2020-2021學(xué)年南通市如皋市高二年級上冊期末數(shù)學(xué)試卷(含解析)

2020-2021學(xué)年南通市如皋市高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷

一、單選題（本大題共8小題，共40.0分）

1.“直線與雙曲線相切”是“直線與雙曲線只有一個公共點(diǎn)”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

2.（5一左）16的二項(xiàng)展開式17個項(xiàng)中，整式的個數(shù)是（）

A.1B.3C.5D.7

3.如圖是某縣參加2008年高考的學(xué)生身高條形統(tǒng)計(jì)圖，從左到右的各條形表示的學(xué)生人數(shù)依次記

為4,A2........4o（如必表示身高（單位：cm）在［150,155）內(nèi)的學(xué)生人數(shù)）.圖2是統(tǒng)計(jì)圖1中身高

在一定范圍內(nèi)學(xué)生人數(shù)的一個算法流程圖.現(xiàn)要統(tǒng)計(jì)身高在160?185cm（含160cm,不含

185sn）的學(xué)生人數(shù)，那么在流程圖中的判斷框內(nèi)應(yīng)填寫的條件是（）

4.用zn,n表示兩條不同的直線，a,0表示兩個不同的平面，給出下列命題:

①若m_Ln,m1a,則n〃a；

②若m〃a，a上B，則

③若?nJ_￡,Q_L￡,則

④若？m1a,n1/?,則a_LS.

其中正確命題的個數(shù)是（）

A.0B.1C.2D.3

5.已知直線I與直線x+何一3=0垂直，且與x軸關(guān)于雙曲線C：捻一，=l（a>0,b>0）的一條

漸近線對稱，則雙曲線C的離心率為（）

A.2B.V2C.2或2D.魚或：

333

6.用一個邊長為近的正方形硬紙，按各邊中點(diǎn)垂直折起四個小三角形，做成一個蛋巢.現(xiàn)將半徑

為1的球體放置于蛋巢上，則球體球心與蛋巢底面的距離為（）

A.：B.|C4D.|

8.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓今+，=l（a>b>0）的右焦點(diǎn)為F,上頂點(diǎn)為B,M為線

段BF的中點(diǎn)，若NMOF=30。，則該橢圓的離心率為（）

A.立B.漁C.立D.1

2333

二、多選題（本大題共4小題，共20.0分）

9.已知曲線C：—+^=1,（）

mn

A.若m>n>0,則C是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓

B.若m=2n（n>0）,則C是橢圓，且其離心率為苧

C.若mn<0,則C是雙曲線，其漸近線方程為蘭+日=0

mn

D.若m=—2n,則C是雙曲線，其離心率為舊或立

2

10.已知函數(shù)/（X）=sin（3X+9）（3>0,3<今的最小正周期是兀，把它圖象向右平移泠單位后得

到的圖象所對應(yīng)函數(shù)為奇函數(shù)，現(xiàn)下列結(jié)論中正確的是（）

A.函數(shù)/Xx）的圖象關(guān)于直線x=*寸稱

B.函數(shù)/（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)臉,0）對稱

C.函數(shù)/"（X）在區(qū)間［-以一靠上單調(diào)遞減

D.函數(shù)/（乃在白學(xué)］上有3個零點(diǎn)

11.下列結(jié)論正確的是（）

A.在△ABC中，若4>B,則sinA>sinB

B.在銳角三角形ABC中，不等式川+c2-a?>0恒成立

C.在△ABC中，若acosB-bcosA=c,則△力8C是直角三角形

D.在△ABC中，若b=3,A=60。，S^ABC=3A/3，則△ABC的外接圓半徑為亨

12,已知正方體ABCn-ABiGDi的內(nèi)切球的表面積為兀，P是空間中任意一點(diǎn)，則下列命題正確的

是（）

A.若點(diǎn)P在線段AD】上運(yùn)動，則始終有GP_LCBi

B.若M是棱Ci/的中點(diǎn)，則直線4M與CQ是相交直線

C.若點(diǎn)P在在線段4以上運(yùn)動，則三棱錐。-8PQ條件為定值

D.E為力。的中點(diǎn)，則過點(diǎn)當(dāng)，且與平面4BE平行的正方體的截面面積為日

三、單空題（本大題共4小題，共20.0分）

13.9人排成3x3方陣（3行，3列），從中選出3人分別擔(dān)任隊(duì)長、副隊(duì)長、紀(jì)律監(jiān)督員，要求這3人

至少有兩人位于同行或同列，則不同的任取方法數(shù)為.（用數(shù)字回答）

22

14.若橢圓的方程為一一+上一=1,且此橢圓的焦距為4,則實(shí)數(shù)a=.

