河北省石家莊市南牛鄉(xiāng)中學(xué)高一數(shù)學(xué)理月考試題含解析

河北省石家莊市南牛鄉(xiāng)中學(xué)高一數(shù)學(xué)理月考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知扇形的圓心角是α＝120°，弦長(zhǎng)AB＝，則弧長(zhǎng)等于（

）。A．B..

C．

D.參考答案：A2.函數(shù)的值域?yàn)?/p>

（

）A．

B．

C．[2,4]

D．參考答案：C略3.對(duì)一切實(shí)數(shù)x，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A.(－∞,－2)

B.[－2,+∞)

C.[－2,2]

D.[0,+∞)參考答案：B4.下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又存在零點(diǎn)的是（）A．f（x）=sinx B．f（x）=x2+1 C．f（x）=lnx D．f（x）=cosx參考答案：D【考點(diǎn)】函數(shù)奇偶性的性質(zhì)．【專題】計(jì)算題；函數(shù)思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】判斷函數(shù)的奇偶性與零點(diǎn)，即可得出結(jié)論．【解答】解：對(duì)于A，是奇函數(shù)；對(duì)于B，是偶函數(shù)，不存在零點(diǎn)；對(duì)于C，非奇非偶函數(shù)；對(duì)于D，既是偶函數(shù)又存在零點(diǎn)．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)的奇偶性與零點(diǎn)，考查學(xué)生的計(jì)算能力，比較基礎(chǔ)．5.已知△ABC是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，點(diǎn)D、E分別是邊AB、BC的中點(diǎn)，連接DE并延長(zhǎng)到點(diǎn)F，使得DE=2EF，則?的值為（）A．﹣ B． C． D．參考答案：B【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的運(yùn)算．【分析】由題意畫出圖形，把、都用表示，然后代入數(shù)量積公式得答案．【解答】解：如圖，∵D、E分別是邊AB、BC的中點(diǎn)，且DE=2EF，∴?========．故選：B．6.（5分）如圖是底面半徑為1，母線長(zhǎng)均為2的圓錐和圓柱的組合體，則該組合體的側(cè)視圖的面積為（） A． 8π B． 6π C． 2+ D． 4+參考答案：D考點(diǎn)： 組合幾何體的面積、體積問題．專題： 計(jì)算題；空間位置關(guān)系與距離．分析： 根據(jù)三視圖的側(cè)視圖的邊長(zhǎng)得出面積，運(yùn)用矩形，三角形求解即可．解答： ∵r=1，l=2，∴圓錐的高為，∴組合體的側(cè)視圖的面積為2×2+=4+，故選：D點(diǎn)評(píng)： 本題考查了空間幾何體的體積面積的計(jì)算，三視圖，屬于容易題．7.閱讀如右圖所示的程序框圖，運(yùn)行相應(yīng)的程序，輸出的結(jié)果是(

)

A．2

B．3

C．4

D．5參考答案：C略8.(幾何證明選講選做題)如圖（3）示，是半圓周上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，直徑，，垂足為，與相交于點(diǎn)，則的長(zhǎng)為

．

參考答案：略9.若樣本的平均數(shù)是10，方差為2，則對(duì)于樣本，下列結(jié)論正確的是(

)A．平均數(shù)為10，方差為2

B．平均數(shù)為11，方差為3

C.平均數(shù)為11，方差為2

D．平均數(shù)為12，方差為4參考答案：C10.用數(shù)學(xué)歸納法證明12+22+…+（n﹣1）2+n2+（n﹣1）2+…+22+12═時(shí)，由n=k的假設(shè)到證明n=k+1時(shí)，等式左邊應(yīng)添加的式子是（）A．（k+1）2+2k2 B．（k+1）2+k2C．（k+1）2 D．參考答案：B【考點(diǎn)】RG：數(shù)學(xué)歸納法．【分析】根據(jù)等式左邊的特點(diǎn)，各數(shù)是先遞增再遞減，分別寫出n=k與n=k+1時(shí)的結(jié)論，即可得到答案．【解答】解：根據(jù)等式左邊的特點(diǎn)，各數(shù)是先遞增再遞減，由于n=k，左邊=12+22+…+（k﹣1）2+k2+（k﹣1）2+…+22+12n=k+1時(shí)，左邊=12+22+…+（k﹣1）2+k2+（k+1）2+k2+（k﹣1）2+…+22+12比較兩式，從而等式左邊應(yīng)添加的式子是（k+1）2+k2故選B．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若則 .參考答案：1

