柳卡圖解行程問(wèn)題

數(shù)學(xué)競(jìng)賽講義之行程問(wèn)題多車相遇例72、一條電車線路的起點(diǎn)站和終點(diǎn)站分別是甲站和乙站，自隔5分鐘有一輛電車從甲站發(fā)出開往乙站，全程要走15分鐘，有一個(gè)人從乙站出發(fā)沿著電車線路騎車前往甲站。他出發(fā)的時(shí)侯，恰好有一輛電車到達(dá)乙站。在路上他又遇到到了10輛迎面開來(lái)的電車，到達(dá)甲站時(shí)，恰好又有一輛電車從甲站開出。問(wèn)他從乙站到甲站用了多少分鐘？解：一輛車走完全程需要15分鐘，所以一輛車剛發(fā)出時(shí)，途中有15÷3-1=2輛車。所以當(dāng)人騎車出發(fā)時(shí)，而甲站車時(shí)，在中途有兩輛車子，可以相遇，所以共相遇10輛車，于是又發(fā)車8輛相遇，恰到達(dá)時(shí)，又發(fā)車，于是發(fā)車9輛時(shí)，甲到達(dá)，即有8個(gè)時(shí)間間隔，時(shí)間為5×8=40分鐘。所以騎車行完全程的時(shí)間為40分鐘。例73、某人沿電車路線行走，每隔12分鐘有一輛電車從后面追上，每4分鐘有一輛電車迎面開來(lái)。假設(shè)兩個(gè)起點(diǎn)站的發(fā)車間隔是相同的。求這個(gè)發(fā)車間隔。解：因?yàn)閮奢v電車的間隔目相等，兩次相遇期間，共走了[〔行人+電車〕×4]，所以兩輛電車的間隔為[(行人+電車)×4]，于是兩輛車間隔時(shí)間為。兩次追及期間，共行走[電車×12]，行人行走了[行人×12]，所以電車行走了[〔電車-行人〕×12],兩輛電車的間隔為[〔電車-行人〕×12],于是兩輛車的間隔時(shí)間為。于是有，所以3×〔電車-行人〕=電車+行人，即有：電車=2×行人。所以分鐘。例74、從電車總站每隔一定時(shí)間開出輛電車，甲和乙兩人在一條街上沿著同一方向步行，甲每分鐘步行82米，每隔10分鐘遇上一輛迎面開來(lái)的電車；乙每分鐘步行60米，每隔10分15秒遇上一輛迎面開來(lái)的電車，那么電車總站每隔多少分鐘開出一輛電車？假設(shè)甲、乙、電車共同相遇在A點(diǎn)，甲、電車下一次相遇在C點(diǎn)，乙、電車相遇在B點(diǎn)。那么B距A點(diǎn)距離為BA=米C距A點(diǎn)距離為CA=82×10=820米所以BC兩點(diǎn)相距的路程需電車10分鐘15秒-10分鐘=15秒=分路程為820–615=205米于是，電車的速度和為米/分于是，當(dāng)10分鐘前與甲、乙相遇的電車離甲(820+82)×10=9020米遠(yuǎn)。兩電車間隔為9020米。所車間隔為9020÷820=11分鐘。柳卡問(wèn)題：這是一個(gè)著名的數(shù)學(xué)問(wèn)題，由法國(guó)數(shù)學(xué)家柳卡在19世紀(jì)一次數(shù)學(xué)大會(huì)上提出：每天中午有一艘輪船從法國(guó)巴黎的勒阿弗爾開往美國(guó)紐約，且每天同一時(shí)間也有一艘輪船從紐約開往勒阿弗爾。輪船在途中需要7天7夜。假定所有輪船都以同一速度、同一航線行駛。問(wèn)某艘勒阿弗爾開出的輪船，在到達(dá)紐約時(shí)，能遇到幾艘從紐約開來(lái)的輪船？后來(lái)，一位數(shù)學(xué)家畫出了“路程圖”〔運(yùn)程圖〕，才得以解決。中途13艘，首尾2艘，共15艘。