10-aa-2一

15.設(shè)AABC的內(nèi)角4,B,C所對的邊分別為a,b,c,若bcosC+ccosB=asi/M,則AABC的形狀

為.

16,已知四棱錐P-4BCD的所有頂點(diǎn)都在球。的表面上，頂點(diǎn)P到底面ABCD的距離為1,若球。的體

積為弓兀，則四棱錐P-4BCD體積的最大值為.

四、解答題（本大題共6小題，共70.0分）

17.在A/IBC中，角4,B,C的對邊分別為a,b,c,且（a+2c）cosB+bcosA=0,b=5.

（1）求角B；

（2）若△ABC的面積為竽，求△ABC的周長.

18.在三棱錐P-ABC中，P4=PB=PC=5,AB=6，BC=AC=3vL

(1)求證：平面PAB_L平面ABC；

(2)若點(diǎn)M滿足麗=2而，求二面角M-AC-B的余弦值.

19.已知拋物線C：y=2M和直線，：v卜工+1,。為坐標(biāo)原點(diǎn).

(1)求證：I與C必有兩交點(diǎn)；

(2)設(shè)/與C交于A,B兩點(diǎn)，且直線04和0B斜率之和為1,求k的值.

20.根據(jù)國家最新人口發(fā)展戰(zhàn)略，一對夫婦可生育兩個孩子，為了解人們對放開生育二胎政策的意

向，某機(jī)構(gòu)在4城市隨機(jī)調(diào)查了100位30到40歲已婚人群，得到情況如表：

意向男女合計(jì)

生402060

不生202040

合計(jì)6040100

(I)是否有95%以上的把握認(rèn)為“生二胎與性別有關(guān)”，并說明理由(請參考所附的公式及相關(guān)

數(shù)據(jù))；

(H)從這60名男性中按對生育二胎政策的意向采取分層抽樣，抽取6名男性，從這6名男性中隨

機(jī)選取兩名，求選到的兩名都愿意生育二胎的概率.

K?_n(ad-bc')2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

Pg>k)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

21.如圖，在五面體ABCDE/中，面ABCD是正方形,4D1DE,AD=4,DE=EF=2,且"DC=泉

(I)求證：ADI平面CDEF；

(n)求直線BD與平面40E所成角的正弦值；

(HI)設(shè)M是棱CF的中點(diǎn)，過M與平面40E平行的平面與棱4B交于點(diǎn)G,求線段4G的長度.

22.己知橢圓C：5+?=1和圓M：(x+3)2+(y-2)2=/&>o)交于力，⑶兩點(diǎn).

(1)若4B兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱，求圓M的方程：

(2)若點(diǎn)4的坐標(biāo)為(0,2),。為坐標(biāo)原點(diǎn)，求AOAB的面積.

參考答案及解析

1.答案：A

解析：

本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，結(jié)合直線和雙曲線的位置關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵.

根據(jù)直線和雙曲線的位置關(guān)系結(jié)合充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷即可.

解：若直線與雙曲線相切，則直線與雙曲線只有一個公共點(diǎn)，

反之，當(dāng)直線和雙曲線漸近線平行時，直線與雙曲線只有一個公共點(diǎn)，但此時直線與雙曲線是相交

的，不滿足相切，

故“直線與雙曲線相切”是“直線與雙曲線只有一個公共點(diǎn)”的充分不必要條件，

故選：A.

2.答案：B

解析：解：展開式的通項(xiàng)為：G+1=仃6,（T）ryX6-久楙-8,

由題意，r=6,8,10,

故選：B.

r168

展開式的通項(xiàng)為：Tr+1=C[6?（-i）y-rxr-,即可得出結(jié)論.

