河南省開封市杞縣高級中學(xué)高三數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試卷含解析

河南省開封市杞縣高級中學(xué)高三數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知雙曲線的離心率為，則此雙曲線的漸近線方程為A． B． C． D．參考答案：B略2.曲線y＝在點(diǎn)（2,4）處的切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為（

）A．1

B．2

C．

D．參考答案：D3.已知函數(shù)f（x）=kex﹣x2﹣x+1有三個(gè)不同零點(diǎn)，則k的取值范圍為（）A．（0，） B．（﹣e，）

C．（﹣，） D．（﹣∞，﹣）∪（，+∞）參考答案：A【考點(diǎn)】函數(shù)零點(diǎn)的判定定理．【分析】若函數(shù)f（x）=kex﹣x2﹣x+1有三個(gè)不同零點(diǎn)，即k=有三個(gè)根，令h（x）=，利用導(dǎo)數(shù)和極限，分析函數(shù)的圖象和性質(zhì)，進(jìn)而可得答案．【解答】解：若函數(shù)f（x）=kex﹣x2﹣x+1有三個(gè)不同零點(diǎn)，即k=有三個(gè)根，令h（x）=，則h′（x）=，當(dāng)x＜﹣1，或x＞2時(shí)，h′（x）＜0，當(dāng)﹣1＜x＜2時(shí)，h′（x）＞0，故當(dāng)x=﹣1時(shí)，函數(shù)h（x）取極小值﹣e，當(dāng)x=2時(shí)，函數(shù)h（x）取極大值，又由=0，故k∈（0，），故選：A4.已知集合，，，則中元素個(gè)數(shù)是A．

B．

C．

D．參考答案：C略5.設(shè)的展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和為M，二項(xiàng)式系數(shù)之和為N，若M-N=240，則展開式中的系數(shù)為

（

）

A．-150

B．150

C．300

D．-300參考答案：答案：B6.已知函數(shù)f（x）=，若關(guān)于x的方程f2（x）﹣bf（x）+c=0（b，c∈R）有8個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則由點(diǎn)（b，c）確定的平面區(qū)域的面積為(

) A． B． C． D．參考答案：A考點(diǎn)：分段函數(shù)的應(yīng)用．專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．分析：題中原方程f2（x）﹣bf（x）+c=0有8個(gè)不同實(shí)數(shù)解，即要求對應(yīng)于f（x）=某個(gè)常數(shù)K，有2個(gè)不同的K，再根據(jù)函數(shù)對應(yīng)法則，每一個(gè)常數(shù)可以找到4個(gè)x與之對應(yīng)，就出現(xiàn)了8個(gè)不同實(shí)數(shù)解，故先根據(jù)題意作出f（x）的簡圖，由圖可知，只有滿足條件的K在開區(qū)間（0，1）時(shí)符合題意．再根據(jù)一元二次方程根的分布理論可以得出答案．解答： 解：根據(jù)題意作出f（x）的簡圖：由圖象可得當(dāng)f（x）∈（0，1]時(shí)，有四個(gè)不同的x與f（x）對應(yīng)．再結(jié)合題中“方程f2（x）﹣bf（x）+c=0有8個(gè)不同實(shí)數(shù)解”，可以分解為形如關(guān)于k的方程k2﹣bk+c=0有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根K1、K2，且K1和K2均為大于0且小于等于1的實(shí)數(shù)．列式如下：，化簡得，此不等式組表示的區(qū)域如圖：則圖中陰影部分的面積即為答案，由定積分的知識得S=﹣×1×1=故選：A點(diǎn)評：本題考查了函數(shù)的圖象與一元二次方程根的分布的知識，同時(shí)考查定積分等知識，較為綜合；采用數(shù)形結(jié)合的方法解決，使本題變得易于理解．7.已知點(diǎn)A為圓上任意一點(diǎn)，另一定點(diǎn)，線段AF2中垂線與線段AF1交于點(diǎn)P，當(dāng)點(diǎn)A在圓F1上運(yùn)動時(shí)，點(diǎn)P的軌跡為C，則曲線C的離心率為（

）（A）2 （B） （C） （D）參考答案：D8.一條光線從點(diǎn)（﹣2，﹣3）射出，經(jīng)y軸反射后與圓（x+3）2+（y﹣2）2=1相切，則反射光線所在直線的斜率為(

