2016年全國統(tǒng)一高考數(shù)學試卷（理科）（新課標ⅱ）（含解析版）

2016年全國統(tǒng)一高考數(shù)學試卷(理科)(新課標H)

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的.

1.(5分)已知z=(m+3)+(m-1)i在復平面內(nèi)對應的點在第四象限，則實

數(shù)m的取值范圍是()

A.(-3,1)B.(-1,3)C.(1,+8)D.(一，-3)

2.(5分)已知集合人={1,2,3},B={x(x+1)(x-2)<0,xGZ},則AUB

等于()

A.{1}B.{1,2}

C.{0,1,2,3}D.{-1,0,1,2,3)

3.(5分)已知向量力=(1,m),b=(3,-2),且(a+b)±b,則m=()

A.-8B.-6C.6D.8

4.(5^)0x2+y2-2x-8y+13=0的圓心到直線ax+y-1=0的距離為1,則a=()

A.-AB.C.V3D.2

34

5.(5分)如圖，小明從街道的E處出發(fā)，先到F處與小紅會合，再一起到位于

G處的老年公寓參加志愿者活動，則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條

數(shù)為()

6.(5分)如圖是由圓柱與圓錐組合而成的幾何體的三視圖，則該幾何體的表面

積為()

273

A.20nB.24TlC.28nD.32n

7.（5分）若將函數(shù)y=2sin2x的圖象向左平移生個單位長度，則平移后的圖象

的對稱軸為（

Ax空k2L+2L(kez)

26

c-x<-TI(kGZ)k2L+2L(kez)

212

8.（5分）中國古代有計算多項式值的秦九韶算法，如圖是實現(xiàn)該算法的程序框

圖.執(zhí)行該程序框圖，若輸入的x=2,n=2,依次輸入的a為2,2,5,則輸

出的s=（）

（開始）

/輸入X,"/

;

/c=0^=0

」——

/輸入a/

5=5?x+a

/輸出S/

（結束）

9.(5分)若cos(——-a)=—,貝！Jsin2a二(

45

10.（5分）從區(qū)間［0,1］隨機抽取2n個數(shù)X1，X2，…，Xn，y°y2,...?yn構成

n個數(shù)對（xi，yi）,（X2,y2）...（xn,yn）,其中兩數(shù)的平方和小于1的數(shù)對

共有m個，則用隨機模擬的方法得到的圓周率Ti的近似值為（）

A.會B.2nC.血

n

11.（5分）已知Fi，F(xiàn)2是雙曲線E：3-J=1的左，右焦點，點M在E上,

ab

MFi與x軸垂直，sinZMF2Fi=^-,則E的離心率為（

A.V2

12.(5分)已知函數(shù)f(x)(x?R)滿足f(-x)=2-f(x),若函數(shù)y=?里支與

y=f(x)圖象的交點為(xi，yi),(X2，y2))(xm,ym),則￡(xi+y,)=

C.2mD.4m

二、填空題：本題共4小題，每小題5分.

13.（5分）ZkABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若cosA=&,cosC=-^L,

a=l,則b=.

14.（5分）a,|3是兩個平面，m,n是兩條直線，有下列四個命題:

①如果m_Ln,m_La,n〃0,那么a_L0.

②如果m_La,n〃a,那么m±n.

③如果a〃0,mua,那么m〃0.

④如果m〃n,a〃0,那么m與a所成的角和n與0所成的角相等.

其中正確的命題是（填序號）

15.（5分）有三張卡片，分別寫有1和2,1和3,2和3.甲，乙，丙三人各

取走一張卡片，甲看了乙的卡片后說：“我與乙的卡片上相同的數(shù)字不是2”,

乙看了丙的卡片后說：“我與丙的卡片上相同的數(shù)字不是工"，丙說："我的卡

片上的數(shù)字之和不是5”,則甲的卡片上的數(shù)字是.

16.（5分）若直線y=kx+b是曲線y=lnx+2的切線，也是曲線y=ln（x+1）的切線,

則b=.

三、解答題：解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

（分）為等差數(shù)列｛的前項和,且即=記加=［磔］，其

17.12Snajn1,S7=28,

中［x］表示不超過x的最大整數(shù)，如［0.9］=0,［Ig99］=l.

（）求

Ibi，bn，b10i；

（II）求數(shù)列伯力的前1000項和.

18.（12分）某保險的基本保費為a（單位：元），繼續(xù)購買該保險的投保人成

為續(xù)保人，續(xù)保人本年度的保費與其上年度出險次數(shù)的關聯(lián)如下：

上年度出險次數(shù)01234三5

保費0.85aa1.25a1.5a1.75a2a

設該險種一續(xù)保人一年內(nèi)出險次數(shù)與相應概率如下：

一年內(nèi)出險次數(shù)01234三5

概率0.300.150.200.200.100.05

（I）求一續(xù)保人本年度的保費高于基本保費的概率；

（II）若一續(xù)保人本年度的保費高于基本保費，求其保費比基本保費高出60%

的概率；

（III）求續(xù)保人本年度的平均保費與基本保費的比值.