本題主要考查二項(xiàng)式定理，二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，屬于基礎(chǔ)題.

3.答案：A

解析：解：現(xiàn)要統(tǒng)計(jì)的是身高在160-18561之間的學(xué)生的人數(shù)，由圖1可知應(yīng)該從第四組數(shù)據(jù)累加

到第八組數(shù)據(jù)，即是要計(jì)算4、公、4、必、心的和，故流程圖中空白框應(yīng)是i<9,當(dāng)i<9時就

會返回進(jìn)行疊加運(yùn)算，當(dāng)i29將數(shù)據(jù)直接輸出，不再進(jìn)行任何的返回疊加運(yùn)算，故i<9.

故選:A.

該程序的作用是統(tǒng)計(jì)身高在160?185cm（含160cm,不含185cm））的學(xué)生人數(shù)，由圖1可知應(yīng)該從第

四組數(shù)據(jù)累加到第八組數(shù)據(jù)，故i值應(yīng)小于9.

本題考查頻率分布直方圖，考查流程圖，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題.

4.答案：B

解析：解：當(dāng)7nln,mla時，除了n〃a外，還有可能是nua,.?.①錯誤.

當(dāng)m〃a,al/?,ni與￡的關(guān)系并不能確定，如右圖，還可能出現(xiàn)mu￡,Ip-l

②錯誤.

m

a

當(dāng)m_LS，al/?,除了m〃a外，還有可能mua,.?.③錯誤

當(dāng)m_Ln,mJ.a時，nu?；?!〃。，又「n_L￡,；,a1。，④正確

故選：B.

利用空間直線與平面的位置關(guān)系，逐一判斷.①考慮到n除了平行于a外，還有可能在a內(nèi)，②畫出

不成立的情況說明.

③除了m平行于a外，還有可能在a內(nèi)，④利用兩平面垂直的判定定理證明.

本題主要考查了直線，平面之間的位置關(guān)系的判斷，需要學(xué)生具備空間想象力，邏輯推理能力，屬

于易錯題.

5.答案：C

解析：

本題考查雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，是基本知識的考查.

通過直線垂直，結(jié)合雙曲線的漸近線的斜率關(guān)系，推出a,b關(guān)系，然后求解離心率即可.

解：由直線/與直線x+gy-3=0垂直，可得直線，的斜率為次，傾斜角為60。，

由直線I與x軸關(guān)于雙曲線C的一條漸近線對稱，

得雙曲線C的一條漸近線的傾斜角為30。或120。，斜率為畫或-K，

3

即3=g或6，由雙曲線C的離心率6=+得e=￥或2,

故選：C.

6.答案：C

解析：解：蛋槽的邊長是原來硬紙板的對角線長度的一半，為lsn,

蛋槽立起來的小三角形部分高度是:，

雞蛋的半徑根據(jù)已知的表面積47r=4"產(chǎn)得到丁=icm,

直徑D=2cm,大于折好的蛋巢邊長1cm,

四個三角形的頂點(diǎn)所在的平面在雞蛋表面所截取的小圓直徑就是蛋槽的邊長1cm,

根據(jù)圖示，4B段由三角形4B求出得：AB*

2

AE=AB+BE=^+l，

...雞蛋中心（球心）與蛋巢底面的距離為等.

故選C.

劭Klg

蛋槽的邊長是原來硬紙板的對角線長度的一半，為1cm,蛋槽立起來的小三角形部分高度是土雞蛋

的半徑根據(jù)已知的表面積4兀=4兀/得到「=icm,直徑D=2cm,大于折好的蛋巢邊長1cm,由此

能求出雞蛋中心(球心)與蛋巢底面的距離.

本題考查點(diǎn)、線、面間距離的計(jì)算，解題時要認(rèn)真審題，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地化空

間問題為平面問題，注意數(shù)形結(jié)合法的合理運(yùn)用.

7.答案：B

解析：解：所有的“三段鐵絲的長度”的情況共有：“1,1,5”、“1,2,4”、“1,3,3”、

“2,2,3”，共計(jì)4種.

其中能構(gòu)成三角形的情況有2種情況:‘其，3,3”；“2,2,3”

則所求的概率是p(A)=^=~.

