解密18 計(jì)數(shù)原理（講義）-【高頻考點(diǎn)解密】2022年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)講義+分層訓(xùn)練（新高考專用）

解密18計(jì)數(shù)原理高考考點(diǎn)命題分析三年高考探源考查頻率排列、組合排列、組合在高考中往往是以選擇題或填空題的形式出現(xiàn)，題目難度在中等或中等以上，有時(shí)難度較大．排列、組合的知識(shí)和方法有時(shí)用來解決古典概型的計(jì)算，有時(shí)與離散型隨機(jī)變量及其分布相結(jié)合，進(jìn)行綜合考查.2021全國全國乙卷62021甲卷102020課標(biāo)全國Ⅱ142019課標(biāo)全國Ⅰ62018課標(biāo)全國Ⅰ152018課標(biāo)全國Ⅱ8★★★★利用二項(xiàng)式定理求展開式中的特定項(xiàng)或指定項(xiàng)的系數(shù)從近三年高考情況來看，二項(xiàng)式定理是高考的重點(diǎn)內(nèi)容，主要考查二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)，二項(xiàng)式系數(shù)，展開式的系數(shù)等知識(shí)，難度控制在中低檔，以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，解題時(shí)應(yīng)熟練基本概念、基本運(yùn)算，充分利用方程思想及等價(jià)轉(zhuǎn)化思想.2020新課標(biāo)全國Ⅲ142020課標(biāo)全國Ⅰ82019新課標(biāo)全國Ⅲ42018新課標(biāo)全國Ⅲ5★★★★二項(xiàng)式系數(shù)和與各項(xiàng)的系數(shù)和問題★考點(diǎn)一排列、組合1.兩種計(jì)數(shù)原理：(1)分類加法計(jì)數(shù)原理完成一件事有兩類不同方案，在第1類方案中有m種不同的方法，在第2類方案中有n種不同的方法，那么完成這件事共有N＝m＋n種不同的方法．(2)分步乘法計(jì)數(shù)原理完成一件事需要兩個(gè)步驟，做第1步有m種不同的方法，做第2步有n種不同的方法，那么完成這件事共有N＝m×n種不同的方法．2.排列組合（1）排列、組合的定義①排列：從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素，按照一定的順序排成一列，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列。②組合：從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素，合成一組，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合。（2）排列數(shù)、組合數(shù)的定義、公式、性質(zhì)排列數(shù)組合數(shù)定義從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n，m，n∈N*)個(gè)元素的所有不同排列的個(gè)數(shù)從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n，m，n∈N*)個(gè)元素的所有不同組合的個(gè)數(shù)公式Aeq\o\al(m,n)＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝eq\f(n！,n－m！)Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(A\o\al(m,n),A\o\al(m,m))＝eq\f(nn－1n－2…n－m＋1,m！)性質(zhì)Aeq\o\al(n,n)＝n！，0?。?Ceq\o\al(0,n)＝1，Ceq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(n－m,n)，Ceq\o\al(m,n)＋Ceq\o\al(m－1,n)＝Ceq\o\al(m,n＋1)題組一排列例題1．中國古代的“禮?樂?射?御?書?數(shù)”合稱“六藝”.“禮”主要指德育；“樂”主要指美育；“射”和“御”就是體育和勞動(dòng)；“書”指各種歷史文化知識(shí)；“數(shù)”即數(shù)學(xué)某校國學(xué)社團(tuán)利用周日開展“六藝”課程講座活動(dòng)，每藝安排一節(jié)，上午三節(jié)，下午三節(jié).一天課程講座排課有如下要求：“數(shù)”必須排在上午，“射”和“御”兩門課程排在下午且相鄰，則“六藝”課程講座不同排課順序共有（）A．36種 B．72種 C．108種 D．144種【答案】B【分析】先排“數(shù)”，然后排“射”和“御”，再排剩下門課程，所以不同的排課順序有種.故選：B例題2．現(xiàn)某校數(shù)學(xué)興趣小組給一個(gè)底面邊長互不相等的直四棱柱容器的側(cè)面和下底面染色，提出如下的“四色問題”：要求相鄰兩個(gè)面不得使用同一種顏色，現(xiàn)有4種顏色可供選擇，則不同的染色方案有（）A．18種 B．36種 C．48種 D．