湖南省湘潭市2023-2024學年八年級上學期期末數(shù)學試題(含解析)

2023年下學期期末考試八年級數(shù)學學科試題卷時量：120分鐘滿分：120分一、選擇題（本大題共10個小題，每小題有且只有一個正確答案，請將正確答案的選項代號涂在答題卡相應(yīng)的位置上，每小題3分，滿分30分）1．下列實數(shù)中，屬于無理數(shù)的是（

）A． B．2024 C． D．2．若分式的值為0，則的值是（

）A．2 B． C． D．3．如圖，過△ABC的頂點A，作BC邊上的高，以下作法正確的是（

）A． B． C． D．4．下列各式計算正確的是（

）A． B．C． D．5．下列命題是假命題的是（

）A． B．C．9的平方根是3 D．若，則6．若，則下列不等式正確的是（

）A． B．C． D．7．在中，，是的平分線，點，是上的兩點，且，則下列結(jié)論不一定成立的是（

）A． B．C． D．是的平分線8．如圖，是的中線，過點作的平行線，交的延長線于點，則下列結(jié)論不一定成立的是（

）A． B．是的中線C． D．9．某服裝網(wǎng)店購進男裝、女裝共100件，其進價和售價如下表：進價（元/件）售價（元/件）男裝260320女裝240290該服裝網(wǎng)店預(yù)計獲得利潤不少于5200元，設(shè)購進件男裝，根據(jù)題意可列不等式（

）A．B．C．D．10．在一次數(shù)學活動中，利用“在面積一定的長方形中，正方形的周長最短”的結(jié)論，推導(dǎo)出“式子的最小值是6”．其推導(dǎo)方法如下：在面積是9的長方形中設(shè)長方形的一邊長為，則另一邊長是，長方形的周長是；當長方形成為正方形時，就有，解得，這時長方形的周長最小，因此的最小值是6．參考推導(dǎo)，可求得式子的最小值是（

）A．6 B．8 C． D．二、填空題（本題共8個小題，請將答案寫在答題卡相應(yīng)的位置，每小題3分：滿分24分）11．計算：＝．12．若二次根式有意義，則的取值范圍是．13．計算：．14．石墨烯是一種超級材料，具有超強的導(dǎo)熱性、導(dǎo)電性和光學性能．也是世界上厚度最薄的新型二維材料，在智能裝備、航空航天、環(huán)境治理等領(lǐng)域應(yīng)用潛力巨大，是未來材料的瑰寶．其理論厚度僅是，這個數(shù)用科學記數(shù)法表示．15．已知等腰三角形的兩邊長分別為、，則這個等腰三角形的周長是．16．如圖，在△ABC和△DEF中，點B、F、C、E在同一直線上，BF=CE，AC∥DF，請?zhí)砑右粋€條件，使△ABC≌△DEF，這個添加的條件可以是．（只需寫一個，不添加輔助線）17．如圖，在中，先后分別以點和點為圓心，大于長為半徑畫弧，兩弧相交于點和點，作直線，交于于點，交于于點，交于的延長線于點，連接，已知，則．18．已知，，則．三、解答題（本大題共9個小題，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟，請將解答過程寫在答題卡相應(yīng)位置上，滿分66分）19．計算：．20．解方程：21．解不等式組將解集在數(shù)軸上表示出來，并寫出它的所有整數(shù)解．22．先化簡，再求值：，其中．23．如圖，與中，與交于點，且，．