從圖上可以看山，在某輪船開出的前7天，紐約港已有7艘輪船駛?cè)牒匠蹋由袭?dāng)天的一艘，共計(jì)8艘。之后，紐約港每天還有1艘輪船駛?cè)牒匠?，共?jì)7艘。這樣從勒阿弗爾港駛出的輪船在整個(gè)運(yùn)行過(guò)程中，將要和本公司的15艘輪船相遇。從圖上看，當(dāng)中一列(藍(lán)色〉共有16行相交，除去勒阿弗爾港當(dāng)天自己開出得一列〔紅色〕，相交數(shù)也是15。例75、一條雙向鐵路上有11個(gè)車站。相鄰兩站都相距7千米，從早晨7時(shí)開始，有18列貨車由第11站順次發(fā)出，每隔5分鐘發(fā)出一列，都駛向第一站，速度都為每小時(shí)60千米。早晨8時(shí)，由第1站發(fā)出一列客車，向第11站駛?cè)?，時(shí)速是100千米，在到達(dá)終點(diǎn)站前，貨車與客車都不?？咳魏我粋€(gè)站，問(wèn)在哪兩個(gè)相鄰站之間，貨車能與3列客車先后相遇？圖像法：畫出示意圖，利用示意圖求解，但是要求圖像一定的精確度。所以，一般采用圖像法與分析法結(jié)合使用，對(duì)有可能的情況進(jìn)行分析。由上圖可知，客車在5、6兩站遇見三輛客車。分析法：客車從一個(gè)站到下一個(gè)站所需的時(shí)間為分鐘所以客車到第一站的時(shí)間為第一站8時(shí)0分第二站8時(shí)分第三站8時(shí)分第四站8時(shí)分…………第十一站8時(shí)42分而客車出發(fā)時(shí)，第一輛貨車距它千米所以客車與第一輛車相遇為8時(shí)分相鄰兩貨車相距為千米所以，客車經(jīng)過(guò)兩輛貨車的時(shí)間間隔為分鐘那么客車與18輛貨車相遇時(shí)間順次為第一輛：8時(shí)分，即8時(shí)分第二輛：，即8時(shí)分第三站：，即8時(shí)分第四站：，即8時(shí)分第五輛：，即8時(shí)分……所以，客車在8時(shí)分到達(dá)第五站，8時(shí)21分到達(dá)第六站。在此期間，它于8時(shí)……，8時(shí)……，8時(shí)分三次與貨車相遇。所以在第5、6兩站之間，客車與貨車三次相遇。例76、長(zhǎng)途汽車有甲、乙兩個(gè)終點(diǎn)站，汽車要用4小時(shí)才能駛完全程。從上午6點(diǎn)開始，每隔1時(shí)從甲、乙兩站同時(shí)發(fā)出一輛公共汽車，最后一班車在下午4點(diǎn)發(fā)出。問(wèn)從甲站發(fā)車的汽車司機(jī)最多能看到幾輛迎面駛來(lái)的公共汽車？最少能看到到幾輛？解：最多9輛，最少5輛例77、由A、B、C、D、E五名小學(xué)生進(jìn)行馬拉松比賽。不管前半程怎樣，當(dāng)他們從折返點(diǎn)返回跑后半程時(shí)，每人的速度都是固定不變的。他們?nèi)慌笥裍、Y、Z分別在不同時(shí)間給五個(gè)人拍了一張紀(jì)念照。最先拍的是X，然后是Y，最后按快門的是Z。照片洗出后他們分別這樣說(shuō):X：“我是在他們返回跑了10分鐘后照的，當(dāng)時(shí)五人的順序是B、E、C、A、D，而且他們的間隔相等，都是30m”。Z：“我是在他們返回跑了30分鐘后照的，當(dāng)時(shí)五人的順序是A、B、C、D、E，而且他們的間隔相等，都是20m”。Y：“我是什么時(shí)侯照的，自己也沒記住，不過(guò)我照的時(shí)候他們的間隔也相等?！