72種【答案】D【分析】若選擇4種顏色，則前后側(cè)面或左右側(cè)面用1種顏色，其他3個(gè)面，用3種顏色，所以有種；若選擇3種顏色，則前后側(cè)面用1種顏色，左右側(cè)面用1種顏色，底面不同色，所以有種，綜上，不同的染色方案有種.故選：D例題3．甲?乙?丙?丁?戊五人隨機(jī)地排成一行，則甲?乙兩人相鄰，丙?丁兩人不相鄰的概率為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】甲?乙?丙?丁?戊五人隨機(jī)地站成一排的所有排法有種，而甲?乙兩人相鄰，丙?丁兩人不相鄰的排法有種，∴，故選：A.例題4．十進(jìn)制的算籌計(jì)數(shù)法是中國數(shù)學(xué)史上一個(gè)偉大的創(chuàng)造，算籌實(shí)際上是一根根同長短的小木棍.下圖是利用算籌表示數(shù)字1~9的一種方法.例如：3可表示為“”，26可表示為“”，現(xiàn)用6根算籌表示不含0的無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，算籌不能剩余，則這個(gè)三位數(shù)能被3整除的概率為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】用根算籌組成滿足題意的無重復(fù)三個(gè)數(shù)字組合為；；；，三位數(shù)有；；；這四種情況每一種情況三個(gè)數(shù)的全排列，有種，能被整除的基本事件的個(gè)數(shù)為的全排列，有種，所以這個(gè)三位數(shù)能被3整除的概率為，故選：A.例題5．甲、乙、丙三人站成一排，則甲、乙不相鄰的概率是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】甲、乙、丙三人站成一排，基本事件總數(shù)，甲、乙二人不相鄰包含的基本事件個(gè)數(shù)，甲、乙二人不相鄰的概率.故選：B.題組二組合例題1．新冠疫情期間，某醫(yī)學(xué)院將6名研究生安排到本市四家核酸檢測定點(diǎn)醫(yī)院進(jìn)行調(diào)研，要求每家醫(yī)院至少去1人，至多去2人，且其中甲乙二人必須去同一家醫(yī)院，則不同的安排方法有（）A．72種 B．96種 C．144種 D．288種【答案】A【分析】先從甲乙以外的4人中選2人去一家醫(yī)院，再從甲乙以外剩余的2人中選1人去一家醫(yī)院，最后后甲乙和甲乙以外剩余的1人各去一家醫(yī)院，再進(jìn)行排列，則共有種安排方法，故選：A例題2．如圖，一塊長方形花圃，計(jì)劃在A、B、C、D四個(gè)區(qū)域分別種上3種不同顏色鮮花中的某一種，允許同一種顏色的鮮花使用多次，但相鄰區(qū)域必須種不同顏色的鮮花，不同的種植方案有（）A．9種 B．8種 C．7種 D．6種【答案】D【分析】由題意，按區(qū)域分四步：第一步A區(qū)域有3種顏色可選；第二步B區(qū)域有2種顏色可選；第三步C區(qū)域有1種顏色可選；第四步D區(qū)域只有1種顏色可選，由分步計(jì)數(shù)原理可得，共有種不同的種植方案.故選：D.例題3．有12名同學(xué)合影，站成了前排4人后排8人，現(xiàn)攝影師要從后排8人中抽2人調(diào)整到前排，若其他人的相對順序不變，則不同調(diào)整方法的種數(shù)是（）A．168 B．260 C．840 D．560【答案】C【分析】：從后排8人中抽2人有種方法；將抽出的2人調(diào)整到前排，前排4人的相對順序不變有種，由分步乘法計(jì)數(shù)原理可得：共有種，故選：C.例題4．現(xiàn)有甲?乙?丙?丁?戊五位同學(xué)，分別帶著A?B?C?D?E五個(gè)不同的禮物參加“抽盲盒”學(xué)游戲，先將五個(gè)禮物分別放入五個(gè)相同的盒子里，每位同學(xué)再分別隨機(jī)抽取一個(gè)盒子，恰有一位同學(xué)拿到自己禮物的概率為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】先從五人中抽取一人，恰好拿到自己的禮物，有種情況，接下來的四人分為兩種情況，一種是兩兩一對，兩個(gè)人都拿到對方的禮物，有種情況，另一種是四個(gè)人都拿到另外一個(gè)人的禮物，不是兩兩一對，都拿到對方的情況，由種情況，綜上：共有種情況，而五人抽五個(gè)禮物總數(shù)為種情況，故恰有一位同學(xué)拿到自己禮物的概率為.故選：D例題5．下列等式正確的是（）A． B．C． D．【答案】BCD【分析】根據(jù)組合數(shù)公式得，則A錯(cuò)誤；根據(jù)排列數(shù)公式得．，則B正確；根據(jù)排列數(shù)公式得，則C正確；根據(jù)組合數(shù)公式得，，即，則D正確．故選：BCD例題6．某班有50名學(xué)生，其中15人選修A課程，另外35人選修B課程，從班級中任選兩名學(xué)生，求他們是選修不同課程的學(xué)生的概率．【答案】

