設(shè)BB'與由（2）得∠FB∵FH⊥BB∴∠AFD=45°，∵四邊形ABCD是正方形，∴OA=OD=1∴點(diǎn)F在以點(diǎn)O為圓心，2為半徑的圓弧上運(yùn)動，即劣弧BC上運(yùn)動，過點(diǎn)O作OM⊥BC交BC于N，交⊙O于M，則點(diǎn)F到BC距離的最大值即為EM的長，在Rt△OBN中，BN=∴ON=O∴ME=2∴點(diǎn)F到BC距離的最大值為2-1

【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)，四邊形內(nèi)角和定理，垂徑定理，等腰三角形的性質(zhì)與判定等等，正確確定點(diǎn)F的運(yùn)動軌跡是解題的關(guān)鍵．【題型6根據(jù)中心對稱的性質(zhì)求面積、長度、角度】【例6】（2023·江蘇泰州·統(tǒng)考二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的頂點(diǎn)A、C分別是直線y=-83x+4與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，點(diǎn)B(-2,0)，點(diǎn)D是邊AC上的一點(diǎn)，DE⊥BC，垂足為E，點(diǎn)F在AB邊上，且D、F兩點(diǎn)關(guān)于y軸上某點(diǎn)成中心對稱，連接DF、EF．線段EF

【答案】2【分析】過點(diǎn)F，D分別作FG，DH垂直于y軸，垂足分別為G，H，證明Rt△FGK≌Rt△DHK，由全等三角形的性質(zhì)得出FG=DH【詳解】過點(diǎn)F，D分別作FG，DH垂直于y軸，垂足分別為G，

