高中數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)及公式

,中敷學(xué)加鈔點(diǎn)總儲(chǔ)

1.對(duì)于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“確定性、互異性、無(wú)序性”。

如：集合A={xly=Igx},B={yly=Igx},C={（x,y）ly=Igx},A、B、C

中元素各表示什么？

2.進(jìn)行集合的交、并、補(bǔ)運(yùn)算時(shí)，不要忘記集合本身和空集0的特殊情況。

注重借助于數(shù)軸和文氏圖解集合問(wèn)題。

空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集

如：集合A=卜庶-2x-3=。},B={xlax=1）

若BuA,則實(shí)數(shù)a的值構(gòu)成的集合為

3.注意下列性質(zhì)：

（1）集合%,a2,……,aj的所有子集的個(gè)數(shù)是2、

（2）若AqB=AnB=A,AUB=B；

（3）德摩根定律：

Cu（AUB）=（CuA）n（CuB）,Cu（AnB）=（CuA）U（CuB）

4.你會(huì)用補(bǔ)集思想解決問(wèn)題嗎？（排除法、間接法）

如：已知關(guān)于x的不等式當(dāng)B<0的解集為M,若3eM且5￡M,求實(shí)數(shù)a

x-a

的取值范圍。

a?3-5

(V3eM,I.「一<0

32-a

=>ae

5.可以判斷真假的語(yǔ)句叫做命題，邏輯連接詞有“或"（v）,"且"（△）和

“非”㈠.

若p^q為真，當(dāng)且僅當(dāng)p、q均為真

若pvq為真，當(dāng)且僅當(dāng)p、q至少有一個(gè)為真

若「p為真，當(dāng)且僅當(dāng)p為假

6.命題的四種形式及其相互關(guān)系是什么？

(互為逆否關(guān)系的命題是等價(jià)命題。)

原命題與逆否命題同真、同假；逆命題與否命題同真同假。

7.對(duì)映射的概念了解嗎？映射f：A-B,是否注意到A中元素的任意性和B中與之對(duì)應(yīng)元素的唯一性,

哪幾種對(duì)應(yīng)能構(gòu)成映射？

(一對(duì)一，多對(duì)一，允許B中有元素?zé)o原象。)

8.函數(shù)的三要素是什么？如何比較兩個(gè)函數(shù)是否相同？

(定義域、對(duì)應(yīng)法則、值域)

9.求函數(shù)的定義域有哪些常見(jiàn)類型？

例：函數(shù)y=儂三2的定義域是

lg(x-3)-

(答:(0,2)U(2,3)U(3,4))

10.如何求復(fù)合函數(shù)的定義域？

如：函數(shù)f(x)的定義域是[a,b],b>-a>0,則函數(shù)F(x)=f(x)+f(-x)的定

義域是o

(答：[a,-a])

11.求一個(gè)函數(shù)的解析式或一個(gè)函數(shù)的反函數(shù)時(shí)，注明函數(shù)的定義域了嗎？

如：f(jx+1)=e*+x,求f(x).

令1=Jx+1,則tNO

/.x=t2-1

.,.f(t)=e,2-'+t2-1

.,.f(x)=ex2-1+x2-l(x>0)

12.反函數(shù)存在的條件是什么？

(---對(duì)應(yīng)函數(shù))

求反函數(shù)的步驟掌握了嗎？

(①反解x：②互換x、y；③注明定義域)

,fl+x(x>0),,

如：求函數(shù)f(x)=4J的反函數(shù)

卜X?(X<0)

x-1(x>1)

(答：fT(X)=\

-J-x(x<0)

13.反函數(shù)的性質(zhì)有哪些？

①互為反函數(shù)的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱；

②保存了原來(lái)函數(shù)的單調(diào)性、奇函數(shù)性；

③設(shè)y=f(x)的定義域?yàn)锳,值域?yàn)镃,aeA,beC,則f(a)=bof'b)=a

f-1[f(a)]=L(b)=a,f[f'(b)]=f(a)=b

14.如何用定義證明函數(shù)的單調(diào)性？

(取值、作差、判正負(fù))

如何判斷復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性？

(y=f(u),u=(p(x),貝Uy=f[(p(x)]

(外層)(內(nèi)層)

當(dāng)內(nèi)、外層函數(shù)單調(diào)性相同時(shí)f[(p(x)]為增函數(shù)，否則f[(p(x)]為減函數(shù)。)

如：求y=log](-x?+2x)的單調(diào)區(qū)間

(設(shè)u=-x2+2x,由u>0則0<x<2

且u=-(x-1)2+1,如圖：

2x

當(dāng)xe(0,1]時(shí)，uT,又.，.yJ

當(dāng)xw[l,2)時(shí)，uJ,又AyT

......)

