2022-2023學年高二物理同步講義（人教）2.4 單擺（學生版）

第04講單擺目標導航目標導航課程標準課標解讀1．知道什么是單擺．2．理解單擺振動的回復力來源及做簡諧運動的條件．3．掌握單擺振動的周期公式，并能用公式解題．1．理解單擺模型和單擺做簡諧運動的條件，知道單擺振動時回復力的來源．2．了解影響單擺周期的因素，掌握單擺的周期公式．3．知道單擺周期的決定因素，掌握單擺的周期公式．知識精講知識精講知識點01單擺及單擺的回復力1．單擺(1)如果細線的質(zhì)量與小球相比可以忽略，球的直徑與線的長度相比也可以忽略，這樣的裝置就叫做單擺。單擺是實際擺的理想化模型。(2)單擺的平衡位置：擺球靜止時所在的位置。2．單擺的回復力(1)回復力的來源：如圖所示，擺球的重力沿圓弧切向的分力提供回復力。(2)回復力的特點：在偏角很小時，sinθ≈eq\f(x,l)，所以單擺的回復力為F＝－eq\f(mg,l)x，即小球所受的回復力與它偏離平衡位置的位移成正比，方向總是指向平衡位置，單擺的運動可看成是簡諧運動。3．單擺的運動特點(1)擺線以懸點為圓心做變速圓周運動，因此在運動過程中只要速度v≠0，半徑方向都受向心力．(2)擺線同時以平衡位置為中心做往復運動，因此在運動過程中只要不在平衡位置，軌跡的切線方向都受回復力．【即學即練1】下列有關(guān)單擺運動過程中的受力，說法正確的是()A．單擺運動的回復力是重力和擺線拉力的合力B．單擺運動的回復力是重力沿圓弧切線方向的一個分力C．單擺經(jīng)過平衡位置時合力為零D．單擺運動的回復力是擺線拉力的一個分力知識點02單擺的周期1．伽利略發(fā)現(xiàn)了單擺運動的等時性，惠更斯得出了單擺的周期公式并發(fā)明了擺鐘。2．單擺的周期(1)單擺的周期T＝2πeq\r(\f(l,g))，只與擺長l及單擺所在處的重力加速度有關(guān)，與振幅及擺球的質(zhì)量無關(guān)。單擺的周期叫固有周期。(2)單擺的周期公式在單擺偏角很小時成立(偏角為5°時，由周期公式算出的周期和精確值相差0.01%)。(3)單擺周期公式中的g應(yīng)為單擺所在處的重力加速度，l應(yīng)為單擺的擺長。擺長是指從懸點到擺球重心的長度，l＝l′＋eq\f(d,2)，l′為擺線長，d為擺球直徑?！炯磳W即練2】如圖所示，甲、乙是擺長相同的兩個單擺，它們中間用一根細線相連，其中一個擺線與豎直方向成θ角．已知甲的質(zhì)量大于乙的質(zhì)量．當細線突然斷開后，兩物塊都做簡諧運動，在擺動過程中下列說法正確的是()A．甲的振幅小于乙的振幅B．甲的振幅等于乙的振幅C．甲的最大速度小于乙的最大速度D．甲的運動周期大于乙的運動周期知識點03單擺的“等效思維”l等效＝lsinα做垂直紙面的小角度擺動l等效＝lsinα＋l垂直紙面擺動l等效＝l紙面內(nèi)擺動左側(cè)：l等效＝l右側(cè)：l等效＝eq\f(2,3)l紙面內(nèi)擺動T＝πeq\r(\f(l,g))＋πeq\r(\f(2l,3g))l等效＝R當半徑R遠大于小球位移x時，小球做單擺運動【即學即練3】如圖所示，在兩根等長的細線下懸掛一個小球(體積可忽略)，組成了所謂的雙線擺，若細線長均為l，兩線與天花板的夾角均為α，當小球垂直紙面做簡諧運動時，周期為()A．2πeq\r(\f(l,g)) B．2πeq\r(\f(2l,g))C．2πeq\r(\f(2lcosα,g)) D．