【分析】該班有50名學(xué)生，則從班級中任選兩名學(xué)生共有種不同的選法，又人選修課程，另外35人選修課程，他們是選修不同課程的學(xué)生的情況有：，故從班級中任選兩名學(xué)生，他們是選修不同課程的學(xué)生的概率：故答案為：題組三排列、組合的綜合應(yīng)用求解排列應(yīng)用問題的6種主要方法直接法把符合條件的排列數(shù)直接列式計(jì)算優(yōu)先法優(yōu)先安排特殊元素或特殊位置捆綁法把相鄰元素看作一個(gè)整體與其他元素一起排列，同時(shí)注意捆綁元素的內(nèi)部排列插空法對不相鄰問題，先考慮不受限制的元素的排列，再將不相鄰的元素插在前面元素排列的空檔中定序問題除法處理對于定序問題，可先不考慮順序限制，排列后，再除以定序元素的全排列間接法正難則反、等價(jià)轉(zhuǎn)化的方法例題1．有如下形狀的花壇需要栽種4種不同顏色的花卉，要求有公共邊界的兩塊不能種同種顏色的花，則不同的種花方式共有（）A．96種 B．72種 C．48種 D．24種【答案】A【分析】依題意可知，將區(qū)域標(biāo)號(hào)如圖.用4種顏色的花卉完成栽種，需要②，④同色，或者③，⑤同色，或者①，④同色，或者①，⑤同色，故有種.故選：A例題2．當(dāng)前，新冠肺炎疫情進(jìn)入常態(tài)化防控新階段，防止疫情輸入的任務(wù)依然繁重，疫情防控工作形勢依然嚴(yán)峻、復(fù)雜．某地區(qū)安排A，B，C，D，E五名同志到三個(gè)地區(qū)開展防疫宣傳活動(dòng)，每個(gè)地區(qū)至少安排一人，且A，B兩人安排在同一個(gè)地區(qū)，C，D兩人不安排在同一個(gè)地區(qū)，則不同的分配方法總數(shù)為（）A．30種 B．36種 C．42種 D．64種【答案】A【分析】：①當(dāng)兩個(gè)地區(qū)各分2人，另一個(gè)地區(qū)分1人時(shí)，總數(shù)有種；②當(dāng)兩個(gè)地區(qū)各分1人，另一個(gè)地區(qū)分3人時(shí)，總數(shù)有種．故滿足條件的分法共有種．故選：A例題3．定義空間直角坐標(biāo)系中的任意點(diǎn)的“N數(shù)”為：在P點(diǎn)的坐標(biāo)中不同數(shù)字的個(gè)數(shù)，如：，若點(diǎn)P的坐標(biāo)，則所有這些點(diǎn)P的“N數(shù)”的平均值與最小值之差為（）A． B．2 C． D．【答案】A【分析】：由題意，點(diǎn)P的坐標(biāo)中不同數(shù)字的個(gè)數(shù)，可分為三類：（1）恰有3個(gè)相同數(shù)字的排列為種，則共有4個(gè)；（2）恰有2個(gè)相同數(shù)字的排列為種，則共有36個(gè)；（3）恰有0個(gè)相同數(shù)字的排列為種，則共有24個(gè)．所以平均值為，故選：A．例題4．2021年1月10日，是我國設(shè)立的第一個(gè)“中國人民警察節(jié)”，2020年，某省人民群眾對公安機(jī)關(guān)的滿意度測評居首位．為感謝公安干警的辛勤付出，6名學(xué)生到甲、乙、丙、丁4個(gè)值勤崗?fù)ぷ鲋驹刚?，每名學(xué)生只去1個(gè)值勤崗?fù)?，且每個(gè)值勤崗?fù)ぞ兄驹刚咧登冢艏字登趰復(fù)ぐ才?名志愿者，則不同的安排方法共有（）A．60種 B．96種 C．120種 D．240種【答案】C【分析】依題意，完成安排方法這件事需要兩步：先從6人中任取3人去甲值勤崗?fù)?，有種方法，再將余下3人分別安排到另外3個(gè)值勤崗?fù)ぃ總€(gè)值勤崗?fù)?人，有種方法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理得：(種)，所以不同的安排方法共有120種.故選：C例題5．志愿團(tuán)安排去甲?乙?丙?丁四個(gè)精準(zhǔn)扶貧點(diǎn)慰問的先后順序，一位志愿者說：不能先去甲，甲的困難戶最多；另一位志愿者說：不能最后去丁，丁離得最遠(yuǎn).他們共有多少種不同的安排方法（）A．14 B．12 C．24 D．28【答案】A【分析】：根據(jù)題意丁扶貧點(diǎn)不能是最后一個(gè)去，有以下兩類安排方法：①丁扶貧點(diǎn)最先去，有種安排方法；②丁扶貧點(diǎn)安排在中間位置去，有種安排方法，綜合①②知共有種安排方法.故選：A.考點(diǎn)三求二項(xiàng)展開式中特定項(xiàng)或指定項(xiàng)的系數(shù)☆技巧點(diǎn)撥☆1．熟記二項(xiàng)式定理：，是解決此類問題的關(guān)鍵.2．求二項(xiàng)展開式的特定項(xiàng)問題,實(shí)質(zhì)是考查通項(xiàng)的特點(diǎn),一般需要建立方程求k,再將k的值代回通項(xiàng)求解,注意k的取值范圍（）.（1）第項(xiàng)：：此時(shí)k+1=m,直接代入通項(xiàng).（2）常數(shù)項(xiàng)：即這項(xiàng)中不含“變元”,令通項(xiàng)中“變元”的冪指數(shù)為0建立方程.（3）有理項(xiàng)：令通項(xiàng)中“變元”的冪指數(shù)為整數(shù)建立方程.注：二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù)的區(qū)別二項(xiàng)式系數(shù)是指Ceq\o\al(0,n)，Ceq\o\al(1,n)，…，Ceq\o\al(n,n)，它是組合數(shù)，只與各項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)有關(guān)，而與a，b的值無關(guān)；而項(xiàng)的系數(shù)是指該項(xiàng)中除變量外的常數(shù)部分，它不僅與各項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)有關(guān)，而且也與a，b的值有關(guān)．