專題08 探索與表達規(guī)律(解析版)

專題08探索與表達規(guī)律考點一數(shù)字類規(guī)律探索考點二圖形類規(guī)律探索考點一數(shù)字類規(guī)律探索例題：（2022·新疆·和碩縣第二中學七年級期末）若＝2，＝4，＝8，＝16，＝32…，則的末位數(shù)字是（）A．2 B．4 C．8 D．6【答案】B【分析】根據(jù)所給數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)他們的個位數(shù)字以2、4、8、6為一個循環(huán)組，依次循環(huán)，然后計算即可．【詳解】解：由＝2，＝4，＝8，＝16，＝32，…，可知他們的個位數(shù)字以2、4、8、6為一個循環(huán)組，依次循環(huán)，∵2022÷4＝505……2，∴的末位數(shù)字與的末位數(shù)字相同，∴的末位數(shù)字是4，故選：B．【點睛】本題考查了數(shù)字類規(guī)律探索，觀察所給數(shù)據(jù)得出末位數(shù)字的變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵．【變式訓練】1．（2022·江蘇揚州·八年級期末）若（且），，，……，，則等于（

）A．x B． C． D．【答案】D【分析】分別求出，，，，根據(jù)求出的結(jié)果得出每三個數(shù)就循環(huán)一次，再根據(jù)得出的規(guī)律進行求解．【詳解】解：，，，，該數(shù)列每三個數(shù)就循環(huán)一次，，，故選：D．【點睛】本題考查了數(shù)字的變化規(guī)律，解題的關(guān)鍵是能根據(jù)求出的結(jié)果得出規(guī)律，再利用規(guī)律求解．2．（2021·新疆·昌吉市第二中學七年級期中）觀察下面一列數(shù)：1，，，，，……，按照這個規(guī)律，第10個數(shù)應該是________．【答案】【分析】觀察可得除第一項外，其余項滿足：奇數(shù)項為正，偶數(shù)項為負，第n個數(shù)的分母為，分子比分母小1，由此得出規(guī)律即可求解．【詳解】解：觀察可得，當n＞1時，第n個數(shù)為，則第10個數(shù)為：，故答案為：．【點睛】本題考查數(shù)字類規(guī)律探索，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題目的變化規(guī)律得到相應的結(jié)果．考點二圖形類規(guī)律探索例題：（2022·海南·?？谥袑W七年級期末）將一張長方形的紙對折，如圖所示可得到一條折痕（圖中虛線）．繼續(xù)對折，對折時每次折痕與上次的折痕保持平行，連續(xù)對折兩次后，可以得到3條折痕，連續(xù)對折三次后，可以得到7條折痕，那么對折6次可以得到______條折痕，對折n次可以得到______條折痕．【答案】