眴?wèn)：Y是在他們返回跑了幾分鐘時(shí)照的？解：先用圖表示5個(gè)人的順序變化。從上圖可以看出，A、C、E經(jīng)常處于間隔相同的狀態(tài)，當(dāng)A正好在B和C中間時(shí)，E也正好在C和D的正中間，因此5人中的間隔是相同的。為便于分析這個(gè)時(shí)間，在兩側(cè)B和C的正中間畫上一條線來(lái)表示，如右圖當(dāng)此線和A線相交時(shí)，A就在B和C的正中間，所以可以求出這個(gè)時(shí)刻。這時(shí)，圖中的兩個(gè)陰影局部的三角形是相似三角形。因此，兩個(gè)三角形的對(duì)應(yīng)邊的比〔相似比〕是30:60=1:2，所以m：n=1:2。5人的間隔相同，，即6分40秒也就是說(shuō)，Y在他們返回來(lái)回跑了16分40秒后照的?！痉€(wěn)固練習(xí)】某人沿著電車道旁的便道以4.5千米/小時(shí)的速度步行，每7.2分鐘有一輛電車迎面開過(guò)，每12分鐘有一輛電車從后面追過(guò)。如果電車按相等的時(shí)間間隔以同一速度不停地往返運(yùn)行，那么電車的速度是多少？電車之間的時(shí)間間隔是多少？?jī)?yōu)化設(shè)計(jì)★例78、甲乙兩班學(xué)生到離校24千米的飛機(jī)場(chǎng)參觀，但只有一輛汽車，一次只能乘坐一個(gè)班的學(xué)生。為了盡快到達(dá)飛機(jī)場(chǎng)，兩個(gè)班商定，由甲班先坐車，乙班先步行，同時(shí)出發(fā)，甲班學(xué)生在途中某地下車后步行去飛機(jī)場(chǎng)，汽車那么從某地立即返回接在途中步行的乙班學(xué)生，如果甲乙兩班學(xué)生步行速度相同，汽車速度是他們步行速度的7倍，那么汽車應(yīng)在距飛機(jī)場(chǎng)多少千米處返回接乙班學(xué)生，才能使兩班同時(shí)到達(dá)飛機(jī)場(chǎng)？假設(shè)甲坐車時(shí)間為“1”，甲班行駛了1×7速度時(shí)，乙班行駛了1×1速度時(shí)，然后甲下車，汽車往回行駛，于是汽車與乙相遇，他們的路程差為7-1=6速度時(shí)，速度和8速度時(shí)，所需時(shí)間為時(shí)，于是乙步行時(shí)，換車；甲坐車1時(shí)，步行。因?yàn)榧滓宜俣纫粯樱瑫r(shí)到達(dá)，所以甲、乙坐車、步行時(shí)間一樣，于是甲乙坐車1時(shí)，甲乙步行時(shí)間1.75時(shí)。所以，坐車與步行路程比為于是步行路程為千米所以汽車停在距機(jī)場(chǎng)4.8千米處。例79、甲班與乙班學(xué)生同時(shí)從學(xué)校出發(fā)去某公園，甲班步行的速度是每小時(shí)4千米，乙班步行的速度是每小時(shí)3千米。學(xué)校有一輛汽車，它的速度是每小時(shí)48千米，這輛汽車恰好能坐一個(gè)班的學(xué)生，為了使兩班學(xué)生在最短時(shí)間內(nèi)到達(dá)公園，那么甲班學(xué)生與乙班學(xué)生需要步行的距離之比是多少？解：為了使兩班最短時(shí)間到達(dá)，汽車從一班換車地點(diǎn)至另一班換車地點(diǎn)時(shí)間盡量減小，所以先讓速度快得甲班先走，這樣乙班換車地點(diǎn)與甲班行至地點(diǎn)距離小，就節(jié)省了時(shí)間。