故選：B.

設(shè)構(gòu)成三角形的事件為4先求出基本事件數(shù)有4種，其中能構(gòu)成三角形的情況有2種情況，從而可

求能構(gòu)成三角形的概率；

本題以實(shí)際問題為載體，考查概率知識的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是分清是古典概型，還是幾何概型，列

出事件即可，從而利用公式求解，屬于中檔題

8.答案：A

解析：

本題考查橢圓的基本性質(zhì)，橢圓的離心率的求法，屬于基礎(chǔ)題.

求出8F的中點(diǎn)M的坐標(biāo)，結(jié)合NMOF=30。，得到b,c關(guān)系，通過a,b,c的關(guān)系，求出橢圓的離心

率.

解：記橢圓的半焦距為c,

???三+1=1的右焦點(diǎn)為心上頂點(diǎn)為B,

a2b2

???F(c,O),8(0,b),

???M為線段BF的中點(diǎn)，

??M&S

???乙MOF=30°,

???tanzMOF=tan30°=-=-=

2cc3

AC2=3b2,

vb2=a2-c2,

:.3a2=4c2,

.?橢圓的離心率為e==J=4.

故選A.

9.答案：ACD

解析：解：曲線C：亡+”=1,

mn

若瓶>幾>0,則C是焦點(diǎn)在％軸上的橢圓，故A正確；

若7n=2n(n>0),則C是橢圓，且e=￡=%=立，故8錯誤；

若nm<0,則C是雙曲線，其漸近線方程為正+^=0,故C正確；

mn

若m=-2九，貝i」C是雙曲線，當(dāng)九>0,可得雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上，

可得6=號=百，當(dāng)n<0,可得雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上，

可得6=等^=立，故。正確.

V-2n2

故選：ACD.

由zn>n>0,可得C為焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，可判斷力；由m=2n(n>0),求得離心率，可判斷B；

由nm<0,求得雙曲線的漸近線方程，可判斷C；由m=—2n,討論n>0,n<0,求得離心率，

可判斷D.

本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，考查方程思想、分類討論思想和運(yùn)算能力，屬于中檔題.

10.答案：AC

解析：解：函數(shù)f。)=sin(3%+w)(3>0,|w|<技的最小正周期是兀，

所以7=二=〃，解得①=2,

O)

因?yàn)?(X)的圖象向右平移g個單位后得到的圖象所對應(yīng)函數(shù)為奇函數(shù)，

則y=sin[2(x-$+訓(xùn)為奇函數(shù)，

所以0=y+/C7T,fcGZ,

因?yàn)閙i<5所以3=一梟

故/(x)=sin(2x-^),

對于4令2%冶=/時/€2,解得x=1+B，keZ,

所以函數(shù)f(x)的對稱軸為X=.+浮,keZ,

當(dāng)k=0時，X=等故選項(xiàng)4正確；

對于氏令2xT=kn,keZ,解得x=m+f,k€Z,

J62

所以函數(shù)/'(x)的對稱中心為G+f,0),kGZ,

oN

故函數(shù)/(x)不關(guān)于點(diǎn)(專,0)對稱，故選項(xiàng)8錯誤；

對于C,令一器+2/OTW2xYW—]+2k?r,解得一號+卜兀WxW-專+k%k6Z,

所以的單調(diào)遞減區(qū)間為[—工+時，一行+kn],k&Z,

當(dāng)k=0時，區(qū)間為[一條一各故/(x)在[-?一方上單調(diào)遞減，故選項(xiàng)C正確；

對于D,令/(x)=sin(2x-9=0,解得％=(+AWZ,

?JoZ

則函數(shù)在冷爭上有條V2個零點(diǎn)，故選項(xiàng)0錯誤.

故選：AC.

先利用周期性和圖象變換以及奇偶性求出函數(shù)/(x)的解析式，由對稱性判斷選項(xiàng)A,B,利用單調(diào)性

判斷選項(xiàng)C,由零點(diǎn)的定義判斷選項(xiàng)D

本題命題的真假判斷為載體考查了三角函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用，涉及了周期公式的應(yīng)用，奇偶性、單調(diào)性、

對稱性的應(yīng)用，零點(diǎn)的求解，綜合性強(qiáng)，考查了邏輯推理能力與化簡運(yùn)算能力，屬于中檔題.

