2020-2021學(xué)年杭州市七縣市高二年級上冊期末數(shù)學(xué)試卷(含解析)

2020-2021學(xué)年杭州市七縣市高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷

一、單選題（本大題共12小題，共36.0分）

1,若直線的參數(shù)方程為父二:初參數(shù)則直線的斜率為（）

2,“a=2”是“直線ax+2y—1=0與x+（a—l）y+2=0互相平行”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

3.圓/+必—4刀+6y+3=0的圓心坐標是（）

A.（2,3）B.（-2,3）C.（2,-3）D.（-2,-3）

4.”a=±l""是函數(shù)丫=cos2ax—sin2ax的最小正周期為?！钡模ǎ?/p>

A.充分不必要條件B.充要條件

C.必要不充分條件D.既不充分條件也不必要條件

5.已知命題p：Vx>0,3、>/.則”為（）

A.Vx>0,3X<x3B,Vx<0,3X<x3

X3X3

C.3x0>0,3<xD.3x0<0,3<x

6.如圖，在側(cè)棱垂直底面的三棱柱ABC—中，ABAC=90°,AB=

AC=^-AAr,D,E分別是棱AB,B】Ci的中點，F(xiàn)是棱CQ上的一動點，

記二面角?！狤F—B的大小為a,則在F從G運動到C的過程中，a的變

化情況為（）

A.增大

B.減小

C.先增大再減小

D.先減小再增大

7.底面半徑為1的圓柱表面積為6兀，則此圓柱的母線長為（）

A.2B.3C.V5D.V17

8.已知橢圓G；二+藝=1與雙曲線C2：應(yīng)—"=1共焦點,則橢圓Q的離心率e的取值范圍為

m+2nmn

()

A.(y,l)B.(0號C.(0,1)D.嗚

9.已知瓦?與而不共線，若點C滿足^AOA+（2-A'）OB,點C的軌跡是（）

A.直線B.圓C.拋物線D.以上都不對

10.如圖，網(wǎng)格紙上正方形小格的邊長為1（表示1cm）,圖中粗線畫出的

是某零件的三視圖，該零件由一個底面半徑為3on,高為6on的圓

柱體毛坯切削得到，則零件的體積與原來毛坯體積的比值為（）

A.10

27

B.17

27

C.2

3

D.4

9

11.已知點P為函數(shù)/（%）=靖的圖象上任意一點，點Q為圓（％-I）2+y2=1上任意一點，則線段PQ

長度的最小值為（）

A.V2-1B.1C.V2D.V3-1

12.已知三棱錐S-ABC的所有頂點都在球。的球面上,SA1平面ABC,S4=2百,AB=1,AC=2,

/.BAC=60°,則球。的體積為（）

A.4兀B.—TtC.—7TD.12兀

33

二、單空題（本大題共6小題，共30.0分）

13.拋物線y2=2x上的點P到拋物線的準線的距離為到直線3久-4y+9=0的距離為d2,則刈+

的最小值為.

14.在平面直角坐標系xOy,橢圓C的中心為原點，焦點右、&在x軸上，離心率為當(dāng)過&的直線交

橢圓C于4B兩點，且AABF2的周長為16,那么C的方程為.

15.在正方體4BCD-4/停1。1中，M,N分別為棱與4。的中點，則異面直線MN與所成角的

余弦值是.

16.已知Fi、尸2是雙曲線提一3=1缶>0/>°）與橢圓9+1=1的共同焦點，若點P是兩曲線的

一個交點，且APF1F2為等腰三角形，則該雙曲線的離心率為.

17.過點(1,—1)且與直線x+3y-3=0垂直的直線為Z,貝”被圓"+y2=4截得的長度為.

18.設(shè)Z,機表示直線，山是平面任內(nèi)的任意一條直線.則“][陰”是“11廿”成立的條

件.(在“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”中選填一個)

三、解答題(本大題共4小題，共54.0分)

19.己知拋物線C的頂點在坐標原點，焦點F在x軸的正半軸上，過點F的直線I與拋物線C相交于4、8

--------3

兩點，且湖足OA*OB-.

