大學物理(下)典型題

（一）電磁學共23題（二）相對論共3題（三）量子物理共6題2021/5/91大學物理電磁學

共23題2021/5/921均勻帶電圓環(huán)軸線上一點的場強。設半徑為R的細圓環(huán)均勻帶電，總電量為q，P是軸線上一點，離圓心O的距離為x，求P點的場強。dqrOxRxP解：(3)(4)積分求解:

由于對稱性(1)(2)將分解為在圓環(huán)上任意取一線元dl，其帶電量為dq

2021/5/93dqrOPxRx在積分過程中，r和保持不變，可以提到積分號外，即2021/5/94dqrOPxRx討論(1)環(huán)心處，x=0，E=0；即遠離環(huán)心處的電場相當于一個點電荷產(chǎn)生的電場。(3)當x>>R時，思考如果把圓環(huán)去掉一半，P點的場強是否等于原來的一半？(2)當q>0時，沿軸線指向遠離軸線的方向，當q<0時，沿軸線指向環(huán)心；2021/5/952求均勻帶電無限長圓柱體(λ,R)的電場分布。OREE

rE1/rrOR解：在柱體內(nèi)(r

R),選長為l

的同軸柱形高斯面，利用高斯定律在柱體外(r>R)，取同樣高斯面，所以得電場分布的矢量表達l2021/5/96OabR1R2rbra3：均勻帶電球層，內(nèi)半徑為R1，外半徑為R2，體電荷密度為。求圖中a點和b點電勢。解：取薄球殼，半徑為r，厚為dr，可視為均勻帶電球面，其帶電量為rdr對a點，此帶電球面產(chǎn)生的電勢為2021/5/97對b點，當球殼半徑r<rb時，其產(chǎn)生的電勢為OabR1R2rbrardr當球殼半徑r>

rb時，其產(chǎn)生的電勢為2021/5/984：有一塊大金屬平板，面積為S，帶有總電量Q，今在其近旁平行地放置第二塊大金屬平板，此板原來不帶電。(1)求靜電平衡時，金屬板上的電荷分布及周圍空間的電場分布。(2)如果把第二塊金屬板接地，最后情況又如何？（忽略金屬板的邊緣效應。）σ1σ2σ3σ4解：（1）由于靜電平衡時導體內(nèi)部無凈電荷，所以電荷只能分布在兩金屬板的表面上。設四個表面上的面電荷密度分別為σ1、σ2、σ3和σ4。QS2021/5/99由電荷守恒定律可知：閉曲面作為高斯面。由于板間電場與板面垂直，且板內(nèi)的電場為零，所以通過此高斯面的電通量為零。選一個兩底分別在兩個金屬板內(nèi)而側面垂直于板面的封金屬板內(nèi)任一點P的場強是4個帶電平面的電場的疊加，并且為零，所以σ1σ2σ3σ4QSP(1)(2)(3)(4)2021/5/910即：聯(lián)立求解可得：電場的分布為：在Ⅰ區(qū)，在Ⅱ區(qū)，在Ⅲ區(qū)，方向向左方向向右方向向右ⅠEⅡEⅢEIⅡIIIⅠⅡⅢσ1σ2σ3σ4QS1234由有2021/5/911（2）如果把第二塊金屬板接地，其右表面上的電荷就會分散到地球表面上，所以第一塊金屬板上的電荷守恒仍給出由高斯定律仍可得金屬板內(nèi)P點的場強為零，所以聯(lián)立求解可得：ⅡIⅡIIIσ1σ2σ3σ4SP電場的分布為：ⅠE=0，ⅡE方向向右EIII=02021/5/912O直線+λd導體板5如圖，求O點處感應電荷密度σ。xO/解：取導體板內(nèi)很鄰近O點的O/點，直線在O/點產(chǎn)生的電場感應電荷在O/點產(chǎn)生的電場，由總電場得2021/5/913解：兩極面間的電場在電場中取體積元則在dV中的電場能量為：6一圓柱形電容器，兩個極面的半徑分別為R1和R2，兩極面間充滿相對介電常數(shù)為的電介質。求此電容器帶有電量Q時所儲存的電能。L+Q–QεrR1R22021/5/914S解:根據(jù)電荷分布對壁的平分面的面對稱性，可知電場分布也具有這種對稱性。由此可選平分面與壁的平分面重合的立方盒子為高斯面，如圖所示，高斯定理給出：7一無限大均勻帶電厚壁，壁厚為D，體電荷密度為ρ，求其電場分布，并畫出