19.（12分）如圖，菱形ABCD的對角線AC與BD交于點O,AB=5,AC=6,點E,

F分別在AD,CD上，AE=CF=$,EF交于BD于點H,將^DEF沿EF折到△D，EF

4

的位置，ODZ=VTO.

(I)證明：D'H，平面ABCD；

(II)求二面角B-D'A-C的正弦值.

D'

22

20.(12分)已知橢圓E：工+工_=1的焦點在x軸上，A是E的左頂點，斜率為

t3

k(k>0)的直線交E于A,M兩點，點N在E上，MA±NA.

(I)當t=4,|AM|=|AN|時，求△AMN的面積；

(II)當21AMi=|AN|時,求k的取值范圍.

21.(12分)(I)討論函數(shù)f(x)=隹6*的單調性，并證明當x>0時，(x-2)

x+2

ex+x+2>0；

(II)證明：當a￡[0,1)時，函數(shù)g(x)L-aj-a(x>0)有最小值.設g

x

(x)的最小值為h(a),求函數(shù)h(a)的值域.

請考生在第22?24題中任選一個題作答,如果多做，則按所做的第一題計分.［選

修4-1：幾何證明選講］

22.(10分)如圖，在正方形ABCD中，E,G分別在邊DA,DC±(不與端點重

合)，且DE=DG,過D點作DFLCE,垂足為F.

(I)證明：B,C,G,F四點共圓；

(II)若AB=1,E為DA的中點，求四邊形BCGF的面積.

Dt------￡——

E

5

［選修4-4：坐標系與參數(shù)方程］

23.在直角坐標系xOy中，圓C的方程為(x+6)2+y2=25.

(I)以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，求C的極坐標方程;

(II)直線I的參數(shù)方程是產(chǎn)°(t為參數(shù)),I與C交與A,B兩點，|AB|=后,

［y=tsinCI

求I的斜率.

［選修4-5：不等式選講］

24.已知函數(shù)f(x)=|x-工|+|x+工M為不等式f(x)<2的解集.

22

(I)求M；

(II)證明：當a,b@M時，|a+b|<|l+ab|.

2016年全國統(tǒng)一高考數(shù)學試卷(理科)(新課標II)

參考答案與試題解析

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的.

1.(5分)已知z=(m+3)+(m-1)i在復平面內(nèi)對應的點在第四象限，則實

數(shù)m的取值范圍是()

A.(-3,1)B.(-1,3)C.(1,+8)D.(-8,-3)

【考點】A4：復數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義.

【專題】11：計算題；29：規(guī)律型；35：轉化思想；5N：數(shù)系的擴充和復數(shù).

【分析】利用復數(shù)對應點所在象限，列出不等式組求解即可.

【解答】解：z=(m+3)+(m-1)i在復平面內(nèi)對應的點在第四象限，

可得：解得

ro-KO

故選：A.

【點評】本題考查復數(shù)的幾何意義，考查計算能力.

2.(5分)已知集合人={1,2,3},B={x|(x+1)(x-2)<0,xGZ},則AUB

等于()

A.{1}B.{1,2}

C.{0,1,2,3}D.{-1,0,1,2,3}

【考點】ID：并集及其運算.

【專題】11：計算題；35：轉化思想；40：定義法；5J：集合.

【分析】先求出集合A,B,由此利用并集的定義能求出AUB的值.

【解答】解：?.?集合A={1,2,3},

B={x|(x+1)(x-2)<0,x?Z}={0,1},

，AUB={0,1,2,3).

故選：C.

【點評】本題考查并集的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意并集定義

的合理運用.

3.(5分)已知向量六(1,m),b=(3,-2),且(a+b)±b,則m=()

A.-8B.-6C.6D.8

【考點】9H：平面向量的基本定理.

【專題】11：計算題；35：轉化思想；4R：轉化法；5A：平面向量及應用.

【分析】求出向量：+E的坐標，根據(jù)向量垂直的充要條件，構造關于m的方程,

解得答案.

【解答】解：,??向量W=(1,m),b=(3,-2),

a+b=(4,m-2),

又(a+b)-Lb)

.?.12-2(m-2)=0,

解得：m=8,

故選：D.

【點評】本題考查的知識點是向量垂直的充要條件，難度不大，屬于基礎題.

4.(5^)0x2+y2-2x-8y+13=0的圓心到直線ax+y-1=0的距離為1,則a=()

A.-AB.C.如D.2

34

【考點】IT：點到直線的距離公式；J9：直線與圓的位置關系.

