B樣條曲線市公開課特等獎(jiǎng)市賽課微課一等獎(jiǎng)?wù)n件

第七章B樣條曲線曲面Bezier曲線有許多優(yōu)越性，但有幾點(diǎn)不足：一、控制多邊形頂點(diǎn)個(gè)數(shù)決定了Bezier曲線階次；二、不能作局部修改；三、Bezier曲線拼接比較復(fù)雜。第1頁1972年，Gordon、Riesenfeld等人發(fā)展了1946年Schoenberg提出樣條方法,提出了B樣條方法，在保留Bezier方法優(yōu)點(diǎn)，克服了Bezier方法弱點(diǎn)。

第2頁7.1B樣條曲線1．定義給定空間n+1個(gè)頂點(diǎn)Pi（i=0，1，2，…，n），則k階B樣條曲線可定義為：第3頁第4頁第5頁第6頁第7頁第8頁第9頁二次B樣條曲線二次B樣條曲線表示式為第10頁[0,1]t21)()221(21)()1(21)(23,223,123,0?=-+=-=ttBtttBttB

四段二次(三階)均勻B樣條基函數(shù)二次B樣條基函數(shù)tBk,3(t)214351B0,3(t)B1,3(t)B2,3(t)第11頁曲線起點(diǎn)和終點(diǎn)值：均勻二次B樣條曲線起點(diǎn)和終點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)：四個(gè)控制點(diǎn)二次周期性B樣條曲線P0P1P2P3第12頁三次B樣條曲線三次B樣條曲線表示式為

第13頁

三次周期性B樣條邊界條件為：四個(gè)控制點(diǎn)三次均勻B樣條曲線P0P1P2P3第14頁結(jié)論：對(duì)于由任意數(shù)目標(biāo)控制點(diǎn)結(jié)構(gòu)二次B樣條曲線來說，曲線起始點(diǎn)位于頭兩個(gè)控制點(diǎn)之間，終止點(diǎn)位于最終兩個(gè)控制點(diǎn)之間。對(duì)于高次多項(xiàng)式，起點(diǎn)和終點(diǎn)是k-1個(gè)控制點(diǎn)加權(quán)平均值點(diǎn)。第15頁即只在區(qū)間中為正，在其它地方值均為零(k>1)。

(1)局部支撐性B樣條基函數(shù)有7.2B樣條曲線函數(shù)性質(zhì)tj-ktj+1-ktjtj+qtj+q-1第16頁k階B樣條曲線上參數(shù)為一點(diǎn)至多與k個(gè)控制頂點(diǎn)相關(guān)，與其它控制頂點(diǎn)無關(guān)；移動(dòng)該曲線第i個(gè)控制頂點(diǎn)Pi至多影響到i~i+k段上那部分曲線形狀，對(duì)曲線其余部分不發(fā)生影響。第17頁

B樣條曲線局部支柱性P0P1P2P3P″4P5P6P7P4P′4第18頁(2)凸包性(3)連續(xù)性k次B樣條在節(jié)點(diǎn)處為k-1次連續(xù)，在每一區(qū)間處也為k-1次連續(xù)，即整條k次B樣條曲線k-1次連續(xù)。(4)幾何不變性(5)保凸性(6)交互能力(7)變差縮減性第19頁B樣條曲線與Bezier曲線凸包性比較B樣條曲線Bezier曲線Bezier曲線B樣條曲線m=3m=4m=5(a)B樣條曲線和Bezier曲線凸包比較(b)B樣條曲線和Bezier曲線比較B樣條凸包Bezier凸包B樣條凸包B樣條凸包Bezier凸包Bezier凸包第20頁7.3B樣條曲面給定16個(gè)頂點(diǎn)dij(i=1,2,3,4j=1,2,3,4)組成特征網(wǎng)格，能夠定義一張曲面片。用di1、di2、di3、di4(i=1,2,3,4)構(gòu)建四條V向曲線C1、C2、C3和C4(圖中虛線);d24uvd42d43d44d11d12d13d14d21d23d31d32d33d34C4C3C1C2d41d22參數(shù)v在[0,1]之間取值vk，對(duì)應(yīng)于vk曲線C1、C2、C3和C4上可得到V1k、V2k、V3k和V4k四個(gè)點(diǎn)，該四點(diǎn)組成u向一個(gè)特征多邊形，定義一條新曲線P(u,vk)；uvC4C3C1C2V1kV3kV4kV2k當(dāng)參數(shù)vk在[0,1]之間取不一樣值時(shí)，P(u,vk)沿箭頭方向掃描，即得到由給定特征網(wǎng)格dij(i=1,2,3,4j=1,2,3,4)定義雙三次均勻B樣條曲面片P(u,v)。第21頁d24uvV1kd42d43d44d11d12d13d14d21d23d31d32d33d34C4C3C1C2V2kV3kV4kd41P(u,vK