)A．﹣或﹣ B．﹣或﹣ C．﹣或﹣ D．﹣或﹣參考答案：D【考點(diǎn)】圓的切線方程；直線的斜率．【專題】計(jì)算題；直線與圓．【分析】點(diǎn)A（﹣2，﹣3）關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)為A′（2，﹣3），可設(shè)反射光線所在直線的方程為：y+3=k（x﹣2），利用直線與圓相切的性質(zhì)即可得出．【解答】解：點(diǎn)A（﹣2，﹣3）關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)為A′（2，﹣3），故可設(shè)反射光線所在直線的方程為：y+3=k（x﹣2），化為kx﹣y﹣2k﹣3=0．∵反射光線與圓（x+3）2+（y﹣2）2=1相切，∴圓心（﹣3，2）到直線的距離d==1，化為24k2+50k+24=0，∴k=或﹣．故選：D．【點(diǎn)評】本題考查了反射光線的性質(zhì)、直線與圓相切的性質(zhì)、點(diǎn)到直線的距離公式、點(diǎn)斜式、對稱點(diǎn)，考查了計(jì)算能力，屬于中檔題．9.“＝10”是“”的展開式中有常數(shù)項(xiàng)的（

）（A）充分不必要條件

（B）必要不充分條件（C）充分必要條件

（D）既不充分也不必要條件參考答案：A略10.點(diǎn)M的直角坐標(biāo)為化為極坐標(biāo)為（

）A．

B．

C．

D．

參考答案：D二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.直線的一個(gè)單位法向量為（填一個(gè)即可）．參考答案：或12.底面半徑為1cm的圓柱形容器里放有四個(gè)半徑為cm的實(shí)心鐵球，四個(gè)球兩兩相切，其中底層兩球與容器底面相切.現(xiàn)往容器里注水，使水面恰好浸沒所有鐵球，則需要注水

cm3．參考答案：(＋)π解：設(shè)四個(gè)實(shí)心鐵球的球心為O1，O2，O3，O4，其中O1，O2為下層兩球的球心，A，B，C，D分別為四個(gè)球心在底面的射影．則ABCD是一個(gè)邊長為的正方形。所以注水高為1＋．故應(yīng)注水π(1＋)－4×π()3＝(＋)π13.在區(qū)間上隨機(jī)取一個(gè)實(shí)數(shù)x，則x使不等式成立的概率為____.參考答案：試題分析：，又，所以，因?yàn)闇y度為長度，所以所求概率為考點(diǎn)：幾何概型概率14.已知在各項(xiàng)為正的等比數(shù)列{an}中，a2與a8的等比中項(xiàng)為8，則4a3+a7取最小值時(shí)首項(xiàng)a1=

．參考答案：2【考點(diǎn)】等比數(shù)列的通項(xiàng)公式．【專題】等差數(shù)列與等比數(shù)列．【分析】由題意可得a5=8，可得4a3+a7=+8q2，由基本不等式和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得．【解答】解：由題意知a2a8=82=，∴a5=8，設(shè)公比為q（q＞0），則4a3+a7=+a5q2=+8q2≥2=32，當(dāng)且僅當(dāng)=8q2，即q2=2時(shí)取等號，此時(shí)a1==2．故答案為：2．【點(diǎn)評】本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，涉及基本不等式求最值，屬基礎(chǔ)題．15.直線（極軸與x軸的非負(fù)半軸重）合，且單位長度相同），若直線l被圓C截得的弦長為，則實(shí)數(shù)a的值為

．參考答案：0或216.已知集合，若則的值是-------------------

。參考答案：-117.已知矩形的頂點(diǎn)都在半徑為4的球的球面上，且,則棱錐的體積為

。參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.過原點(diǎn)O作兩條相互垂直的射線，分別交橢圓C：于P、Q兩點(diǎn)。(1)證明：為定值；(2)若橢圓C：的長軸長為4，離心率為，過原點(diǎn)O作直線PQ的垂線，垂足為D，求點(diǎn)D的軌跡方程。參考答案：19.已知數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，記A（n）=a1+a2+……+an，B（n）=a2+a3+……+an+1，C（n）=a3+a4+……+an+2，n=1,2，……[來^&源:中教網(wǎng)@~%]（1）