15.如何利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性？

在區(qū)間(a,b)內(nèi)，若總有f'(x)N0則f(x)為增函數(shù)。(在個(gè)別點(diǎn)上導(dǎo)數(shù)等于

零，不影響函數(shù)的單調(diào)性),反之也對(duì)，若f<x)M0呢？

如：已知a>0,函數(shù)f(x)=x，-ax在[1,+8)上是單調(diào)增函數(shù)，則a的最大

值是()

A.0B.1C.2D.3

2

(令f'(x)=3x—a=3(x+Ap->0

則X"JI或xzjf

由已知f(x)在［1,+8)上為增函數(shù)，則BPa<3

；.a的最大值為3)

16.函數(shù)f(x)具有奇偶性的必要(非充分)條件是什么？

(f(x)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱)

若f(-x)=-f(x)總成立。f(x)為奇函數(shù)。函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱

若f(-x)=f(x)總成立=f(x)為偶函數(shù)o函數(shù)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱

注意如下結(jié)論：

(1)在公共定義域內(nèi)：兩個(gè)奇函數(shù)的乘積是偶函數(shù)；兩個(gè)偶函數(shù)的乘積是偶函數(shù)；一個(gè)偶函數(shù)與奇

函數(shù)的乘積是奇函數(shù)。

(2)若f(x)是奇函數(shù)且定義域中有原點(diǎn)，則f(0)=0。

如：若詢二三片為奇函數(shù)，則實(shí)數(shù)”一

(,.,f(x)為奇函數(shù)，xeR,又OeR,.*.f(0)=0

2X

又如:f(x)為定義在(-1,1)上的奇函數(shù),當(dāng)X€(0,1)時(shí)，f(x)==

44

求f(x)在(-1,1)上的解析式。

2-x

(令XW(—1,0),貝|J-XE(O,1),f(-x)=—_-

又f(x)為奇函數(shù)，.?.f(x)=-g7=-二

4'+11+4

'_rX€（-1,

4X4-X=0

又f(0)=0,.?.f(x)=《

2X

X￡（0,1）

4+i

17.你熟悉周期函數(shù)的定義嗎？

(若存在實(shí)數(shù)T(TWO),在定義域內(nèi)總有f(x+T)=f(x),則f(x)為周期

函數(shù)，T是一個(gè)周期。)

如:若f(x+a)=_f(x),則

(答：f(x)是周期函數(shù)，T=2a為f(x)的一個(gè)周期)

又如：若f(x)圖象有兩條對(duì)稱軸x=a,x=b(<=>)

即f(a+x)=f(a-x),f(b+x)=f(b-x)

則f(x)是周期函數(shù)，2|a-b|為一個(gè)周期

如：

18.你掌握常用的圖象變換了嗎？

f(x)與f(-x)的圖象關(guān)于出_對(duì)稱

f(x)與-f(x)的圖象關(guān)于)也對(duì)稱

f(x)與-f(-x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱

f(x)與fT(x)的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱

f(x)與f(2a-x)的圖象關(guān)于直線x=a對(duì)稱

f(x)與-f(2a-x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a,0)對(duì)稱

左移a(a>0)個(gè)單位)y=f(x+a)

將y=f(x)圖象

右移a(a>0)個(gè)單位y=f(x-a)

上移b(b>0)個(gè)單位)y=f(x+a)+b

下移b(b>0)個(gè)單位y=f(x+a)-b

注意如下“翻折”變換：

f(x)—>|f(x)|

f(x)——>f(lxl)

如：f(x)=log2(x+l)

作出y=|log2(x+1)|及y=噢2卜+1|的圖象

19.你熟練掌握常用函數(shù)的圖象和性質(zhì)了嗎？

(1)一次函數(shù)：y=kx+b(kwO)

kk、

（2）反比例函數(shù):丫=工化#0）推廣為丫=6+——化。0）是中心0,9，b）

xx-a

的雙曲線。

22

axA4ac-b

(3)二次函數(shù)丫=ax?+bx+c(awO)++-圖--象---為拋物線

I2a,4a

頂點(diǎn)坐標(biāo)為（一卷，?！叮?，對(duì)稱軸x=T

.十皿4ac-b2

開(kāi)口方向：a>0,向上，函數(shù)ymin=-；—

,4ac-b2

a<o,向下，丫…^-

應(yīng)用：①“三個(gè)二次”（二次函數(shù)、二次方程、二次不等式）的關(guān)系——二次方程

ax2+bx+c=0,△>（）時(shí)，兩根X］、X2為二次函數(shù)y=ax?+bx+c的圖象與x軸

的兩個(gè)交點(diǎn)，也是二次不等式ax?+bx+c>0(<0)解集的端點(diǎn)值。

②求閉區(qū)間［m,n］上的最值。

③求區(qū)間定(動(dòng))，對(duì)稱軸動(dòng)(定)的最值問(wèn)題。

④一元二次方程根的分布問(wèn)題。

A>0

b,

如：二次方程ax?+bx+c=0的兩根都大于ko<----->k

2a

f(k)>0

一根大于k,一根小于kof(k)<0

(4)指數(shù)函數(shù)：y=ax(a>0,awl)

(5)對(duì)數(shù)函數(shù)y=log；,x(a〉0,ah1)

由圖象記性質(zhì)!