【專題】35：轉化思想；4R：轉化法；5B：直線與圓.

【分析】求出圓心坐標，代入點到直線距離方程，解得答案.

【解答】解：圓x2+y2-2x-8y+13=0的圓心坐標為:(1,4),

故圓心到直線ax+y-1=0的距離d』即4T1=1,

Va2+1

解得：a=

3

故選：A.

【點評】本題考查的知識點是圓的一般方程，點到直線的距離公式，難度中檔.

5.（5分）如圖，小明從街道的E處出發(fā)，先到F處與小紅會合，再一起到位于

G處的老年公寓參加志愿者活動，則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條

數(shù)為（）

D.9

【考點】D2：分步乘法計數(shù)原理；D9：排列、組合及簡單計數(shù)問題.

【專題】12：應用題；34：方程思想；49：綜合法；50：排列組合.

【分析】從E到F最短的走法，無論怎樣走，一定包括4段，其中2段方向相

同，另2段方向相同，每種最短走法，即是從4段中選出2段走東向的，選

出2段走北向的，由組合數(shù)可得最短的走法，同理從F到G,最短的走法，

有C3、3種走法，利用乘法原理可得結論.

【解答】解：從E到F,每條東西向的街道被分成2段，每條南北向的街道被分

成2段，

從E到F最短的走法，無論怎樣走，一定包括4段，其中2段方向相同，另2

段方向相同，

每種最短走法，即是從4段中選出2段走東向的，選出2段走北向的，故共有

22

C4C2=6種走法.

同理從F到G,最短的走法，有C31c2?=3種走法.

.?.小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為6X3=18種走法.

故選：B.

【點評】本題考查排列組合的簡單應用，得出組成矩形的條件和最短走法是解

決問題的關鍵，屬基礎題

6.（5分）如圖是由圓柱與圓錐組合而成的幾何體的三視圖，則該幾何體的表面

積為（）

C.28冗D.32Tl

【考點】L!：由二視圖求面積、體積.

【專題】15：綜合題；35：轉化思想；49：綜合法；5F：空間位置關系與距離.

【分析】空間幾何體是一個組合體，上面是一個圓錐，圓錐的底面直徑是4,圓

錐的高是2會，在軸截面中圓錐的母線長使用勾股定理做出的，寫出表面積,

下面是一個圓柱，圓柱的底面直徑是4,圓柱的高是4,做出圓柱的表面積,

注意不包括重合的平面.

【解答】解：由三視圖知，空間幾何體是一個組合體，

上面是一個圓錐，圓錐的底面直徑是4,圓錐的高是2b，

在軸截面中圓錐的母線長是心麗=4,

.,.圓錐的側面積是TlX2X4=8n,

下面是一個圓柱，圓柱的底面直徑是4,圓柱的高是4,

圓柱表現(xiàn)出來的表面積是TIX22+2TIX2X4=20n

，空間組合體的表面積是28兀，

故選：C.

【點評】本題考查由三視圖求表面積，本題的圖形結構比較簡單，易錯點可能

是兩個幾何體重疊的部分忘記去掉，求表面積就有這樣的弊端.

7.（5分）若將函數(shù)y=2sin2x的圖象向左平移工個單位長度，則平移后的圖象

的對稱軸;芍（)

_工

A.x=^—(k?Z)BD.x=—k——兀+?——兀(k?Z)

226

「兀__n_兀兀

C.x=—k——(kez)ck_L(k?Z)

2212

【考點】H6：正弦函數(shù)的奇偶性和對稱性；HJ：函數(shù)y=Asin（wx+4））的圖象變

換.

【專題】35：轉化思想；49：綜合法；57：三角函數(shù)的圖像與性質.

【分析】利用函數(shù)y=Asin（（JOX+4））（A〉0,（n>0）的圖象的變換及正弦函數(shù)的

對稱性可得答案.

【解答】解:將函數(shù)y=2sin2x的圖象向左平移患個單位長度，得到y(tǒng)=2sin2（x+患）

=2sin（2x+^-）,

6

由2x+2L=kn+2L（kez）得：X=-^2L+—（k?Z）,

6226

即平移后的圖象的對稱軸方程為x=K2L+工（kez）,

26

故選：B.

【點評】本題考查函數(shù)y=Asin（3x+。）（A>0,3>0）的圖象的變換規(guī)律的應

用及正弦函數(shù)的對稱性質，屬于中檔題.

8.（5分）中國古代有計算多項式值的秦九韶算法，如圖是實現(xiàn)該算法的程序框

圖.執(zhí)行該程序框圖，若輸入的x=2,n=2,依次輸入的a為2,2,5,則輸

出的s=（）

A.7B.12C.17D.34

【考點】EF：程序框圖.