11.答案：ABC

解析：解：對于力：在AABC中，若A>B,故a>b,利用正弦定理：sinA>sinB,故A正確；

對于8：在銳角△ABC中，0</<，所以cosA>0,故cos4=二十，一%>0,所以墳+/-02>0

22bc

恒成立，故B正確；

對于C：在448c中，若acosB—bcosA=c,整理得：sin/lcosB—sinBcosA=sinC,所以/—B=C,

由于4+8+C=TT,解得力=今則△ABC是直角三角形，故C正確；

對于。：在△Z8C中，若b=3,4=60。,三角形面積S=3遮，所以S=工兒sim4=工x3xcx3=35

222

解得c=4,

所以。2=F+c2-2bccos4=13,所以a=g，貝必R=急=等=等，故。錯誤：

~2

故選：ABC.

直接利用三角函數(shù)的關(guān)系式的變換，正弦定理和余弦定理的應(yīng)用判斷4、B、C、。的結(jié)論.

本題考查了三角函數(shù)的關(guān)系式的變換，正弦定理和余弦定理的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和數(shù)

學(xué)思維能力，屬于基礎(chǔ)題.

12.答案：ACD

解析：解：對于人因?yàn)檎襟w4BCC-&B1GD1內(nèi)切球的表面積為兀，

設(shè)內(nèi)切球的半徑為r,則47n'2=兀，解得r=：,

所以正方體4BCD-&B1C1D1的棱長為2r=1,

因?yàn)镃BJBCi，CBilAB,RBC^AB=B,

所以CBi_L平面ABCiDi，因?yàn)镼Pu平面4BC15,

所以GPJ.CB1，故A正確；

對于B：

由圖可知，直線AM與CCi是異面直線，故8錯誤;

由圖可知：因?yàn)镃D〃平面BP。]，三棱錐。-BPG體積等于三棱錐C-BPG的體積,

由4可知，CBi_L平面8PG，

所以C點(diǎn)到平面BPG的距離為日，

因?yàn)閯狱c(diǎn)P到直線BG的距離等于1,

所以△BPG的面積等于2x遮x1=當(dāng)，

所以Vo-BPCi=：X當(dāng)X苧=[,

故棱錐。-BPG的體積為定值，故C正確；

對于。：

取中點(diǎn)為M,BC中點(diǎn)為N,連接MD,DN,B、N,

因?yàn)锽\N“A\E,

所以平面81“。/7〃平面43￡,

所以過點(diǎn)Bi，且與平面4BE平行的正方體的截面為面當(dāng)MDN,

由圖可知面BiMDN是菱形，其中對角線長為=遮，MN=V2,

所以S&MON=：XKX&='，故D正確.

所以真命題有3個，

故選：ACD.

對于4：根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理判斷4是否正確；對于B：由圖可知直線4M與CCi是異面直線，即

可判斷B是否正確;對于C：利用等體積轉(zhuǎn)化法得到三棱錐D-BPG體積等于三棱錐C-BPG的體積,

接著求點(diǎn)到平面的距離和底面積,從而證明三棱錐。-BPG體積為定值，做出過點(diǎn)名,且與平面4BE

平行的正方體的截面為面/MON,最后求出面積即可.

本題考查與球有關(guān)的組合體，解題關(guān)鍵是作出合適的截面圖，屬于中檔題.

13.答案：468

解析：解：從9人任選3人分別擔(dān)任隊(duì)長、副隊(duì)長、紀(jì)律監(jiān)督員，共有用=504種，

其中位于不同行且不同列的種數(shù)為用片=36種，

故這3人至少有兩人位于同行或同列，則不同的任取方法數(shù)為504-36=468,

故答案為：468.

利用間接法，先求出沒有限制的排列，再排除位于于不同行且不同列，問題得以解決.

本題考查了排列組合的問題，采取正難則反的原則，利用間接法，屬于基礎(chǔ)題.

14.答案：4或8

解析：本題考查的知識要點(diǎn)：橢圓方程的兩種情況：焦點(diǎn)在%軸或y軸上，考察a、b、c的關(guān)系式，

及相關(guān)的運(yùn)算問題.