63

【分析】對前三次對折分析不難發(fā)現(xiàn)每對折1次把紙分成的部分是上一次的2倍，折痕比所分成的部分數(shù)少1，再根據(jù)對折規(guī)律求出對折n次得到的部分數(shù)，然后減1即可得到折痕條數(shù)，據(jù)此求解即可．【詳解】解：第一次對折后折痕的條數(shù)為，第二次對折后折痕的條數(shù)為，第三次對折后折痕的條數(shù)為，……第次對折后折痕的條數(shù)為，當n=6時，，故答案為：①63；②．【點睛】本題是對圖形變化規(guī)律的考查，觀察得到對折得到的部分數(shù)與折痕的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【變式訓練】1．（2022·山東青島·七年級期末）如圖1，將一個邊長為2的正三角形的三條邊平分，連接各邊中點，則該三角形被剖分的網(wǎng)格中的結(jié)點個數(shù)從上往下：共有1+2+3=6個結(jié)點．如圖2，將一個邊長為3的正三角形的三條邊三等分，連接各邊對應的等分點，則該三角形被剖分的網(wǎng)格中的結(jié)點個數(shù)是從上往下：共有1+2+3+4=10個結(jié)點．……按照上面的方式，將一個邊長為2022的正三角形的三條邊2022等分，連接各邊對應的等分點，則該三角形被剖分的網(wǎng)格中的結(jié)點個數(shù)從上往下共有________個結(jié)點（填寫最終個結(jié)點）【答案】2047276【分析】根據(jù)規(guī)律可知結(jié)點個數(shù)為1+2+3+4+……+n個，為三角形邊長數(shù)加1，據(jù)此即可求解．【詳解】解：將一個正三角形的三條邊平分，該三角形被剖分的網(wǎng)格中的結(jié)點個數(shù)從上往下：共有1+2+3==6個結(jié)點，將一個正三角形的三條邊三等分，該三角形被剖分的網(wǎng)格中的結(jié)點個數(shù)是從上往下：共有1+2+3+4==10個結(jié)點，……將一個正三角形的三條邊等分，該三角形被剖分的網(wǎng)格中的結(jié)點個數(shù)從上往下共有個結(jié)點，：將一個正三角形的三條邊2022等分，該三角形被剖分的網(wǎng)格中的結(jié)點個數(shù)從上往下共有：1+2+3+…+2023==2047276個結(jié)點，故答案為：2047276．【點睛】本題考查的是圖形的變化規(guī)律，根據(jù)圖形的變化正確總結(jié)出規(guī)律是解題的關(guān)鍵．2．（2022·河南·鄭州市第五十七中學七年級期末）下圖是由邊長相同的小正方形組成的，其中部分小正方形涂有陰影，依此規(guī)律完成此題圖形標號第一個第二個第三個第四個涂有陰影的小正方形的個數(shù)5a13b(1)a＝_____，

b＝_____；(2)按照這種規(guī)律繼續(xù)下去，則第n個圖形中涂有陰影的小正方形的個數(shù)為___________；（用含n的代數(shù)式來表示）(3)按照這種規(guī)律繼續(xù)下去，用（2）中的代數(shù)式求第2022個圖形中涂有陰影的小正方形的個數(shù)．【答案】(1)9；17(2)4n+1(3)8089根【分析】（1）觀察圖形規(guī)律，可知第1個小正方形陰影有5個，第2個小正方形陰影有5+4=9個，第3個小正方形陰影有5+4×2=13個，以此類推，可知第4個為5+4×3=17個；（2）第n個為5+4（n-1）=；（3）將代入即可．（1）第2個小正方形陰影有5+4=9個；第4個小正方形陰影有5+4×3=17個故答案為：9，17；（2）觀察圖形規(guī)律，可知：第1個小正方形陰影有5個，第2個小正方形陰影有5+4=9個，第3個小正方形陰影有5+4×2=13個，以此類推，第n個為5+4（n-1）=；故答案為：；（3）將代入中得：即第2022個圖形需要的火柴棒根數(shù)為8089根．【點睛】本題是圖形的規(guī)律探究題，找到題目中的規(guī)律，并用代數(shù)式把規(guī)律表示出來是解決本題的關(guān)鍵．一、選擇題1．（2022·浙江麗水·七年級期中）根據(jù)以上式子的變化規(guī)律，則的末位數(shù)字是(

)A．1 B．3 C．7 D．9【答案】B【分析】根據(jù)題意，找到7的乘方的末尾數(shù)字以7、9、3、1四個數(shù)字依次不斷循環(huán)出現(xiàn)，用2015除以4，余數(shù)是幾，就和第幾個數(shù)字相同，由此解決問題即可．【詳解】解：由題意可知，7的乘方的末尾數(shù)字以7、9、3、1四個數(shù)字依次不斷循環(huán)出現(xiàn)，∵2015÷4=503…3，∴72012的末位數(shù)字和73的末位數(shù)字相同是3．故選：B．【點睛】此題考查冪的末尾數(shù)字規(guī)律，根據(jù)7的乘方，找出末尾數(shù)字的規(guī)律是解決此題的關(guān)鍵．2．（2022·山東煙臺·期末）按一定規(guī)律排列的單項式：，，，，，……，第n個單項式是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先觀察系數(shù)與指數(shù)的規(guī)律，再根據(jù)規(guī)律定出第n個單項式即可．【詳解】解：∵，，，，，……，∴系數(shù)是奇數(shù)項為-1，偶數(shù)項為1，即系數(shù)的規(guī)律是(-1)n-1,指數(shù)的規(guī)律為2n+1，∴第n個單項式為，故選：B．【點睛】本題考查數(shù)式的變化規(guī)律，通過觀察單項式的系數(shù)和指數(shù)，找到它們的規(guī)律是解題的關(guān)鍵．3．（2022·江蘇揚州·七年級期末）將一個按紅黃綠藍紫的順序依次循環(huán)排列的紙環(huán)鏈，截去中間的一部分后，剩下的部分如圖所示，則被截去的中間一部分的紙環(huán)總數(shù)數(shù)可能是（