(6)“對(duì)勾函數(shù)”y

利用它的單調(diào)性求最值與利用均值不等式求最值的區(qū)別是什么？

20.你在基本運(yùn)算上常出現(xiàn)錯(cuò)誤嗎？

指數(shù)運(yùn)算：a°=l(aw0),a-P=4(awO)

ap

a?=Va^(a>0),a-7=-=(a>0)

Vam

對(duì)數(shù)運(yùn)算：logaM?N=logaM+logaN(M>0,N>0)

loga^=logaM-logaN,loga=-logaM

Nn

對(duì)數(shù)恒等式:a嚙x=x

10gcbn

對(duì)數(shù)換底公式：logab==>log,nb=—logab

logcaam

21.如何解抽象函數(shù)問(wèn)題？

(賦值法、結(jié)構(gòu)變換法)

如：(1)xeR,f(x)滿足f(x+y)=f(x)+f(y),證明f(x)為奇函數(shù)。

(先令x=y=0=f(0)=0再令y=-x,...)

(2)xeR,f(x)滿足f(xy)=f(x)+f(y),證明f(x)是偶函數(shù)。

(先令x=y=-t=>f[(-t)(-t)]=f(t?t)

Af(-t)+f(-t)=f(t)+f(t)

.??f(-t)=f(t)……)

(3)證明單調(diào)性：fix?)="卜2-xj+x2]=...

22.掌握求函數(shù)值域的常用方法了嗎？

(二次函數(shù)法(配方法)，反函數(shù)法，換元法，均值定理法，判別式法，利用函數(shù)單調(diào)性法，導(dǎo)數(shù)法

等。)

如求下列函數(shù)的最值：

(1)y=2x-3+J13-4x

2A/X-4

(2)y=^77

22

(3)x>3,y=^X~

x-3

(4)y=x+4+j9-x2(設(shè)x=3cos。,0G[0,兀])

9

(5)y=4x+—,xG(0,1]

x

23.你記得弧度的定義嗎？能寫出圓心角為Q,半徑為R的弧長(zhǎng)公式和扇形面積公式嗎？

(/=同?R,S扇=$?R=；|a|?R2)

24.熟記三角函數(shù)的定義，單位圓中三角函數(shù)線的定義

sina=MP,cosa=OM,tana=AT

rr

如：若--<0<0,則sin。，cos0,tan。的大小順序是

8

乂如：求函數(shù)y=的定義域和值域。

(*/1-y/2co(]-x))=1-V2sinx>0

?，?sinx<——，如圖:

2

/.2k兀<x<2k兀+；(k￡Z),0<y<Jl+血

25.你能迅速畫出正弦、余弦、正切函數(shù)的圖象嗎？并由圖象寫出單調(diào)區(qū)間、對(duì)稱點(diǎn)、對(duì)稱軸嗎?

|sinx|<1,|cosx|<1

對(duì)稱點(diǎn)為(喙0),keZ

y=sinx的增區(qū)間為2kji--|-,2kjr+-|-(kGZ)

減區(qū)間為2k"安2kn+—(keZ)

2

圖象的對(duì)稱點(diǎn)為(km0),對(duì)稱軸為*=卜兀+］化€2)

y=cosx的增區(qū)間為［2k7i,2ku+兀］(kGZ)

減區(qū)間為［2k兀+兀，2k兀+2可(ksZ)

圖象的對(duì)稱點(diǎn)為卜兀+^,oj,對(duì)稱軸為二旦也芻

y=tanx的增區(qū)間為［k兀一］■,k兀+以kcZ

26.正弦型函數(shù)y=Asin(cox+(p)的圖象和性質(zhì)要熟記。［或y=Acos(①x+叫

27c

(1)振幅IAI,周期T=f

Icol

若f(x0)=±A,則x=x0為對(duì)稱軸。

若f(x0)=0,則(x0,0)為對(duì)稱點(diǎn)，反之也對(duì)。

(2)五點(diǎn)作圖：令cox+(p依次為0,T，兀，~?2兀，求出x與y,依點(diǎn)

(x,y)作圖象。

(3)根據(jù)圖象求解析式。(求A、①、中值)