E-d曲線，d為垂直于壁面的坐標，原點在厚壁的中心。DdE-d曲線如圖EdO2021/5/9158兩個同心金屬球殼，內(nèi)球殼半徑為R1，外球殼半徑為R2，中間充滿相對介電常數(shù)為er的均勻介質，構成一個球形電容器。

(1)

求該電容器的電容；(2)設內(nèi)外球殼上分別帶有電荷+Q和-Q，求電容器儲存的能量。解:(1)已知內(nèi)球殼上帶正電荷Q，則兩球殼中間的場強大小為

：兩球殼間電勢差

電容(2)電場能量：OR1R22021/5/9169兩個同心的均勻帶電球面，半徑分別為R1=5.0cm，R2=20.0cm，已知內(nèi)球面的電勢為，外球面的電勢為。

(1)

求內(nèi)外球面所帶電量；(2)兩個球面之間何處電勢為零。解:(1)以q1和q2分別表示內(nèi)外球所帶電量，由電勢疊加原理：聯(lián)立可得

可得(2)由：OR1R22021/5/91710.在均勻磁場中放置一半徑為R的半圓形導線，電流強度為I，導線兩端連線與磁感應強度方向夾角

=30°，求此段圓弧電流受的磁力。Iab解：在電流上任取電流元方向2021/5/91811.如圖所示，在均勻磁場中，半徑為R的薄圓盤以角速度ω繞中心軸轉動，圓盤電荷面密度為σ。求它的磁矩、所受的磁力矩以及磁矩的勢能。解：取半徑為r的環(huán)狀面元，圓盤轉動時，它相當于一個載流圓環(huán)，其電流：磁矩：Rrdrω受的力矩：圓盤磁矩：方向向上磁矩的勢能為2021/5/91912.一半徑為R的無限長半圓柱面導體，其上電流與其軸線上一無限長直導線的電流等值反向。電流I在半圓柱面上均勻分布。(1)求軸線上導線單位長度所受的力；(2)若將另一無限長直導線(通有大小、方向與半圓柱面相同的電流I)代替圓柱面，產(chǎn)生同樣的作用力，該導線應放在何處？解：(1)在半圓柱面上沿母線取寬為dl的窄條，其電流IIR它在軸線上一點產(chǎn)生的磁感應強度:方向如圖dIdlxy2021/5/920由電流分布的對稱性可知：方向沿x軸方向沿y軸，是斥力dIdlxy(2)另一無限長直導線應平行放置于y軸負半軸上，以d表示兩直導線間的距離，則2021/5/92113.將一均勻分布著的電流的無限大載流平面放入均勻磁場中，電流方向與此磁場垂直。已知平面兩側的磁感應強度分別為B1和B2，如圖所示，求該載流平面單位面積所受磁場力的大小和方向。解:載流平面自身在其兩側產(chǎn)生的磁場為：方向相反。均勻外磁場B0

在平面兩側方向相同。由圖，載流平面產(chǎn)生磁場與外磁場在左側方向相反，在右側方向相同。載流平面單位面積所受的磁場力考慮長dl，寬ds的電流元，其在外磁場中受的磁場力2021/5/92214.半徑為R的圓片上均勻帶電，面密度為，該圓片以勻角速度繞它的軸線旋轉，求圓片中心O處的磁感應強度的大小。