4

(I)求拋物線C的標準方程；

(口)若點M在拋物線C的準線上運動，其縱坐標的取值范圍是[-1,1],且拓i.麗=9,點N是以

線段4B為直徑的圓與拋物線C的準線的一個公共點，求點N的縱坐標的取值范圍.

20.如圖，在四棱錐P-4BCD中，底面ABCD為矩形,PD_L平面4BCD,

PD=AB,E,F分另lj在棱PC,PD上.

(1)求證：BC1PC；

(2)若a,B,E,F四點共面，求證：EF//CD.

21.已知M,N是平面4BC兩側(cè)的點，三棱錐M-ABC所有棱長是2,AN=V3,NB=NC=V5,如

圖.

(1)求證：4M//平面NBC；

(2)求平面MAC與平面N8C所成銳二面角的余弦.

22.已知橢圓C：g+g=l（a>h>0）經(jīng)過點（1,小離心率為爭點4為橢圓C的右頂點，直線I與

橢圓相交于不同于點4的兩個點P（久1，%），Q（x2,y2）.

（I）求橢圓c的標準方程；

（口）當(dāng)說?而=0時，求AOPQ面積的最大值；

（川）若%1%—％2%22,求證：|OP『+|OQ『為定值.

參考答案及解析

L答案：D

解析：試題分析：根據(jù)題意，由于直線的參數(shù)方程為初參數(shù)j:,那么可知該直線過定

點(1,2),化為普通方程為”2=2斜率為-芝，那么可知選D

考點：直線的參數(shù)方程

點評：主要是考查了直線的參數(shù)方程于普通方程的互化，屬于基礎(chǔ)題。

2.答案：A

解析：

本題以充要條件為載體，考查直線的平行條件，屬于基礎(chǔ)題.

根據(jù)直線平行的充要條件，求出直線ax+2y—1=0與久+(a-l)y+2=0互相平行時的a值，進

而根據(jù)充要條件的定義，可得答案.

解：若“直線ax+2y-1=0與x+(a-l)y+2=0互相平行”，

則a(a-1)-2=0,

解得：。=-1或。=2,經(jīng)檢驗a=-1或a=2都可以使兩直線平行；

故“a=2”是“直線ax+2y—1=0與x+(a-l)y+2=?；ハ嗥叫小钡某浞植槐匾獥l件.

故選A.

3.答案:C

解析：解：將圓/+V-4%+6y+3=0化成標準方程，得(％-2>+(y+37=10

???圓心。的坐標是(2,-3)

故選C

將題中的圓化成標準方程得(x-27+(y+3>=10,由此即可得到圓心的坐標.

本題給出定圓，求圓心C的坐標.著重考查了圓的標準方程和基本概念等知識，屬于基礎(chǔ)題.

4.答案：B

解析：解：因為y=cos2a%-sin2ax=cos2a%,所以函數(shù)的周期T=舒=高=兀，解得a=±1.

所以a=±1是函數(shù)y=cos2ax一sin2ax的最小正周期為兀成立的充要條件.

故選"

結(jié)合三角函數(shù)的周期性公式，利用充分條件和必要條件的定義判斷.

本題主要考查充分條件和必要條件的應(yīng)用，利用三角函數(shù)的周期公式是解決本題的關(guān)鍵.

5.答案：C

解析：解：命題“p：Vx>0,3X>x3>>,

X3，>

則”為：**3x0>0,3<X.

故選：C.

根據(jù)全稱命題的否定是特稱命題，寫出命題p的否定命題”即可.

本題考查了全稱命題的否定是特稱命題應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題.

