2024屆山東省濟(jì)南一中高三第二次模擬考試數(shù)學(xué)試卷含解析

2024屆山東省濟(jì)南一中高三第二次模擬考試數(shù)學(xué)試卷注意事項1．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認(rèn)真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（）A． B． C． D．2．根據(jù)散點圖，對兩個具有非線性關(guān)系的相關(guān)變量x，y進(jìn)行回歸分析，設(shè)u=lny，v=(x-4)2，利用最小二乘法，得到線性回歸方程為=0.5v+2，則變量y的最大值的估計值是（）A．e B．e2 C．ln2 D．2ln23．“角谷猜想”的內(nèi)容是：對于任意一個大于1的整數(shù)，如果為偶數(shù)就除以2，如果是奇數(shù)，就將其乘3再加1，執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入，則輸出的（）A．6 B．7 C．8 D．94．在棱長為a的正方體中，E、F、M分別是AB、AD、的中點，又P、Q分別在線段、上，且，設(shè)平面平面，則下列結(jié)論中不成立的是（）A．平面 B．C．當(dāng)時，平面 D．當(dāng)m變化時，直線l的位置不變5．已知是等差數(shù)列的前項和，若，，則（）A．5 B．10 C．15 D．206．已知a，b是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，且a?α，b?β，aβ，bα，則“ab“是“αβ”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件7．設(shè)則以線段為直徑的圓的方程是（）A． B．C． D．8．已知數(shù)列an滿足：an=2,n≤5a1A．16 B．17 C．18 D．199．已知函數(shù)，，，，則，，的大小關(guān)系為（）A． B． C． D．10．“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分又不必要條件11．已知拋物線上一點到焦點的距離為，分別為拋物線與圓上的動點，則的最小值為（）A． B． C． D．12．函數(shù)的一個單調(diào)遞增區(qū)間是（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．拋物線上到其焦點距離為5的點有_______個．14．如圖，在直四棱柱中，底面是平行四邊形，點是棱的中點，點是棱靠近的三等分點，且三棱錐的體積為2，則四棱柱的體積為______．15．已知，則______，______.16．已知函數(shù).若在區(qū)間上恒成立.則實數(shù)的取值范圍是__________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知，，設(shè)函數(shù)，.（1）若，求不等式的解集；（2）若函數(shù)的最小值為1，證明：.18．（12分）已知函數(shù)是減函數(shù).（1）試確定a的值；（2）已知數(shù)列，求證：.19．（12分）如圖，在四棱錐中，底面是直角梯形且∥，側(cè)面為等邊三角形，且平面平面.（1）求平面與平面所成的銳二面角的大?。唬?）若，且直線與平面所成角為，求的值.20．（12分）設(shè)函數(shù).（1）時，求的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時，設(shè)的最小值為，若恒成立，求實數(shù)t的取值范圍.21．（12分）若,且（1）求的最小值；（2）是否存在，使得？并說明理由.22．（10分）某工廠的機(jī)器上有一種易損元件A，這種元件在使用過程中發(fā)生損壞時，需要送維修處維修．工廠規(guī)定當(dāng)日損壞的元件A在次日早上8：30之前送到維修處，并要求維修人員當(dāng)日必須完成所有損壞元件A的維修工作．每個工人獨立維修A元件需要時間相同．維修處記錄了某月從1日到20日每天維修元件A的個數(shù)，具體數(shù)據(jù)如下表：日期1日2日3日4日5日6日7日8日9日10日元件A個數(shù)91512181218992412日期11日12日13日14日15日16日17日18日19日20日元件A個數(shù)12241515151215151524從這20天中隨機(jī)選取一天，隨機(jī)變量X表示在維修處該天元件A的維修個數(shù)．（Ⅰ）求X的分布列與數(shù)學(xué)期望；（Ⅱ）若a，b，且b-a=6，求最大值；（Ⅲ）目前維修處有兩名工人從事維修工作，為使每個維修工人每天維修元件A的個數(shù)的數(shù)學(xué)期望不超過4個，至少需要增加幾名維修工人？（只需寫出結(jié)論）

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】

先利用最高點縱坐標(biāo)求出A，再根據(jù)求出周期，再將代入求出φ的值.最后將代入解析式即可.【詳解】由圖象可知A＝1，∵，所以T＝π，∴.∴f（x）＝sin（2x+φ），將代入得φ）＝1，∴φ，結(jié)合0＜φ，∴φ.∴.∴sin.故選：A.【點睛】本題考查三角函數(shù)的據(jù)圖求式問題以及三角函數(shù)的公式變換.據(jù)圖求式問題要注意結(jié)合五點法作圖求解.屬于中檔題.2、B【解析】

將u=lny，v=(x-4)2代入線性回歸方程=-0.5v+2，利用指數(shù)函數(shù)和二次函數(shù)的性質(zhì)可得最大估計值.【詳解】解：將u=lny，v=(x4)2代入線性回歸方程=0.5v+2得：，即，當(dāng)時，取到最大值2，因為在上單調(diào)遞增，則取到最大值.故選：B.【點睛】本題考查了非線性相關(guān)的二次擬合問題，考查復(fù)合型指數(shù)函數(shù)的最值，是基礎(chǔ)題,.3、B【解析】