假設(shè)甲班先行走時(shí)間為“1”，那么甲班行程4，乙班因?yàn)樽囆谐?8。現(xiàn)在行程差為48-4=44，乙班下車，甲班坐車，但車、甲行程差為44。車、甲速度和為4+48=52，于是需時(shí)，車、甲相遇。此時(shí)，甲行走，乙行走。所以，甲乙行程差為乙、車速度差為48-3=45，車追上乙時(shí)間為，于是乙行走了，甲行走了，所以他們的步行距離比為：所以甲乙兩班步行的距離比為15:11方法二：甲班步行走了AC，汽車載著乙班從A出發(fā)；當(dāng)汽車到達(dá)D時(shí)，放下乙班步行，返回到C與甲班相遇。最后，汽車載著甲班與步行的乙班同時(shí)到達(dá)B。在汽車與甲班在C相遇之間，甲班走了AC，汽車走了AD+DC。由于在這一過(guò)程中，車和甲班始終在走，所以路程比等于速度比，即因此，，由此，例80、甲乙兩地相距35千米，小張、小李都要從甲地去乙地，他們只有一輛自行車，小張先步行，小李先騎車，同時(shí)出發(fā)。小張步行的速度是每小時(shí)5千米，小李步行的速度是每小時(shí)4千米。兩人騎車的速度都是每小時(shí)20千米。那么兩人從甲地到乙地最短需要多少小時(shí)？解：小李騎車到達(dá)甲乙之間的丙地，改為步行，小張到丙地后騎車，兩人同時(shí)到達(dá)乙地。此時(shí)兩人到達(dá)乙地需要時(shí)間最少。方法一方程法設(shè)甲丙距離為x，那么小李需要時(shí)間，小張需要時(shí)間因?yàn)橥瑫r(shí)出發(fā)，同時(shí)到達(dá)，所以小李、小張所需時(shí)間相等。于是，，所以千米于是所需時(shí)間為小時(shí)，即4小時(shí)45分鐘。方法二比例法求出甲丙：丙乙的路程比。知道騎車“1”距離時(shí)間為，小李步行“1”距離時(shí)間為，小張步行“1”距離時(shí)間為。小李因走路程“1”耽誤的時(shí)間與小張因走路程“1”耽誤的時(shí)間之比為，因?yàn)樗钑r(shí)間相等，所以路程比為3:4。因?yàn)樾±钆c小張的步行、騎車距離正好相反，所以小李步行路程為千米，所以甲丙路程為35-15=20千米。小李步行時(shí)間為小時(shí)，即4小時(shí)45分鐘。例81、一條環(huán)形道路，周長(zhǎng)為2千米，甲、乙、丙3人從同一點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，每人環(huán)行2周?，F(xiàn)有自行車2輛，乙和丙騎自行車出發(fā)，甲步行，中途乙和丙下車步行，把自行車留給其他人騎。甲步行的速度為每小時(shí)5千米，乙和丙步行的速度是每小時(shí)4千米，3人騎車的速度都是每小時(shí)20千米。請(qǐng)你設(shè)計(jì)一種走法，使3個(gè)人2輛車同時(shí)到達(dá)終點(diǎn)。那么環(huán)行2周最少要用多少分鐘？解：求出甲乙步行的路程比。假設(shè)甲乙均始終騎車，那么甲乙同時(shí)到達(dá)。在一個(gè)單位路程“1”內(nèi)，甲乙騎車所用時(shí)間：，甲步行所用時(shí)間：，乙步行所用時(shí)間：現(xiàn)在因步行耽誤的時(shí)間比為：，于是步行的距離比應(yīng)為耽誤時(shí)間的倒數(shù)比，即4:3。又因?yàn)橐?、丙速度相同，所以步行距離相等。于是甲乙丙步行距離比為：甲：乙：丙=4:3:3。因?yàn)橛?