則∠FGK=∠DHK=90°，記FD交y軸于點(diǎn)K，∵D點(diǎn)與F點(diǎn)關(guān)于y軸上的K點(diǎn)成中心對稱，∴KF=KD，∵∠FKG=∠DKH，∴Rt△FGK∴FG=DH，∵直線AC的解析式為y=-8∴x=0時，y=4，∴A0又∵B-2設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b,∴-2k+b=解得k=2∴直線AB的解析式為y=2x+4，過點(diǎn)F作FR⊥x軸于點(diǎn)R，∵D點(diǎn)的橫坐標(biāo)為m,∴F-m,-2m+4∴ER=2m,FR=-2m+4，∵EF∴l(xiāng)=EF令-83x+4=0∴0≤m≤3∴當(dāng)m=1時，l的最小值為8，∴EF的最小值為22【點(diǎn)睛】待定系數(shù)法，全等三角形的判定與性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)，勾股定理，中心對稱的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)等知識．【變式6-1】（2023·山西朔州·統(tǒng)考一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，有7個半徑為1的小圓拼在一起，下面一行的4個小圓都與x軸相切，上面一行的3個小圓都在下一行右邊3個小圓的正上方，且相鄰兩個小圓只有一個公共點(diǎn)，從左往右數(shù)，y軸過第2列兩個小圓的圓心，點(diǎn)P是第3列兩個小圓的公共點(diǎn)．若過點(diǎn)P有一條直線平分這7個小圓的面積，則該直線的函數(shù)表達(dá)式是．【答案】y=【分析】當(dāng)直線y過P、N兩點(diǎn)時，由中心對稱圖形的特征可得直線y平分7個小圓的面積，由直線和圓的位置關(guān)系，圓和圓的位置關(guān)系求得N、P的坐標(biāo)，再待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式即可；【詳解】解：如圖，⊙N、⊙G、⊙M與x軸相切于F、O、E，連接NF、NG、GM、ME、PM，直線y過P、N兩點(diǎn)，∵右邊6個小圓關(guān)于點(diǎn)P中心對稱，直線y經(jīng)過點(diǎn)P，∴直線y平分右邊6個小圓的面積，∵直線y經(jīng)過左邊小圓的圓心，∴直線y平分⊙N的面積，∴直線y平分7個小圓的面積，NF⊥x軸，GO⊥x軸，則NF∥GO，NF=GO=1，則NFOG是平行四邊形，∠GOF=90°，則NFOG是矩形，∵⊙N、⊙G相切，∴NG=2，即N（-2，1），同理可得M（2，1），∵P在⊙M的正上方，E點(diǎn)在⊙M的正下方，∴PE為⊙M的直徑，即P、M、E共線，∴P（2，2），設(shè)直線y=kx+b，則1=-2k+b2=2k+b，解得：k=∴y=1故答案為：y=1【點(diǎn)睛】本題考查了中心對稱圖形的特征，直線和圓的位置關(guān)系，圓和圓的位置關(guān)系，一次函數(shù)解析式；掌握中心對稱圖形的特征是解題關(guān)鍵．【變式6-2】（2023·江蘇南通·統(tǒng)考一模）如圖，矩形ABCD中，AB=6，AD=3．E為邊AB上一動點(diǎn)，連接DE．作AF⊥DE交矩形ABCD的邊于點(diǎn)F，垂足為(1)求證：∠AFB=∠DEA；(2)若CF=1，求AE的長；(3)點(diǎn)O為矩形ABCD的對稱中心，探究OG的取值范圍．【答案】(1)見解析(2)1或9(3)3【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)，進(jìn)行角度的等量代換，即可解答；（2）分類討論，即①當(dāng)點(diǎn)F在BC上時②當(dāng)點(diǎn)F在CD上時兩種情況，利用正切的概念，即可解答；（3）取AD的中點(diǎn)H，連接OH，GH，AC，則OG≥OH-HG，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半求得HG,再根據(jù)中位線的性質(zhì)求得OH，即可求得OG的最小值，再結(jié)合題意可得，當(dāng)G與A重合時，【詳解】（1）證明：如圖1，四邊形ABCD是矩形，AF⊥DE，∴∠DAB=∠B=∠AGE=90°，∴∠AFB+∠FAB=∠DEA+∠AFB=90°，∴∠AFB=∠DEA；（2）解：∵四邊形ABCD是矩形，∴DC=AB=6，①如圖1，當(dāng)點(diǎn)F在BC上時，BF=BC-CF=2．∵∠AFB=∠DEA，∴tan∴ABFB=AD∴AE=1；如圖2，當(dāng)點(diǎn)F在CD上時，DF=CD-CF=5．同（1）可證∠DAF=∠DEA，∴tan∴DFAD=AD∴AE=9∴AE=1或95（3）解：如圖3，取AD的中點(diǎn)H，連接OH，則OG≥OH-HG．∵∠AGE=∠AGD=90°，∴HG=1∵點(diǎn)O為矩形ABCD的對稱中心，∴點(diǎn)O為AC的中點(diǎn)．∴OH=1∴OG≥3-3∵AB=DC=6，∴AC=A當(dāng)G與A重合時，OG最長，此時OG=1∴32【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，銳角三角形函數(shù)，解直接三角形，勾股定理，熟練畫出圖形并作出正確的輔助線是解題的關(guān)鍵．【變式6-3】（2023·吉林長春·統(tǒng)考一模）如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=15，AC=20，動點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，在線段BC上以每秒5個單位長度的速度向終點(diǎn)C運(yùn)動，連接AP．將△APB沿直線(1)求BC的長；(2)當(dāng)四邊形ABPB'為中心對稱圖形時，求(3)當(dāng)點(diǎn)B'在BC下方時，連接BB'(4)當(dāng)直線AB'與△ABC一邊垂直時，直接寫出【答案】(1)BC=25(2)t=3(3)△CBB'(4)t=1或t=157【分析】（1）直接利用勾股定理求解即可；（2）根據(jù)四邊形中正方形和菱形為中心對稱圖形，再根據(jù)當(dāng)AB=BP時四邊形ABPB'為菱形，即得出關(guān)于t的方程，解出t（3）設(shè)AB'與BC交于點(diǎn)D，過點(diǎn)B'作B'E⊥BC于點(diǎn)E．由BC=25為定值，即得出當(dāng)B'E（4）分類討論：①當(dāng)AB'⊥BC時，結(jié)合（3）得出AD=12，B'D=3，從而可求出BD=9．設(shè)BP=B'P=x，則PD=9-x．在Rt△B'PD中，根據(jù)勾股定理列出關(guān)于x的等式，解出x的值，即可求出t的值；②當(dāng)AB'⊥AB時，此時點(diǎn)B'在線段AC上，過點(diǎn)A作AM⊥BC于點(diǎn)M，點(diǎn)B'作B'N⊥BC于點(diǎn)N，由題意可求出AM=12，AB'=AB=15，B'C=5．又易證△ACM∽△B'CN，即可求出【詳解】（1）解：∵在△ABC中，∠BAC=90°，AB=15，AC=20，∴BC=A（2）解：∵只有正方形和菱形為中心對稱圖形，∴AB=BP，如圖，由翻折可知AB=BP=B∴此時四邊形ABPB∵BP=5t，∴5t=15，解得：t=3；（3）解：如圖，設(shè)AB'與BC交于點(diǎn)D，過點(diǎn)B'作B∵BC=25為定值，∴當(dāng)B'E最長時，∵B'∴當(dāng)B'D與B'由翻折可知AB又∵B'∴當(dāng)AD最短時，B'D最長，即此時∵S△ABC∴15×20=25AD，∴AD=12，∴B'∴此時S△CBB'=1（4）解：分類討論：①當(dāng)AB由（3）可知AD=12，B'∴BD=A設(shè)BP=B'P=x，則在Rt△B'PD中，解得：x=5，∴BP=5，∴t=BP②當(dāng)AB'⊥AB時，此時點(diǎn)B'在線段AC上，過點(diǎn)A作AM⊥BC于點(diǎn)M，點(diǎn)B'由（3）可知AM=12．由翻折可知AB∴B'∵AM⊥BC，B'∴AM∥B∴△ACM∽△B∴ACB'C解得：B'∴CN=B設(shè)BP=B'P=y在Rt△B'PN中，解得：y=75∴BP=75∴t=BP③當(dāng)AB'⊥AC時，此時點(diǎn)C∴t=BC綜上可知t=1或t=157或【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理，中心對稱圖形的性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)，垂線段最短，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識．利用數(shù)形結(jié)合和分類討論的思想是解題關(guān)鍵．【題型7與軸對稱、平移、旋轉(zhuǎn)有關(guān)的規(guī)律探究問題】【例7】（2023·河南商丘·統(tǒng)考三模）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，A(1，1)，B(0，3)，以AB為邊在AB右側(cè)作正方形ABCD．第一次操作：將正方形ABCD繞點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)90°得到正方形A1B1C1D1；第二次操作：將正方形A1B1C1D1繞點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)90°