(1)求證：；(2)求證：．24．觀察下列運算過程：①②…(1)根據(jù)上述規(guī)律，猜想：＝______（為正整數(shù)），并證明你的結(jié)論；(2)利用上面所提供的解法，化簡：．25．北京時間2023年12月18日23時59分，甘肅臨夏州積石山縣發(fā)生級地震．“一方有難，八方支援”，我市某中學響應(yīng)號召，積極捐款，共募集資金16500元．其中9000元用來購買礦泉水，余下的錢購買了大米．已知購得的礦泉水數(shù)量是大米數(shù)量的2倍，且一袋大米比一箱礦泉水貴20元．(1)求礦泉水和大米的數(shù)量各是多少？(2)現(xiàn)計劃租用甲、乙兩種型號的貨車共5輛，一次性將這批礦泉水和大米全部運往災(zāi)區(qū)．已知每輛甲型貨車最多可裝礦泉水80箱和大米30袋，每輛乙型貨車最多可裝礦泉水50箱和大米各40袋．問：安排甲、乙兩種貨車時共有哪幾種方案？（備注：兩種車型都要有）請你幫助設(shè)計出來．26．某數(shù)學興趣小組在學習了《分式》知識后，探究了分式的一種特殊變形：例如：．我們把這種將分式的分母不變，分子中構(gòu)造含分母的結(jié)構(gòu)，從而將原分式分離出一個常數(shù)和一個分子為常數(shù)的分式結(jié)構(gòu)的變形方法叫做“分離常數(shù)法”．“分離常數(shù)法”是分式研究的重要數(shù)學思想方法．知識理解：（1）請利用“分離常數(shù)法”將分式變形為（其中，為常數(shù)），求，的值；能力提升：（2）解決問題：若分式的值為整數(shù)，求滿足條件的整數(shù)的值．27．（1）如圖（1），已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB=AC，直線m經(jīng)過點A，BD⊥直線m，CE⊥直線m，垂足分別為點D、E．證明∶DE=BD+CE．（2）如圖（2），將（1）中的條件改為：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三點都在直線m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=，其中為任意銳角或鈍角．請問結(jié)論DE=BD+CE是否成立？如成立，請你給出證明；若不成立，請說明理由．（3）拓展與應(yīng)用：如圖（3），D、E是D、A、E三點所在直線m上的兩動點（D、A、E三點互不重合），點F為∠BAC平分線上的一點，且△ABF和△ACF均為等邊三角形，連接BD、CE，若∠BDA=∠AEC=∠BAC，試判斷△DEF的形狀．

參考答案與解析

1．A【分析】此題主要考查了無理數(shù)的定義．無理數(shù)就是無限不循環(huán)小數(shù)．有理數(shù)是整數(shù)與分數(shù)的統(tǒng)稱．即有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)是有理數(shù)，而無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)．由此即可判定選擇項．【詳解】解：A、是無理數(shù)，故本選項符合題意；B、2024是整數(shù)，屬于有理數(shù)，故本選項不符合題意；C、是分數(shù)，屬于有理數(shù)，故本選項不符合題意；D、是整數(shù)，屬于有理數(shù)，故本選項不符合題意；故選：A．2．B【分析】本題考查分式值為零的條件，掌握分式值等于0，分子等于0，分母不等于0是解題的關(guān)鍵．根據(jù)分式值等于0，分子等于0，分母不等于0，列出不等式組求解即可．【詳解】解：由題意，得，解得：，故選：B．3．A【分析】經(jīng)過一個頂點作對邊所在的直線的垂線段，叫做三角形的高，根據(jù)概念即可得出．【詳解】根據(jù)定義可得A選項是作BC邊上的高，符合題意，B選項作的不是三角形ABC的高，不符合題意，C選項是作AB邊上的高，不符合題意，D選項是作AC邊上的高，不符合題意．故選：A．【點睛】本題考查三角形高線的作法，熟練掌握定義是解題關(guān)鍵．4．D【分析】本題考查了二次根式的混合運算，掌握相關(guān)運算法則是解題關(guān)鍵．【詳解】解：A．不是同類二次根式，不能進行加減計算，故A錯誤；B．，故B錯誤；C．，故C錯誤；D．，故D正確；故選：D5．C【分析】根據(jù)算術(shù)平方根、立方根、平方根的意義進行判斷即可，此題考查了算術(shù)平方根、立方根、平方根的意義，熟練掌握相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：A．，是真命題，不符合題意；B．，是真命題，不符合題意；C．9的平方根是，是假命題，符合題意；D．若，則，是真命題，不符合題意．故選：C．6．B【分析】本題考查了不等式的性質(zhì)，能熟記不等式的性質(zhì)的內(nèi)容是解此題的關(guān)鍵，注意：不等式的性質(zhì)1：不等式的兩邊都加（或減）同一個數(shù)或式子，不等號的方向不變；不等式的性質(zhì)2：不等式的兩邊都乘（或除以）同一個正數(shù)，不等號的方向不變；不等式的性質(zhì)3：不等式的兩邊都乘（或除以）同一個負數(shù)，不等號的方向改變．根據(jù)不等式的性質(zhì)逐個判斷即可．【詳解】解：A、將兩邊都減去3，得：，故此選項錯誤；B、將兩邊都乘以，再加上5，得：，故此選項正確；C、將兩邊都乘以，得：，故此選項錯誤；D、將兩邊都除以，得：，故此選項錯誤；故選：B．7．D【分析】本題考查三角形全等的判定與性質(zhì)，角平分線的定義，等腰三角形的三線合一的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形的判定方法；根據(jù)三角形的三線合一可以得出A正確，再根據(jù)角平分線的定義得出，利用證明，再利用證明，即可得出結(jié)論．【詳解】解：，是的平分線，，故A正確；是的平分線，,,，在和中，，，，，在和中，，，故B、C正確，故選：D．8．C【分析】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)．利用證明，即可判定A成立，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可判定B、D成立，根據(jù)無條件能證明，故不能得到，可判定C選項不一定成立．【詳解】解：∵，∴，，∵是的中線，∴∴，故A選項成立；∵∴∴是的中線，故B選項成立；∵∴又∵不能得出，故不能得出，故C選項不一定成立；∵是的中線，∴∵∴∴，故D選項成立；故選：C．9．D【分析】本題考查由實際問題抽象出不等式．根據(jù)總利潤=（甲的售價-甲的進價）×購進甲的數(shù)量+（乙的售價-乙的進價）×購進乙的數(shù)量，設(shè)購進件男裝，則購進件女裝，由該服裝網(wǎng)店預(yù)計獲得利潤不少于5200元，列出不等式即可．【詳解】解：設(shè)購進件男裝，則購進件女裝，根據(jù)題意，得故選：D．10．B【分析】本題考查了新定義題型下求分式的取值范圍，正確題意題意是解題關(guān)鍵．，根據(jù)定義即可求解．【詳解】解：，由題意得：在面積是的長方形中設(shè)長方形的一邊長為，則另一邊長是，長方形的周長是，當長方形成為正方形時，就有，解得，這時長方形的周長最小，因此的最小值是，即：的最小值是故選：B11．【分析】根據(jù)底數(shù)不變，指數(shù)相減計算即可．【詳解】=，故答案為：．【點睛】本題考查了同底數(shù)冪的除法，熟練掌握計算法則是解題的關(guān)鍵．12．【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件：被開方數(shù)，列不等式即可．【詳解】解：根據(jù)二次根式有意義的條件：，解得：，故答案為：．【點睛】此題考查的是二次根式有意義的條件，解決此題的關(guān)鍵是根據(jù)二次根式有意義的條件：被開方數(shù)，列不等式．13．【分析】先化簡二次根式，再合并同類二次根式即可．【詳解】．

