統(tǒng)考版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第四章4.7解三角形應(yīng)用舉例課時作業(yè)理含解析

一輪復(fù)習(xí)精品資料(高中)PAGE1-課時作業(yè)25解三角形應(yīng)用舉例〖基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)〗一、選擇題1．如圖所示，為了測量某湖泊兩側(cè)A，B間的距離，李寧同學(xué)首先選定了與A，B不共線的一點C(△ABC的角A，B，C所對的邊分別記為a，b，c)，然后給出了三種測量方案：①測量A，C，b；②測量a，b，C；③測量A，B，a.則一定能確定A，B間的距離的所有方案的序號為()A．①②B．②③C．①③D．①②③2．〖2021·武漢三中月考〗如圖，兩座燈塔A和B與海岸觀察站C的距離相等，燈塔A在觀察站C南偏西40°方向上，燈塔B在觀察站C南偏東60°方向上，則燈塔A在燈塔B的()A．北偏東10°方向上B．北偏西10°方向上C．南偏東80°方向上D．南偏西80°方向上3．一艘船以每小時15km的速度向東航行，船在A處看到一個燈塔M在北偏東60°方向，行駛4h后，船到達(dá)B處，看到這個燈塔在北偏東15°方向，這時船與燈塔的距離為()A．15eq\r(2)kmB．30eq\r(2)kmC．45eq\r(2)kmD．60eq\r(2)km4．〖2021·河南豫西名校聯(lián)考〗當(dāng)太陽光與水平面的傾斜角為60°時，一根長為2m的竹竿如圖所示放置，要使安的影子最長，則竹竿與地面所成的角為()A．30°B．60°C．45°D．90°5．要測量底部不能到達(dá)的東方明珠電視塔的高度，在黃浦江西岸選擇甲、乙兩觀測點，在甲、乙兩點測得塔頂?shù)难鼋欠謩e為45°，30°，在水平面上測得電視塔與甲地連線及甲、乙兩地連線所成的角為120°，甲、乙兩地相距500m，則電視塔的高度是()A．100eq\r(2)mB．400mC．200eq\r(3)mD．500m二、填空題6.如圖所示，D，C，B三點在地面的同一條直線上，DC＝a，從C，D兩點測得A點的仰角分別為60°，30°，則A點離地面的高度AB＝________.7.如圖，為了測量兩座山峰上P，Q兩點之間的距離，選擇山坡上一段長度為300eq\r(3)m且和P，Q兩點在同一平面內(nèi)的路段AB的兩個端點作為觀測點，現(xiàn)測得∠PAB＝90°，∠PAQ＝∠PBA＝∠PBQ＝60°，則P，Q兩點間的距離為________m.8．〖2021·南昌市模擬〗已知臺風(fēng)中心位于城市A東偏北α(α為銳角)度的150公里處，以v公里/時沿正西方向快速移動，2.5小時后到達(dá)距城市A西偏北β(β為銳角)度的200公里處，若cos(α－β)＝eq\f(24,25)，則v＝________.三、解答題9．漁政船在東海某海域巡航，已知該船正以15eq\r(3)海里/時的速度向正北方向航行，該船在A點處時發(fā)現(xiàn)在北偏東30°方向的海面上有一個小島，繼續(xù)航行20分鐘到達(dá)B點，此時發(fā)現(xiàn)該小島在北偏東60°方向上，若該船向正北方向繼續(xù)航行，船與小島的最小距離為多少海里？10.已知在東西方向上有M，N兩座小山，山頂各有一個發(fā)射塔A，B，塔頂A，B的海拔高度分別為AM＝100米和BN＝200米，一測量車在小山M的正南方向的點P處測得發(fā)射塔頂A的仰角為30°，該測量車向北偏西60°方向行駛了100eq\r(3)米后到達(dá)點Q，在點Q處測得發(fā)射塔頂B處的仰角為θ，且∠BQA＝θ，經(jīng)測量tanθ＝2，求兩發(fā)射塔頂A，B之間的距離．〖能力挑戰(zhàn)〗11．〖2021·江西南昌模擬〗如圖，D是△ABC邊AC上的一點，△BCD的面積是△ABD面積的2倍，∠CBD＝2∠ABD＝2θ.(1)若θ＝eq\f(π,6)，求eq\f(sinA,sinC)的值；(2)若BC＝4，AB＝2eq\r(2)，求邊AC的長．課時作業(yè)251．〖解析〗知兩角一邊可用正弦定理解三角形，故方案①③可以確定A，B間的距離，知兩邊及其夾角可用余弦定理解三角形，故方案②可以確定A，B間的距離．