6.答案：D

解析：解：如圖，平面固定，

由D向平面BEF作垂線，垂足在BC邊的四等分點處，

???只需考慮清楚垂足到直線EF的變化情況，

如下圖所示，當(dāng)垂直交于正方形外的時候，距離先變大，

再到垂直相交于正方形內(nèi)的時候，距離變小，

.?.記二面角D-EF-B的大小為a,

則在F從Ci運動到C的過程中，a的變化情況為先減小再增大.

故選：D.

平面BEF固定，由。向平面BEF作垂線，垂足在BC邊的四等分點處，只需考慮清楚垂足到直線EF的

變化情況，可以判斷在尸從Q運動到C的過程中，a的變化情況.

本題考查二面角的變化情況的判斷，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系，是中檔題.

7.答案：A

解析：

本題考查圓柱的幾何特征及表面積計算，關(guān)鍵是利用圓柱的表面積的計算公式列出方程求未知數(shù)，

屬于基礎(chǔ)題.

通過圓柱的表面積=側(cè)面積+兩個底面積=底面周長X高+27TX半徑2.求出圓柱的母線長.

解：因為底面半徑為1的圓柱表面積為6兀，

設(shè)圓柱的母線長為x,貝!]2兀x17+兀x2x=6兀,解得：x=2,

故選：A.

8.答案：A

解析：

本題考查橢圓、雙曲線的幾何性質(zhì)，考查學(xué)生的計算能力，屬于基礎(chǔ)題.

2222

根據(jù)橢圓'+匕=1與雙曲線土—匕=1共焦點，確定n的值與7H的范圍，進一步可求橢

圓Cl的離心率e的取值范圍.

解：由題意，m+2—n=m+n,n=l,

又TH+2>幾，m>0,m+2>2,

7771+2—71y1

???e乙=------=1---------,

m+2m+2

/.-<62<1,

2

V2y

—<e<1,

2

故選A.

9.答案：A

解析：■■-OC=AOA+(2-A)OB=AOA+(l-A)OB+OB，

■■.BC=AOA+(1-A)OB,

設(shè)D點在直線上，則前=4瓦<+(1-4)命，

■■.BC=OD

???點。的軌跡是直線，

.??點C的軌跡也是一條直線.

故選A.

根據(jù)點C滿足爐=AOA+(2-AJOB,轉(zhuǎn)化為沅=4瓦5+(1—4)南+加即可.

本題主要考查點共線，點的軌跡的判斷，屬于中等題.

10.答案：A

解析：解：幾何體是由兩個圓柱組成，一個是底面半徑為3cm,高為2sn,一個是底面半徑為2cm,

高為4cm,

組合體體積是：327r-2+227T-4—347icm3.

底面半徑為3cm,高為6cm的圓柱體毛坯的體積為：327rx6=54jicm3,

切削掉部分的體積與原來毛坯體積的比值為：毛%=9.

547T27

故選：A.

由三視圖判斷幾何體的形狀，通過三視圖的數(shù)據(jù)求解幾何體的體積即可.

本題考查的知識點是由三視圖求體積和表面積，解決本題的關(guān)鍵是得到該幾何體的形狀.

11.答案：A

解析：解：由圓的對稱性可得只需考慮圓心Q(1,O)到函數(shù)f(x)=/圖象上一點的距離的最小值.

設(shè)/'(久)圖象上一點(巾,e館)，

由/'(%)的導(dǎo)數(shù)為/''(%)=ex,

即有切線的斜率為kue"1,

即有e2"1+m—1=0,

由g(X)=e2x+x—1,可得g'(x)=2e2x+1>0,g(x)遞增.

又g(o)=o,

可得x=0處點(0,1)到點Q的距離最小，且為遮，

則線段PQ的長度的最小值為夜-1,

故選:A.

由圓的對稱性可得只需考慮圓心Q(l,0)到函數(shù)/(X)=蠟圖象上一點的距離的最小值.設(shè)f(x)圖象上

一點(皿即)，求得切線的斜率，由兩直線垂直的條件：斜率之積為-1,可得02機+zn-1=0,g(%)=

e2x+x-l,求出導(dǎo)數(shù)，判斷單調(diào)性，可得切點，運用兩點的距離公式計算即可得到所求值.