如(a＋bx)n的展開式中，第r＋1項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)是Ceq\o\al(r,n)，而該項(xiàng)的系數(shù)是Ceq\o\al(r,n)an－rbr.當(dāng)然，某些特殊的二項(xiàng)展開式如(1＋x)n，各項(xiàng)的系數(shù)與二項(xiàng)式系數(shù)是相等的．例題1．若，則的值是（）A． B． C．126 D．【答案】C【分析】令，得.又，所以.故選：C例題2．已知的展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和為2，則該展開式中常數(shù)項(xiàng)為（）A． B．C． D．【答案】D【分析】令二項(xiàng)式中的為1得到展開式的各項(xiàng)系數(shù)和為，，展開式中常數(shù)項(xiàng)為的常數(shù)項(xiàng)與含的系數(shù)和，展開式的通項(xiàng)為，令得；令，無整數(shù)解，展開式中常數(shù)項(xiàng)為，故選：D例題3．已知2×1010＋a(0≤a<11)能被11整除，則實(shí)數(shù)a的值為（）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】C【分析】，∵能被11整除，∴要使能被11整除，則能被11整除，∵，∴，則，解得，故選：C.二、多選題例題4．已知二項(xiàng)展開式，則下列說法正確的是（）A．二項(xiàng)展開式中，與首末兩端“等距離”的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)一定相等B．二項(xiàng)展開式中，當(dāng)時(shí)，隨的增加而減??；當(dāng)時(shí)，隨的增加而增加C．二項(xiàng)展開式中，奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和一定等于偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和D．二項(xiàng)式展開式中，第項(xiàng)的通項(xiàng)公式【答案】AC【分析】對選項(xiàng)A，由組合數(shù)性質(zhì)可得：，故A正確.對選項(xiàng)B，當(dāng)時(shí)，隨的增加而增加；當(dāng)時(shí)，隨的增加而減小，故B錯(cuò)誤.對選項(xiàng)C，奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和，故C正確；對選項(xiàng)D，第項(xiàng)的通項(xiàng)公式，故D錯(cuò)誤.故選：AC例題5．已知的二項(xiàng)展開式中二項(xiàng)式系數(shù)之和為64，下列結(jié)論正確的是（）A．二項(xiàng)展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為B．二項(xiàng)展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為C．二項(xiàng)展開式中無常數(shù)項(xiàng)D．二項(xiàng)展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)為【答案】AB【分析】因?yàn)榈亩?xiàng)展開式中二項(xiàng)式系數(shù)之和為64，所以，得，所以題中二項(xiàng)式為，所以二項(xiàng)式展開式的通式公式為：，對于選項(xiàng)，令，可得二項(xiàng)展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為，所以選項(xiàng)正確；對于選項(xiàng)，第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，此時(shí)，則二項(xiàng)展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為，所以選項(xiàng)正確；對于選項(xiàng)，令，則，所以二項(xiàng)展開式中的常數(shù)項(xiàng)為，所以選項(xiàng)錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)，令第項(xiàng)的系數(shù)最大，則，解得，因?yàn)?，所以時(shí)，二項(xiàng)展開式中系數(shù)最大，則二項(xiàng)展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)為，所以選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：.例題6．下列關(guān)于多項(xiàng)式的展開式的結(jié)論中，正確的是（）A．各項(xiàng)系數(shù)之和為 B．各項(xiàng)系數(shù)的絕對值之和為C．不存在項(xiàng) D．