解：①焦點(diǎn)在x軸上時：10-a-(a-2)=4

解得：a=4.

②焦點(diǎn)在y軸上時Q-2-(10-Q)=4

解得：a=8

故答案為：4或8.

15.答案：直角三角形

解析：

本題主要考查了正弦定理的應(yīng)用，根據(jù)正弦定理把已知等式中的邊轉(zhuǎn)化為角的正弦，利用兩角和公

式化簡求得sin/的值進(jìn)而求得4判斷出三角形的形狀.

解：vbcosC+ccosB=asinA,

???sinBcosC+sinCcosB=sin(B+C)=sinA=sin2>l,

0<<4<TT,sin.A>0，

???sinA=1,%

故三角形為直角三角形，

故答案為：直角三角形.

16.答案：|

解析：

本題考查棱錐體積的求法，考查空間想象能力與思維能力，是中檔題.

由題意求出球。的半徑，可知要使球內(nèi)接四棱錐體積最大，則底面的面積最大，則

ABCD的外接圓為球的一個大圓，且當(dāng)四邊形4BCD為正方形時面積最大，求出底面正方形的面積,

代入棱錐體積公式得答案.

解：設(shè)球。得半徑為r,由：兀/=日兀，可得「=2.

高確定，要使球內(nèi)接四棱錐P-4BCD體積最大，則底面力BC。的面積最大，

如圖，

\5/

則4BCD的外接圓為球的一個大圓，且當(dāng)四邊形力BCD為正方形時面積最大.

???球的半徑為2,則正方形4BCC的邊長為2vL

"S四邊形ABCD~8-

.??四棱錐P-4BC0體積的最大值為5x8xl=1.

故答案為|.

17.答案：解：(1)根據(jù)題意，中，(<a+2c)cosB+bcosA=0,

由正弦定理可得：sinAcosB+2sinCcosB+sinBcosA=0,

即cosB=-1,又BG(0,7T),則8=|TT.

(2)由△ABC的面積為-acsinB=則ac=15,

424

由余弦定理爐=a2+c2-2accosB=(a+c)2—2ac—2accosB>

得a+c=2A/10?

則周長a+b+c=24U+5.

解析：(1)根據(jù)題意，由正弦定理，將(a+2c)cosB+bcosA=0變形可得sin4cosB+2sinCcosB+

sinBcosA=0,進(jìn)而可得cosB的值，結(jié)合8的范圍，分析可得答案；

(2)根據(jù)題意，由三角形面積公式可得［acsinB=竽，即可得ac=15,由余弦定理分析可得爐=

a2+c2-2accosB=(a+c)2-lac-laccosB,整理可得a+c的值，即可得答案.

本題考查三角形中幾何計(jì)算，關(guān)鍵掌握正弦定理、余弦定理的形式.

18.答案：(1)證明：取4B的中點(diǎn)。，連接。P和。C,

由于P4=PB,因此POJ.AB,

而由PA=PB=5,AB=6,得P。=4,

又因?yàn)?8=6,AC=BC=3V2，。為4B的中點(diǎn)，因此C。=3,

在APOC中，由于。。2+。。2=p02,

故根據(jù)勾股定理的逆定理知P。10C,

由于直線P。和平面4BC內(nèi)的兩條相交直線AB,。。都垂直，

因此根據(jù)直線和平面垂直的判定定理知，直線P。L平面4BC,

又因?yàn)镻。u平面PAB,因此平面P4B1平面4BC.

(2)由(1)知0P、0C、0B兩兩垂直,

以。為原點(diǎn)，0C、OB、0P分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系。-xyz,

則C(3,0,0),F(0,3,0),71(0,-3,0),P(0,0,4),

設(shè)MQ),yo，Zo),由于麗=(%o，yo，Zo-4)，MB=(-x0,3-y0,-z0)?

而PM=2MB,因此x()=0,y0=2?Zg=

因此M(0,2,9,

設(shè)平面MAC的一個法向量為元=(x,y,z),

4

5y+產(chǎn)=0,

(3x+3y=0

因此可得其中一個法向量為元=(-4A-15),

而平面4BC的一個法向量為芯=(0,0,1),

則8S〈元尼>=器=溪=等，

因?yàn)槎娼荕—AC—8為銳角，

所以二面角M-AC-B的余弦值為竺里.