本題考查導(dǎo)數(shù)的運用：求切線的斜率和單調(diào)性，考查圓的對稱性和兩點的距離公式，考查運算能力，

屬于中檔題.

12.答案：B

解析：解：如圖，

三棱錐S-ABC的所有頂點都在球。的球面上，

???SA1平面ABC,SA=2V3,AB=1,AC=2,4BAC=60°,

DC=>/l+4-2xlx2xco.sMP=,

???AABC=90°.

???△ABC截球。所得的圓。'的半徑r=lAC=1,

球。的半徑7?=J1+(苧)2=2,

二球。的體積V=［兀R'=拳兀.

故選:B.

由三棱錐S-ABC的所有頂點都在球。的球面上,S4，平面ABC,S4=2?AB=1,AC=2,乙BAC=

60°,知43。=90。.故44匹截球。所得的圓。'的半徑「="。=1,由此能求出球。的半

徑，從而能求出球。的體積.

本題考查了三棱錐的外接球的體積的求法，余弦定理，合理地作出圖形，數(shù)形結(jié)合求出球半徑，是

解題的關(guān)鍵.

13.答案：g

解析：解：???拋物線y2=2久上的點P到拋物線的準線的距離為山，

???點P到拋物線焦點G，0)的距離為支，

又點尸到直線3%-4y+9=0的距離為弓2，

???詢+d2的最小值為點(|,0)到直線3x-4y+9=0的距離，

由點到直線的距離公式可得噫竺”=4

V32+(-4)210

故答案為：

由拋物線的定義可得心+d2的最小值為拋物線的焦點G，0)到直線3x-4y+9=0的距離，由點到直

線的距離公式計算可得.

本題考查點到直線的距離公式，涉及拋物線的定義，轉(zhuǎn)化是解決問題的關(guān)鍵，屬基礎(chǔ)題.

14.答案：應(yīng)+”=1

168

解析：

本題考查橢圓的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

根據(jù)題意，AaBF2的周長為16,結(jié)合橢圓的定義，有4a=16,即可得a的值；又由橢圓的離心率,

可得c的值，進而可得b的值；由橢圓的焦點在x軸上，可得橢圓的方程.

解：根據(jù)題意，AaBF2的周長為16,即BF2+人產(chǎn)2+B&+A&=16；

根據(jù)橢圓的定義，有4a=16,即a=4；

橢圓的離心率為逛，即￡=逛，貝Ua=&c,

2a2

將a=4,代入可得，c=2a,貝1]爐=十一0?=g；

22

則橢圓的方程為土+-=1;

168

22

故答案為：二+匕=1.

168

15.答案:在

3

解析：解：連接BD,?:MN“BD,

???異面直線MN與BO1所成的角即為直線BD與BA所

成的角：4D[BD

?.?在RtAOiOB中，設(shè)心。=1,則DB=71,0/=V3

V6

???cosZ-D1BD=—

???異面直線MN與BA所成的角的余弦值為f

故答案為：立

3

求異面直線所成的角，可以做適當(dāng)?shù)钠揭?，把異面?/p>

線轉(zhuǎn)化為相交直線，然后在相關(guān)的三角形中借助正弦或余弦定理解出所求的角.平移時主要是根據(jù)

中位線和中點條件，或者是特殊的四邊形，三角形等.

本小題考查空間中的線面關(guān)系，異面直線所成的角、解三角形等基礎(chǔ)知識，考查空間想象能力和思

維能力.

16.答案:2

解析：解：不妨設(shè)P是兩曲線在第一象限的交點，P(x,y)

由題意，橢圓?+?=1的焦點為(±2,0)

???雙曲線線m一］=l(a>0,b>0),與橢圓式+”=1的共同焦點

a2b2K)95

???a2+b2=4①

???點P是兩曲線的一個交點，且小P&B為等腰三角形

???\PFi\=F/2I=4

???橢圓的左準線方程為：%=

c2

.4_2

??U一與

2

3

2

???P在橢圓苦+?=1上

.?.y2T

：4

22

??嚀在雙曲線5—彳=1上

a2b2

②

由①②得：b2=3,a2=1,

???c=2,

???e=-=2.

a

故答案為：2.