CD(X])+(p=0

如圖列出71

co(x2)+(p=

2

解條件組求(0、(P值

兀

△正切型函數(shù)y=Atan(①x+(p),T=—

Icol

27.在三角函數(shù)中求一個(gè)角時(shí)要注意兩個(gè)方面——先求出某一個(gè)三角函數(shù)值，再判定角的范圍。

COS(X+V也

如:TX€71,T,求*值。

/??3兀:E<x+—71<5兀j?715兀

(?兀<x<—,??XH-----=------

26636412

28.在解含有正、余弦函數(shù)的問(wèn)題時(shí)，你注意(到)運(yùn)用函數(shù)的有界性了嗎？

如：函數(shù)y=sinx+sinlxl的值域是

(xNOR寸，y=2sinxe[-2,2],x<0時(shí)，y=0,.*.yG[-2,2])

29.熟練掌握三角函數(shù)圖象變換了嗎？

(平移變換、伸縮變換)

平移公式：

(1)點(diǎn)P(x,y)J=(h，k)>p,x'=x+h

(X',y'),則<

平移至y,-y+k

(2)曲線f(x,丫)=0沿向量；=(%k)平移后的方程為f(x-h,y-k)=0

如：函數(shù)y=2sin(2x--1的圖象經(jīng)過(guò)怎樣的變換才能得到y(tǒng)=sinx的

圖象？

(y=2sin(2x-^)-1橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍>y=2sinklx)一升1

2sin(x—：J_l

縱坐標(biāo)縮短到原來(lái)的！倍

--------------------------------->y=sinx)

30.熟練掌握同角三角函數(shù)關(guān)系和誘導(dǎo)公式了嗎？

如：1=sin2a+cos2a=sec2a-tan2a=tana?cota=cosa?seca=tan—

4

IT

=sin—=cosO=.......稱為1的代換。

2

“k-三土a”化為a的三角函數(shù)——“奇變，偶不變，符號(hào)看象限”，

2

“奇”、“偶”指k取奇、偶數(shù)。

如：cos?+tan(|一1)+sin⑵兀)

sina+tana

又如：函數(shù)y，則y的值為

cosa+cota

A.正值或負(fù)值B.負(fù)值C.非負(fù)值D.正值

.sina

sina+sin2afcosa+1)

(y=cosa=―-----------(>0,Va^O)

cosacosa(sina+1)

cosa+--

sina

31.熟練掌握兩角和、差、倍、降嘉公式及其逆向應(yīng)用了嗎？

理解公式之間的聯(lián)系：

sin(a±p)=sinacos0±cosasinP——“二口―sin2a=2sinacosa

cos(a±p)=cosacosp+sinasinp——籍。二)cos2a=cos2a-sin2a

tana±tanp

tan(a±P)=2cos2a-1=l-2sin2a=>

1+tana?tanp

21+cos2a

V八cos**a=-------------

32tana2

tan2a=--------；-

1-tan-a.1-cos2a

sirT2a=-------------

2

b

asina+bcosa=Va2+b2sin(a+(p),tancp=—

a

71

sina+cosa=V2sinlot+-

sina+V3cosa=2sin[a+]

應(yīng)用以上公式對(duì)三角函數(shù)式化簡(jiǎn)。(化簡(jiǎn)要求：項(xiàng)數(shù)最少、函數(shù)種類最少，分母中不含三角函數(shù)，能

求值，盡可能求值。)

具體方法：

(1)角的變換：如p=(a+B)-a,=(a-一(5一...

(2)名的變換：化弦或化切

(3)次數(shù)的變換：升、降基公式

(4)形的變換：統(tǒng)一函數(shù)形式，注意運(yùn)用代數(shù)運(yùn)算。

如：已知；nac：a=八tan(a-p)=-1-,求tan隼一2a)的值。

sinacosacosa1.1

(由已知得:-------------=---------=1,?.tana=—

2sina2sina2

7

又tan(B—a)=§

2_2

tan(-2a)=tan[(-a)-a]含篙北。

PP=

32.正、余弦定理的各種表達(dá)形式你還記得嗎？如何實(shí)現(xiàn)邊、角轉(zhuǎn)化，而解斜三角形?

余弦定理：a2=b2+c2-2bccosA=cosA=+C-----—

2bc

（應(yīng)用：已知兩邊一夾角求第三邊；已知三邊求角。）

a=2RsinA

正弦定理：--—=—-—=--—=2Ro<b=2RsinB

sinAsinBsinC

c=2RsinC

S=-a?bsinC

A△2

?.?A+B+C=7l,/.A4-B=71—C

C

sin(A+B)=sinC,sin)；=cos—

2

A+B

如AABC中,2sin2--------+cos2C=l

2

（1）求角C；

c2

(2)若a?=b2+—，求cos2A-cos2B的值。

2

((1)由已知式得：1-COS(A+B)+2COS2C-1=1

又A+B=兀一C,/.2cos2C+cosC-1=0

I.cosC=L或cosC=-1(舍)

2

X0<C<K,:.c=-

3

(2)由正弦定理及a2=b2+、2得：

2

2sin2A-2sin2B=sin2C=sin2—=—

34

3

1—cos2A—1+cos2B——

4

3、

/.cos2A-cos2B=——)

4

33.用反三角函數(shù)表示角時(shí)要注意角的范圍。

反正弦：arcsinxG--,—,xe[-L1]

L22.