【專題】11：計算題；28：操作型；5K：算法和程序框圖.

【分析】根據(jù)已知的程序框圖可得，該程序的功能是利用循環(huán)結構計算并輸出

變量S的值，模擬程序的運行過程，可得答案.

【解答】解：,輸入的x=2,n=2,

當輸入的a為2時，S=2,k=l,不滿足退出循環(huán)的條件；

當再次輸入的a為2時，S=6,k=2,不滿足退出循環(huán)的條件；

當輸入的a為5時，S=17,k=3,滿足退出循環(huán)的條件；

故輸出的S值為17,

故選：C.

【點評】本題考查的知識點是程序框圖，當循環(huán)次數(shù)不多，或有規(guī)律可循時，

可采用模擬程序法進行解答.

9.(5分)若cos(―---a)=-,則sin2a=()

45

A.工B.1C.D.-工

255525

【考點】GF：三角函數(shù)的恒等變換及化簡求值.

【專題】36：整體思想；4R：轉化法；56：三角函數(shù)的求值.

【分析】法1°：利用誘導公式化sin2a=cos（2L-2a）,再利用二倍角的余弦可

2

得答案.

法。：利用余弦二倍角公式將左邊展開，可以得sina+cosa的值，再平方，即得

sin2a的值

【解答】解：法1。：「cos（生-a）=1,

45

.*.sin2a=cos(^--2a)=cos2-a)=2cos2-a)-1=2X-^--1=-

2442525

法2°：Vcos(--a)=^-?-(sina+cosa)=—)

425

(l+sin2a)=-^—,

225

.*.sin2a=2X_r_-1=-_Z_,

2525

故選：D.

【點評】本題考查三角函數(shù)的恒等變換及化簡求值，熟練掌握誘導公式化與二

倍角的余弦是關鍵，屬于中檔題.

10.（5分）從區(qū)間［0,1］隨機抽取2n個數(shù)xi，X2，…，Xn，yi，y2,yn構成

n個數(shù)對（xi，y）（X2,y2）...（xn,yn）,其中兩數(shù)的平方和小于1的數(shù)對

共有m個，則用隨機模擬的方法得到的圓周率n的近似值為（）

A.也B.至C.%D.組

IDmnn

【考點】CF：幾何概型.

【專題】11：計算題；34：方程思想；49：綜合法；51：概率與統(tǒng)計.

【分析】以面積為測度，建立方程，即可求出圓周率n的近似值.

【解答】解：由題意，兩數(shù)的平方和小于1,對應的區(qū)域的面積為工兀?仔，從區(qū)

4

間［0,11隨機抽取2n個數(shù)xi，X2，…，xn>yi，y2,...?yn）構成n個數(shù)對（xi，

yi）,（X2,丫2），…，（Xn,yn）,對應的區(qū)域的面積為仔.

**nl2

n

故選：c.

【點評】古典概型和幾何概型是我們學習的兩大概型，古典概型要求能夠列舉

出所有事件和發(fā)生事件的個數(shù)，而不能列舉的就是幾何概型，幾何概型的概

率的值是通過長度、面積和體積的比值得到.

22

11.（5分）已知％,F2是雙曲線E：4-'=1的左，右焦點，點M在E上，

a2b2

MFi與x軸垂直，sinZMF2Fi=l,則E的離心率為（）

3

A.V2B.』C.V3D.2

2

【考點】KC：雙曲線的性質.

【專題】31：數(shù)形結合；44：數(shù)形結合法；5D：圓錐曲線的定義、性質與方程.

【分析】由條件MFiLMFz，sinZMFjF^l,列出關系式，從而可求離心率.

3

【解答】解：由題意，M為雙曲線左支上的點，

則IMFi|=1,|MF2I=.'4c2+(b_)2,

1ai

AsinZMFFi=i,Jj

23L2,b43

rc+/

可得：2b4=a2c2,即&b2=ac,Xc2=a2+b2,

可得-e-&=0,

e>l,解得e=&.

故選：A.

【點評】本題考查雙曲線的定義及離心率的求解，關鍵是找出幾何量之間的關

系，考查數(shù)形結合思想，屬于中檔題.

12.(5分)已知函數(shù)f(x)(x?R)滿足f(-x)=2-f(x),若函數(shù)y=?處支與

y=f(x)圖象的交點為(xi，yi),(X2，y2))(xm,ym),則￡(xi+y,)=

C.2mD.4m

【考點】3P：抽象函數(shù)及其應用.

【專題】33：函數(shù)思想；48：分析法；51：函數(shù)的性質及應用.

【分析】由條件可得f（X）+f（-X）=2,即有f（x）關于點（0,1）對稱，又

函數(shù)y=再，即y=l+L的圖象關于點（0,1）對稱，即有（xi，Y1）為交點，

XX

即有（-X1，2-yi）也為交點，計算即可得到所求和.