略12.已知點(diǎn)（0，2）關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)為（4，0），點(diǎn)（6，3）關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)為（m，n），則m+n=．參考答案：【考點(diǎn)】與直線關(guān)于點(diǎn)、直線對(duì)稱的直線方程．【分析】根據(jù)題意，得到折痕為A，B的對(duì)稱軸；也是C，D的對(duì)稱軸，求出A，B的斜率及中點(diǎn)，求出對(duì)稱軸方程，然后求出C，D的斜率令其等于對(duì)稱軸斜率的負(fù)倒數(shù)，求出C，D的中點(diǎn)，將其代入對(duì)稱軸方程，列出方程組，求出m，n的值，得到答案．【解答】解：根據(jù)題意，得到折痕為A（0，2），B（4，0）的對(duì)稱軸；也是C（6，3），D（m，n）的對(duì)稱軸，AB的斜率為kAB=﹣，其中點(diǎn)為（2，1），所以圖紙的折痕所在的直線方程為y﹣1=2（x﹣2）所以kCD==﹣，①CD的中點(diǎn)為（，），所以﹣1=2（﹣2）②由①②解得m=，n=，所以m+n=．故答案為：．13.（5分）下列命題中正確的有

（填寫正確的序號(hào)）（1）已知f（n）=sin，則f（1）+f（2）+…+f=1；（2）已知向量=（0，1），=（k，k），=（1，3），且∥，則實(shí)數(shù)k=﹣1；（3）四位二進(jìn)制數(shù)能表示的最大十進(jìn)制數(shù)是15；（4）函數(shù)y=cos（2x+）的圖象的一個(gè)對(duì)稱中心是（，0）（5）若對(duì)任意實(shí)數(shù)a，函數(shù)y=5sin（πx﹣）（k∈N）在區(qū)間上的值出現(xiàn)不少于4次且不多于8次，則k的值是2．參考答案：（2）（3）（4）考點(diǎn)： 命題的真假判斷與應(yīng)用．專題： 三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)；平面向量及應(yīng)用；算法和程序框圖；簡(jiǎn)易邏輯．分析： 根據(jù)正弦型函數(shù)的周期性，利用分組求和法，可判斷（1）；根據(jù)向量平行的充要條件，可判斷（2）；根據(jù)二進(jìn)制與十進(jìn)制之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系，可判斷（3）；根據(jù)余弦型函數(shù)的對(duì)稱性，可判斷（4）；根據(jù)正弦型函數(shù)的周期性，構(gòu)造關(guān)于k的不等式組，解出k值，可判斷（5）．解答： 對(duì)于（1）∵f（n）=sin是周期為12的周期函數(shù)，在同一周期內(nèi)，f（1）+f（2）+…+f（12）=0，2014=167×12+10，故f（1）+f（2）+…+f=f（1）+f（2）+…+f（10）=，故（1）錯(cuò)誤；對(duì)于（2），∵向量=（0，1），=（k，k），=（1，3），∴=（k，k﹣1），=（1，2），又∵∥，∴2k﹣（k﹣1）=0，解得k=﹣1；故（2）正確；對(duì)于（3），四位二進(jìn)制數(shù)能表示的最大數(shù)為1111（2）=15（10），故（3）正確；對(duì)于（4），當(dāng)x=時(shí)，y=cos（2x+）=cos=0，故（，0）點(diǎn)是函數(shù)y=cos（2x+）的圖象的一個(gè)對(duì)稱中心，故（4）正確；對(duì)于（5），由于函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)有且只有2個(gè)不同的自變量使其函數(shù)值為3，因此該函數(shù)在區(qū)間（該區(qū)間的長(zhǎng)度為3）上至少有2個(gè)周期，至多有4個(gè)周期，，因此，≤T≤，即≤≤，求得≤k≤，可得k=3，或k=4，故（5）錯(cuò)誤；故正確的命題有：（2）（3）（4），故答案為：（2）（3）（4）點(diǎn)評(píng)： 本題以命題的真假判斷為載體考查了三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，進(jìn)制轉(zhuǎn)化，向量平行的充要條件，難度中檔．14.已知函數(shù)f（x）=，則f[f（0）]=．參考答案：0【考點(diǎn)】對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)．【分析】由函數(shù)的解析式求得f（0）的值，進(jìn)而求得f[f（0）]的值．【解答】解：∵函數(shù)，則f（0）=30=1，∴f[f（0）]=f（1）=log21=0，故答案為0．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查利用分段函數(shù)求函數(shù)的值，屬于基礎(chǔ)題．15.設(shè)向量a，b，c滿足a＋b＋c＝0，(a－b)⊥c，a⊥b．若|a|＝1，則|a|2＋|b|2＋|c|2的值是參考答案：4因?yàn)橄蛄縜，b，c滿足a＋b＋c＝0，所以c＝-a-b，又因?yàn)?a－b)⊥c，所以(a－b)⊥(a+b)，即，又a⊥b，所以，，所以|a|2＋|b|2＋|c|2的值4.16.已知函數(shù)y=3cos（x+φ）﹣1的圖象關(guān)于直線x=對(duì)稱，其中φ∈[0，π]，則φ的值為．參考答案：