人2輛自行車，所以始終有人在步行，一圈的距離等于甲乙丙步行距離和?！沧⒁獾杰囎臃旁谝恢艿牟煌胤?，所以總有一人從一停車處走到另一停車處〕。于是甲步行的距離為？千米。于是騎車距離為2×2-0.8=3.2千米；所以甲需要時(shí)間為？=0.32小時(shí)。即0.32×60=19.2分鐘。環(huán)形兩周的最短時(shí)間為19.2千米。例82、以下圖為某郵遞員負(fù)責(zé)的郵區(qū)街道圖，圖中交叉點(diǎn)為郵戶，每個(gè)小長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為180米，寬為150米。如果郵遞員每分鐘行200米，在每個(gè)郵戶停留半分鐘，那么從郵局出發(fā)走遍所以郵戶，再回到郵局，最少要用多少分鐘？解：此題的關(guān)鍵是求出最正確路徑，顯然不滿足一筆畫，我們也要走到個(gè)個(gè)交點(diǎn)。觀察上圖，前兩種路線有重復(fù)局部，而第三個(gè)路線比第四個(gè)路線長(zhǎng)。所以第四種路線最短。至少要走3900米，有6×4-1=23個(gè)郵戶。所以需3900÷200+〔6×4-1〕×0.5=19.5+11.5=31分鐘。例83、有一個(gè)沙漠地帶，汽車每天行駛200千米，每輛汽車載運(yùn)可行駛24天的汽油?，F(xiàn)有甲、乙兩輛汽車同時(shí)從某地出發(fā)，并在完成任務(wù)后，沿原路返回。為了讓甲車盡可能開出更遠(yuǎn)的距離，乙車在行駛一段路程后，僅留下自己返回出發(fā)地的汽油，將其他得油給甲車。求甲車所能開行的最遠(yuǎn)距離。解：我們知道，甲車盡可能遠(yuǎn)，那么乙車離開甲車時(shí)，保證甲車行駛24天得汽油，那么還有24天的汽油，是甲乙到達(dá)乙車離開的地點(diǎn)，然后，乙車原路返回，所以24天得汽油，3車次到達(dá)乙車離開的地點(diǎn)，于是24÷3=8天。又甲車單獨(dú)行駛的24天汽油，分成3局部，向前前進(jìn)，返回至乙車離開地點(diǎn)，返回出發(fā)點(diǎn)。由于向前前進(jìn)局部=返回至乙車離開地點(diǎn)，返回出發(fā)點(diǎn)=8天所以向前前進(jìn)局部=〔24-8〕÷2=8所以，甲最遠(yuǎn)跑到8+8=18天得距離。16×200=3200千米。穩(wěn)固練習(xí)習(xí)題14、一條“☆”形道路，周長(zhǎng)為7千米，甲乙丙3人從同一地點(diǎn)出發(fā)，每人環(huán)形3周，現(xiàn)有自行車2輛，乙和丙騎自行車出發(fā)，甲步行出發(fā)，中途乙和丙下車步行，把自行車留給其他人騎。甲步行的速度為每小時(shí)5千米，乙和丙步行的速度是每小時(shí)6千米，3人騎車的速度都是每小時(shí)30千米。請(qǐng)你設(shè)計(jì)一種走法，使3個(gè)人2輛自行車同時(shí)到達(dá)終點(diǎn)。那么環(huán)形3周最少要用多少分鐘？習(xí)題15、猴子爬窗吳盡的手風(fēng)琴已經(jīng)走了調(diào)，可他依舊彈奏不休，圖中的那些人被他吵得要死。如果不打發(fā)一點(diǎn)錢，他是不會(huì)走的。現(xiàn)在，他的聽眾準(zhǔn)備投降了。請(qǐng)你說(shuō)出。他的那只叫喬科的猴子，將采取怎樣一條最短的路線，帶著一只錫碗從一個(gè)窗子爬到另一個(gè)窗子去向人家收錢？