）A．2020 B．2021 C．2022 D．2023【答案】D【分析】該紙鏈是5的倍數(shù)，剩下部分有12個，12=5×2+2，所以中間截去的是3+5n，從選項中數(shù)減3為5的倍數(shù)即得到答案．【詳解】解：由題意，可知中間截去的是5n+3（n為正整數(shù)），當5n+3=2020，解得n=，選項A不符合題意，當5n+3=2021時，n=，選項B不符合題意，

當5n+3=2022時，n=，選項C不符合題意，當5n+3=2023時，n=404，選項D符合題意，故選：D．【點睛】本題考查了圖形的變化規(guī)律，從整體是5個不同顏色環(huán)的整數(shù)倍數(shù)，截去部分去3后為5的倍數(shù)，從而得到答案．4．（2022·山東濟南·七年級期末）將正整數(shù)按如圖所示的規(guī)律排列，若用有序數(shù)對（a，b）表示第a行，從左至右第b個數(shù)，例如（4，3）表示的數(shù)是9，則（15，10）表示的數(shù)是（

）A．115 B．114 C．113 D．112【答案】A【分析】觀察圖形可知，每一行的第一個數(shù)字都等于前面數(shù)字的個數(shù)再加1，即可得出（15，1）表示的數(shù)，然后得出（15，10）表示的數(shù)即可．【詳解】解：因為（1，1）表示的數(shù)是：1，（2，1）表示的數(shù)是：1+1=2，（3，1）表示的數(shù)是：1+1+2=4，（4，1）表示的數(shù)是：1+1+2+3=7，（5，1）表示的數(shù)是：1+1+2+3+4=11，……所以（a，1）表示的數(shù)是：，所以（15，1）表示的數(shù)是：，所以（15，10）表示的數(shù)是：106+10-1=115，故選A．【點睛】本題考查了找圖形和數(shù)字規(guī)律，從題目分析發(fā)現(xiàn)每一行的第一個數(shù)字都等于前面數(shù)字的個數(shù)再加1是本題的關(guān)鍵．5．（2022·甘肅·永昌縣第六中學七年級期末）用同樣大小的黑色棋子按如圖所示的規(guī)律擺放，第1個圖形有6顆棋子，第2個圖形有9顆棋子，第3個圖形有12顆棋子，第4個圖形有15顆棋子……，以此類推，第（