A．(-2，4) B．(-4，2) C．(4，-2) D．(2，-4)【答案】B【分析】根據(jù)題意求得C的坐標(biāo)，進(jìn)而根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，可得點(diǎn)C2023的坐標(biāo)在第二象限，即將點(diǎn)C繞點(diǎn)O逆時針旋轉(zhuǎn)90°【詳解】解：過點(diǎn)A,C作y軸的垂線，垂足分別為E,F，如圖所示，

∴∠BFC=∠AEB=90°，∵A(1，1)，B(0，3)∴AE=1,BE=2，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠ABC=90°∴∠FCB=90°-∠FBC=∠ABE∴△FBC≌△EAB∴FB=AE=1,FC=BE=2∴OF=FB+BO=1+3=4∴C2,4依題意，每次順時針旋轉(zhuǎn)90°，每4次就回到起點(diǎn)，∴第2023次操作得到正方形A2023B2023C2023D2023中，點(diǎn)C如圖所示，

∴O∴C2023故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形，找到規(guī)律是解題的關(guān)鍵【變式7-1】（2023·重慶南岸·二模）如圖，Rt△A1B1C1的斜邊A1B1在直線y=3x-3上，點(diǎn)B1在x軸上，C1點(diǎn)坐標(biāo)為2,0．先將△A1B1C1沿較長直角邊A

A．15,53 B．15,63 C．17,53【答案】D【分析】先求得A12,3，B11,0，根據(jù)勾股定理得B1C1=1，A1C1=【詳解】當(dāng)y=0時，x=1，∴B1∵Rt△A1B1∴A1∵C1點(diǎn)坐標(biāo)為2,0∴B1C1∴A1∴∠A1B∴A2∴A2再由翻折可知，∠B2A∴A2∴A3同理可得A48,3，A58,3∴A11故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了點(diǎn)坐標(biāo)規(guī)律探索，勾股定理，翻折的性質(zhì)，根據(jù)圖象得出坐標(biāo)變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵．【變式7-2】（2023·河北保定·三模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)y=x的圖象為直線l，作點(diǎn)A11,0關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)A2，將A2向右平移2個單位得到點(diǎn)A3；再作A3關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)A4，將A4向右平移2個單位得到點(diǎn)A．1007,1008 B．1008,1006 C．1006,1008 D．1008,1007【答案】D【分析】本題主要考查了點(diǎn)的坐標(biāo)規(guī)律探索，軸對稱的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形變化—平移，通過求出A20，1，A32，1，A41，2，A53，【詳解】解：設(shè)A2A3與直線l∵A1∴OA∵函數(shù)y=x的圖象為直線l，∴∠A由軸對稱的性質(zhì)可得OA∴∠A∴A2∵將A2向右平移2個單位得到點(diǎn)A∴A3同理可得A4∴A53，．．．．．．，以此類推，可知當(dāng)n=2k（k為正整數(shù)）時，Ank-1，k，當(dāng)∵2015=2×1008-1，∴A20151008，故選D．【變式7-3】（2023·河南周口·淮陽第一高級中學(xué)?？寄M預(yù)測）在平面直角坐標(biāo)系中，菱形OABC的位置如圖所示，其中點(diǎn)B的坐標(biāo)為(-1,1)，第1次將菱形OABC繞著點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)90°，同時擴(kuò)大為原來的2倍得到菱形OA1B1C1（即OB1=2OB），第2次將菱形OA1B1C1繞著點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)90°，同時擴(kuò)大為原來的2倍得到菱形OA2B2C2（即OB2

A．22025,22025 B．2507,【答案】A【分析】由題意得B1的坐標(biāo)為2,2，同理的B2坐標(biāo)為4,-4，即22,-22，B3的坐標(biāo)為-8,-8，即-23,-23【詳解】解：如圖，連接OB，OB1，過點(diǎn)B作BF⊥x軸，過點(diǎn)B1作B1E⊥x

∴∠BFO=90°，∠B∵B-1,1∴BF=OF=1，∴OB=2，∠BOF=∠OBF=45°∵B-1,1，第1次將菱形OABC繞著點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)90°，同時擴(kuò)大為原來的2倍得到菱形OA1∴∠BOB1=90°∴∠B在Rt△OB1∴B1的坐標(biāo)為2,2，即同樣的方法，得：B2坐標(biāo)為4,-4，即2B3的坐標(biāo)為-8,-8，即-B4的坐標(biāo)為-16,16，即-……，由2025÷4=506?1，∴B2025的坐標(biāo)故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查坐標(biāo)與圖形變化—旋轉(zhuǎn)以及規(guī)律型，勾股定理及三角函數(shù)等知識．結(jié)合圖形變化，找到點(diǎn)坐標(biāo)變化的規(guī)律是解題的關(guān)鍵．【題型8用平移、軸對稱、旋轉(zhuǎn)、中心對稱作圖】【例8】（2023·安徽·模擬預(yù)測）如圖，在由邊長為1個單位長度的小正方形組成的網(wǎng)格中，△ABC的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)（網(wǎng)格線的交點(diǎn)）上．(1)將△ABC向右平移4個單位長度，再向下平移5個單位長度得到△A1B(2)將（1）中的△A1B1C1以【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】本題考查了平移作圖和軸對稱作圖，找到對應(yīng)點(diǎn)是作圖關(guān)鍵．（1）找到△ABC各頂點(diǎn)向右平移4個單位長度，再向下平移5個單位長度的對應(yīng)點(diǎn)即可；（2）找到△A1B1C【詳解】（1）解：如圖所示，△A（2）解：如圖所示，△A【變式8-1】（2023·陜西西安·?？寄M預(yù)測）如圖，在直角坐標(biāo)系中，△ABC的各頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為Aa,1，B3,3，C4,-1；△ABC經(jīng)過平移得到△A'B'(1)觀察各對應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)的變化并填空：a的值為______，b的值為______；(2)畫出△ABC及將△ABC繞點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△DBE，點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)E，寫出點(diǎn)E的坐標(biāo)．【答案】(1)1，-1(2)圖見詳解，E【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)C的坐標(biāo)變化規(guī)律，構(gòu)建方程，求出a，b的值即可；（2）利用旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)分別作出A，C的對應(yīng)點(diǎn)D，E即可．【詳解】（1）解：由點(diǎn)C4,-1平移后得到點(diǎn)C'-2,-5可知平移方式為向左平移6∴a-6=-5，3-4=b，∴a=1，b=-1，故答案為：1，-1；（2）解：如圖，△DBE即為所求，∴E【點(diǎn)睛】本題考查作圖-旋轉(zhuǎn)變換，平移變換等知識，解題的關(guān)鍵是掌握旋轉(zhuǎn)變換，平移變換的性質(zhì)，屬于中考?？碱}型．【變式8-2】（2023·安徽·校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖是6×6的正方形網(wǎng)格，線段AB的端點(diǎn)A,B都在格點(diǎn)（網(wǎng)格線的交點(diǎn)）上．