2πeq\r(\f(lsinα,g))能力拓展能力拓展考法01單擺的簡諧振動【典例1】如圖甲所示是一個單擺振動的情形，O是它的平衡位置，B、C是擺球所能到達的最遠位置，設(shè)向右為正方向，圖乙是這個單擺的振動圖象，根據(jù)圖象回答：(1)單擺振動的頻率是多大？(2)開始時刻擺球在何位置？(3)若當?shù)氐闹亓铀俣葹?0m/s2，試求這個擺的擺長是多少？考法02等效單擺的應(yīng)用【典例2】如圖所示，三根細線于O點處打結(jié)，A、B端固定在同一水平面上相距為eq\r(3)L的兩點上，使∠AOB成直角，∠BAO＝30°，已知OC線長是L，下端C點系著一個小球(直徑可忽略)．下列說法中正確的是()A．讓小球在紙面內(nèi)擺動，周期T＝2πeq\r(\f(L,g))B．讓小球在垂直紙面內(nèi)擺動，周期T＝πeq\r(\f(7L,g))C．讓小球在紙面內(nèi)擺動，周期T＝2πeq\r(\f(3L,2g))D．讓小球在垂直紙面內(nèi)擺動，周期T＝2πeq\r(\f(L,g))考法03圓弧面上等效單擺的作用【典例3】如圖所示，曲面AO是一段半徑為2m的光滑圓弧面，圓弧與水平面相切于O點，AO弧長10cm.現(xiàn)將一小球先后從曲面的頂端A和AO弧的中點B由靜止釋放，到達底端O的速度分別為v1和v2，所經(jīng)歷的時間分別是t1和t2，那么()A．v1＜v2，t1＜t2 B．v1＞v2，t1＝t2C．v1＝v2，t1＝t2 D．上述三種都有可能

題組A基礎(chǔ)過關(guān)練1．關(guān)于單擺，下列說法中正確的是()A．擺球受到的回復力方向總是指向平衡位置B．擺球受到的回復力是它的合力C．擺球經(jīng)過平衡位置時，所受的合力為零D．擺角很小時，擺球受的合力的大小跟擺球?qū)ζ胶馕恢玫奈灰拼笮〕烧?．(多選)如圖所示是一個單擺(θ＜5°)，其周期為T，則下列說法正確的是()A．把擺球的質(zhì)量增加一倍，其周期不變B．擺球的振幅變小時，周期也變小C．此擺由O→B運動的時間為eq\f(T,4)D．擺球由B→O時，動能向勢能轉(zhuǎn)化3．(多選)一個單擺做小角度擺動，其振動圖象如圖所示，以下說法正確的是()A．t1時刻擺球速度為零，懸線對它的拉力最小B．t2時刻擺球速度最大，但加速度不為零C．t3時刻擺球速度為零，懸線對它的拉力最大D．t4時刻擺球速度最大，懸線對它的拉力最大E．t4時刻擺球所受合力為零4．(多選)某單擺由1m長的擺線連接一個直徑為2cm的鐵球組成，下列關(guān)于單擺周期的說法正確的是()A．用等大的銅球替代鐵球，單擺的周期不變B．用大球替代小球，單擺的周期不變C．擺角從5°改為3°，單擺的周期會變小D．將單擺從赤道移到北極，單擺的周期會變小5．已知單擺a完成10次全振動的時間內(nèi)，單擺b完成6次全振動，兩擺長之差為1.6m，則兩單擺長la與lb分別為()A．la＝2.5m，lb＝0.9m B．la＝0.9m，lb＝2.5mC．la＝2.4m，lb＝4.0m D．la＝4.0m，lb＝2.4m6．(多選)如圖所示為甲、乙兩單擺的振動圖象，則()A．若甲、乙兩單擺在同一地點擺動，則甲、乙兩單擺的擺長之比為l甲∶l乙＝2∶1B．若甲、乙兩單擺在同一地點擺動，則甲、乙兩單擺的擺長之比為l甲∶l乙＝4∶1C．若甲、乙兩擺擺長相同，且在不同的星球上擺動，則甲、乙兩擺所在星球的重力加速度之比為g甲∶g乙＝4∶1D．若甲、乙兩擺擺長相同，且在不同的星球上擺動，則甲、乙兩擺所在星球的重力加速度之比為g甲∶g乙＝1∶47．