）個圖形有2022顆棋子．A．672 B．673 C．674 D．675【答案】B【分析】觀察圖形，根據(jù)給定圖形中棋子顆數(shù)的變化，找出變化規(guī)律：第n個圖形有（3n＋3）顆棋子，然后計算即可．【詳解】解：觀察圖形，可知：第1個圖形有6＝3×2顆棋子，第2個圖形有9＝3×3顆棋子，第3個圖形有12＝3×4顆棋子，第4個圖形有15＝3×5顆棋子，……，∴第n個圖形有3×（n＋1）＝（3n＋3）顆棋子，當3n＋3＝2022時，解得：n＝673，故選：B．【點睛】本題考查了規(guī)律型：圖形的變化類，根據(jù)給定圖形中棋子顆數(shù)的變化情況，找出變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵．二、填空題6．（2021·四川·榮縣一中七年級階段練習）觀察這些數(shù)的規(guī)律，3，-8，15，-24，35，…則第10個數(shù)是______．【答案】【分析】不難發(fā)現(xiàn)每個數(shù)的絕對值都是從開始的自然數(shù)的平方減，且第奇數(shù)個數(shù)是正數(shù)，第偶數(shù)個數(shù)是負數(shù)，由此即可解答．【詳解】解：；；；；；第個數(shù)是，故答案為：【點睛】此題考查了數(shù)字變化的規(guī)律，根據(jù)數(shù)字變化的正負性確定數(shù)字變化的規(guī)律是解題的關(guān)鍵．7．（2022·黑龍江·哈爾濱市風華中學校階段練習）用同樣大小的黑色棋子按圖所示的方式擺圖形，按照這樣的規(guī)律擺下去，則第10個圖形需棋子___________枚．【答案】31【分析】第個圖中，黑色棋子個數(shù)為4；第個圖中，黑色棋子個數(shù)為；第個圖中，黑色棋子個數(shù)為；得出規(guī)律，進而求解出第10個圖中，黑色棋子個數(shù)．【詳解】解：第個圖中，黑色棋子個數(shù)為4；第個圖中，黑色棋子個數(shù)為；第個圖中，黑色棋子個數(shù)為；得出規(guī)律為第個圖中，黑色棋子個數(shù)為；當時，黑色棋子個數(shù)為故答案為：．【點睛】本題主要考察了總結(jié)規(guī)律．解題的關(guān)鍵在于是否能夠根據(jù)數(shù)據(jù)的特征推導出規(guī)律．8．（2022·湖南永州·八年級期中）如圖，每一幅圖中均含有若干個正方形．第①幅圖中含有1個正方形；第②幅圖中含有5個正方形；第③幅圖中含有14個正方形…按這樣的規(guī)律下去，則第⑦幅圖中含有______個正方形．【答案】140【分析】觀察圖形發(fā)現(xiàn)第一個有1個正方形，第二個有1+4=5個正方形，第三個有1+4+9=14個正方形，…第n個有：1+22+32+…+n2個正方形，從而得到答案．【詳解】解：觀察圖形發(fā)現(xiàn)第一個有1個正方形，第二個有1+4=5個正方形，第三個有1+4+9=14個正方形，…∴第n個有：（1+22+32+…+n2）個正方形，則第7個有1+4+9+16+25+36+49=140個正方形，故答案為：140．【點睛】此題考查了圖形的變化規(guī)律，解題的關(guān)鍵是仔細觀察圖形并找到規(guī)律，利用規(guī)律解決問題．9．（2022·山東威?！て谀┤鐖D，圓的周長為4個單位長度．在該圓周上4等分點處分別標上數(shù)字0、1、2、3，讓圓周上表示數(shù)字0的點與數(shù)軸上表示的點重合，將該圓沿著數(shù)軸的負方向滾動，則數(shù)軸上表示數(shù)的點對應圓周上的數(shù)字是__________．【答案】3【分析】由于圓的周長為4個單位長度，所以只需先求出此圓在數(shù)軸上環(huán)繞的距離，再用這個距離除以4，如果余數(shù)分別是0，1，2，3，則分別與圓周上表示數(shù)字0，3，2，1的點重合．【詳解】解：∵-1-（-2022）=2021，2021÷4=505…1，∴數(shù)軸上表示數(shù)-2022的點與圓周上的數(shù)字3重合，故答案為：3．【點睛】本題找到表示數(shù)-2022的點與圓周上起點處表示的數(shù)字重合，是解題的關(guān)鍵．10．（2022·廣西南寧·七年級期末）如圖，將一個正方形，第1次向右平移一下，平移的距離等于對角線長的一半，即其中一個正方形的頂點與另一個正方形的中心重合，并把重疊部分涂上顏色；第2次向右平移連續(xù)平移兩次，每次平移的距離與第一次平移的距離相同，并且每平移一次把重疊部分涂上顏色，……，則第2022次平移后所得到的圖案中所有正方形的個數(shù)是______．