(1)將線段AB繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到對應(yīng)線段AB1，畫出線段(2)請僅用無刻度的直尺過點(diǎn)B作一條直線l，使得點(diǎn)A,B1到【答案】(1)畫圖見解析(2)畫圖見解析【分析】本題考查的是作旋轉(zhuǎn)圖形，平行線的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，利用旋轉(zhuǎn)，平行線，三角形全等的性質(zhì)進(jìn)行作圖是解本題的關(guān)鍵；（1）取格點(diǎn)B1，滿足AB=AB1（2）取格點(diǎn)C，滿足BC∥AB1，或取AB【詳解】（1）解：如圖，線段AB

（2）如圖，l即為所求作的直線；

【變式8-3】（2023·黑龍江哈爾濱·統(tǒng)考三模）在如圖的方格紙中，每個小方格都是邊長為1個單位的正方形，△ABC的三個頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上（每個小方格的頂點(diǎn)叫格點(diǎn)）．

(1)畫出△ABC向下平移3個單位后的△A1(2)畫出△ABC關(guān)于點(diǎn)O的中心對稱圖形△A2(3)連接C1C2，請直接寫出C【答案】(1)見解析(2)見解析(3)13【分析】（1）根據(jù)平移的性質(zhì)，即可求作出△A（2）根據(jù)中心對稱的性質(zhì)，即可求作出△A（3）直接用勾股定理進(jìn)行求解即可；【詳解】（1）如下圖所示：△A（2）如下圖所示：△A

（3）C1故答案為：13【點(diǎn)睛】本題考查的是平移及中心對稱作圖，勾股定理，熟知圖形平移及中心對稱的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．【題型9旋轉(zhuǎn)或軸對稱綜合題之線段問題】【例9】（2023·河南·統(tǒng)考中考真題）李老師善于通過合適的主題整合教學(xué)內(nèi)容，幫助同學(xué)們用整體的、聯(lián)系的、發(fā)展的眼光看問題，形成科學(xué)的思維習(xí)慣．下面是李老師在“圖形的變化”主題下設(shè)計的問題，請你解答．

(1)觀察發(fā)現(xiàn)：如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，過點(diǎn)M4,0的直線l∥y軸，作△ABC關(guān)于y軸對稱的圖形△A1B1C1，再分別作△A1B1C1關(guān)于x軸和直線l對稱的圖形△A2B2(2)探究遷移：如圖2，?ABCD中，∠BAD=α0°<α<90°，P為直線AB下方一點(diǎn)，作點(diǎn)P關(guān)于直線AB的對稱點(diǎn)P1，再分別作點(diǎn)P1關(guān)于直線AD和直線CD的對稱點(diǎn)P2和P3，連接AP①若∠PAP2=β，請判斷β②若AD=m，求P，P3(3)拓展應(yīng)用：在（2）的條件下，若α=60°，AD=23，∠PAB=15°，連接P2P3．當(dāng)P2【答案】(1)180°，8．(2)①β=2α，理由見解析；②2(3)26或【分析】（1）觀察圖形可得△A2B2C（2）①連接AP1，由對稱性可得，∠PAB=∠P②連接PP1,P1P3分別交AB,CD于E,F兩點(diǎn)，過點(diǎn)D作DG⊥AB，交AB于點(diǎn)G，由對稱性可知：PE=P1E，P1F=（3）分P2P3∥AD，P2P3∥CD，兩種情況討論，設(shè)AP=x，則AP1=AP2【詳解】（1）（1）∵△ABC關(guān)于y軸對稱的圖形△A1B1C1，∴△A2B2C則△A2B2C2∵A-1,1∴AA∵M(jìn)4,0,A1,∴A1即AA△A3B3C故答案為：180°，8．

（2）①β=2α，理由如下，連接AP1

由對稱性可得，∠PAB=∠P∠PA=2∠=2=2∠BAD∴β=2α，②連接PP1,P1P3分別交AB,CD于E,F兩點(diǎn)，過點(diǎn)D

由對稱性可知：PE=P1E∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AB∴P，∴PP∵PP∴∠P∴四邊形EFDG是矩形，