反余弦：arccosxG[0,兀卜x￡卜1,1]

反正切：arctanxw(一微，，，(xGR)

34.不等式的性質(zhì)有哪些？

c>0=>ac>be

(1)a>b,

c<0=>ac<be

(2)a>b,c>d=>a+c>b+d

(3)a>b>0,c>d>0=>ac>bd

八

(4)a>ib>0n—1<1一,a<b1<0=c>—l>i—

abab

(5)a>b>0=>an>bn,Va>Vb

(6)Ixl<a(a>0)-a<x<a,lxl>a<=>x<-a或x>a

如：若!<L<(),則下列結(jié)論不正確的是()

ab

A.a2<b2B.ab<b2

ob

C.lal+lbl>la+blD.-+->2

ba

答案：C

35.利用均值不等式：

a2+b2>2ab(a,ba+b>2Vab；abW；b)求最值時(shí)，你是否注

意到“a,beR+”且“等號(hào)成立”時(shí)的條件,積(ab)或和(a+b)其中之一為定

值？(一正、二定、三相等)

注意如下結(jié)論：

a+br—2ab/,「\

>------>Vab>-------(a,beR)

2a+bv+/

當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)等號(hào)成立。

a2+b2+c2>ab+be+ca(a,beR)

當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)取等號(hào)。

a>b>0,m>0,n>0,則

bb+m.a+na

—<----<1<----<—

aa+mb+nb

4

如：若x>0,2-3x--的最大值為

x

(設(shè)y=2—(3x+&)<2—2厄=2—4g

當(dāng)且僅當(dāng)3x=±,又x〉0,.”=處時(shí)，7^=2-473)

又如：x+2y=l,則2*+4丫的最小值為

(V2X+22y>272x+2y=2A/F,.?.最小值為2后)

36.不等式證明的基本方法都掌握了嗎？

(比較法、分析法、綜合法、數(shù)學(xué)歸納法等)

并注意簡(jiǎn)單放縮法的應(yīng)用。

如：證明]H---H---+…■)..-<2

2232n2

111,111

(IdkH7+...........7<]-I-----------1-----------F........+7-------\-

2232n21x22x3(n-l)n

,11111

14-1——+---++-------

223n-1n

2--<2)

n

37.解分式不等式含〉a(aH0)的一般步驟是什么？

(移項(xiàng)通分，分子分母因式分解，x的系數(shù)變?yōu)?,穿軸法解得結(jié)果。)

38.用“穿軸法”解高次不等式——“奇穿，偶切”，從最大根的右上方開(kāi)始

如：(x+l)(x-l)2(x-2)?<0

39.解含有參數(shù)的不等式要注意對(duì)字母參數(shù)的討論

如：對(duì)數(shù)或指數(shù)的底分a>1或0<a<1討論

40.對(duì)含有兩個(gè)絕對(duì)值的不等式如何去解？

(找零點(diǎn)，分段討論，去掉絕對(duì)值符號(hào)，最后取各段的并集。)

例如：解不等式lx-3l-|x+1|<1

(解集為klx>g})

41.會(huì)用不等式lai-IblWla±b區(qū)lal+lbl證明較簡(jiǎn)單的不等問(wèn)題

如：設(shè)f(x)=x?-x+13,實(shí)數(shù)a滿足lx-al<l

求證：|f(x)-f(a)|<2(lal+l)

證明：lf(x)-f(a)l=l(x2-x+13)-(a2-a+13)1

=l(x-a)(x+a-l)l(vlx-al<1)

=lx-allx+a-ll<lx+a-II

<lxl+lak-l

Xlxl-lal<lx-al<L/.Ixl<lal+1

A|f(x)-f(a)|<2lal+2=2(lal+l)

(按不等號(hào)方向放縮)

42.不等式恒成立問(wèn)題，常用的處理方式是什么？(可轉(zhuǎn)化為最值問(wèn)題，或“△”問(wèn)題)