〖答案〗D2．〖解析〗由條件及題圖可知，∠A＝∠ABC＝40°，因為∠BCD＝60°，所以∠CBD＝30°，所以∠DBA＝10°，因此燈塔A在燈塔B南偏西80°方向上．〖答案〗D3．〖解析〗如圖所示，依題意有AB＝15×4＝60，∠DAC＝60°，∠CBM＝15°，所以∠MAB＝30°，∠AMB＝45°.在△AMB中，由正弦定理得eq\f(60,sin45°)＝eq\f(BM,sin30°)，解得BM＝30eq\r(2).故選B項〖答案〗B4．〖解析〗設(shè)竹竿與地面所成的角為α，影子長為xm．由正弦定理得eq\f(2,sin60°)＝eq\f(x,sin120°－α)，所以x＝eq\f(4\r(3),3)sin(120°－α)，因為30°<120°－α<120°，所以當(dāng)120°－α＝90°，即α＝30°時，x有最大值．故竹竿與地面所成的角為30°時，影子最長．故選A項．〖答案〗A5．〖解析〗由題意畫出示意圖，設(shè)塔高AB＝hm，在Rt△ABC中，由已知得BC＝hm，在Rt△ABD中，由已知得BD＝eq\r(3)hm，在△BCD中，由余弦定理BD2＝BC2＋CD2－2BC·CDcos∠BCD，得3h2＝h2＋5002＋h·500，解得h＝500m．故選D項．〖答案〗D6．〖解析〗由已知∠DAC＝30°，△ADC為等腰三角形，AD＝eq\r(3)a，所以在Rt△ADB中，AB＝eq\f(1,2)AD＝eq\f(\r(3),2)a.〖答案〗eq\f(\r(3),2)a7．〖解析〗由已知，得∠QAB＝∠PAB－∠PAQ＝30°.又∠PBA＝∠PBQ＝60°，∴∠AQB＝30°，∴AB＝BQ.又PB為公共邊，∴△PAB≌△PQB，∴PQ＝PA.在Rt△PAB中，AP＝AB·tan60°＝900(m)，故PQ＝900m，∴P，Q兩點間的距離為900m.〖答案〗9008．〖解析〗如圖所示，AB＝150，AC＝200，根據(jù)題意可知∠B＝α，∠C＝β，因為cos(α－β)＝eq\f(24,25)，所以sin(α－β)＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(24,25)))2)＝eq\f(7,25).在三角形ABC中，由正弦定理eq\f(AB,sinC)＝eq\f(AC,sinB)，得eq\f(150,sinβ)＝eq\f(200,sinα)，得4sinβ＝3sinα，所以4sinβ＝3sin〖β＋(α－β)〗＝3〖sinβcos(α－β)＋cosβsin(α－β)〗＝3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(24,25)sinβ＋\f(7,25)cosβ))，整理得4sinβ＝3cosβ.又sin2β＋cos2β＝1，所以sinβ＝eq\f(3,5)，進(jìn)而sinα＝eq\f(4,5)，所以有sin2α＋sin2β＝1，所以α＝90°－β，所以∠BAC＝180°－(α＋β)＝90°，所以BC＝eq\r(AB2＋AC2)＝eq\r(1502＋2002)＝250，故v＝eq\f(250,2.5)＝100.〖答案〗1009．〖解析〗根據(jù)題意畫出相應(yīng)的圖形，如圖所示，過C作CD⊥AD于點D，由題意得：AB＝eq\f(20,60)×15eq\r(3)＝5eq\r(3)(海里)因為∠A＝30°，∠CBD＝60°，所以∠BCA＝30°，則△ABC為等腰三角形，所以BC＝5eq\r(3).在△BCD中，因為∠CBD＝60°，CD⊥AD，BC＝5eq\r(3)，所以CD＝eq\f(15,2)，則該船向北繼續(xù)航行，船與小島的最小距離為7.5海里．10．〖解析〗在Rt△AMP中，∠APM＝30°，AM＝100，所以PM＝100eq\r(3)，連接QM，在△PQM中，∠QPM＝60°，又PQ＝100eq\r(3)，所以△PQM為等邊三角形，所以QM＝100eq\r(3).在Rt△AMQ中，由AQ2＝AM2＋QM2，得AQ＝200.在Rt△BNQ中，tanθ＝2，BN＝200，所以BQ＝100eq\r(5)，cosθ＝eq\f(\r(5),5).在△BQA中，BA2＝BQ2＋AQ2－2BQ·AQcosθ＝(100eq\r(5))2，所以BA＝100eq\r(5).