∴DG=EF，在Rt△DAG中，∠DAG=α，∵sin∠DAG=∴DG=AD?sin∴P（3）解：設(shè)AP=x，則AP依題意，P1當(dāng)P2P3∥AD時，如圖所示，過點(diǎn)P

∴∠∵∠PAB=15°，α=60°，∴∠PAP1∴∠P2A在△APP1中，∴∠P2P∴P在Rt△APQ中，∠PAQ=30°，則PQ=12在Rt△PQP1中，PP∴P由（2）②可得PP∵AD=2∴P∴6+3解得：x=32如圖所示，若P2P3

∵∠P2P則P1∵PP1=∵PP∴62解得：x=26綜上所述，AP的長為32-6【點(diǎn)睛】本題考查了軸對稱的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，解直角三角形，熟練掌握軸對稱的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式9-1】（2023·河南周口·校聯(lián)考二模）【問題發(fā)現(xiàn)】如圖1所示，將△ABC繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得△ADE，連接CE、BD．根據(jù)條件填空：

①∠ACE的度數(shù)為；②若CE=2，則CA的值為；【類比探究】如圖2所示，在正方形ABCD中，點(diǎn)E在邊BC上，點(diǎn)F在邊CD上，且滿足∠EAF=45°，BE=1，DF=2，求正方形ABCD的邊長；

【拓展延伸】如圖3所示，在四邊形ABCD中，CD=CB，∠BAD+∠BCD=90°，AC、BD為對角線，且滿足AC=32CD，若AD=3，AB=4

【答案】【問題發(fā)現(xiàn)】①45°；②2；【類比探究】正方形ABCD的邊長為3+172；【拓展延伸】BD【分析】（1）問題發(fā)現(xiàn)：①根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)易得△CAE為等腰直角三角形，結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)求解即可；②結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)求解即可；（2）類比探究：將△ABE繞A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得△ADG，求證△GAF≌△EAF，由全等三角形的性質(zhì)可得EF=GF，易得EF=3；設(shè)正方形ABCD邊長為x，則CE=x-1，CF=x-2，在Rt△CEF（3）拓展延伸：將△ADC繞C逆時針旋轉(zhuǎn)至△CBE，連接AE，首先證明△DCB∽△ACE，由相似三角形的性質(zhì)可得BDAE=CDCA=23【詳解】解：（1）問題發(fā)現(xiàn)：①∵將△ABC繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得△ADE，∴∠DAB=∠CAE=90°，CA=EA，∴∠ACE=45°；②∵△CAE為等腰直角三角形，∠ACE=45°，∴AC=CE?cos故答案為：①45°；②2；（2）類比探究：將△ABE繞A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得△ADG，如圖1所示，

∴∠1=∠4，AE=AG，BE=DG=1，∠ABE=∠ADG=90°，∵∠ADC+∠ADG=180°，∴G、∵∠2=45°，∴∠1+∠3=∠4+∠3=45°=∠EAF，∵AF=AF，∠FAG=∠EAF，AE=AG，∴△GAF≌∴EF=GF，∵GF=GD+DF=1+2=3，∴EF=3，設(shè)正方形ABCD邊長為x，則CE=x-1，CF=x-2，在Rt△CEF中，C∴x-12解得x=3+172∴正方形ABCD的邊長為3+17（3）拓展延伸：將△ADC繞C逆時針旋轉(zhuǎn)至△CBE，連接AE，如圖2所示，∴AD=BE，CA=CE,∠ACD=∠ECB,∠ADC=∠EBC，∵CD=CB，∴∠BCD=∠ACE，CDCA∴△DCB∽△ACE，∴BDAE∵∠BAD+∠BCD=90°，∴∠ABC+∠ADC=270°，∵∠ADC=∠EBC，∴∠ABC+∠EBC=270°，∴∠ABE=90°，∴AE=A∴BD=2【點(diǎn)睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識，綜合性強(qiáng)，解題關(guān)鍵是熟練運(yùn)用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求解．【變式9-2】（2023·北京房山·統(tǒng)考二模）如圖，∠BAC=90°，AB=AC，點(diǎn)D是BA延長線上一點(diǎn)，連接DC，點(diǎn)E和點(diǎn)B關(guān)于直線DC對稱，連接BE交AC于點(diǎn)F，連接EC,ED,DF

(1)依題意補(bǔ)全圖形，并求∠DEC(2)用等式表示線段EC,ED和CF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．【答案】(1)圖見解析，45°(2)ED+CF=2【分析】（1）根據(jù)題意補(bǔ)全圖形，連接CB，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)及軸對稱的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)求解即可；（2）根據(jù)軸對稱的性質(zhì)得出∠CHF=90°=∠BAC【詳解】（1）解：補(bǔ)全圖形，如圖所示：

連接CB，∵∠BAC=90°，AB=AC∴∠ABC=45°∵點(diǎn)E和點(diǎn)B關(guān)于直線DC對稱∴EC=BC∵DC=DC∴△EDC?△BDC(SSS∴∠DEC=∠