O解:取

r處

dr

寬度的圓環(huán)，其以作圓周運動，相當于一圓電流dI，dI

的大小為：此圓電流在圓心處產(chǎn)生的磁場的磁感應強度為：整個圓板在圓心處產(chǎn)生的磁場的磁感應強度為：2021/5/923xORx由對稱性θθ解:方向:+x15：圓電流（I，R）軸線上的磁場。方向：右手定則

x=0圓心處

x>>R2021/5/92416：求無限長均勻載流圓柱體(I,R)的磁場。I柱外：r>R柱內(nèi)：r<RLLrRBO解：2021/5/92517.長直導線中通有電流I=5A，另一矩形線圈共1103匝，寬a=10cm，長L=20cm，以v=2m/s的速度向右平動，求當d=10cm時線圈中的感應電動勢。直導線產(chǎn)生的磁感強度為advIL解：方向如圖

1方向如圖

2方向順時針2021/5/92618.在半徑為R的圓柱形體積內(nèi)，充滿磁感強度為B的均勻磁場，有一長為L的金屬棒放在磁場中,設磁場在增強，并且dB/dt已知，求金屬棒中的感生電動勢，并指出哪端電勢高。解：由法拉第定律計算設想一回路，如OABO，則該回路的感應電動勢大小為lABO

B均勻dB/dt>0，則回路中電動勢方向為逆時針，B端高。由于OA和OB兩段沿徑向，渦旋電場垂直于段元，這兩段不產(chǎn)生電動勢。該電動勢就是金屬棒上的電動勢。2021/5/927x19.導體CD以恒定速率在一個三角形的導體框架MON上運動，它的速度的方向垂直于CD向右，磁場的方向如圖，B=Kxcosωt,求：CD運動到x處時，框架COD內(nèi)感應電動勢的大小、方向。（設

t=0,x=0)解：選定回路正向，順時針方向hdx,x,CD

MON2021/5/928CDx

MONhdx

x

解二、2021/5/92920.矩形螺繞環(huán)共有N匝，尺寸如圖，求：L=?D2D1hIL解：設電流為I，取回路L若矩形螺繞環(huán)中充滿磁導率為μ的介質，L=?dshr2021/5/93021.一邊長為l和b

的矩形線框。在其平面內(nèi)有一根平行于AD邊的長直導線OO’，導線半徑為a。求：該系統(tǒng)的互感系數(shù)．O′Obl.××××××××××××××××××××....I12解：dsABCD2021/5/93122.傳輸線由兩個同軸圓筒組成，內(nèi)、外半徑分別為R1,R2,其間介質的磁導率為μ，電流由內(nèi)筒一端流入，由外筒的另一端流回，當電流強度為I時，求:l

長度傳輸線內(nèi)儲存的磁能。I解：a單位長度L*l2021/5/932求:任意時刻t在矩形線框內(nèi)的感應電動勢并討論的方向.ab23.如圖,真空中一長直導線通有電流有一帶滑動邊的矩形導線框與其平行共面,二者相距a.滑動邊長為b,以勻速滑動.若忽略線框中的自感電動勢,并設開始時滑動邊與對邊重合.aOxya+bds建立坐標xoy.取ds,其內(nèi)的磁通量L順時針L2021/5/933在t時刻,矩形線框內(nèi)的磁通量

2021/5/934a0xya+ba0xya+b的方向當時,為順時針方向.當時,為逆時針方向.2021/5/935大學物理相對論共3題2021/5/9361.一發(fā)射臺向東西兩側距離均為L0

的兩個接收站E與W發(fā)射訊號,如圖,今有一飛機以勻速度v沿發(fā)射臺與兩接收站的連線由西向東,

求:在飛機上測得兩接收站收到發(fā)射臺同一訊號的時間間隔是多少?解:

設東西接收到訊號為兩個事件,時空坐標為地面為S系(xE,tE),(xW,tW)飛機為S'系(xE',tE'),(xW',tW')負號表示東先接收到訊號。由洛侖茲時空變換得2021/5/9372.兩只宇宙飛船,彼此以0.98c的相對速率相對飛過對方;宇宙飛船1中的觀察者測得另一只宇宙飛船2的長度為自己宇宙飛船長度的2/5。求:(1)宇宙飛船2與1中的靜止長度之比?(2)飛船2中的觀察者測得飛船1的長度與自己飛船長度之比?解:(1)設飛船1為S,飛船2為S',靜長分別為L10,L20'飛船1測飛船2的長度為L2,飛船2測飛船1的長度為L1'