2222

先利用雙曲線雙曲線表—左=l(a>0,b>0)與橢圓篙+言=1的共同焦點，求得a?+爐=4,再利

用點P是兩曲線的一個交點，且APFiF?為等腰三角形，求得交點坐標，從而可求雙曲線的標準方程，

進而可求雙曲線的離心率.

本題以橢圓為載體，考查橢圓與雙曲線的幾何性質(zhì)，考查橢圓的定義的運用，屬于中檔題.

17.答案：

解析：

由條件利用兩條直線垂直的性質(zhì)，求出】的斜率，可得/的方程，求出弦心距d,再利用弦長公式求出

，被圓％2+y2=4截得的長度.

本題主要考查兩條直線垂直的性質(zhì)，直線和圓相交的性質(zhì)，點到直線的距離公式，弦長公式的應(yīng)用,

屬于基礎(chǔ)題.

解：由題意可得，直線/的斜率為3,直線［的方程為y+l=3Q—l),BP3x-y-4=0.

圓心(0,0)到直線2的距離為d==息，

故/被圓/+*=4截得的長度為2V7匚加=2卜號=學(xué)，

故答案為：

18.答案:充要

解析：本題主要考查了充分條件，必要條件的判定.利用直線與平面垂直的判定與性質(zhì)進行解答.

解：因為直線m表示平面儀內(nèi)的任意一條直線，

所以由T_Li?,可得？_La.

若？_La,則由線面垂直性質(zhì)定理可得：直線？垂直平面內(nèi)的任意一條直線,

所以.

所以M±m(xù)”是“1±a”的充要條件.

故填充要.

19.答案:解：(I)設(shè)拋物線方程為:*=2PK@>0),焦點尸的坐標為《,0),直線/的方程為％=+?

設(shè)401/1)，8(久2，為)，

V2=2nx

；=t消去%得到y(tǒng)2_2pty_p2=o,

(一y十2

則yi+光=2pt,yiy2=_p2,?%2=(tyi+0(ty2+0=7'

OA-OB=xrx2+7172=—去=—￡解得P=1，

所以拋物線C的方程為必=2x；

（口）拋物線的準線為久=/因為點M在拋物線的準線上，所以設(shè)-l<m<1,

由（I）知：%1%2=%y,2=-1，丫1+丫2=23所以％1+%2=2/+1,

因為-MB=+012+0+—血）。2—血）=（t-771）2,

所以（￡—771）2=9,,￡=m+3或t=771-3,

因為一1〈血41,

所以2<t<4或—4<t<—2,

根據(jù)拋物線的定義可知，以為直徑的圓與拋物線的準線相切，

所以點N的縱坐標為左產(chǎn)=t,

所以點N的縱坐標的取值范圍是[-4,-2]U[2,4].

解析：本題考查拋物線方程和性質(zhì)，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，.

（I）設(shè)拋物線方程為：y2=2px,焦點為國0）,直線Ax=ty+l，聯(lián)立直線與拋物線方程，消去

%,運用兩根之積，再由向量的數(shù)量積的坐標公式，得到方程，解出即可；

（口）設(shè)時（一：,爪），-1<m<1,由贏.最=9結(jié)合（I）中結(jié)論，確定t的范圍，根據(jù)拋物線的定

義可知，以為直徑的圓與拋物線的準線相切，可得點N的縱坐標為左產(chǎn)=如即可求出點N的縱坐

標的取值范圍.

20.答案：證明：（1）PD1平面ABCD,BCu平面2BCD,

???PD1BC,

?.?四邊形4BCD為矩形，

CD1BC,

又PDCCD=D,PD,CDu平面PCD.