（2）ED+CF=2EC∵點(diǎn)E、B關(guān)于直線CD對稱∴EB⊥CD，設(shè)垂足為H則∠∵∠

∴∠1=∠2∵AC=AB∴△DAC?△FAB∴AD=AF∴ED=BD=AD+AB=AF+AC=AC-CF+AC=2AC-CF∵AC=∴ED=2×即ED+CF=2【點(diǎn)睛】題目主要考查軸對稱的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，解三角形，理解題意，作出相應(yīng)輔助線，綜合運(yùn)用這些知識點(diǎn)是解題關(guān)鍵．【變式9-3】（2023·山西忻州·校聯(lián)考模擬預(yù)測）綜合與實(shí)踐——探究圖形旋轉(zhuǎn)中的問題，問題背景：在一次綜合實(shí)踐活動課上，同學(xué)們以兩個菱形為對象，研究相似菱形旋轉(zhuǎn)中的數(shù)學(xué)問題．已知菱形ABCD∽菱形A'B'C'D'，它們各自對角線的交點(diǎn)重合于點(diǎn)O

觀察發(fā)現(xiàn)：（1）如圖1，若A'B'∥AB，連接AA'，DD'操作探究：（2）保持圖1中的菱形ABCD不動，將菱形A'B'C'D'①當(dāng)0°<α<90°時，得到圖2．此時（1）中的結(jié)論還成立嗎？若成立，請證明；若不成立，請說明理由；②小穎發(fā)現(xiàn)，在菱形A'B'C'D'繞點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)到圖3位置時，連接C③當(dāng)菱形A'B'C'D'繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)至A【答案】（1）DD'=3AA'；（2）①【分析】（1）可得出A'D'∥AD，∠DAO=∠D'A'O=12∠BAD=12（2）①連接OA，OA'，OD，OD'，可推出∠AOA'=∠DOD②連接AC，A'C'，由四邊形ABCD和四邊形A'B'C③分為：當(dāng)A'在AD'上時，作OE⊥AD'，可求得OA=12AB=4，OD'=32A'D'=3，∠A【詳解】解：（1）如圖1，

連接OA'，∵菱形ABCD∽菱形A'B'∴A'D∴A、A'、O共線，D、D'、∴AA∵AO⊥OD，∴AA故答案為：DD（2）①如圖1，

結(jié)論仍然成立，理由如下：連接OA，OA'，OD，∵四邊形ABCD和四邊形A'∴OA⊥OD，OA∴∠AOD=∠A∴∠AOA∵ODOA∴△AOA∴DD∴DD②如圖2，

四邊形AA連接AC，A'∵四邊形ABCD和四邊形A'∴OA=OC，OA∴四邊形AA③如圖4，

當(dāng)A'在AD'可得OA=12AB=4，O∴OE=12O∴AE=O∴AD∴AA如圖5，

當(dāng)A'在AD'的延長線上時，作OE⊥A由上知：AE=612，∴AD∴AA綜上所述：AA'=61【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，平行四邊形的判定，解直角三角形等知識，解決問題的關(guān)鍵是畫出圖象，分類討論．【題型10旋轉(zhuǎn)或軸對稱綜合題之面積問題】【例10】（2023·江蘇無錫·統(tǒng)考二模）如圖，將不是矩形的?ABCD繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)得到?AB(1)當(dāng)點(diǎn)B'落在邊BC上，且B'C'與邊①點(diǎn)D____C'D'上(填“在”或“②如果點(diǎn)B'、E分別為邊BC、CD的中點(diǎn)，求AB(2)當(dāng)點(diǎn)B'落在對角線AC上，且B'C'經(jīng)過邊AD的中點(diǎn)M時，設(shè)ABBC=x，S△A【答案】(1)①在；②3(2)y=【分析】（1）①先證明△BAB'∽△DAD'，得出∠AB'②設(shè)AB=2a，BC=2b，C'E=m，則ABBC=ab，利用△BAB'∽△DAD'求出DD'=b2a，繼而求出CD'=2a-b（2）依然設(shè)AB=2a，BC=2b，則x=ABBC=ab，作B'E⊥AD于E，AF⊥BC于F，證明△ABC∽△MB'A得到ACMA=BCB'【詳解】（1）解：①在，理由如下：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：AB=AB'，AD=AD∴∠BAB=∠DAD，AB∴△BA∴∠A又∵四邊形ABCD是平行四邊形，AB=A∴∠A又∵?ABCD繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)得到?AB∴∠A∴點(diǎn)D在C'故答案是：在；②設(shè)AB=2a，BC=2b，C'E=m，則

∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴CD=AB=2a，AD=BC=2b，又∵點(diǎn)B'、E分別為邊BC、CD∴BB'旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：AB=AB'，AD=AD'，∠BAD=∠BAD∴∠BAB=∠DAD，AB∴△BA∴ABAD=B∴D又∵?ABCD繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)得到?AB∴C'D'=CD=2a，∴CD∵∠C=∠C'，∴△∴B'E由am=由2b-ma=ab∴ma∴2ba-∴2b∴整理得：4a4∴4a2∴ab=當(dāng)ab