257

解析：(1)取AB的中點(diǎn)0,連接OP和OC,根據(jù)等腰三角形可知POLAB,通過數(shù)據(jù)結(jié)合勾股定理的

逆定理可得PO_LOC，再根據(jù)直線和平面垂直的判定定理知，直線PO1平面4BC,最后根據(jù)線面垂

直的判定定理即可證得結(jié)論；

(2)以。為原點(diǎn)，OC、OB、。尸分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系。-盯z,根據(jù)麗=2而求

出M點(diǎn)坐標(biāo)，然后分別求出平面MAC和平面4BC的法向量，利用兩向量的夾角公式可求出二面角"-

AC-B的余弦值.

本題主要考查了面面垂直的判定定理的應(yīng)用以及二面角的求解，在求解空間角的時候，一般會建立

合適的空間直角坐標(biāo)系，將空間角問題轉(zhuǎn)化為空間向量問題進(jìn)行研究，考查了學(xué)生轉(zhuǎn)化化歸能力與

運(yùn)算能力，屬于中檔題.

19.答案：解：(1)證明：聯(lián)立拋物線C：、=2/和直線［：y=kx+l,可得2/-h一1=0,

???4=/c2+8>0,

.?"與C必有兩交點(diǎn)；

(2)解：設(shè)4(xi，yi),B(x2,y2),則自+￡=1①；

因?yàn)檠?=5+1，%=依2+1,代入①，得2k+(/+P)=1②；

又由韋達(dá)定理得Xi+&=；鼠^1^2="1>代入②得上=L

解析：本題主要考查拋物線的方程與簡單性質(zhì)、直線的一般式方程、直線與拋物線的位置關(guān)系，以

及方程思想，屬于基礎(chǔ)題.

(1)聯(lián)立拋物線C：y=2/和直線&y=kx+l,可得2x2-kx-T=0,利用/>0,即可證明(與C

必有兩交點(diǎn)；

(2)根據(jù)直線04和OB斜率之和為1,利用韋達(dá)定理可得k的值.

n(ad-bc)100(40-20-20?20)225

20.答案：解：(1)由于/<2==-<3.841,

(Q+b)(c+d)(a+c)(b+d)60-40-60-40

故沒有95%以上的把握認(rèn)為“生二胎與性別有關(guān)”.

(n)抽取6名男性，4名愿意生二胎，2名不愿意生二胎，從這6名男性中隨機(jī)選取兩名，有鬣=15種

方法，選到的兩名都愿意生育二胎，有廢=6種方法，概率P=^=|.

解析：(I)計(jì)算K2<3.841,可得結(jié)論.

(II)抽取6名男性，4名愿意生二胎，2名不愿意生二胎，從這6名男性中隨機(jī)選取兩名，有盤=15種

方法，選到的兩名都愿意生育二胎，有盤=6種方法，即可求出概率.

本題主要考查獨(dú)立性的檢驗(yàn)，考查概率的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.

21.答案：解：(I)因?yàn)?BCD是正方形，所以4nlC。，又因?yàn)?0J.DE,DEu平面CDEF,

CDu平面CDEF,CDODE=D,所以AD1平面CDEF；

(II)由(I)知，4。_L平面CDEF,所以平面ABC。1平面CDEF,

過點(diǎn)E作E0J.CD,垂足為0,則0E1平面ABC。，

在平面48CD內(nèi)，過。作0Hlec，則。El0H,建立如圖空間直角坐標(biāo)系?！獂yz,

因?yàn)锳D=4,DE=EF=2,且ZEDC=g,所以DO=1,OE=百，

則4(4,一1,0),B(4,3,0),C(0,3,0),D(0,-l,0),E(0,0,百)，

???AD=(-4,0,0),荏=(-4,1,V3).BD=(-4,-4,0).

設(shè)平面ADE的一個法向量為元=(x,y,z),

<：S：0'即d+修=0,令貝…z…于是"(0,8T),

設(shè)直線BD與平面ADE所成角為仇貝Ils譏。