常數(shù)項(xiàng)為【答案】AD【分析】令得，故A正確﹔取多項(xiàng)式，將代入多項(xiàng)式可得，故B錯(cuò)誤﹔由題設(shè)，，若要得到含項(xiàng)，只需個(gè)因式中個(gè)取，剩下個(gè)取，故C錯(cuò)誤;個(gè)因式中個(gè)取，個(gè)取，剩下個(gè)取，得5個(gè)因式中個(gè)取個(gè)取，剩下個(gè)取，得，5個(gè)因式中均取，得.故常數(shù)項(xiàng)為，D正確.故選：AD.例題7．已知對任意x∈R恒成立，且，，則b=___________；=___________.【答案】12304【分析】設(shè)x﹣1=t，則，由此得，解得另一方面，等式兩邊對t求導(dǎo)，得，再令t=1，得.故答案為：1；2304.例題8．若，則__________．【答案】-38【解析】令，則．由條件可得，故的系數(shù)為，即．答案：考點(diǎn)四排列組合經(jīng)典題型及方法的綜合應(yīng)用1.相鄰問題捆綁法:題目中規(guī)定相鄰的幾個(gè)元素捆綁成一個(gè)組，當(dāng)作一個(gè)大元素參與排列.例1.五人并排站成一排，如果必須相鄰且在的右邊，則不同的排法有（）A、60種B、48種C、36種D、24種2.相離問題插空排:元素相離（即不相鄰）問題，可先把無位置要求的幾個(gè)元素全排列，再把規(guī)定的相離的幾個(gè)元素插入上述幾個(gè)元素的空位和兩端.例2.七人并排站成一行，如果甲乙兩個(gè)必須不相鄰，那么不同的排法種數(shù)是（）A、1440種B、3600種C、4820種D、4800種例3.已知集合，集合，且，若，則滿足條件的集合有多少個(gè)？3.定序問題縮倍法:在排列問題中限制某幾個(gè)元素必須保持一定的順序，可用縮小倍數(shù)的方法.例4.（1）A,B,C,D,E五人并排站成一排，如果必須站在的右邊（可以不相鄰）那么不同的排法有（）A、24種B、60種C、90種D、120種（2）由數(shù)字0，1，2，3，4，5組成沒有重復(fù)數(shù)字的六位數(shù)，其中個(gè)位數(shù)字小于十位數(shù)字的共有（）A、210種B、300種C、464種D、600種4.標(biāo)號(hào)排位問題分步法:把元素排到指定位置上，可先把某個(gè)元素按規(guī)定排入，第二步再排另一個(gè)元素，如此繼續(xù)下去，依次即可完成.例5.將數(shù)字1，2，3，4填入標(biāo)號(hào)為1，2，3，4的四個(gè)方格里，每格填一個(gè)數(shù)，則每個(gè)方格的標(biāo)號(hào)與所填數(shù)字均不相同的填法有（）A、6種B、9種C、11種D、23種5.有序分配問題逐分法:有序分配問題指把元素分成若干組，可用逐步下量分組法.例6.（1）有甲乙丙三項(xiàng)任務(wù)，甲需2人承擔(dān)，乙丙各需一人承擔(dān)，從10人中選出4人承擔(dān)這三項(xiàng)任務(wù)，不同的選法種數(shù)是（）A、1260種B、2025種C、2520種D、5040種（2）12名同學(xué)分別到三個(gè)不同的路口進(jìn)行流量的調(diào)查，若每個(gè)路口4人，則不同的分配方案有（）A、種B、種C、種D、種6.全員分配問題分組法:例7.（1）4名優(yōu)秀學(xué)生全部保送到3所學(xué)校去，每所學(xué)校至少去一名，則不同的保送方案有多少種？（2）5本不同的書，全部分給4個(gè)學(xué)生，每個(gè)學(xué)生至少一本，不同的分法種數(shù)為（）A、480種B、240種C、120種D、96種7.名額分配問題隔板法:例8：10個(gè)三好學(xué)生名額分到7個(gè)班級，每個(gè)班級至少一個(gè)名額，有多少種不同分配方案？例9.馬路上有編號(hào)為1，2，3…，9九只路燈，現(xiàn)要關(guān)掉其中的三盞，但不能關(guān)掉相鄰的二盞或三盞，也不能關(guān)掉兩端的兩盞，求滿足條件的關(guān)燈方案有多少種？8.限制條件的分配問題分類法:例10.現(xiàn)安排甲、乙、丙、丁、戊5名同學(xué)參加上海世博會(huì)志愿者服務(wù)活動(dòng)，每人從事翻譯、導(dǎo)游、禮儀、司機(jī)四項(xiàng)工作之一，每項(xiàng)工作至少有一人參加.甲、乙不會(huì)開車但能從事其他三項(xiàng)工作，丙、丁、戊都能勝四項(xiàng)工作，則不同安排方案的種數(shù)是A．152B.126C.90D.549.多元問題分類法：元素多，取出的情況也多種，可按結(jié)果要求分成不相容的幾類情況分別計(jì)數(shù)再相加。例11（1）從1，2，3…，100這100個(gè)數(shù)中，任取兩個(gè)數(shù)，使它們的乘積能被7整除，這兩個(gè)數(shù)的取法（不計(jì)順序）共有多少種？（2）從1，2，3，…，100這100個(gè)數(shù)中任取兩個(gè)數(shù)，使其和能被4整除的取法（不計(jì)順序）有多少種？例12.電子表10點(diǎn)20分08秒時(shí)，顯示的數(shù)字是10:20:08，那么，從8點(diǎn)到10點(diǎn)內(nèi)，電子表6個(gè)數(shù)碼均不相同的情況有多少種?10.交叉問題集合法：某些排列組合問題幾部分之間有交集，可用集合中求元素個(gè)數(shù)公式例13.