由題意:由長度收縮:(2)2021/5/9383.已知二質點A,B靜止質量均為m0,若質點A靜止質點B以6m0c2的動能向A運動,碰撞后合成一粒子,無能量釋放。求:合成粒子的靜止質量M0?解:

二粒子的能量分別為由能量守恒,合成后粒子的總能量為由質能關系:E=Mc2由質速關系:關鍵求復合粒子的速度v=?由動量守恒:2021/5/939對B應用能量與動量關系,即2021/5/940大學物理量子物理共6題2021/5/9411.在光電效應實驗中，測得某金屬的截止電壓Uc和入射光頻率的對應數(shù)據(jù)如下：6.5016.3036.0985.8885.6640.8780.8000.7140.6370.541試用作圖法求：(1)該金屬光電效應的紅限頻率；(2)普朗克常量。圖Uc和

的關系曲線4.05.06.00.00.51.0Uc[V]

1014Hz解：以頻率

為橫軸,以截止電壓Uc為縱軸，畫出曲線如圖所示(注意:)。2021/5/942(1)曲線與橫軸的交點就是該金屬的紅限頻率，由圖上讀出的紅限頻率(2)由圖求得直線的斜率為對比上式與有精確值為圖Uc和

的關系曲線4.05.06.00.00.51.0Uc[V]

1014Hz2021/5/9432.一維無限深勢阱中的粒子的定態(tài)物質波相當于兩端固定的弦中的駐波，因而勢阱寬度a必須等于德布羅意波的半波長的整數(shù)倍。(1)試由此求出粒子能量的本征值為：(2)

在核(線度1.0×10-14m)內(nèi)的質子和中子可以當成是處于無限深的勢阱中而不能逸出，它們在核中的運動是自由的。按一維無限深方勢阱估算，質子從第一激發(fā)態(tài)到基態(tài)轉變時，放出的能量是多少MeV？解：在勢阱中粒子德布羅意波長為

粒子的動量為：2021/5/944

粒子的能量為：(2)由上式，質子的基態(tài)能量為(n=1):第一激發(fā)態(tài)的能量為：n=1,2,3…2021/5/945從第一激發(fā)態(tài)轉變到基態(tài)所放出的能量為：討論：實驗中觀察到的核的兩定態(tài)之間的能量差一般就是幾MeV,上述估算和此事實大致相符。n=1n=2n=32021/5/9463.

設粒子處于由下面波函數(shù)描述的狀態(tài)：當當A是正的常數(shù)。求粒子在x軸上分布的概率密度;粒子在何處出現(xiàn)的概率最大?解：首先把給定的波函數(shù)歸一化做積分得2021/5/947因此，歸一化的波函數(shù)為當當歸一化之后，就代表概率密度了，即當當概率最大處:即x=02021/5/948討論：波函數(shù)本身無物理意義,“測不到，看不見”，是一個很抽象的概念，但是它的模的平方給我們展示了粒子在空間各處出現(xiàn)的概率密度分布的圖像。Eoa/2x-a/2E1n=14E1n=29E1n=3Enψn|ψn|2無限深方勢阱內(nèi)粒子的能級、波函數(shù)和概率密度2021/5/9494.氫原子的直徑約10-10m，求原子中電子速度的不確定量。按照經(jīng)典力學，認為電子圍繞原子核做圓周運動，它的速度是多少？結果說明什么問題？解：由不確定關系估計，有速度與其不確定度同數(shù)量級?？梢?，對原子內(nèi)的電子，談論其速度沒有意義，描述其運動必須拋棄軌道概念，代之以電子云圖象。按經(jīng)典力學計算2021/5/9505.(1)用4個量子數(shù)描述原子中電子的量子態(tài)，這4個量子數(shù)各稱做什么，它們?nèi)≈捣秶鯓樱?/p>

(2)4個量子數(shù)取值的不同組合表示不同的量子態(tài)，當n=2時，包括幾個量子態(tài)？

(3)寫出磷(P)的電子排布，并求每個電子