【解答】解：函數(shù)f（x）（xGR）滿足f（-x）=2-f（x）,

即為f（x）+f（-x）=2,

可得f（x）關于點（0,1）對稱，

函數(shù)y=Z±二即y=l+L的圖象關于點（0,1）對稱，

XX

即有（Xi，Y1）為交點，即有（-X1，2-yi）也為交點，

3,y2）為交點，即有（-X2，2-y2）也為交點，

m

則有E（Xi+yi）=（xi+yi）+（x2+y2）+...+（xm+ym）

i=l

=-［（Xi+yi）+（-Xi+2-yi）+（xz+y2）+（-x2+2-丫2）+…+（xm+ym）+（-xm+2

2

~ym）］

故選：B.

【點評】本題考查抽象函數(shù)的運用：求和，考查函數(shù)的對稱性的運用，以及化

簡整理的運算能力，屬于中檔題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分.

13.（5分）Z^ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若cosA=W,cosC=-^一,

513

a=l,則b=.

一13一

【考點】HU：解三角形.

【專題】34：方程思想；48：分析法；56：三角函數(shù)的求值；58：解三角形.

【分析】運用同角的平方關系可得sinA,sinC,再由誘導公式和兩角和的正弦公

式，可得sinB,運用正弦定理可得b=%運，代入計算即可得到所求值.

sinA

【解答】解：由COSA=A,COSC=A,可得

513

sinA2=

=Vl-cosA=)/4|f-

sinCWCcRl羔■希

sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=—X_^_+AX

51351365

由正弦定理可得殳

sinA

113

5

故答案為：21_

13

【點評】本題考查正弦定理的運用，同時考查兩角和的正弦公式和誘導公式,

以及同角的平方關系的運用，考查運算能力，屬于中檔題.

14.（5分）a,0是兩個平面，m,n是兩條直線，有下列四個命題：

①如果m_Ln,m_La,n//{5,那么a_L0.

②如果m_La,n//a,那么m±n.

③如果a〃B，mua,那么m〃|3.

④如果m〃n,a〃仇那么m與a所成的角和n與0所成的角相等.

其中正確的命題是②③④（填序號）

【考點】2K：命題的真假判斷與應用；L0：空間中直線與直線之間的位置關系；

LP：空間中直線與平面之間的位置關系.

【專題】2A：探究型；5F：空間位置關系與距離；5Q：立體幾何.

【分析】根據(jù)空間直線與平面的位置關系的判定方法及幾何特征，分析判斷各

個結論的真假，可得答案.

【解答】解：①如果m_Ln,m_La,n〃|3,不能得出a_L0,故錯誤；

②如果n〃a,則存在直線lua,使n〃l,由m_La,可得m_LI,那么m_Ln.故

正確；

③如果a〃B，mua,那么m與0無公共點，則m〃|3.故正確

④如果m〃n,a〃|3,那么m,n與a所成的角和m,n與0所成的角均相等.故

正確；

故答案為：②③④

【點評】本題以命題的真假判斷與應用為載體，考查了空間直線與平面的位置

關系，難度中檔.

15.（5分）有三張卡片，分別寫有1和2,1和3,2和3.甲，乙，丙三人各

取走一張卡片，甲看了乙的卡片后說：“我與乙的卡片上相同的數(shù)字不是2”,

乙看了丙的卡片后說：“我與丙的卡片上相同的數(shù)字不是1",丙說：“我的卡

片上的數(shù)字之和不是5",則甲的卡片上的數(shù)字是1和3.

【考點】F4：進行簡單的合情推理.

【專題】2A：探究型；49：綜合法；5L：簡易邏輯.

【分析】可先根據(jù)丙的說法推出丙的卡片上寫著1和2,或1和3,分別討論這

兩種情況，根據(jù)甲和乙的說法可分別推出甲和乙卡片上的數(shù)字，這樣便可判

斷出甲卡片上的數(shù)字是多少.

【解答】解：根據(jù)丙的說法知，丙的卡片上寫著1和2,或1和3；

（1）若丙的卡片上寫著1和2,根據(jù)乙的說法知，乙的卡片上寫著2和3；

???根據(jù)甲的說法知，甲的卡片上寫著1和3；

（2）若丙的卡片上寫著1和3,根據(jù)乙的說法知，乙的卡片上寫著2和3；

又甲說，“我與乙的卡片上相同的數(shù)字不是2"；

???甲的卡片上寫的數(shù)字不是1和2,這與已知矛盾；

???甲的卡片上的數(shù)字是1和3.

故答案為：1和3.

【點評】考查進行簡單的合情推理的能力，以及分類討論得到解題思想，做這

類題注意找出解題的突破口.