【答案】8087【分析】根據(jù)平移的性質(zhì)和圖示總結(jié)出規(guī)律，得出第n次平移后所得的圖案中正方形的個數(shù)，再將次數(shù)代入即可求出答案．【詳解】第一次平移形成3個正方形，；第二次平移形成7個正方形，；第三次平移形成11個正方形，；即第n次平移后可得到的正方形個數(shù)為，；將代入可得，，故答案為8087．【點睛】本題考查了平移的性質(zhì)和規(guī)律的推算，根據(jù)前三次平移情況總結(jié)出規(guī)律，得出第n次平移后所得的圖案中正方形的個數(shù)為本題的關(guān)鍵．三、解答題11．（2022·廣西梧州·七年級期中）已知下列等式：①；②；③，…(1)請仔細觀察前三個式子的規(guī)律，寫出第④個式子：______________；(2)請你找出規(guī)律，寫出第n個式子__________________．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題中所給等式的特點，可以寫出第④的式子，（2）根據(jù)題中所給等式的特點，可以寫出第n個式子，【詳解】解：（1）①22?12=3；②32?22=5；③42?32=7，∴第④個式子：，故答案為：52-42=9（2）①22?12=（1+1）2-12=2×1+1=3，②32?22=（2+1）2-22=2×2+1=5，③42?32=（3+1）2-32=2×3+1=7，……∴第n個式子：．故答案為：（n+1）2-n2=2n+1【點睛】本題考查了數(shù)字的變化，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，發(fā)現(xiàn)式子變化的特點，即可求解．12．（2022·浙江臺州·七年級期末）觀察下面三行數(shù)：，4，，16，，64，…；①0，6，，18，，66，…；②，2，，8，，32，…；③(1)第①行第8個數(shù)為______；第②行第8個數(shù)為______；第③行第8個數(shù)為______．(2)是否存在這樣一列數(shù)，使三個數(shù)的和為322？若存在，請寫出這3個數(shù)；若不存在，請說明理由．【答案】(1)256，258，128；(2)不存在，理由見解析【分析】（1）①后一個數(shù)是前一個數(shù)的?2倍，②的數(shù)的規(guī)律是在①每個對應數(shù)加2，③后一個數(shù)是前一個數(shù)的?2倍，由此可求解；（2）通過觀察可得規(guī)律：①的第n個數(shù)是（?2）n，②的第n個數(shù)是（?2）n＋2，③的第n個數(shù)是（?1）n2n?1，再由（?2）n＋（?2）n＋2＋（?1）n×2n?1＝322，求n即可．(1)解：（1）?2，4，?8，16，?32，64，…，第n個數(shù)為（-2）n，當n=8時，（-2）8=256，∴第8個數(shù)是256，②的數(shù)的規(guī)律是在①每個對應數(shù)加2∴②的第8個數(shù)是256＋2＝258，③的第n個數(shù)為（?1）n2n?1，當n=8時，（?1）8×27=27=128，∴③的第8個數(shù)是128，故答案為：256，258，128；(2)不存在一列數(shù)，使三個數(shù)的和為322，理由如下：①的第n個數(shù)是（?2）n，②的第n個數(shù)是（?2）n＋2，③的第n個數(shù)是（?1）n2n?1，由題意得，（?2）n＋（?2）n＋2＋（?1）n×2n?1＝322，設(shè)n為偶數(shù)，∴4×2n?1＋2n?1＝5×2n?1＝320，∴2n?1＝64，∴n＝7，與n為偶數(shù)互相矛盾，設(shè)n為奇數(shù)，∴-4×2n?1-2n?1＝-5×2n?1＝320，此方程無解，∴不存在一列數(shù)，使三個數(shù)的和為322．【點睛】本題考查數(shù)字的變化規(guī)律，通過觀察所給的式子，找到式子中各數(shù)間的規(guī)律是解題的關(guān)鍵．13．（2022·河南·鄭州市第五十七中學七年級期末）下圖是由邊長相同的小正方形組成的，其中部分小正方形涂有陰影，依此規(guī)律完成此題圖形標號第一個第二個第三個第四個涂有陰影的小正方形的個數(shù)5a13b(1)a＝_____，