則C'E=m=∴B'∴∠C=60°，又∵AB∥CD，∴∠B=180°-∠C=120°，又∵AB=A∴∠B=∠AB∴∠B'AB=180°-∠B-∠A∴ab=（2）依然設(shè)AB=2a，BC=2b，則x=AB根據(jù)題意畫出圖形如下：作B'E⊥AD于E，AF⊥BC于∵B'C'經(jīng)過邊AD的中點(diǎn)∴AM=DM=b，由旋轉(zhuǎn)可知：∠B=∠AB'又∵AD∴∠ACB=∠MA∵∠B=∠AB’M，∠ACB=∠MA∴△ABC∽△M∴ACMA=∴AC=又∵∠ACB=∠MAB'，∴△ACF∽△∴ACB∴AFB'y=由AB'≤AC，即2a≤b2∴求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為y=12x2，【點(diǎn)睛】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，利用相似三角形對應(yīng)邊成比例求線段長是解題的關(guān)鍵．【變式10-1】（2023·吉林松原·統(tǒng)考二模）如圖，在Rt△ABC中，AB=8，∠ACB=90°，∠A=60°，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿AB向終點(diǎn)B運(yùn)動，當(dāng)點(diǎn)P不與點(diǎn)A、B重合時，作∠BPD=120°，邊PD交折線AC-CB于點(diǎn)D，作點(diǎn)A關(guān)于直線PD的對稱點(diǎn)為E，連接ED、EP得到△PDE，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動時間為t

(1)直接寫出線段PD的長（用含t的代數(shù)式表示）；(2)當(dāng)點(diǎn)E落在邊BC上時，求t的值；(3)設(shè)△PDE與△ABC重合部分圖形的面積為S，求S與t的函數(shù)關(guān)系式；(4)設(shè)M為AB的中點(diǎn)，N為ED的中點(diǎn)，連接MN，當(dāng)MN⊥AC時，直接寫出t的值．【答案】(1)當(dāng)0<t≤2時，PD=2t；當(dāng)2<t<4時，PD=8-2t(2)t=(3)S=(4)4【分析】（1）①當(dāng)0<t≤2時，證明△APD是等邊三角形，可得結(jié)論；②當(dāng)2<t<4時，由∠B=30°，∠BPD=120°，可得PD=PB=8-2t；（2）證明PB=2PE，由此構(gòu)建方程，可得結(jié)論；（3）分三種情形：如圖2中，當(dāng)0<t≤43時，重疊部分是△PDE，如圖3中，當(dāng)43<t≤2時，重疊部分是四邊形PDNM，如圖4中，當(dāng)（4）如圖5中，MN⊥AC時，PM=3【詳解】（1）解：∵AB=8，∴AC=1①當(dāng)0<t≤2時，∵∠BPD=120°，∴∠APD=180°-120°=60°，∵∠A=60°，∴△APD是等邊三角形，∴PD=AP=2t；②當(dāng)2<t<4時，如圖：

∵∠A=60°，∴∠B=30°，∵∠BPD=120°，∴∠B=∠PDB=30°，∴PD=PB=8-2t；綜上所述，當(dāng)0<t≤2時，PD=2t；當(dāng)2<t<4時，PD=8-2t；（2）解：如圖1中，

∵A，E關(guān)于PD對稱，∴△PED≌△PAD，∴PE=AP=2t，∠APD=∠EPD=60°，∴∠BPE=60°，∵∠C=90°，∠A=60°，∴∠B=30°，∴∠BEP=90°，∴BP=2PE=4t，∴AB=AP+BP=6t=8，∴t=4（3）解：如圖2中，當(dāng)0<t≤43時，重疊部分是△PDE，

如圖3中，當(dāng)43<t<2時，重疊部分是四邊形

∵∠B=30°，∠BPE=180°-∠APD-∠EPD=60°，∴∠BMP=90°=∠EMN，∴PM=1∴ME=PE-PM=2t-4-t∵∠E=∠A=60°，∴MN=3∴S===-7如圖4中，當(dāng)2≤t<4時，重疊部分是△PQD，

∵PQ=12BP=∴S=1綜上所述，S=3（4）解：如圖5中，MN⊥AC時，PM=3

∴4-2t=3∴t=4∴滿足條件的t的值為45【點(diǎn)睛】本題考查幾何變換綜合題，掌握直角三角形30度角的性質(zhì)，三角形的面積等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會用分類討論的思想解決問題，屬于中考壓軸題．【變式10-2】（2023·四川成都·模擬預(yù)測）如圖1，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=2，將線段AB繞點(diǎn)B逆時針旋轉(zhuǎn)得線段BD，旋轉(zhuǎn)角為α，連接CD．

(1)①若α=60°，則∠CDA=°；②若0<α<90°，求∠CDA的度數(shù)．(2)如圖2，當(dāng)0<α<90°時，過點(diǎn)B作BE⊥AD于點(diǎn)E，CD與BE相交于點(diǎn)F，請?zhí)骄烤€段CF與線段BE之間的數(shù)量關(guān)系；(3)當(dāng)0<α<360°時，作點(diǎn)A關(guān)于CD所在直線的對稱點(diǎn)A'，當(dāng)點(diǎn)A'在線段BC所在的直線上時，求△A【答案】(1)①45；②45°(2)CF=(3)4-22或【分析】（1）①由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得∠ADB=60°，由等腰三角形的性質(zhì)可求∠BDC=15°，即可求解；②由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)可求解；（2）由“AAS”可證△ABE≌△BCH，可得（3）分兩種情況討論，由勾股定理可求A'【詳解】（1）解：①∵將線段AB繞點(diǎn)B逆時針旋轉(zhuǎn)60°得線段BD，∴BD=AB，∠ABD=60°，∴△ABD是等邊三角形，∴∠ADB=60°，∵BD=BC，∠DBC=90°+60°=150°，∴∠BDC=∠BCD=15°，∴∠CDA=45°，故答案為：45；②∵將線段AB繞點(diǎn)B逆時針旋轉(zhuǎn)得線段BD，∴AB=BC=BD，∴∠BDC=∠BCD=180°-90°-∠ABD2，∴∠CDA=∠BDA-∠BDC=45°；（2）CF=2證：如圖2，過點(diǎn)C作CH⊥直線BE于H，