從6名運(yùn)動(dòng)員中選出4人參加4×100米接力賽，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少種不同的參賽方案？11.定位問題優(yōu)先法：某個(gè)或幾個(gè)元素要排在指定位置，可先排這個(gè)或幾個(gè)元素；再排其它的元素。例14.現(xiàn)1名老師和4名獲獎(jiǎng)同學(xué)排成一排照相留念，若老師不站兩端則有不同的排法有多少種？12.多排問題單排法:把元素排成幾排的問題可歸結(jié)為一排考慮，再分段處理。例15.（1）6個(gè)不同的元素排成前后兩排，每排3個(gè)元素，那么不同的排法種數(shù)是（）A、36種B、120種C、720種D、1440種（2）8個(gè)不同的元素排成前后兩排，每排4個(gè)元素，其中某2個(gè)元素要排在前排，某1個(gè)元素排在后排，有多少種不同排法？13.“至少”“至多”問題用間接排除法或分類法:例16.從4臺(tái)甲型和5臺(tái)乙型電視機(jī)中任取3臺(tái)，其中至少要甲型和乙型電視機(jī)各一臺(tái)，則不同的取法共有（）A、140種B、80種C、70種D、35種14.選排問題先取后排:從幾類元素中取出符合題意的幾個(gè)元素，再安排到一定的位置上，可用先取后排法.例17.（1）四個(gè)不同球放入編號(hào)為1，2，3，4的四個(gè)盒中，則恰有一個(gè)空盒的放法有多少種？（2）9名乒乓球運(yùn)動(dòng)員，其中男5名，女4名，現(xiàn)在要從中選4人進(jìn)行混合雙打訓(xùn)練，有多少種不同的選法？15.幾何問題:例18.（1）以正方體的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的四面體共有（）A、70種B、64種C、58種D、52種（2）四面體的頂點(diǎn)和各棱中點(diǎn)共10點(diǎn)，在其中取4個(gè)不共面的點(diǎn)，不同的取法共有（）A、150種B、147種C、144種D、141種（3）記正方體的各條棱的中點(diǎn)構(gòu)成的集合為M，則過且僅過集合M的三個(gè)點(diǎn)的平面有多少個(gè)？（4）正方體8個(gè)頂點(diǎn)可連成多少對異面直線？16.圓排問題單排法:把個(gè)不同元素放在圓周個(gè)無編號(hào)位置上的排列，順序（例如按順時(shí)鐘）不同的排法才算不同的排列，而順序相同（即旋轉(zhuǎn)一下就可以重合）的排法認(rèn)為是相同的，它與普通排列的區(qū)別在于只計(jì)順序而無首位、末位之分，下列個(gè)普通排列：在圓排列中只算一種，因?yàn)樾D(zhuǎn)后可以重合，故認(rèn)為相同，個(gè)元素的圓排列數(shù)有種.因此可將某個(gè)元素固定展成單排，其它的元素全排列.例19.有5對姐妹站成一圈，要求每對姐妹相鄰，有多少種不同站法？17.可重復(fù)的排列求冪法:允許重復(fù)排列問題的特點(diǎn)是以元素為研究對象，元素不受位置的約束，可逐一安排元素的位置，一般地個(gè)不同元素排在個(gè)不同位置的排列數(shù)有種方法.例20.把6名實(shí)習(xí)生分配到7個(gè)車間實(shí)習(xí)共有多少種不同方法？19.元素個(gè)數(shù)較少的排列組合問題可以考慮枚舉法:例21.某電腦用戶計(jì)劃使用不超過500元的資金購買單價(jià)分別60元、70元的單片軟件和盒裝磁盤，根據(jù)需要，軟件至少買3片，磁盤至少買2盒，則不同的選購方法有（）A．5種 B．6種 C．7種 D．8種例22．從1到100的一百個(gè)自然數(shù)中，每次取出兩個(gè)數(shù)，使其和大于100，這樣的取法共有多少種？20.復(fù)雜的排列組合問題也可用分解與合成法:例23.（1）30030能被多少個(gè)不同偶數(shù)整除？（2）設(shè)是由的一個(gè)排列，把排在的左邊且比小的數(shù)的個(gè)數(shù)稱為的順序數(shù)。如在排列中，5的順序數(shù)為1，3的順序數(shù)為0.則在由這八個(gè)數(shù)字構(gòu)成的全排列中，同時(shí)滿足8的順序數(shù)為2、7的順序數(shù)為3、5的順序數(shù)為3的不同排列的種數(shù)為多少？21.利用對應(yīng)思想轉(zhuǎn)化法:對應(yīng)思想是教材中滲透的一種重要的解題方法，它可以將復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為簡單問題處理.例24.（1）圓周上有10點(diǎn)，以這些點(diǎn)為端點(diǎn)的弦相交于圓內(nèi)的交點(diǎn)最多有多少個(gè)？（2）某城市的街區(qū)有12個(gè)全等的矩形組成，其中實(shí)線表示馬路，從A到B的最短路徑有多少種？22.全錯(cuò)位排列問題公式法:全錯(cuò)位排列問題（賀卡問題，信封問題）記住公式即可瑞士數(shù)學(xué)家歐拉按一般情況給出了一個(gè)遞推公式：用A、B、C……表示寫著n位友人名字的信封，a、b、c……表示n份相應(yīng)的寫好的信紙。把錯(cuò)裝的總數(shù)為記作f(n)。假設(shè)把a(bǔ)錯(cuò)裝進(jìn)B里了，包含著這個(gè)錯(cuò)誤的一切錯(cuò)裝法分兩類：（1）b裝入A里，這時(shí)每種錯(cuò)裝的其余部分都與A、B、a、b無關(guān)，應(yīng)有f(n-2)種錯(cuò)裝法。