若a1=1，a2=5，且對任意n∈N﹡，三個(gè)數(shù)A（n），B（n），C（n）組成等差數(shù)列，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.（2）

證明：數(shù)列{an}是公比為q的等比數(shù)列的充分必要條件是：對任意，三個(gè)數(shù)A（n），B（n），C（n）組成公比為q的等比數(shù)列.參考答案：（lbylfx）解（１）對任意,三個(gè)數(shù)是等差數(shù)列，所以即亦即故數(shù)列是首項(xiàng)為１，公差為４的等差數(shù)列.于是（Ⅱ）（１）必要性：若數(shù)列是公比為ｑ的等比數(shù)列，則對任意，有由知，均大于０，于是即＝＝，所以三個(gè)數(shù)組成公比為的等比數(shù)列.（２）充分性：若對于任意，三個(gè)數(shù)組成公比為的等比數(shù)列，則，于是得即由有即，從而.因?yàn)?，所以，故?shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，綜上所述，數(shù)列是公比為的等比數(shù)列的充分必要條件是：對任意n∈N﹡，三個(gè)數(shù)組成公比為的等比數(shù)列.20.（本小題滿分14分），.（為自然對數(shù)的底數(shù)）（1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；

（2）（i）設(shè)是的導(dǎo)函數(shù)，證明：當(dāng)時(shí)，在上恰有一個(gè)使得；（ii）求實(shí)數(shù)的取值范圍，使得對任意的，恒有成立。參考答案：

設(shè)在上最大值為則，

21.（本小題滿分12分）已知點(diǎn)，圓是以的中點(diǎn)為圓心，為半徑的圓。

(Ⅰ)若圓的切線在軸和軸上截距相等,求切線方程；

(Ⅱ)若是圓外一點(diǎn)，從P向圓引切線,為切點(diǎn),為坐標(biāo)原點(diǎn)，且有,求使最小的點(diǎn)的坐標(biāo).參考答案：(Ⅰ)設(shè)圓心坐標(biāo)為，半徑為，依題意得

∴圓的方程為

（2分）（1）若截距均為0,即圓的切線過原點(diǎn),則可設(shè)該切線為即,

則有,解得,此時(shí)切線方程為或.

（4分）

(2)若截距不為0,可設(shè)切線為即,依題意,解得或3

此時(shí)切線方程為或.

（6分）

綜上:所求切線方程為,或

（7分）

(Ⅱ)∵,∴即整理得

（9分）

而,

（10分）當(dāng)時(shí)取得最小值.

（11分）此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為.

（12分22.設(shè)函數(shù)f（x）=ex﹣ax﹣2．（Ⅰ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）若a=1，k為整數(shù)，且當(dāng)x＞0時(shí)，（x﹣k）f′（x）+x+1＞0，求k的最大值．參考答案：【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【分析】（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，可先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由于函數(shù)中含有字母a，故應(yīng)按a的取值范圍進(jìn)行分類討論研究函數(shù)的單調(diào)性，給出單調(diào)區(qū)間；（II）由題設(shè)條件結(jié)合（I），將不等式，（x﹣k）f′（x）+x+1＞0在x＞0時(shí)成立轉(zhuǎn)化為k＜（x＞0）成立，由此問題轉(zhuǎn)化為求g（x）=在x＞0上的最小值問題，求導(dǎo)，確定出函數(shù)的最小值，即可得出k的最大值；【解答】解：（I）函數(shù)f（x）=ex﹣ax﹣2的定義域是R，f′（x）=ex﹣a，若a≤0，則f′（x）=ex﹣a≥0，所以函數(shù)f（x）=ex﹣ax﹣2在（﹣∞，+∞）上單調(diào)遞增．若a＞0，則當(dāng)x∈（﹣∞，lna）時(shí)，f′（x）=ex﹣a＜0；當(dāng)x∈（lna，+∞）時(shí)，f′（x）=ex﹣a＞0；所以，f（x）在（﹣∞，lna）單調(diào)遞減，在（lna，+∞）上單調(diào)遞增．（II）由于a=1，所以，（x﹣k）f′（x）+x+1=（x﹣k）（ex﹣1）+x+1故當(dāng)x＞0時(shí)，（x﹣k）f′（x）+x+1＞0等價(jià)于k＜（x＞0）①令g（x）=，則g′（x）=由（