16.（5分）若直線y=kx+b是曲線y=lnx+2的切線，也是曲線y=ln（x+1）的切線，

貝Ub=1-In2.

【考點】6H：利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程.

【專題】53：導數(shù)的綜合應用.

【分析】先設切點，然后利用切點來尋找切線斜率的聯(lián)系，以及對應的函數(shù)值,

綜合聯(lián)立求解即可

【解答】解：設y=kx+b與y=lnx+2和y=ln(x+1)的切點分別為(Xi，kx1+b)、(x2,

kx2+b)；

由導數(shù)的幾何意義可得k=J-=-l—,得x1=x2+l

X|X2+I

"kxi+b=lnxi+2

再由切點也在各自的曲線上，可得11、

kx2+b=ln(x2+l)

'k=2

_1

聯(lián)立上述式子解得町下；

1

「2一方

從而kxi+b=lnxi+2得出b=l-In2.

【點評】本題考查了導數(shù)的幾何意義，體現(xiàn)了方程思想，對學生綜合計算能力

有一定要求，中檔題

三、解答題：解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.(12分)Sn為等差數(shù)列⑸｝的前n項和，且ai=l,S7=28,記*［磔"，其

中［x］表示不超過x的最大整數(shù)，如［0.9］=0,［Ig99］=l.

(I)求bi，bn，bioi；

(II)求數(shù)列｛bn｝的前1000項和.

【考點】83：等差數(shù)列的性質；8E：數(shù)列的求和.

【專題】11：計算題；29：規(guī)律型；35：轉化思想；54：等差數(shù)列與等比數(shù)歹U.

【分析】(I)利用已知條件求出等差數(shù)列的公差，求出通項公式，然后求解也,

bu，bioi；

(II)找出數(shù)列的規(guī)律,然后求數(shù)列數(shù)J的前1000項和.

【解答】解：(I)Sn為等差數(shù)列｛aj的前n項和,且ai=l,S7=28,7a4=28.

可得a4=4,則公差d=l.

an=n，

bn=[lgn],則bi=[lgl]=O,

bn=[igll]=1>

bioi=[lglOl]=2.

（II）由（I）可知：b1=b2=b3=...=b9=0）bio=bn=bi2=...=b99=l.

bioo=bioi=bio2=bio3=---=b999=2>bio,oo=3.

數(shù)列｛bj的前1000項和為：9X0+90X1+900X2+3=1893.

【點評】本題考查數(shù)列的性質，數(shù)列求和，考查分析問題解決問題的能力，以

及計算能力.

18.（12分）某保險的基本保費為a（單位：元），繼續(xù)購買該保險的投保人成

為續(xù)保人，續(xù)保人本年度的保費與其上年度出險次數(shù)的關聯(lián)如下：

上年度出險次數(shù)0123425

保費0.85aa1.25a1.5a1.75a2a

設該險種一續(xù)保人一年內(nèi)出險次數(shù)與相應概率如下:

一年內(nèi)出險次數(shù)01234三5

概率0.300.150.200.200.100.05

（I）求一續(xù)保人本年度的保費高于基本保費的概率；

（II）若一續(xù)保人本年度的保費高于基本保費，求其保費比基本保費高出60%

的概率；

（III）求續(xù)保人本年度的平均保費與基本保費的比值.

【考點】CB：古典概型及其概率計算公式.

【專題】11：計算題；35：轉化思想；49：綜合法；51：概率與統(tǒng)計.

【分析】（I）上年度出險次數(shù)大于等于2時，續(xù)保人本年度的保費高于基本保

費，由此利用該險種一續(xù)保人一年內(nèi)出險次數(shù)與相應概率統(tǒng)計表根據(jù)對立事

件概率計算公式能求出一續(xù)保人本年度的保費高于基本保費的概率.

（II）設事件A表示“一續(xù)保人本年度的保費高于基本保費"，事件B表示"一續(xù)

保人本年度的保費比基本保費高出60%”,由題意求出P(A),P(AB),由此

利用條件概率能求出若一續(xù)保人本年度的保費高于基本保費，則其保費比基

本保費高出60%的概率.

(III)由題意，能求出續(xù)保人本年度的平均保費與基本保費的比值.

【解答】解：(I)???某保險的基本保費為a(單位：元)，

上年度出險次數(shù)大于等于2時，續(xù)保人本年度的保費高于基本保費，

...由該險種一續(xù)保人一年內(nèi)出險次數(shù)與相應概率統(tǒng)計表得：

一續(xù)保人本年度的保費高于基本保費的概率：

Pi=l一0.30一0.15=0.55.