如：a<f(x)恒成立oa<f(x)的最小值

a>f(x)恒成立=a〉f(x)的最大值

a>f(x)能成立oa〉f(x)的最小值

例如：對(duì)于一切實(shí)數(shù)X,若卜-3|+k+2]>2恒成立，則2的取值范圍是

(設(shè)u=|x-3|+|x+2],它表示數(shù)軸上到兩定點(diǎn)-2和3距離之和

umin=3-(-2)=5,A5>a,即a<5

或者：|x-3|+|x+2|>|(x-3)-(x+2)|=5,/.a<5)

43.等差數(shù)列的定義與性質(zhì)

定義：a.i—a。=d(d為常數(shù))，an=a1+(n-l)d

等差中項(xiàng)：x,A,y成等差數(shù)歹!Ju>2A=x+y

、,”(a,+a?)nn(n-1)

前n項(xiàng)和S=L!一魚-=皿|+△——

n212

性質(zhì)：｛an｝是等差數(shù)列

⑴若m+n=p+q,則a”1+a1,=ap+a《；

(2)數(shù)列｛a^｝，??。鹝a_+b｝仍為等差數(shù)列；

S-S2n-Sn,S3n-S2n……仍為等差數(shù)列;

(3)若三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，可設(shè)為a-d,a,a+d；

(4)若a“，b”是等差數(shù)列S_,T0為前n項(xiàng)和，則y=衿；

(5)｛an｝為等差數(shù)列oSn=an2+bn(a,b為常數(shù)，是關(guān)于n的常數(shù)項(xiàng)為

0的二次函數(shù))

S0的最值可求二次函數(shù)S0=ai?+bn的最值；或者求出｛a0｝中的正、負(fù)分界

項(xiàng)，即：

當(dāng)apO,d<0,解不等式組卜11‘°可得s”達(dá)到最大值時(shí)的n值。

[a向<0

fa<0

當(dāng)為<O,d>O,由n-八可得Sn達(dá)到最小值時(shí)的n值。

lan+1>0

如：等差數(shù)列｛aj,Sn=18,an+an_1+an_2=3,S3=1,則。=

1住1

0a-

i-n

e

V

又s-

3-

-

(>

?s-8

：n-

n=27)

44.等比數(shù)列的定義與性質(zhì)

定義：乙jq(q為常數(shù)，q*0),a_=a|qe

an

等比中項(xiàng)：x、G^y成等比數(shù)列=>G?=xy,或6=±丙^

na,(q=1)

前n項(xiàng)和：Sn=a.fl-q")(要注意!)

--------(q*1)

Ii-q

性質(zhì)：｛an｝是等比數(shù)列

⑴若m+n=p+q,貝％?a。=ap?aq

(2)Sn,S2n-Sn,S3n-S2n……仍為等比數(shù)列

45.由Sn求a”時(shí)應(yīng)注意什么？

(n=l時(shí)，a,=S,,nN2時(shí),an=Sn-Sn_,)

46.你熟悉求數(shù)列通項(xiàng)公式的常用方法嗎？

例如：(1)求差(商)法

如：｛aj滿足ga1+*a?+.......+^Tan=2n+5<1>

解：n=l時(shí)，-a,=2x1+5,Aa.=14

2

nN2時(shí),；a[+(a?+.......+擊a.】=2n-l+5<2>

<1>-<2>W：/a-

n+,

??-an=2

14(n=l)

??an=<

[2n+1(n>2)

[練習(xí)]

數(shù)列｛aj滿足S0+S用=|2向，a|=4,求a”

(注意到a角=S用-S/弋入得：要=4

又S1=4,...｛Sj是等比數(shù)列，S"4。

n-1

n>2時(shí)，an=Sn-Sn_,=........=3?4

(2)疊乘法

例如：數(shù)列｛aj中，a1=3,3吐=，—，求2?

ann+1

吃」......an^1.2……n-J睦=_!

a,n

3

又a1=3,an=—

(3)等差型遞推公式

由a1,-a.1=f(n),a,=a0,求a”用迭加法

nN2時(shí)，a2-a(=f(2)'

a,-a=f(3)

2，兩邊相加，得:

an-an_,=f(n)

an-a,=f(2)+f(3)+........+f(n)

**.an=a0+f(2)+f(3)+........+f(n)

［練習(xí)］

n_1

數(shù)列｛aj，a,=1,an=3+a?_1(n>2),求a”

⑸9-1))

(4)等比型遞推公式

an=can_,+d(c>d為常數(shù)，c彳O,c*l,dw0)

可轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列，設(shè)2?+*=。僅1+*)

na_=caz+(c-l)x

令(c-l)x=d,.*.x=-----

an+a］是首項(xiàng)為小+“一,c為公比的等比數(shù)列

［練習(xí)］

數(shù)列｛aj滿足a1=9,3an+1+an=4,求a。

(K)+1)