即兩發(fā)射塔頂A，B之間的距離是100eq\r(5)米．11．〖解析〗因為△BCD的面積是△ABD面積的2倍，∠CBD＝2∠ABD＝eq\f(π,3)，所以eq\f(1,2)BC·BDsineq\f(π,3)＝2×eq\f(1,2)BA·BDsineq\f(π,6)，所以eq\f(BC,BA)＝eq\f(2,\r(3))，則eq\f(sinA,sinC)＝eq\f(2,\r(3))＝eq\f(2\r(3),3).(2)因為eq\f(1,2)BC·BDsin2θ＝2×eq\f(1,2)BA·BDsinθ，所以4×2sinθcosθ＝2×2eq\r(2)sinθ，又sinθ>0，所以cosθ＝eq\f(\r(2),2)，所以θ＝eq\f(π,4)，∠ABC＝3θ＝eq\f(3π,4)，所以AC2＝16＋8－2×4×2eq\r(2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)))＝40，所以AC＝2eq\r(10).課時作業(yè)25解三角形應(yīng)用舉例〖基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)〗一、選擇題1．如圖所示，為了測量某湖泊兩側(cè)A，B間的距離，李寧同學(xué)首先選定了與A，B不共線的一點C(△ABC的角A，B，C所對的邊分別記為a，b，c)，然后給出了三種測量方案：①測量A，C，b；②測量a，b，C；③測量A，B，a.則一定能確定A，B間的距離的所有方案的序號為()A．①②B．②③C．①③D．①②③2．〖2021·武漢三中月考〗如圖，兩座燈塔A和B與海岸觀察站C的距離相等，燈塔A在觀察站C南偏西40°方向上，燈塔B在觀察站C南偏東60°方向上，則燈塔A在燈塔B的()A．北偏東10°方向上B．北偏西10°方向上C．南偏東80°方向上D．南偏西80°方向上3．一艘船以每小時15km的速度向東航行，船在A處看到一個燈塔M在北偏東60°方向，行駛4h后，船到達(dá)B處，看到這個燈塔在北偏東15°方向，這時船與燈塔的距離為()A．15eq\r(2)kmB．30eq\r(2)kmC．45eq\r(2)kmD．60eq\r(2)km4．〖2021·河南豫西名校聯(lián)考〗當(dāng)太陽光與水平面的傾斜角為60°時，一根長為2m的竹竿如圖所示放置，要使安的影子最長，則竹竿與地面所成的角為()A．30°B．60°C．45°D．90°5．要測量底部不能到達(dá)的東方明珠電視塔的高度，在黃浦江西岸選擇甲、乙兩觀測點，在甲、乙兩點測得塔頂?shù)难鼋欠謩e為45°，30°，在水平面上測得電視塔與甲地連線及甲、乙兩地連線所成的角為120°，甲、乙兩地相距500m，則電視塔的高度是()A．100eq\r(2)mB．400mC．200eq\r(3)mD．500m二、填空題6.如圖所示，D，C，B三點在地面的同一條直線上，DC＝a，從C，D兩點測得A點的仰角分別為60°，30°，則A點離地面的高度AB＝________.7.如圖，為了測量兩座山峰上P，Q兩點之間的距離，選擇山坡上一段長度為300eq\r(3)m且和P，Q兩點在同一平面內(nèi)的路段AB的兩個端點作為觀測點，現(xiàn)測得∠PAB＝90°，∠PAQ＝∠PBA＝∠PBQ＝60°，則P，Q兩點間的距離為________m.8．〖2021·南昌市模擬〗已知臺風(fēng)中心位于城市A東偏北α(α為銳角)度的150公里處，以v公里/時沿正西方向快速移動，2.5小時后到達(dá)距城市A西偏北β(β為銳角)度的200公里處，若cos(α－β)＝eq\f(24,25)，則v＝________.三、解答題9．漁政船在東海某海域巡航，已知該船正以15eq\r(3)海里/時的速度向正北方向航行，該船在A點處時發(fā)現(xiàn)在北偏東30°方向的海面上有一個小島，繼續(xù)航行20分鐘到達(dá)B點，此時發(fā)現(xiàn)該小島在北偏東60°方向上，若該船向正北方向繼續(xù)航行，船與小島的最小距離為多少海里？10.已知在東西方向上有M，N兩座小山，山頂各有一個發(fā)射塔A，B，塔頂A，B的海拔高度分別為AM＝100米和BN＝200米，一測量車在小山M的正南方向的點P處測得發(fā)射塔頂A的仰角為30°，該測量車向北偏西60°方向行駛了100eq\r(3)米后到達(dá)點Q，在點Q處測得發(fā)射塔頂B處的仰角為θ，且∠BQA＝θ，經(jīng)測量tanθ＝2，求兩發(fā)射塔頂A，B之間的距離．