（2）b裝入A、B之外的一個(gè)信封，這時(shí)的裝信工作實(shí)際是把（除a之外的）n－1個(gè)信紙b、c……裝入（除B以外的）n－1個(gè)信封A、C……，顯然這時(shí)裝錯(cuò)的方法有f(n-1)種?？傊赼裝入B的錯(cuò)誤之下，共有錯(cuò)裝法f(n-2)+f(n-1)種。a裝入C，裝入D……的n－2種錯(cuò)誤之下，同樣都有f(n-2)+f(n-1)種錯(cuò)裝法，因此得到一個(gè)遞推公式：f(n)=(n-1)f(n-1)+f(n-2)，分別帶入n=2、3、4等可推得結(jié)果。也可用迭代法推導(dǎo)出一般公式：例25.設(shè)有編號(hào)為1，2，3，4，5的五個(gè)球和編號(hào)為1，2，3，4，5的盒子現(xiàn)將這5個(gè)球投入5個(gè)盒子要求每個(gè)盒子放一個(gè)球，并且恰好有兩個(gè)球的號(hào)碼與盒子號(hào)碼相同，問有多少種不同的方法？例26、5位同學(xué)原來坐成一排，現(xiàn)讓他們重新坐，則至多有兩位同學(xué)坐在其原來的位置的不同的坐法是多少？23.多人傳球問題：（構(gòu)造遞推關(guān)系）例27、（）個(gè)人傳球，第一次由開始傳球，可傳給其他任何一個(gè)人，第二次由拿球者再傳給其他任何一個(gè)人，如此繼續(xù)，則第次球仍回到的手中的傳球方法種數(shù)是多少？24.上臺(tái)階問題：例28、10級臺(tái)階，某人可一步跨一級，也可跨兩級，也可跨三級。（1）他6步就可上完臺(tái)階的方法數(shù)是多少？（2）他上完臺(tái)階的方法總數(shù)是多少？25.方程的正整數(shù)解的個(gè)數(shù)問題：（隔板法）例29.方程（，）的正整數(shù)解有多少個(gè)？有多少非負(fù)整數(shù)解個(gè)？例30.將20個(gè)完全相同的球放入編號(hào)為1，2，3，4，5的五個(gè)盒子中。（1）若要求每個(gè)盒子至少放一個(gè)球，則一共有多少種放法？（2）若每個(gè)盒子可放任意個(gè)球，則一共有多少種放法？（3）若要求每個(gè)盒子放的球的個(gè)數(shù)不小于其編號(hào)數(shù)，則一共有多少種放法？26.配對（配湊）問題：例31.5雙相異的鞋共10只，現(xiàn)隨機(jī)地取出6只，恰好能配成2雙鞋的取法是多少？例32.50名選手參加乒乓球淘汰賽比賽,需要打多少場才能產(chǎn)生冠軍?淘汰賽比賽規(guī)則是:要淘汰1名選手必須進(jìn)行1場比賽;反之,每進(jìn)行1場比賽則淘汰1名選手。例33.有11名翻譯人員，其中5名是英語翻譯人員，4名是日語翻譯人員，另2人英、日語均精通?，F(xiàn)從中選出8人組成兩個(gè)翻譯小組，其中4人翻譯英語，另4人翻譯日語，則有多少種不同的選派方式？27.染色問題：例34.把圓分成10個(gè)不相等的扇形,并且用紅、黃、藍(lán)三種顏色給扇形染色,但不允許相鄰的扇形有相同的顏色,問共有多少種染色法?123456例35.在如圖所示的六個(gè)空格里涂上紅黃藍(lán)三種顏色，每種顏色只能涂兩次，要求相鄰空格不同色，請問一共有多少種涂法？例36.某城市在中心廣場建造一個(gè)花圃，花圃分為6個(gè)部分（如圖），現(xiàn)要栽種4種不同顏色的花，每部分栽種一種且相鄰部分不能栽種同樣顏色的花，則不同的栽種方法有多少種？（變式：若要栽種5種顏色的花？）排列組合問題經(jīng)典題型答案1.解析：把視為一人，且固定在的右邊，則本題相當(dāng)于4人的全排列，種，答案：.2.解析：除甲乙外，其余5個(gè)排列數(shù)為種，再用甲乙去插6個(gè)空位有種，不同的排法種數(shù)是種，選.3.易知互不相等且不相鄰，則有。4.解析：（1）在的右邊與在的左邊排法數(shù)相同，所以題設(shè)的排法只是5個(gè)元素全排列數(shù)的一半，即種，選.（2）按題意，個(gè)位數(shù)字只可能是0，1，2，3，4共5種情況，分別有個(gè)，個(gè)，合并總計(jì)300個(gè),選（種）5.解析：先把1填入方格中，符合條件的有3種方法，第二步把被填入方格的對應(yīng)數(shù)字填入其它三個(gè)方格，又有三種方法；第三步填余下的兩個(gè)數(shù)字，只有一種填法，共有3×3×1=9種填法，選.6.解析：（1）先從10人中選出2人承擔(dān)甲項(xiàng)任務(wù)，再從剩下的8人中選1人承擔(dān)乙項(xiàng)任務(wù)，第三步從另外的7人中選1人承擔(dān)丙項(xiàng)任務(wù)，不同的選法共有種，選.（2）答案：.7.（1）（2），答案：.8.解析：10個(gè)名額分到7個(gè)班級，就是把10個(gè)名額看成10個(gè)相同的小球分成7堆，每堆至少一個(gè)，可以在10個(gè)小球的9個(gè)空位中插入6塊木板，每一種插法對應(yīng)著一種分配方案，故共有不同的分配方案為種.9.解析：把此問題當(dāng)作一個(gè)排對模型，在6盞亮燈的5個(gè)空隙中插入3盞不亮的燈種方法,所以滿足條件的關(guān)燈方案有10種.說明：一些不易理解的排列組合題，如果能轉(zhuǎn)化為熟悉的模型如填空模型，排隊(duì)模型，裝盒模型可使問題容易解決.10.11.