b＝_____；(2)按照這種規(guī)律繼續(xù)下去，則第n個圖形中涂有陰影的小正方形的個數(shù)為___________；（用含n的代數(shù)式來表示）(3)按照這種規(guī)律繼續(xù)下去，用（2）中的代數(shù)式求第2022個圖形中涂有陰影的小正方形的個數(shù)．【答案】(1)9；17(2)4n+1(3)8089根【分析】（1）觀察圖形規(guī)律，可知第1個小正方形陰影有5個，第2個小正方形陰影有5+4=9個，第3個小正方形陰影有5+4×2=13個，以此類推，可知第4個為5+4×3=17個；（2）第n個為5+4（n-1）=；（3）將代入即可．（1）第2個小正方形陰影有5+4=9個；第4個小正方形陰影有5+4×3=17個故答案為：9，17；（2）觀察圖形規(guī)律，可知：第1個小正方形陰影有5個，第2個小正方形陰影有5+4=9個，第3個小正方形陰影有5+4×2=13個，以此類推，第n個為5+4（n-1）=；故答案為：；（3）將代入中得：即第2022個圖形需要的火柴棒根數(shù)為8089根．【點睛】本題是圖形的規(guī)律探究題，找到題目中的規(guī)律，并用代數(shù)式把規(guī)律表示出來是解決本題的關(guān)鍵．14．（2022·陜西西安·七年級期末）將邊長相等的黑、白兩色小正方形按如圖所示的方式拼接起來，第1個圖由5個白色小小正方形和1個黑色小正方形拼接起來，第2個圖由8個白色小正方形和2個黑色小正方形拼接起來，第3個圖由11個白色小正方形和3個黑色小正方形拼接起來，依此規(guī)律拼接．(1)第4個圖白色小正方形的個數(shù)為__；(2)第10個圖白色小正方形的個數(shù)為___；(3)第n個圖白色小正方形的個數(shù)為（用含n的代數(shù)式表示，結(jié)果應化簡）；(4)是否存在某個圖形，其白色小正方形的個數(shù)為2021個，若存在，求出是第幾個圖形；若不存在，請說明理由．【答案】(1)14(2)32(3)(4)存在，第673個【分析】（1）由圖可知，第一個圖形由5個白色小正方形，第二個圖形由8個，第三個圖形由11個，往后每個圖形依次增加3個，第四個圖形在第三個圖形的基礎(chǔ)上增加3個即可；（2）根據(jù)（1）中觀察得到的結(jié)論“往后每個圖形依次增加3個白色小正方形”，則第十個應該在第一個的基礎(chǔ)上增加9×3個；（3）第一個：5=2+3，第二個：8=2+3×2，第三個：11=2+3×3，則第n個應該在2的基礎(chǔ)上增加3n個；（4）設(shè)第n個圖白色小正方形的個數(shù)為2021，將2021代入（3）中的代數(shù)式，求出n，若n為整數(shù)，則存在，否則，不存在．（1）11+3=14（個），故答案為：14（2）5+3×9=32（個），則答案為：32（3）第一個：5=2+3，第二個：8=2+3×2，第三個：11=2+3×3，則地n個：2+3n，故答案為：2+3n（4）設(shè)第n個圖白色小正方形的個數(shù)為2021則解得所以第673個圖白色小正方形的個數(shù)為2021【點睛】本題主要考查了圖形的變化規(guī)律，根據(jù)題目給出的圖形找出其中的變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵．15．（2022·安徽合肥·七年級期末）如圖，是一幅平面鑲嵌圖案，它由相同的黑色正方形和白色等邊三角形排列而成，觀察圖案，當正方形只有一個時，等邊三角形有個（如圖）；當正方形有個時，等邊三角形有個（如圖）；以此類推(1)若圖案中每增加個正方形，則等邊三角形增加______個；(2)若圖案中有個正方形，則等邊三角形有______個．(3)現(xiàn)有個等邊三角形，如按此規(guī)律鑲嵌圖案，要求等邊三角形剩余最少，則需要正方形多少個？【答案】(1)(2)(3)個【分析】（1）觀察第個圖案可知：中間的一個正方形對應個等邊三角形，第個圖案可知增加一個正方形，變成了個等邊三角形，增加了個等邊三角形；（2）觀察第個圖案，有個等邊三角形；第個圖案，有個等邊三角形；，依次計算可解答；（3）由（2）中的規(guī)律可知：用所得的余數(shù)是，則等邊三角形剩余最少塊，列式，解出即