【考點(diǎn)】余弦函數(shù)的圖象．【分析】由條件利用余弦函數(shù)的圖象的對(duì)稱性可得+φ=kπ，由此求得φ的最小正值．【解答】解：∵函數(shù)y=3cos（x+φ）﹣1的圖象關(guān)于直線x=對(duì)稱，其中φ∈[0，π]，∴+φ=kπ，即φ=kπ﹣，k∈Z，則φ的最小正值為，故答案為：．17.化簡(jiǎn)的值為

.參考答案：3三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.(10分)如圖所示，測(cè)量河對(duì)岸的塔高AB時(shí)，可以選與塔底B在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn)C與D，測(cè)得∠BCD＝15°，∠BDC＝30°，CD＝30m，并在點(diǎn)C處測(cè)得塔頂A的仰角為60°，求塔高AB.

參考答案：在△BCD中，∠CBD＝180°－15°－30°＝135°，19.已知函數(shù)，（1）判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性，并證明；

（2）求函數(shù)f（x）的最大值和最小值．參考答案：【考點(diǎn)】函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)；函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明．【專題】計(jì)算題；證明題．【分析】（1）任取x1，x2∈[3，5]且x1＜x2，可求得，結(jié)合條件，判斷其符號(hào)，即可證明其單調(diào)性；（2）根據(jù)（1）判斷的函數(shù)的單調(diào)性即可求得函數(shù)f（x）的最大值和最小值．【解答】證明：（1）設(shè)任取x1，x2∈[3，5]且x1＜x2∵3≤x1＜x2≤5∴x1﹣x2＜0，（x1+2）（x2+2）＞0∴f（x1）﹣f（x2）＜0即f（x1）＜f（x2）∴f（x）在[3，5]上為增函數(shù)．解：（2）由（1）知，f（x）在[3，5]上為增函數(shù)，則，．【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)，重點(diǎn)考查定義法判斷函數(shù)的單調(diào)性與最值，屬于中檔題．20.（本題滿分12分如圖，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO底面ABCD，E是PC的中點(diǎn)．求證：（1）PA∥平面BDE；（2）平面PAC平面BDE．參考答案：（1）∵O是AC的中點(diǎn)，E是PC的中點(diǎn)，∴OE∥AP，

又∵OE平面BDE，PA平面BDE，

∴PA∥平面BDE．

（2）∵PO底面ABCD，∴POBD，

又∵ACBD，且ACPO=O

∴BD平面PAC，而BD平面BDE，

∴平面PAC平面BDE．

21.已知?jiǎng)狱c(diǎn)M到點(diǎn)A（2，0）的距離是它到點(diǎn)B（8，0）的距離的一半；直線的方程為.（1）求M的軌跡方程；（2）判斷與M的軌跡的位置關(guān)系，若相交求出最短的弦長(zhǎng)；（3）設(shè)與M的軌跡相交于、兩點(diǎn)，是否存在使得？若存在求出；若不存在，請(qǐng)給予證明．參考答案：解：（1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)M（x，y）為軌跡上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)M的軌跡就是集合

P．由兩點(diǎn)距離公式，點(diǎn)M適合的條件可表示為， 平方后再整理，得．

可以驗(yàn)證，這就是動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程．（2）直線過(guò)圓內(nèi)的點(diǎn)，故相交；最短弦長(zhǎng)為.（3）不存在略22.（12分）如圖，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB=2，CD=1，BC=a（a＞0），P為線段AD（含端點(diǎn)）上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)，，則得到函數(shù)y=f（x）．（Ⅰ）求f（1）的值；（Ⅱ）對(duì)于任意a∈（0，+∞），求函數(shù)f（x）的最大值．參考答案：【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的運(yùn)算．【分析】（Ⅰ）畫出圖形，建立直角坐標(biāo)系，即得y=f（x）的解析式，代值計(jì)算即可（Ⅱ）通過(guò)分類討論，利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可判斷出．【解答】解：（1）如圖所示，建立直角坐標(biāo)系．∵在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB=2，CD=1，BC=a（a＞0），∴B（0，0），A（﹣2，0），D（﹣1，a），C（0，a）．∵=x，（0≤x≤1）．∴=+x=（﹣2，0）+x（1，a）=（x﹣2，xa），∴=﹣=（0，a）﹣（x﹣2，xa）=（2﹣x，a﹣xa）∴y=f（x）=?=（2﹣x，﹣xa）?（2﹣x，a﹣xa）=（2﹣x）2﹣ax（a﹣xa）=（a2+1）x2﹣（4+a2）x+4．