(II)設事件A表示“一續(xù)保人本年度的保費高于基本保費"，事件B表示“一續(xù)

保人本年度的保費比基本保費高出60%”,

由題意P(A)=0.55,P(AB)=0.10+0.05=0.15,

由題意得若一續(xù)保人本年度的保費高于基本保費,

則其保費比基本保費高出60%的概率：

P2=P(B|A)=P(⑻=2dj_=_L.

P(A)0.5511

(III)由題意，續(xù)保人本年度的平均保費與基本保費的比值為：

0.85ax0.30+aXQ.15+L25ax0.2+1.5ax0.20+1.75aX0.l+2aX0.J1,

a

???續(xù)保人本年度的平均保費與基本保費的比值為1.23.

【點評】本題考查概率的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意對立事件

概率計算公式、條件概率計算公式的合理運用.

19.(12分)如圖，菱形ABCD的對角線AC與BD交于點O,AB=5,AC=6,點E,

F分別在AD,CD上，AE=CF=旦,EF交于BD于點H,將^DEF沿EF折到△D，EF

4

的位置，OD，=J五

(I)證明：平面ABCD；

(II)求二面角B-D'A-C的正弦值.

D

【考點】MJ：二面角的平面角及求法.

【專題】15：綜合題；35：轉化思想；44：數(shù)形結合法；5G：空間角.

【分析】（I）由底面ABCD為菱形，可得AD=CD,結合AE=CF可得EF〃AC,再

由ABCD是菱形，得ACLBD,進一步得到EF±BD,由EF±DH,可得EF，D，H,

然后求解直角三角形得D，H，OH,再由線面垂直的判定得平面ABCD；

（II）以H為坐標原點，建立如圖所示空間直角坐標系，由已知求得所用點的

坐標，得到瓦、而片、正的坐標，分別求出平面ABD，與平面ADT的一個法

向量五、E，設二面角二面角B-UA-C的平面角為&求出|cos61?則二

面角B-DZA-C的正弦值可求.

【解答】（I）證明：?:ABCD是菱形,

.\AD=DC,又AE=CF=5,

4

?DE_DF

，#EA^FC,則EF〃AC,

又由ABCD是菱形，得ACLBD,則EF，BD,

AEFXDH,則EFLD'H,

VAC=6,

，A0=3,

又AB=5,AO±OB,

.\0B=4,

.?.OH=^?OD=1,則DH=D,H=3,

AD

.,/OD[2=|OH1+|D，H|2,則D^XOH,

又OHPEF=H,

.?.D'H,平面ABCD；

(H)解：以H為坐標原點，建立如圖所示空間直角坐標系,

VAB=5,AC=6,

，B(5,0,0),C(1,3,0),D'(0,0,3),A(1,-3,0),

AB=(4,3,0),AD，'=(-1,3,3)，AC=(0,6,0))

設平面ABD，的一個法向量為￡=(x,y,Z)，

z---?---?

n

,lzBf4x+3y=0而。砥〃u

由、__,得1,取x=3,得y=-4,z=5.

njAD'=0l-x+3y+3z=0

,,np(3,-4,5)-

同理可求得平面ADt的一個法向量E=(3,0,1),

設二面角二面角B-D/A-C的平面角為6,

則|二叵或J3X3+5X1I775

5V2xV10-25

Irij||n2I

二面角B-D'A-C的正弦值為sin6=2Z恒.

25

【點評】本題考查線面垂直的判定,考查了二面角的平面角的求法，訓練了利

用平面的法向量求解二面角問題,體現(xiàn)了數(shù)學轉化思想方法，是中檔題.

22

…分)已知橢圓E：;斤1的焦點在x軸上，A是E的左頂點，斜率為

k(k>0)的直線交E于A,M兩點，點N在E上，MA±NA.

(I)當t=4,|AM|=|AN|時,求△AMN的面積；

(II)當21AMi=|AN|時，求k的取值范圍.

【考點】KH：直線與圓錐曲線的綜合.

【專題】35：轉化思想；48：分析法；5E：圓錐曲線中的最值與范圍問題.

【分析】(I)方法一、求出t=4時，橢圓方程和頂點A,設出直線AM的方程,

代入橢圓方程，求交點M,運用弦長公式求得|AM1,由垂直的條件可得|AN1,

再由|AM|=|AN解得k=l,運用三角形的面積公式可得△AMN的面積；

方法二、運用橢圓的對稱性，可得直線AM的斜率為1,求得AM的方程代入橢

圓方程，解方程可得M,N的坐標，運用三角形的面積公式計算即可得到；

(II)直線AM的方程為y=k(x+五)，代入橢圓方程，求得交點M,可得|AM1,

AN),再由21AMi=|AN|,求得t,再由橢圓的性質可得t>3,解不等式即

可得到所求范圍.