(5)倒數(shù)法

2a

例如：aI=l,a詞=-4-,求a”

a?+2

—i/f”曰1a+211

由已知得：----=------=—H---

an+i2an2an

j___L=1

0aa

*n+ln2

"為等差數(shù)列，-=i,公差為工

a12

a"(nT)?g=；(n+l)

.2

..a=-------

nn+1

47.你熟悉求數(shù)列前n項(xiàng)和的常用方法嗎？

例如：(1)裂項(xiàng)法：把數(shù)列各項(xiàng)拆成兩項(xiàng)或多項(xiàng)之和，使之出現(xiàn)成對(duì)互為相反數(shù)的項(xiàng)。

n1

如：｛a/是公差為d的等差數(shù)列，求

k=lk^k+l

11if11"小

解：由---------=-7-----r=---------|(dH0)

ak*ak+1ak(ak+d)d<akak+1；

aj<a2a3J<anan+1；J

__P

dla,an+1J

［練習(xí)］

求和：1+」一+——++-------------------

1+21+2+31+2+3+...+n

(2)錯(cuò)位相減法：

若｛aj為等差數(shù)列，｛、｝為等比數(shù)列，求數(shù)列｛a,,、｝(差比數(shù)列)前n項(xiàng)

和，可由S：-qSn求Sn，其中q為｛>｝的公比。

23n-1

如：Sn=1+2x+3x+4x+....+nx<1>

234n-1

x-Sn=X+2X+3X+4X+....+(n-l)x+nx"<2>

2

<1>-<2>：(l-x)Sn=l+x+x+....+x"T-nx"

(1-x")nxn

xwl時(shí)，S

n(1-x)2l-x

x=1時(shí)，Sn=1+2+3+....4-n

(3)倒序相加法：把數(shù)列的各項(xiàng)順序倒寫，再與原來(lái)順序的數(shù)列相加。

Sn=+a)+....+an,+an..

n12n-1n相加

Sa+a++a+a

n=nn-l……2i.

2Sn=(a,+an)+(a2+an_1)+....+(a,+an)

［練習(xí)］

X2則f(1)+f(2)+f(￡]+f(3)+f(0+f(4)+=

已知f(x)=----7

1+X

(由f(x)+f(J=

------1---------------1-----

l+x2]1+x21+x2

...原式=￡(1)+f(2)+f(2+f(3)+f(￡|+f(4)+f(；)

=-+l+l+l=3-)

22

48.你知道儲(chǔ)蓄、貸款問(wèn)題嗎？

△零存整取儲(chǔ)蓄(單利)本利和計(jì)算模型：

若每期存入本金p元，每期利率為r,n期后，本利和為：

Sn=p(l+r)+p(l+2r)+...+p(l+nr)=pn+"r....等差問(wèn)題

△若按復(fù)利，如貸款問(wèn)題——按揭貸款的每期還款計(jì)算模型(按揭貸款——分期等額歸還本息的借款

種類)

若貸款(向銀行借款)P元，采用分期等額還款方式，從借款日算起，一期(如一年)后為第一次還

款I(lǐng)I,如此下去，第n次還清。如果每期利率為r(按復(fù)利)，那么每期應(yīng)還x元，滿足

p(l+r)n=x(l+r)i+x(l+r)nT+.......+x(l+r)+x

i+r)n

=X

1-(1+r)

pr(l+r)"

/.x=

(l+r)-

p——貸款數(shù)，i—利率，n——還款期數(shù)

49.解排列、組合問(wèn)題的依據(jù)是：分類相加，分步相乘，有序排列，無(wú)序組合。

(1)分類計(jì)數(shù)原理：N=m,+m2+........+mn

(m,為各類辦法中的方法數(shù))

分步計(jì)數(shù)原理:N=Hij,m2.......mn

(oij為各步驟中的方法數(shù))

(2)排列：從n個(gè)不同元素中，任取m(mWn)個(gè)元素，按照一定的順序排成一

列，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列，所有排列的個(gè)數(shù)記為A)

n!//\

A;=n(n-l)(n-2).......(n-m+1)=7-------(m<n)

規(guī)定：0!=l

(3)組合：從n個(gè)不同元素中任取m(mWn)個(gè)元素并組成一組，叫做從n個(gè)不

同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合，所有組合個(gè)數(shù)記為C0

1"=n(n-l).......(n-m+l)=n!

11A：m!m!(n-m)!