故答案為：．【點睛】本題主要考查二次根式的化簡以及同類二次根式的合并，掌握二次根式的化簡以及同類二次根式的合并方法是解題關(guān)鍵．14．【分析】本題主要考查科學記數(shù)法．科學記數(shù)法的表示形式為的形式，其中，n為整數(shù)．確定n的值時，要看把原數(shù)變成a時，小數(shù)點移動了多少位，n的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同．當原數(shù)絕對值時，n是正整數(shù)；當原數(shù)的絕對值時，n是負整數(shù)．【詳解】解：．故答案為：．15．【分析】先根據(jù)三角形的三邊關(guān)系確定此等腰三角形的三邊，再求周長即可．【詳解】解：如果等腰三角形三邊長分別是、、，，不能構(gòu)成三角形；如果等腰三角形三邊長分別是、、，，能構(gòu)成三角形；那么這時三角形的第三邊長為．所以，這個等腰三角形的周長是．故答案為：．【點睛】本題考查了等腰三角形的三邊關(guān)系，解答此題的關(guān)鍵是先分情況討論三角形邊長，然后再進一步解答．16．AC=DF（答案不唯一）【詳解】∵BF=CE，∴BF＋FC=CE＋FC，即BC=EF；∵AC∥DF，∴∠ACB=∠DFE，△ABC和△DEF中有一角一邊對應(yīng)相等，∴根據(jù)全等三角形的判定，添加AC=DF，可由SAS得△ABC≌△DEF；添加∠B=∠E，可由ASA得△ABC≌△DEF；添加∠A=∠D，可由AAS得△ABC≌△DEF．故答案為：AC=DF．（答案不唯一）17．【分析】由尺規(guī)作圖得出垂直平分，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到，再由等腰三角形性質(zhì)得到，，再根據(jù)，得到，從而得出，求得，即可求得，然后由三角形外角性質(zhì)求解即可．【詳解】解：由作圖可知：垂直平分，∴，∴，，∵∴∴∴∴∴∴∴．故答案為：．【點睛】本題考查尺規(guī)作圖—作線段垂直平分線，線段垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理與外角性質(zhì)．由尺規(guī)作圖得出垂直平分是解題的關(guān)鍵．18．【分析】本題考查分式的化簡求值，解題的關(guān)鍵是可以將題目中的式子靈活變化，變?yōu)樗笫阶有枰臈l件．由可得，代入變?yōu)橹缓衋的代數(shù)式，由可得，再代入前面化簡后的式子，即可解答本題．【詳解】解：∵，∴，∴∵∴∴，即．故答案為：．19．－6【分析】本題考查實數(shù)的混合運算．熟練掌握零指數(shù)與負整數(shù)指數(shù)冪運算法則，二次根式化簡，求無理數(shù)的絕對值是解題的關(guān)鍵．先計算乘方，并化簡絕對值和二次根式，再計算加減即可．【詳解】解：原式．20．【分析】去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經(jīng)檢驗即可得到分式方程的解．【詳解】方程兩邊乘，得：，解得：，檢驗：當時，．