22

【解答】解：(I)方法一、t=4時，橢圓E的方程為—+—=1,A(-2,0),

43

直線AM的方程為y=k(x+2),代入橢圓方程,整理可得(3+4k2)x2+16k2x+16k2

-12=0,

2_____2_____

解得*=-2或*=-毀二_,貝”AM=Vl+k2*2~?Wl+k2，cIf2'

3+4儲3+4儲3+4k2

由AN,AM,可得IAN|=〃+(_；)2-------%^=京”?一^―,

Vk3+4?(優(yōu)產(chǎn)3|k|+而

=

由|AM|=|AN],k〉0,可得J1+k2?！獈~o\l1+k^,屋，

3+4儲3k+y-

k

整理可得(k-1)(4k2+k+4)=0,由4k2+k+4=0無實根,可得k=l,

即有△AMN的面積為AM12=1,NI+I?」^L)2=111；

223+449

方法二、由|AM|=|ANI，可得M,N關于x軸對稱，

由MA±NA.可得直線AM的斜率為1,直線AM的方程為y=x+2,

22

代入橢圓方程=+匚=1,可得7X2+16X+4=0,

43

解得x=-2或-2,M(-2,絲)，N(-2,-辿)，

77777

則AAMN的面積為(-2+2)=111；

27749

(II)直線AM的方程為y=k(x+、/7),代入橢圓方程,

可得(3+tk2)x2+2t/tk2x+t2k2-3t=0,

解得x=-代或x=-仙?芋,

3+tk2

即有AM?血孚％刃初?-^1r

由21AMi=|AN|,可得2V1+k2*=Vl+k2，-

3+tk3比

2

整理得t=6『：H,

k-2

由橢圓的焦點在x軸上，貝Ut>3,即有空當>3,即有(J+D&-2)<0,

k-2k-2

可得起<kV2,即k的取值范圍是(料，2).

【點評】本題考查橢圓的方程的運用，考查直線方程和橢圓方程聯(lián)立，求交點,

以及弦長公式的運用，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題.

21.(12分)(1)討論函數(shù)￡6)=江8的單調性，并證明當x>0時，(x-2)

x+2

ex+x+2>0；

(II)證明：當a?[0,1)時，函數(shù)g(x)-e_~a_x_a..(x>0)有最小值.設g

(x)的最小值為h(a),求函數(shù)h(a)的值域.

【考點】6B：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性；6D：利用導數(shù)研究函數(shù)的極值.

【專題】53：導數(shù)的綜合應用.

【分析】從導數(shù)作為切入點探求函數(shù)的單調性，通過函數(shù)單調性來求得函數(shù)的

值域，利用復合函數(shù)的求導公式進行求導，然后逐步分析即可

【解答】解：(1)證明：f(x)=±2eX

x+2

f'(x)=ex(x-24

x+2(x+2產(chǎn)(x+2)2

?當x￡(-°°,-2)U(-2,+0°)時，f'(x)20

Af(x)在(-8,一2)和(-2,+8)上單調遞增

.*.x>0時，二(0)=-1

x+2

即(x-2)ex+x+2>0

(2)g,(x)=(e'-a)x-2x(e'-ax-a)

x4

x(xeX-2eX+ax+2a)心+打(寶"e"a)

ae[o,1)

由(1)知，當x>0時，f(x)=三H€*的值域為(-1,+8),只有一解使得

x+2

t-2t_

------■E二-K，

t+2

只需上l?eW0恒成立，可得-2<tW2,

t+2

由x>0,可得

te(o,2]

當xG(0,t)時，g'(x)<0,g(x)單調減；

當xG(t,+8),g1(x)>0,g(x)單調增；

h(a)eta(t+1)e+(t+l)t+2*eet

記k(t)在te(o,2]時，k'(t)〉o,

t+2(t+2產(chǎn)

故k(t)單調遞增，

12

所以h(a)=k(t)e(—,—].

24

【點評】該題考查了導數(shù)在函數(shù)單調性上的應用，重點是掌握復合函數(shù)的求導,

以及導數(shù)代表的意義，計算量較大，難度較大.

請考生在第22?24題中任選一個題作答,如果多做，則按所做的第一題計分.［選

修4-1：幾何證明選講］

22.(10分)如圖，在正方形ABCD中，E,G分別在邊DA,DC±(不與端點重

合)，且DE=DG,過D點作DFLCE,垂足為F.

(I)證明：B,C,G,F四點共圓；

(II)若AB=1,E為DA的中點，求四邊形BCGF的面積.

【考點】N8：圓內(nèi)接多邊形的性質與判定.

【專題】14：證明題.

【分析】(I)證明B,C,G,F四點共圓可證明四邊形BCGF對角互補，由已知

條件可知ZBCD=90°,因此問題可轉化為證明ZGFB=90°；

(II)在RtADFC中，GF=1CD=GC,因此可得4GFB之ZkGCB,貝I］S四邊形BCGF=2S