注意，猴子必須從現(xiàn)在的位置出發(fā)，最后回到它主人的肩膀上。如果每通過(guò)一個(gè)窗子需2分鐘，等待別人的付錢1分鐘，那么需要時(shí)間為多少？習(xí)題16、在百慕大三角洲內(nèi)，輪船每天行駛50海里，每輛輪船帶有可供50天的淡水；現(xiàn)在有“探索號(hào)”與“試驗(yàn)號(hào)”兩艘輪船同時(shí)從同一碼頭出發(fā)，并在完成任務(wù)后，沿原路返回。為了讓“探索號(hào)”盡可能開出遠(yuǎn)的距離，“試驗(yàn)號(hào)”在行駛一段路程后，僅留下自己返回碼頭所需的淡水，把其他的淡水給“探索號(hào)”。求“探索號(hào)”所能到達(dá)的最遠(yuǎn)航程？其他問(wèn)題例84、龜兔賽跑，全程5.2千米，兔子每小時(shí)跑20千米，烏龜每小時(shí)跑3千米，烏龜不停的跑；但兔子卻邊跑邊玩，它先跑了1分鐘然后玩15分鐘，又跑了2分鐘然后玩15分鐘，再跑3分鐘然后玩15分鐘，……，那么先到達(dá)終點(diǎn)的比后到達(dá)終點(diǎn)的快多少分鐘？解：烏龜?shù)竭_(dá)終點(diǎn)所需時(shí)間為5.2÷3×60=104分鐘。兔子如果不休息，那么需要時(shí)間5.2÷20×60=15.6分鐘。注意到兔子休息的規(guī)律是跑1、2、3、……分鐘后，休息15分鐘。15.6=1+2+3+4+5+0.6有5個(gè)間隔，所以休息5×15=75分鐘，于是，兔子跑到終點(diǎn)所需時(shí)間為15.6+75=90.6分鐘。顯然，兔子先到達(dá)，先烏龜104-90.6=14.6分鐘。例85、如以下圖，8時(shí)10分，有甲、乙兩人以相同的速度分別從相距60米的A、B兩地順時(shí)針方向沿長(zhǎng)方形ABCD的邊走向D點(diǎn)。甲8時(shí)20分到D點(diǎn)后，丙、丁兩人立即以相同速度從D點(diǎn)出發(fā)。丙由D向A走去，8時(shí)24分與乙在E點(diǎn)相遇；丁由D向C走去，8時(shí)30分在F點(diǎn)被乙追上。問(wèn)三角形BEF的面積為多少平方米？例86、某出租車的計(jì)價(jià)方式為：起價(jià)是2千米5元，往后每增加1千米〔最后缺乏1千米按1千米計(jì)算〕增加2元。現(xiàn)從甲地到乙地乘出租車共支出車費(fèi)35元，如果從甲地到乙地先步行800米，然后再乘也要35元。問(wèn)從甲、乙兩地中點(diǎn)乘出租車到乙地需支付多少元錢？解：35-5=30元，所以起價(jià)后付了30元，我們以起價(jià)后2元為1段。又先走800米，付的車費(fèi)不變，所以，最后的一段路程為800-1000米之間，于是全程為2+30÷2-1+~=16+~所以半程為，為400-500米之間所以需支付5+〔8-2〕×2=19元。例87、如果在游泳池中用水拍打水面，就會(huì)有水波從拍打處向四周擴(kuò)散，這時(shí)水波的速度僅僅和水的深度有關(guān)，如果游泳池的水深都一樣的話，那么不管是站立打水還是邊走邊打水、輕輕打水、水波的擴(kuò)散速度都將是一樣的，水波真是奇怪的東西。在一個(gè)游泳池〔水深都一樣〕里，放了一臺(tái)10秒鐘可以打出6個(gè)水波的機(jī)器。這臺(tái)機(jī)器帶有輪子，所以也可以一定的速度前進(jìn)。水波是以每10秒鐘12米的速度擴(kuò)散。