解析：（1）解析：被取的兩個(gè)數(shù)中至少有一個(gè)能被7整除時(shí)，他們的乘積就能被7整除，將這100個(gè)數(shù)組成的集合視為全集I,能被7整除的數(shù)的集合記做共有14個(gè)元素,不能被7整除的數(shù)組成的集合記做共有86個(gè)元素；由此可知，從中任取2個(gè)元素的取法有，從中任取一個(gè)，又從中任取一個(gè)共有，兩種情形共符合要求的取法有種.（2）解析：將分成四個(gè)不相交的子集，能被4整除的數(shù)集；能被4除余1的數(shù)集，能被4除余2的數(shù)集，能被4除余3的數(shù)集，易見這四個(gè)集合中每一個(gè)有25個(gè)元素；從中任取兩個(gè)數(shù)符合要；從中各取一個(gè)數(shù)也符合要求；從中任取兩個(gè)數(shù)也符合要求；此外其它取法都不符合要求；所以符合要求的取法共有種.12.解：（1）08：ab：cd,其中a、c位可填1,2，3,4,5；b、d位可填1,2,3,4,5,6,7,9.（2）09：ab：cd,其中a、c位可填1,2，3,4,5；b、d位可填1,2,3,4,5,6,7,8.先填a、c，再填b、d，共13.解析：設(shè)全集=｛6人中任取4人參賽的排列｝，A=｛甲跑第一棒的排列｝，B=｛乙跑第四棒的排列｝，根據(jù)求集合元素個(gè)數(shù)的公式得參賽方法共有：種.14.解析：老師在中間三個(gè)位置上選一個(gè)有種，4名同學(xué)在其余4個(gè)位置上有種方法；所以共有種。.15.解析：（1）前后兩排可看成一排的兩段，因此本題可看成6個(gè)不同的元素排成一排，共種，選.（2）解析：看成一排，某2個(gè)元素在前半段四個(gè)位置中選排2個(gè)，有種，某1個(gè)元素排在后半段的四個(gè)位置中選一個(gè)有種，其余5個(gè)元素任排5個(gè)位置上有種，故共有種排法.16.解析1：逆向思考，至少各一臺(tái)的反面就是分別只取一種型號(hào)，不取另一種型號(hào)的電視機(jī)，故不同的取法共有種,選.解析2：至少要甲型和乙型電視機(jī)各一臺(tái)可分兩種情況：甲型1臺(tái)乙型2臺(tái)；甲型2臺(tái)乙型1臺(tái)；故不同的取法有臺(tái),選.17.解析：（1）先取四個(gè)球中二個(gè)為一組，另二組各一個(gè)球的方法有種，再排：在四個(gè)盒中每次排3個(gè)有種，故共有種.（2）先取男女運(yùn)動(dòng)員各2名，有種，這四名運(yùn)動(dòng)員混和雙打練習(xí)有中排法，故共有種.18.解析：（1）正方體8個(gè)頂點(diǎn)從中每次取四點(diǎn)，理論上可構(gòu)成四面體，但6個(gè)表面和6個(gè)對角面的四個(gè)頂點(diǎn)共面都不能構(gòu)成四面體，所以四面體實(shí)際共有個(gè).（2）解析：10個(gè)點(diǎn)中任取4個(gè)點(diǎn)共有種，其中四點(diǎn)共面的有三種情況：①在四面體的四個(gè)面上，每面內(nèi)四點(diǎn)共面的情況為，四個(gè)面共有個(gè)；②過空間四邊形各邊中點(diǎn)的平行四邊形共3個(gè)；③過棱上三點(diǎn)與對棱中點(diǎn)的三角形共6個(gè).所以四點(diǎn)不共面的情況的種數(shù)是種.（3）56個(gè)。。①一個(gè)面內(nèi)取GH兩點(diǎn)，另一個(gè)點(diǎn)取F時(shí)，即8個(gè)角；②一個(gè)面內(nèi)取GH兩點(diǎn)，另一個(gè)點(diǎn)取K時(shí)，24個(gè)；③一個(gè)面內(nèi)取HI兩點(diǎn)，那另一個(gè)點(diǎn)只能取A或C，24個(gè)（4）因?yàn)樗拿骟w中僅有3對異面直線，可將問題分解成正方體的8個(gè)頂點(diǎn)可構(gòu)成多少個(gè)不同的四面體，從正方體8個(gè)頂點(diǎn)中任取四個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成的四面體有個(gè)，所以8個(gè)頂點(diǎn)可連成的異面直線有3×58=174對.19.解析：首先可讓5位姐姐站成一圈，屬圓排列有種，然后在讓插入其間，每位均可插入其姐姐的左邊和右邊，有2種方式，故不同的安排方式種不同站法.說明：從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素作圓形排列共有種不同排法.20.解析：完成此事共分6步，第一步；將第一名實(shí)習(xí)生分配到車間有7種不同方案，第二步：將第二名實(shí)習(xí)生分配到車間也有7種不同方案，依次類推，由分步計(jì)數(shù)原理知共有種不同方案.21.解析：C。設(shè)購買軟件片、磁盤盒，則，所以；，；。故共7種。22.解析：(包括兩個(gè)數(shù)不同和相同的情形！)23.解析：（1）先把30030分解成質(zhì)因數(shù)的形式：30030=2×3×5×7×11×13；依題意偶因數(shù)2必取，3，5，7，11，13這5個(gè)因數(shù)中任取若干個(gè)組成成積，所有的偶因數(shù)為個(gè)（或）.（2）分析知7必排在8之后，5必排在7之后.且8的前面只有2個(gè)數(shù)，8、7之間只有一個(gè)小于7的數(shù)，6或在7之前，或在7、5之間，或在5之后。第一種情況：6在7之前，