如圖所示為演示簡諧運動的沙擺，已知擺長為l，沙桶的質(zhì)量為m，沙子的質(zhì)量為M，M>m，沙子逐漸下漏的過程中，沙擺的周期()A．不變B．先變大后變小C．先變小后變大D．逐漸變大8．(多選)惠更斯利用擺的等時性發(fā)明了帶擺的計時器，叫擺鐘，擺鐘運行時克服摩擦所需的能量由重錘的勢能提供，運行的速率由鐘擺控制．旋轉(zhuǎn)鐘擺下端的螺母可以使擺上的圓盤沿擺桿上下移動，如圖所示．以下說法正確的是()A．當擺鐘不準確時需要調(diào)整圓盤的位置B．擺鐘快了應(yīng)使圓盤沿擺桿上移C．由冬季變?yōu)橄募緯r應(yīng)使圓盤沿擺桿上移D．把擺鐘從福建移到北京應(yīng)使圓盤沿擺桿上移9．(多選)有一個單擺，原來的周期是。在下列情況下，對周期變化的判斷正確的是（）A．擺長減為原來的，周期也減為原來的B．擺球的質(zhì)量減為原來的，周期不變C．振幅減為原來的，周期不變D．重力加速度減為原來的，周期變?yōu)樵瓉淼?倍10．(多選)如圖甲所示，一單擺做小角度擺動，從某次擺球由左向右通過平衡位置開始計時，相對平衡位置的位移x隨時間t變化的圖像如圖乙所示。不計空氣阻力，重力加速度g取10m/s2。對于這個單擺的振動過程，下列說法正確的是()甲乙A．單擺的擺長約為1.0mB．單擺的位移x隨時間t變化的關(guān)系式為x＝8sinπtcmC．從t＝0.5s到t＝1.0s的過程中，擺球的重力勢能逐漸增大D．從t＝1.0s到t＝1.5s的過程中，擺球所受回復力逐漸減小11．(多選)圖中O點為單擺的固定懸點，現(xiàn)將擺球(可視為質(zhì)點)拉至A點，此時細線處于張緊狀態(tài)，釋放擺球，擺球?qū)⒃谪Q直平面內(nèi)的A、C之間來回擺動，B點為運動中的最低位置，則在擺動過程中()A．擺球在A點和C點處，速度為零，合力也為零B．擺球在A點和C點處，速度為零，回復力最大C．擺球在B點處，速度最大，回復力也最大D．擺球在B點處，速度最大，細線拉力也最大12．如圖所示，一單擺懸于O點，擺長為L，若在O點的正下方的O′點釘一個光滑釘子，使OO′＝eq\f(L,2)，將單擺拉至A處釋放，小球?qū)⒃贏、B、C間來回振動，若振動中擺線與豎直方向夾角小于5°，則此擺的周期是()A．2πeq\r(\f(L,g)) B．2πeq\r(\f(L,2g))C．2πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(\f(L,g))＋\r(\f(L,2g)))) D．πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(\f(L,g))＋\r(\f(L,2g))))題組B能力提升練1．(2020-2021學年咸陽高二檢測)在盛沙的漏斗下面放一木板,讓漏斗左右擺動起來,同時其中細沙勻速流出,經(jīng)歷一段時間后,觀察木板上沙子的堆積情況,則沙堆的剖面應(yīng)是下圖中的()2．如圖所示，乙圖中圖象記錄了單擺中擺球的動能、勢能隨擺球位置變化的關(guān)系，不計空氣阻力，下列關(guān)于圖象的說法正確的是()A．b圖線表示動能隨位置的變化關(guān)系B．a(chǎn)圖線表示機械能隨位置的變化關(guān)系C．c圖線表示動能隨位置的變化關(guān)系D．圖象表明擺球在勢能和動能的相互轉(zhuǎn)化過程中機械能不變3．(多選)圖中兩單擺擺長相同，平衡時兩擺球剛好接觸，現(xiàn)將擺球A在兩擺球所在平面內(nèi)向左拉開一小角度后釋放，碰撞后，兩擺球分開，各自做簡諧運動，以mA、mB分別表示擺球A、B的質(zhì)量，則()A．