???BC，平面PCD,

又PCu平面PC。，

???BC1PC.

(2)???四邊形4BCD為矩形，

：.AB//CD.

又CDu平面PCD,ABC平面PCD,

MB〃平面PCD.

又由題意，得平面48EFC平面PC。=EF,ABu平面ABEF,

：.AB//EF,

?-?EF//CD.

解析：(1)證明PD_LBC,結(jié)合CD_LBC,推出BC1平面PCD,即可證明BC_LPC.

(2)證明4B〃CD.推出4B〃平面PCD得到4B〃EF,然后說明EF〃CD.

本題考查直線與平面垂直，直線與平面平行的判斷定理以及性質(zhì)定理的應(yīng)用，是中檔題.

21.答案：(1)證明：記線段BC中點為0,分別連結(jié)AD,MD,ND.

由條件得48=AC=MB=MC=2,NB=NC=V5,

???BC1AD,BC1MD,BC1ND.

???AD與MD是平面AMD內(nèi)兩相交直線，4D與ND是平面NAD內(nèi)兩相交直線，

???BCL^^MAD,BCL^^NAD.

平面M4D與平面M4D重合.

記線段ND的中點為。，連結(jié)40.

根據(jù)條件可得，AN=MD=W，AM=ND=2,

四邊形4VDM是平行四邊形，即4M〃ND.

"AMC平面NBC,NDu平面NBC,

所以，AM〃平面NBC.

(2)解:由(1)知，平面M4D1平面NBC.

記線段ND的中點為。，連結(jié)40.

根據(jù)條件得，AD=AN=,，:AOLND,即4。，平面NBC.

以過。平行BC的直線為左軸，分別以直線。。，。4為y和z軸建立如圖所示的空間直角坐標系。-xyz.

???/l(0,0,V2),C(-l,l,0),M(0,2,V2),AC=(-1,1,-V2),AM=(0,2,0).

設(shè)平面MAC的一個法向量為元=(x,y,z),

則有_L4C，n1AM>即元?AC=0，n-AM=0>

(—x+y—V2z=0,

12y=0.

不妨取z=-l,得元=(加,0,—1),

TZ-?一、^A-n-V2V3

COS<OA,Yl>=——>=~-p=------.

\0A\-\n\V2xV33

因就是平面NBC的一個法向量，

所以，平面MAC與平面NBC所成銳二面角的余弦為火.

3

解析：本題考查直線與平面平行的判斷定理的應(yīng)用，二面角的平面角的求法，考查空間想象能力以

及計算能力，是中檔題.

⑴記線段BC中點為。，分別連結(jié)AD,MD,ND.證明平面此4。與平面NAD重合.記線段ND的中點

為。，連結(jié)40.說明四邊形2NDM是平行四邊形，推出AM〃ND.然后證明4"〃平面NBC.

(2)記線段ND的中點為。，連結(jié)40.說明4。，平面N8C.過。平行BC的直線為x軸，分別以直線?！?,。2

為y和z軸建立如圖所示的空間直角坐標系。-盯z.求出平面AL4C的一個法向量，正是平面N8C的一

個法向量，

利用空間向量的數(shù)量積求解平面與平面NBC所成銳二面角的余弦即可.

22.答案：(/)解：由題意可得：上+磊=1,"爭a?=/+c2,聯(lián)立解得a=2,b=t,c=相.

?,?橢圓C的標準方程為上+y2=1.

4

(〃)解：4(2,0),由題意可得：直線Z的斜率不為0,設(shè)直線/的方程為：x=my+t(t^2),

(x=my+t

聯(lián)立

(%2+4y2=4f

化為：(血？+4)y2+2mty+t2—4=0,△=47n2t2—曲血？+4)(/—4)>0,

,-2mtt2-4

+丫「丫

???yi2=y2=m2+4

,??都?而=0,(%1-2)(%2—2)+7172=0,

22

又(%i-2)3