〖能力挑戰(zhàn)〗11．〖2021·江西南昌模擬〗如圖，D是△ABC邊AC上的一點，△BCD的面積是△ABD面積的2倍，∠CBD＝2∠ABD＝2θ.(1)若θ＝eq\f(π,6)，求eq\f(sinA,sinC)的值；(2)若BC＝4，AB＝2eq\r(2)，求邊AC的長．課時作業(yè)251．〖解析〗知兩角一邊可用正弦定理解三角形，故方案①③可以確定A，B間的距離，知兩邊及其夾角可用余弦定理解三角形，故方案②可以確定A，B間的距離．〖答案〗D2．〖解析〗由條件及題圖可知，∠A＝∠ABC＝40°，因為∠BCD＝60°，所以∠CBD＝30°，所以∠DBA＝10°，因此燈塔A在燈塔B南偏西80°方向上．〖答案〗D3．〖解析〗如圖所示，依題意有AB＝15×4＝60，∠DAC＝60°，∠CBM＝15°，所以∠MAB＝30°，∠AMB＝45°.在△AMB中，由正弦定理得eq\f(60,sin45°)＝eq\f(BM,sin30°)，解得BM＝30eq\r(2).故選B項〖答案〗B4．〖解析〗設(shè)竹竿與地面所成的角為α，影子長為xm．由正弦定理得eq\f(2,sin60°)＝eq\f(x,sin120°－α)，所以x＝eq\f(4\r(3),3)sin(120°－α)，因為30°<120°－α<120°，所以當(dāng)120°－α＝90°，即α＝30°時，x有最大值．故竹竿與地面所成的角為30°時，影子最長．故選A項．〖答案〗A5．〖解析〗由題意畫出示意圖，設(shè)塔高AB＝hm，在Rt△ABC中，由已知得BC＝hm，在Rt△ABD中，由已知得BD＝eq\r(3)hm，在△BCD中，由余弦定理BD2＝BC2＋CD2－2BC·CDcos∠BCD，得3h2＝h2＋5002＋h·500，解得h＝500m．故選D項．〖答案〗D6．〖解析〗由已知∠DAC＝30°，△ADC為等腰三角形，AD＝eq\r(3)a，所以在Rt△ADB中，AB＝eq\f(1,2)AD＝eq\f(\r(3),2)a.〖答案〗eq\f(\r(3),2)a7．〖解析〗由已知，得∠QAB＝∠PAB－∠PAQ＝30°.又∠PBA＝∠PBQ＝60°，∴∠AQB＝30°，∴AB＝BQ.又PB為公共邊，∴△PAB≌△PQB，∴PQ＝PA.在Rt△PAB中，AP＝AB·tan60°＝900(m)，故PQ＝900m，∴P，Q兩點間的距離為900m.〖答案〗9008．〖解析〗如圖所示，AB＝150，AC＝200，根據(jù)題意可知∠B＝α，∠C＝β，因為cos(α－β)＝eq\f(24,25)，所以sin(α－β)＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(24,25)))2)＝eq\f(7,25).在三角形ABC中，由正弦定理eq\f(AB,sinC)＝eq\f(AC,sinB)，得eq\f(150,sinβ)＝eq\f(200,sinα)，得4sinβ＝3sinα，所以4sinβ＝3sin〖β＋(α－β)〗＝3〖sinβcos(α－β)＋cosβsin(α－β)〗＝3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(24,25)sinβ＋\f(7,25)cosβ))，整理得4sinβ＝3cosβ.又sin2β＋cos2β＝1，所以sinβ＝eq\f(3,5)，進(jìn)而sinα＝eq\f(4,5)，所以有sin2α＋sin2β＝1，所以α＝90°－β，所以∠BAC＝180°－(α＋β)＝90°，所以BC＝eq\r(AB2＋AC2)＝eq\r(1502＋2002)＝250，故v＝eq\f(250,2.5)＝100.〖答案〗1009．〖解析〗根據(jù)題意畫出相應(yīng)的圖形，如圖所示，過C作CD⊥AD于點D，由題意得：AB＝eq\f(20,60)×15eq\r(3)＝5eq\r(3)(海里)因為∠A＝30°，∠CBD＝60°，所以∠BCA＝30°，則△ABC為等腰三角形，所以BC＝5eq\r(3).在△BCD中，因為∠CBD＝60°，CD⊥AD，BC＝5e