∵BE⊥AD，∠CDA=45°，∴∠EFD=45°=∠CFH，∵CH⊥FH，∴∠CFH=∠FCH=45°，∴△CFH是等腰直角三角形，∴CF=2∵∠AEB=∠ABC=90°，∴∠ABE+∠CBH=90°=∠CBH+∠BCH，∴∠ABE=∠BCH，又∵AB=BC，∠AEB=∠H=90°，∴△ABE≌∴BE=CH，∴CF=2（3）解：如圖3，當(dāng)點(diǎn)A'在點(diǎn)B

∵∠ABC=90°，AB=BC=2，∴AC=22∵點(diǎn)A關(guān)于CD所在直線的對稱點(diǎn)A'∴AC=A'C=22，∠ADC=∠A∴A'B=A∴A'∴S△A如圖4，當(dāng)點(diǎn)A'在點(diǎn)B的右側(cè)時，同理可求S

綜上所述：△AA'D的面積為4-2【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等知識，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．【變式10-3】（2023·江西·統(tǒng)考中考真題）問題提出：某興趣小組在一次綜合與實(shí)踐活動中提出這樣一個問題：將足夠大的直角三角板PEF∠P=90°,∠F=60°的一個頂點(diǎn)放在正方形中心O處，并繞點(diǎn)O逆時針旋轉(zhuǎn)，探究直角三角板PEF與正方形ABCD重疊部分的面積變化情況（已知正方形邊長為2(1)操作發(fā)現(xiàn)：如圖1，若將三角板的頂點(diǎn)P放在點(diǎn)O處，在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)OF與OB重合時，重疊部分的面積為__________；當(dāng)OF與BC垂直時，重疊部分的面積為__________；一般地，若正方形面積為S，在旋轉(zhuǎn)過程中，重疊部分的面積S1與S的關(guān)系為__________(2)類比探究：若將三角板的頂點(diǎn)F放在點(diǎn)O處，在旋轉(zhuǎn)過程中，OE,OP分別與正方形的邊相交于點(diǎn)M，N．①如圖2，當(dāng)BM=CN時，試判斷重疊部分△OMN的形狀，并說明理由；②如圖3，當(dāng)CM=CN時，求重疊部分四邊形OMCN的面積（結(jié)果保留根號）；(3)拓展應(yīng)用：若將任意一個銳角的頂點(diǎn)放在正方形中心O處，該銳角記為∠GOH（設(shè)∠GOH=α），將∠GOH繞點(diǎn)O逆時針旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過程中，∠GOH的兩邊與正方形ABCD的邊所圍成的圖形的面積為S2，請直接寫出S2的最小值與最大值（分別用含（參考數(shù)據(jù)：sin15°=【答案】(1)1,1，S(2)①△OMN是等邊三角形，理由見解析；②3(3)tan【分析】（1）如圖1，若將三角板的頂點(diǎn)P放在點(diǎn)O處，在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)OF與OB重合時，OE與OC重合，此時重疊部分的面積=△OBC的面積=14正方形ABCD的面積=1；當(dāng)OF與BC垂直時，OE⊥BC，重疊部分的面積=14正方形ABCD的面積=1；一般地，若正方形面積為S，在旋轉(zhuǎn)過程中，重疊部分的面積S1與S的關(guān)系為S1=1（2）①結(jié)論：△OMN是等邊三角形．證明OM=ON，可得結(jié)論；②如圖3中，連接OC，過點(diǎn)O作OJ⊥BC于點(diǎn)J．證明△OCM≌△OCN（SAS），推出∠COM=∠CON=30°，解直角三角形求出OJ，即可解決問題；（3）如圖4-1中，過點(diǎn)O作OQ⊥BC于點(diǎn)Q，當(dāng)BM=CN時，△OMN的面積最小，即S2最?。鐖D4-2中，當(dāng)CM=CN時，S2最大．分別求解即可．【詳解】（1）如圖1，若將三角板的頂點(diǎn)P放在點(diǎn)O處，在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)OF與OB重合時，OE與OC重合，此時重疊部分的面積=△OBC的面積=14正方形ABCD的面積=1當(dāng)OF與BC垂直時，OE⊥BC，重疊部分的面積=14正方形ABCD的面積=1一般地，若正方形面積為S，在旋轉(zhuǎn)過程中，重疊部分的面積S1與S的關(guān)系為S1=14S理由：如圖1中，設(shè)OF交AB于點(diǎn)J，OE交BC于點(diǎn)K，過點(diǎn)O作OM⊥AB于點(diǎn)M，ON⊥BC于點(diǎn)N．∵O是正方形ABCD的中心，∴OM=ON，∵∠OMB=∠ONB=∠B=90°，∴四邊形OMBN是矩形，∵OM=ON，∴四邊形OMBN是正方形，∴∠MON=∠EOF=90°，∴∠MOJ=∠NOK，∵∠OMJ=∠ONK=90°，∴△OMJ≌△ONK（AAS），∴S△PMJ=S△ONK，∴S四邊形OKBJ=S正方形OMBN=14S正方形ABCD∴S1=14S故答案為：1，1，S1=14S（2）①如圖2中，結(jié)論：△OMN是等邊三角形．理由：過點(diǎn)O作OT