水波的最高處叫波峰，最低處叫波谷，請(qǐng)問(wèn)：這臺(tái)機(jī)器靜止不動(dòng)打水，從一個(gè)波峰到另一個(gè)相鄰的波峰的距離是多少米？太郎以每10秒鐘4米的速度面向正在靜止站立打水的機(jī)器走去，太郎在10秒鐘內(nèi)可以碰上幾次波峰？〔時(shí)間的計(jì)算是一個(gè)波谷正好到太郎的面前開始的〕。這回是機(jī)器以每10秒鐘4米的速度朝著站立不動(dòng)的太郎邊走邊打水，太郎在10秒鐘內(nèi)可以碰上幾個(gè)波峰？〔時(shí)間的計(jì)算同上〕太郎和機(jī)器分別以每10秒鐘4米的速度面對(duì)面地走，太郎在10秒內(nèi)可以碰上幾個(gè)波峰？〔時(shí)間的計(jì)算同上〕解：1、一瞬間產(chǎn)生的波以每10秒鐘12米的速度擴(kuò)散，在10秒內(nèi)可產(chǎn)生6個(gè)水波。12÷6=2米2、10秒鐘內(nèi)，開始計(jì)數(shù)時(shí)的波谷從太郎原先的位置前進(jìn)了12米，太郎前進(jìn)了4米，其距離是12+4=16米，在這16米之間，寬度是2米的波有16÷2=8〔個(gè)〕，這8個(gè)波太郎都能遇上。3、波的速度不變，注意到相鄰兩個(gè)波之間寬度比原來(lái)小，就容易解決了。10秒后機(jī)器前進(jìn)了4米，初始的波，10秒后距機(jī)器現(xiàn)在的位置為12-4=8米，由于波產(chǎn)生的速度沒變，所以在10秒鐘內(nèi)產(chǎn)生的波都應(yīng)在這個(gè)8米的距離之內(nèi)。因此，從運(yùn)動(dòng)著的機(jī)器那里產(chǎn)生的波的寬度是，因?yàn)檫@個(gè)波是太郎原位未動(dòng)時(shí)計(jì)數(shù)的。波的前進(jìn)速度不變，10秒12米，所以〔個(gè)〕。4、同3，機(jī)器在動(dòng)，所以波的寬度是。同2一樣，太郎也在動(dòng)，所以他在16米之間可能碰到的波的數(shù)量是〔個(gè)〕。非典型問(wèn)題1、數(shù)論類例88、在一條環(huán)形公路上，n個(gè)車站被n段公路連接起來(lái)，車站所在地的高度有海拔50米和100米兩種。相鄰兩車站假設(shè)海拔高度相同，那么它們之間的一段公路是水平的。否那么是上坡路或下坡路。有一個(gè)乘客汽車在這條環(huán)形公路上逆時(shí)針方向兜了一圈，發(fā)現(xiàn)有坡公路的段數(shù)與水平公路的段數(shù)一樣多。求證：4|n。解：記50米高站位L，記100米高站為H，水平公路的連接方式為line〔L，L〕，line〔H，H〕，有坡公路為line〔L，H〕。平路與有坡公路段相等，那么line〔L，H〕=line〔L，L〕+line〔H，H〕又因?yàn)槊?站車站都連接2條公路，所以每條公路完全占有兩個(gè)車站。設(shè)line〔L，L〕有x條，line〔H，H〕有y條，那么line〔L，H〕有x+y條。所以在line〔L，L〕中有個(gè)L車站，在line〔H，H〕中有個(gè)H車站，共有個(gè)H車站。因?yàn)椴还躄、H都是整數(shù)，所以〔x+y〕為偶數(shù)，總車站數(shù)為L(zhǎng)+H=2〔x+y〕=n所以4|[n=2(x+y)]例89、以下圖中有兩個(gè)圓只有一個(gè)公共點(diǎn)A，大圓直徑48厘米，小圓直徑30厘米。