∴是原分式方程的解．【點睛】本題考查了解分式方程，利用了轉(zhuǎn)化的思想，解分式方程注意要檢驗．21．不等式組的解集：，解集在數(shù)軸上表示見解析，整數(shù)解有：，，0，1，2，3【分析】本題考查解不等式組，用數(shù)軸表示出不等式組的解集，求不等式組的整理數(shù)解．先分別求出不等式組中每一個不等式解集，再確定出不等式組的解集，然后用數(shù)軸表示出不等式組的解集，并寫不等式組的整數(shù)解即可．【詳解】解：解不等式①，得：，解不等式②，得：，原不等式組的解集：，解集數(shù)軸表示：整數(shù)解有：，，0，1，2，3．22．，【分析】本題考查了分式的化簡求值，分式的加減運算關(guān)鍵主要是進行通分，通分的關(guān)鍵是找最簡公分母，分式的乘除運算關(guān)鍵是約分，約分的關(guān)鍵是找公分母；首先將括號里通分運算，再利用分式的混合運算法則計算即可．【詳解】解：原式，當時，原式．23．(1)見解析(2)見解析【分析】本題考查了三角形的全等的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形全等的判定方法有“”；（1）利用直接可證明，（2）由可得，，進而可得，進而根據(jù)角的和差得出，即可利用證明．【詳解】（1）證明：在和中，∴；（2）證明：由（1）可知，則：，，∴，∴，即，在和中，∴．24．(1)，證明見解析(2)【分析】本題考查了二次根式的混合運算，分母有理化，規(guī)律型：數(shù)字的變化類，平方差公式，準確熟練地進行計算是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)已知算式得出規(guī)律即可；（2）根據(jù)（1）中得出的規(guī)律進行變形，再根據(jù)二次根式的加法法則進行計算即可．【詳解】（1）解：猜想，故答案為：；證明：；（2）解：．25．(1)購得大米150袋，礦泉水300箱(2)方案有以下3種：①甲種2輛，乙種3輛；②甲種3輛，乙種2輛；③甲種4輛，乙種1輛【分析】本題主要考查了分式方程的實際應(yīng)用，一元一次不等式組的實際應(yīng)用：（1）設(shè)購得大米袋，則購得礦泉水箱，根據(jù)一袋大米比一箱礦泉水貴20元列出方程求解即可；（2）設(shè)甲型號貨車輛，則乙型號貨車輛，根據(jù)兩輛車裝的大米數(shù)要大于等于150，礦泉水數(shù)要大于等于300列出不等式組求解即可．【詳解】（1）解：設(shè)購得大米袋，則購得礦泉水箱，根據(jù)題意得：解得：經(jīng)檢驗，是原方程的解且符合題意，∴（箱）答：購得大米150袋，礦泉水300箱．（2）解：設(shè)甲型號貨車輛，則乙型號貨車輛．根據(jù)題意得：，

解得：，∵為整數(shù)，且兩種車型都要有，∴或3或4，∴方案有以下3種：①甲種2輛，乙種3輛；②甲種3輛，乙種2輛；③甲種4輛，乙種1輛26．（1），；（2）或【分析】本題考查分式的加減以及分式的基本性質(zhì)，掌握分式加減法的計算方法以及分式的性質(zhì)是正確解答的關(guān)鍵．（1）將原式寫成即可求解；（2）將原式化成，考慮為整數(shù)且x為整數(shù)，則，求解即可．【詳解】解：（1），則，；（2），∴為整數(shù)，且為整數(shù)，∴則，∴或．27．（1）見解析（2）成立，證明見解析（3）△DEF為等邊三角形，證明見解析【分析】（1）因為DE=DA+AE，故由全等三角形的判定AAS證△ADB≌△CEA，得出DA=EC，AE=BD，從而證得DE=BD+CE；（2）成立，仍然通過證明△ADB≌△CEA，得出BD=AE，AD=CE，所以DE=DA+AE=EC+BD；（3）由△A