模擬程序運行，觀察變量值可得結(jié)論．【詳解】循環(huán)前，循環(huán)時：，不滿足條件；，不滿足條件；，不滿足條件；，不滿足條件；，不滿足條件；，滿足條件，退出循環(huán)，輸出．故選：B．【點睛】本題考查程序框圖，考查循環(huán)結(jié)構(gòu)，解題時可模擬程序運行，觀察變量值，從而得出結(jié)論．4、C【解析】

根據(jù)線面平行與垂直的判定與性質(zhì)逐個分析即可.【詳解】因為,所以,因為E、F分別是AB、AD的中點,所以,所以,因為面面,所以.選項A、D顯然成立；因為,平面,所以平面,因為平面,所以,所以B項成立；易知平面MEF,平面MPQ,而直線與不垂直,所以C項不成立.故選：C【點睛】本題考查直線與平面的位置關(guān)系.屬于中檔題.5、C【解析】

利用等差通項，設(shè)出和，然后，直接求解即可【詳解】令，則，，∴，，∴.【點睛】本題考查等差數(shù)列的求和問題，屬于基礎(chǔ)題6、D【解析】

根據(jù)面面平行的判定及性質(zhì)求解即可．【詳解】解：a?α，b?β，a∥β，b∥α，由a∥b，不一定有α∥β，α與β可能相交；反之，由α∥β，可得a∥b或a與b異面，∴a，b是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，且a?α，b?β，a∥β，b∥α，則“a∥b“是“α∥β”的既不充分也不必要條件．故選：D.【點睛】本題主要考查充分條件與必要條件的判斷，考查面面平行的判定與性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．7、A【解析】

計算的中點坐標(biāo)為，圓半徑為，得到圓方程.【詳解】的中點坐標(biāo)為：，圓半徑為，圓方程為.故選：.【點睛】本題考查了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，意在考查學(xué)生的計算能力.8、B【解析】

由題意可得a1=a2=a3=a4=a5=2，累加法求得a62+【詳解】解：an即a1=an?6時，a1a1兩式相除可得1+a則an2=由a6a7…，ak2=可得aa1且a1正整數(shù)k(k?5)時，要使得a1則ak+1則k=17，故選：B．【點睛】本題考查與遞推數(shù)列相關(guān)的方程的整數(shù)解的求法，注意將題設(shè)中的遞推關(guān)系變形得到新的遞推關(guān)系，從而可簡化與數(shù)列相關(guān)的方程，本題屬于難題.9、B【解析】

可判斷函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，所以.【詳解】在上單調(diào)遞增，且，所以.故選：B【點睛】本題主要考查了函數(shù)單調(diào)性的判定，指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，利用單調(diào)性比大小等知識，考查了學(xué)生的運算求解能力.10、A【解析】

首先利用二倍角正切公式由，求出，再根據(jù)充分條件、必要條件的定義判斷即可；【詳解】解：∵，∴可解得或，∴“”是“”的充分不必要條件.故選：A【點睛】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，二倍角正切公式的應(yīng)用是解決本題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．11、D【解析】

利用拋物線的定義，求得p的值，由利用兩點間距離公式求得，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，求得，由取得最小值為，求得結(jié)果.【詳解】由拋物線焦點在軸上，準(zhǔn)線方程，則點到焦點的距離為，則，所以拋物線方程：，設(shè)，圓，圓心為，半徑為1，則，當(dāng)時，取得最小值，最小值為，故選D.【點睛】該題考查的是有關(guān)距離的最小值問題，涉及到的知識點有拋物線的定義，點到圓上的點的距離的最小值為其到圓心的距離減半徑，二次函數(shù)的最小值，屬于中檔題目.12、D【解析】

利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式、二倍角公式和輔助角公式化簡表達(dá)式，再根據(jù)三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求法，求得的單調(diào)區(qū)間，由此確定正確選項.【詳解】因為，由單調(diào)遞增，則（），解得（），當(dāng)時，D選項正確.C選項是遞減區(qū)間，A，B選項中有部分增區(qū)間部分減區(qū)間.故選：D【點睛】本小題考查三角函數(shù)的恒等變換，三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)等基礎(chǔ)知識；考查運算求解能力，推理論證能力，數(shù)形結(jié)合思想，應(yīng)用意識.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、2【解析】

設(shè)符合條件的點,由拋物線的定義可得,即可求解.【詳解】設(shè)符合條件的點,則,所以符合條件的點有2個.故答案為:2【點睛】本題考查拋物線的定義的應(yīng)用,考查拋物線的焦半徑.14、12【解析】