兩只甲蟲同時(shí)從A點(diǎn)出發(fā)，按箭頭所指的方向以相同速度分別沿兩個(gè)圓爬行。問(wèn)：當(dāng)小圓上甲蟲爬了幾圈時(shí)，兩只甲蟲首次相距最遠(yuǎn)？解：大小圓只有一個(gè)公共點(diǎn)〔內(nèi)切〕，而在圓上最遠(yuǎn)的兩點(diǎn)為直徑兩端，所以當(dāng)一只甲蟲在A點(diǎn)，另一只在過(guò)A的直徑另一端點(diǎn)B。所以在小圓甲蟲跑了n圈，在大圓甲蟲跑了圈，相距最遠(yuǎn)。于是小圓甲蟲跑了30n，大圓甲蟲跑了。因?yàn)樗俣认嗤?，所以相同時(shí)間內(nèi)路程相同，起點(diǎn)相同，所以，即，利用不定方程知識(shí)，解出n=4，m=4所以小圓甲蟲跑了2圈后，大小甲蟲相距最遠(yuǎn)。益智類例91、一條公共汽車線路，包括首尾兩站共10站。首尾兩站同時(shí)每隔3分鐘相向發(fā)車一輛，每輛汽車行駛一個(gè)單程需要27分鐘。要保證首尾兩站隨時(shí)都有車，至少需要多少輛汽車？解：從首站發(fā)向尾站的車，第1輛到達(dá)時(shí)第10輛正準(zhǔn)備發(fā)車，該方向共10輛車；同理，相反方向也有10輛。所以共需要20輛車。例92、某路電車每隔5分鐘從甲站發(fā)一輛電車到乙站，全程要走20分鐘。有一個(gè)人從乙站出發(fā)沿電車線路前往甲站，他出發(fā)時(shí)恰有一輛電車到達(dá)乙站，在路上他又迎面遇到了10輛電車，到達(dá)甲站時(shí)恰有一輛電車從甲站開出。問(wèn)：他從乙站到甲站用了多長(zhǎng)時(shí)間？解：他一共看到12輛電車，他從乙站出發(fā)時(shí)第5輛電車正從甲站出發(fā)，他到達(dá)甲站時(shí)第12輛電車正從甲站出發(fā)，這中間共35分鐘。例93、長(zhǎng)途汽車在甲乙兩地間運(yùn)行，每天從甲乙兩地同時(shí)相對(duì)開出一輛客車，單程需要三天時(shí)間，到達(dá)終點(diǎn)后，休整兩天再按原路返回。為了保證這條線路上客運(yùn)任務(wù)能正常進(jìn)行，這條線路上至少應(yīng)配備幾輛車？解：一輛車兩次從甲站出發(fā)間隔10天，所以需10輛車。例94、AB兩地相距54千米，有18人共同騎7匹馬由A地到B地去，每匹馬每次只能馱1人，為了輪換休息，大家決定每人騎馬行1千米輪換休息一次。問(wèn)：每人騎馬、步行各多少千米？解：7匹馬共行54×7=378千米，即18人共騎馬行378÷18=21千米，步行54-21=33千米。所以每人騎馬21千米，步行33千米。例95、四只甲蟲A、B、C和D處于一個(gè)邊長(zhǎng)10厘米的正方形的四端。A對(duì)準(zhǔn)B，B對(duì)準(zhǔn)C，C對(duì)準(zhǔn)D，D對(duì)準(zhǔn)A同時(shí)直接超前爬。如果所有的甲蟲的爬行速度都一樣，那么，它們的爬行軌跡將是四條一樣的螺旋曲線，最終相交與這個(gè)正方形的中心?，F(xiàn)在的問(wèn)題是，當(dāng)四只甲蟲相距時(shí)，它們各自爬了多長(zhǎng)的距離？解：因?yàn)樗闹患紫x的爬行速度是一樣的，所以在爬行的過(guò)程中，不管它們彼此間的距離如何變化，這四只甲蟲始終處于一個(gè)正方形的四個(gè)端點(diǎn)，隨著甲蟲距離的縮短，這個(gè)正方形不斷地旋轉(zhuǎn)和