規(guī)定：C：=1

(4)組合數(shù)性質(zhì):

mcn-mcm.cin-lcmc。.1.：

Cn=Cn，C?+Cn=Cn+i，Cn+C,,++C=2”

50.解排列與組合問(wèn)題的規(guī)律是：

相鄰問(wèn)題捆綁法；相間隔問(wèn)題插空法；定位問(wèn)題優(yōu)先法；多元問(wèn)題分類法；至多至少問(wèn)題間接法；相

同元素分組可采用隔板法，數(shù)量不大時(shí)可以逐一排出結(jié)果。

如：學(xué)號(hào)為1,2,3,4的四名學(xué)生的考試成績(jī)

Xj"89,90,91,92,93卜(i=l,2,3,4)K^x,<x2<x3<x4,

則這四位同學(xué)考試成績(jī)的所有可能情況是()

A.24B.15C.12D.10

解析：可分成兩類：

(1)中間兩個(gè)分?jǐn)?shù)不相等，

□□□□

X]<x2<x3<x4

有C；=5(種)

(2)中間兩個(gè)分?jǐn)?shù)相等

X)<x2=x3<x4

相同兩數(shù)分別取90,91,92,對(duì)應(yīng)的排列可以數(shù)出來(lái)，分別有3,4,3種，.?.有10種。

二共有5+10=15(種)情況

51.二項(xiàng)式定理

(a+b)n=C；an+C：a"Tb+C：a-2b2+—+C>n-rbr+…+C：b"

二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式：T,M=(2淪11/(r=0,1……n)

C：為二項(xiàng)式系數(shù)(區(qū)別于該項(xiàng)的系數(shù))

性質(zhì)：

(1)對(duì)稱性：C：=C；r(r=0,1,2,....,n)

(2)系數(shù)和：C：+C；+…+C：=2"

C：+C：+C：+…=C：+C：+C：+…=2，一

(3)最值：n為偶數(shù)時(shí)，n+l為奇數(shù)，中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大且為第

(^+1)項(xiàng)，二項(xiàng)式系數(shù)為eg；n為奇數(shù)時(shí)，(n+l)為偶數(shù)，中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式

系數(shù)最大即第0項(xiàng)及第上1+i項(xiàng)，其二項(xiàng)式系數(shù)為c1y=cF

22

如：在二項(xiàng)式(x-l)”的展開(kāi)式中，系數(shù)最小的項(xiàng)系數(shù)為(用數(shù)字

表示)

(■二11

...共有12項(xiàng)，中間兩項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值最大，且為第￡=6或第7項(xiàng)

由C；1X“T(-1)，，...取r=5即第6項(xiàng)系數(shù)為負(fù)值為最小：

y=Vi=-426

2(K)4

又如：(1一2x『°g=a。+a]X+a2X?+....+a2004x(xGR),WJ

(a0+al)+(a0+a2)+(a0+a3)+...+(a0+a2aM)=(用數(shù)字作答)

(令x=0,得：a。=1

令x=l,得：a0+a2+...+22004=1

原式=2OO3ao+(a0+a1+....+a2004)=2003xl+l=2004)

52.你對(duì)隨機(jī)事件之間的關(guān)系熟悉嗎？

(1)必然事件。，P(Q)=L不可能事件如P(?)=0

(2)包含關(guān)系：AuB,“A發(fā)生必導(dǎo)致B發(fā)生”稱B包含A。

(3)事件的和(并)：A+B@gAUB"A與B至少有一個(gè)發(fā)生”叫做A與B

的和(并)。

(4)事件的積(交)："A與B同時(shí)發(fā)生”叫做A與B的積。

(5)互斥事件(互不相容事件)：“A與B不能同時(shí)發(fā)生”叫做A、B互斥。

A?B=(|)

AB

(6)對(duì)立事件(互逆事件)：

“A不發(fā)生”叫做A發(fā)生的對(duì)立(逆)事件，A

AUA=Q,AAA=4)

(7)獨(dú)立事件：A發(fā)生與否對(duì)B發(fā)生的概率沒(méi)有影響，這樣的兩個(gè)事件叫做相互獨(dú)立事件。

A與B獨(dú)立，A與F,無(wú)與B,反與否也相互獨(dú)立。

53.對(duì)某一事件概率的求法：

分清所求的是：(1)等可能事件的概率(常采用排列組合的方法，即

D”、A包含的等可能結(jié)果m

一次試驗(yàn)的等可能結(jié)果的總數(shù)n

(2)若A、B互斥，則P(A+B)=P(A)+P(B)

(3)若A、B相互獨(dú)立,則P(A?B)=P(A)?P(B)

(4)P(A)=1-P(A)

(5)如果在一次試驗(yàn)中A發(fā)生的概率是p,那么在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中A恰好發(fā)生

k次的概率:Pn(k)=C：pk(l-p廣k

如：設(shè)10件產(chǎn)品中有4件次品，6件正品，求下列事件的概率。

(1)從中任取2件都是次品；

(C22、

P=h±--

I1』=15j

(2)從中任取5件恰有2件次品；

(C2c3心

I2一c：?！?1J

(3)從中有放回地任取3件至少有2件次品；

解析：有放回地抽