如果mA＞mB，下一次碰撞將發(fā)生在平衡位置右側(cè)B．如果mA＜mB，下一次碰撞將發(fā)生在平衡位置左側(cè)C．無論兩擺球的質(zhì)量之比是多少，下一次碰撞都不可能在平衡位置右側(cè)D．無論兩擺球的質(zhì)量之比是多少，下一次碰撞都不可能在平衡位置左側(cè)4．如圖所示的幾個相同單擺在不同條件下，關(guān)于它們的周期關(guān)系，其中判斷正確的是()(1)(2)(3)(4)A．T1＞T2＞T3＞T4 B．T1＜T2＝T3＜T4C．T1＞T2＝T3＞T4 D．T1＜T2＜T3＜T45．(多選)如圖所示，用絕緣細絲線懸掛著的帶正電的小球在勻強磁場中做簡諧運動，則()A．當小球每次通過平衡位置時，動能相同B．當小球每次通過平衡位置時，速度相同C．當小球每次通過平衡位置時，絲線拉力不相同D．磁場對擺的周期無影響E．撤去磁場后，小球擺動周期變大6．如圖所示，長為l的細繩下方懸掛一小球a，繩的另一端固定在天花板上O點處，在O點正下方eq\f(3,4)l的O′處有一固定細鐵釘．將小球向右拉開，使細繩與豎直方向成一小角度(約為2°)后由靜止釋放，并從釋放時開始計時．當小球a擺至最低位置時，細繩會受到鐵釘?shù)淖钃酰O(shè)小球相對于其平衡位置的水平位移為x，向右為正．下列圖象中，能描述小球在開始一個周期內(nèi)的x-t關(guān)系的是()7．一個單擺，在第一個行星上的周期為T1，在第二個行星上的周期為T2，若這兩個行星的質(zhì)量之比為M1∶M2＝4∶1，半徑之比R1∶R2＝2∶1，則()A．T1∶T2＝1∶1 B．T1∶T2＝4∶1C．T1∶T2＝2∶1 D．T1∶T2＝1∶28．將一單擺向左拉至水平標志線上，從靜止釋放，當擺球運動到最低點時，擺線碰到障礙物，擺球繼續(xù)向右擺動．用頻閃照相機拍到如圖所示的單擺運動過程的頻閃照片，以下說法不正確的是()A．這個實驗說明了動能和勢能可以相互轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化過程中機械能守恒B．擺線碰到障礙物前后的擺長之比為9∶4C．擺線經(jīng)過最低點時，線速度不變，做圓周運動的半徑減小，擺線張力變大D．擺線經(jīng)過最低點時，角速度變大，做圓周運動的半徑減小，擺線張力不變9．如圖，甲、乙兩個單擺的懸點在同一水平天花板上，兩擺球拉到同一水平高度，并用一根細線水平相連，以水平地板為參考面．平衡時，甲、乙兩擺的擺線與豎直方向的夾角分別為θ1和θ2，且θ1>θ2.當細線突然斷開后，兩擺球都做簡諧運動，則()A．甲、乙兩擺的周期相等B．甲、乙兩擺的振幅相等C．甲擺球的機械能小于乙擺球的機械能D．甲擺球的最大速度小于乙擺球的最大速度10．如圖所示，MN為半徑較大的光滑圓弧軌道的一部分，把小球A放在MN的圓心處，再把另一小球B放在MN上離最低點C很近的M處，今使兩球同時自由釋放，則在不計空氣阻力的情況下()A．A球先到達C點B．B球先到達C點C．兩球同時到達C點D．無法確定哪一個球先到達C點11．如圖所示，將擺長為L的單擺放在一升降機中，若升降機以加速度a向上勻加速運動，求單擺的擺動周期．

題組C培優(yōu)拔尖練1．如圖所示，兩段光滑圓弧軌道半徑分別為R1和R2，圓心分別為O1和O2，所對應(yīng)的圓心角均小于5°，在最低點O平滑連接。M點和N點分別位于O點左右兩側(cè)，MO的距離小于NO的距離?，F(xiàn)分別將位于M點和N點的兩個