由題意，設(shè)底面平行四邊形的，且邊上的高為，直四棱柱的高為，分別表示出直四棱柱的體積和三棱錐的體積，即可求解?！驹斀狻坑深}意，設(shè)底面平行四邊形的，且邊上的高為，直四棱柱的高為，則直四棱柱的體積為，又由三棱錐的體積為，解得，即直四棱柱的體積為?！军c睛】本題主要考查了棱柱與棱錐的體積的計算問題，其中解答中正確認(rèn)識幾何體的結(jié)構(gòu)特征，合理、恰當(dāng)?shù)乇硎局彼睦庵忮F的體積是解答本題的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，以及空間想象能力，屬于中檔試題。15、【解析】

利用兩角和的正切公式結(jié)合可得出的方程，即可求出的值，然后利用二倍角的正、余弦公式結(jié)合弦化切思想求出和的值，進(jìn)而利用兩角差的余弦公式求出的值.【詳解】，，，.故答案為：；.【點睛】本題主要考查三角函數(shù)值的計算，考查兩角和的正切公式、兩角差的余弦公式、二倍角的正弦公式、余弦公式以及弦化切思想的應(yīng)用，難度不大．16、【解析】

首先解不等式，再由在區(qū)間上恒成立，即得到不等組，解得即可.【詳解】解：且，即解得，即因為在區(qū)間上恒成立，解得即故答案為：【點睛】本題考查一元二次不等式及函數(shù)的綜合問題，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）證明見解析【解析】

（1）利用零點分段法，求出各段的取值范圍然后取并集可得結(jié)果.（2）利用絕對值三角不等式可得，然后使用柯西不等式可得結(jié)果.【詳解】（1）由，所以由當(dāng)時，則所以當(dāng)時，則當(dāng)時，則綜上所述：（2）由當(dāng)且僅當(dāng)時取等號所以由，所以所以令根據(jù)柯西不等式，則當(dāng)且僅當(dāng)，即取等號由故，又則【點睛】本題考查使用零點分段法求解絕對值不等式以及柯西不等式的應(yīng)用，屬基礎(chǔ)題.18、（Ⅰ）（Ⅱ）見證明【解析】

（Ⅰ）求導(dǎo)得，由是減函數(shù)得，對任意的，都有恒成立，構(gòu)造函數(shù)，通過求導(dǎo)判斷它的單調(diào)性，令其最大值小于等于0，即可求出；（Ⅱ）由是減函數(shù)，且可得，當(dāng)時，，則，即，兩邊同除以得，，即，從而，兩邊取對數(shù)，然后再證明恒成立即可，構(gòu)造函數(shù)，，通過求導(dǎo)證明即可．【詳解】解：（Ⅰ）的定義域為，.由是減函數(shù)得，對任意的，都有恒成立.設(shè).∵，由知，∴當(dāng)時，；當(dāng)時，，∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，∴在時取得最大值.又∵，∴對任意的，恒成立，即的最大值為.∴，解得.（Ⅱ）由是減函數(shù)，且可得，當(dāng)時，，∴，即.兩邊同除以得，，即.從而，所以①.下面證；記，.∴，∵在上單調(diào)遞增，∴在上單調(diào)遞減，而，∴當(dāng)時，恒成立，∴在上單調(diào)遞減，即時，，∴當(dāng)時，.∵，∴當(dāng)時，，即②.綜上①②可得，.【點睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系，考查了函數(shù)的最值，考查了構(gòu)造函數(shù)的能力，考查了邏輯推理能力與計算求解能力，屬于難題．，19、（1）；（2）.【解析】

（1）分別取的中點為，易得兩兩垂直，以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，易得為平面的法向量，只需求出平面的法向量為，再利用計算即可；（2）求出，利用計算即可.【詳解】（1）分別取的中點為，連結(jié).因為∥，所以∥.因為，所以.因為側(cè)面為等邊三角形，所以又因為平面平面，平面平面，平面，所以平面，所以兩兩垂直.以為空間坐標(biāo)系的原點，分別以所在直線為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，因為，則，，.設(shè)平面的法向量為，則，即.取，則，所以.又為平面的法向量，設(shè)平面與平面所成的銳二面角的大小為，則，所以平面與平面所成的銳二面角的大小為.（2）由（1）得，平面的法向量為，所以成.又直線與平面所成角為，所以，即，即，化簡得，所以，符合題意.【點睛】本題考查利用向量坐標(biāo)法求面面角、線面角，涉及到面面垂直的性質(zhì)定理的應(yīng)用，做好此類題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確寫出點的坐標(biāo)，是一道中檔題.20、（1）的增區(qū)間為，減區(qū)間為；（2）.【解析】

（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由于參數(shù)的范圍對導(dǎo)數(shù)的符號有影響，對參數(shù)分類，再研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）由（1）的結(jié)論，求出的表達(dá)式，由于恒成立，故求出的最大值，即得實數(shù)的取值范圍的左端點．【詳解】解：（1）解：，當(dāng)時，，解得的增區(qū)間為，解得的減區(qū)間為.（2）解：若，由得，由得，所以函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為；，因為，所以，，令，則恒成立，由于，當(dāng)時，，故函數(shù)在上是減函數(shù)，所以成立；當(dāng)時，若則，故函數(shù)