高等數(shù)學(xué)-多元函數(shù)微分學(xué)復(fù)習(xí)

PAGEPAGE15第六章多元函數(shù)微分學(xué)及其應(yīng)用6.1多元函數(shù)的基本概念一、二元函數(shù)的極限定義f(P)=f(x，y)的定義域?yàn)镈,是D的聚點(diǎn).對(duì)常數(shù)A，對(duì)于任意給定的正數(shù)，總存在正數(shù)，使得當(dāng)點(diǎn)P(x，y)∈D，即 時(shí)，都有 |f(P)–A|=|f(x，y)–A|<成立，那么就稱常數(shù)A為函數(shù)f(x，y)當(dāng)(x，y)→時(shí)的極限，記作 或f(x，y)→A((x，y)→),也記作 或f(P)→A(P→)為了區(qū)別于一元函數(shù)的極限，上述二元函數(shù)的極限也稱做二重極限.二、二元函數(shù)的連續(xù)性 f, 如果函數(shù)f(x,y)在D的每一點(diǎn)都連續(xù)，那么就稱函數(shù)f(x,y)在D上連續(xù)，或者稱f(x,y)是D上的連續(xù)函數(shù).如果函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)不連續(xù)，則稱為函數(shù)f(x,y)的間斷點(diǎn). 多元連續(xù)函數(shù)的和、差、積仍為連續(xù)函數(shù)；連續(xù)函數(shù)的商在分母不為零處仍連續(xù)；多元連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)也是連續(xù)函數(shù)。一切多元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的.多元初等函數(shù)的極限值就是函數(shù)在該點(diǎn)的函數(shù)值，即 .有界性與最大值最小值定理在有界閉區(qū)域D上的多元連續(xù)函數(shù)，必定在D上有界，且能取得它的最大值和最小值. 介值定理在有界閉區(qū)域D上的多元連續(xù)函數(shù)必取復(fù)介于最大值和最小值之間的任何值。 三、例題 例1設(shè)，已知，求的表達(dá)式。 解由題設(shè)，有，于是 ，即。例2證明極限不存在。 證當(dāng)沿三次拋物線趨于時(shí)，有 其值隨k去不同值而取不同值。故極限不存在。 例3求極限。 解原式6.2偏導(dǎo)數(shù)與高階導(dǎo)數(shù)6.2.1偏導(dǎo)數(shù)概念，說(shuō)明 1對(duì)求導(dǎo)視為常數(shù)，幾何意義也說(shuō)明了這個(gè)問(wèn)題二元函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(,)的偏導(dǎo)數(shù)有下述幾何意義.偏導(dǎo)數(shù)，就是曲面與平面的交線在點(diǎn)處的切線對(duì)x軸的斜率.同樣，偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義是曲面與平面x=的交線在點(diǎn)處的切線對(duì)y軸的斜率. 2基于如上理由，求時(shí)，可先代入，（因此可能簡(jiǎn)化函數(shù)）再對(duì)求導(dǎo) 例，求。 解，，可微，偏導(dǎo)數(shù)存在，連續(xù)的關(guān)系可微，偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)可微，和都連續(xù)，則=;高階偏導(dǎo)數(shù)設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在區(qū)域D內(nèi)具有偏導(dǎo)數(shù)，則這兩個(gè)函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)稱為函數(shù)z=f(x,y)的二階偏導(dǎo)數(shù)。按照對(duì)變量求導(dǎo)次序的不同有下列四個(gè)二階偏導(dǎo)數(shù)： 偏導(dǎo)數(shù)，微分運(yùn)算公式1．，， 2． 3．確定，；6.2.2 求偏導(dǎo)數(shù)算例 例1（1），求，，，。 解由對(duì)稱性 ，；； （2），求。解，由對(duì)稱性 ，故 。 （3），求， 解，同理； 例2，求，。 解 例3，求 解 例4，求。 解（1） ；故 解（2） 例5設(shè)由方程，確定，F(xiàn)有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)，求，。 解（1）方程兩邊對(duì)求導(dǎo) ；方程兩邊對(duì)求導(dǎo) ； 解（2）方程兩邊取微分 則 ； ； 例6設(shè)，由確定可微，求。 解（1）對(duì)方程取微分 由（1）解得代入（2）得 則，即 解（2） 而；，則 例7證明：當(dāng)，時(shí)，方程可化成標(biāo)準(zhǔn)形式，其中二階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)。 證明：將看成由，而，復(fù)合成的函數(shù)，則 ； ； 則 小結(jié)顯函數(shù)（復(fù)合）二階混合偏導(dǎo)數(shù)隱函數(shù)求偏導(dǎo)，會(huì)用微分法，用復(fù)合法習(xí)題1．，由方程確定的的函數(shù)，可微，連續(xù)，，求 （答案：0）（蔡P146）2．由確定，求；3．確定了隱函數(shù)，具有連續(xù)二階偏導(dǎo)數(shù)求4．設(shè)是由方程和確定，有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求。5．，可微且滿足，證明。6．于點(diǎn)可微，且，，。。求。7．設(shè)變換可把方程化簡(jiǎn)為，求常數(shù)的值。（a＝3）。8．設(shè)有連續(xù)二階導(dǎo)數(shù)，而滿足，求。（）6.2偏導(dǎo)數(shù)應(yīng)用 偏導(dǎo)數(shù)應(yīng)用注意四個(gè)方面：空間曲面曲線切平面、法線、切線、法平面；方向?qū)?shù)；梯度、散度、旋度；極值與條件極值。6.3.1內(nèi)容小結(jié)空間曲線切線與法平面1） 切向量切線方程： 法平面方程：2）類似的切線方程： 法平面方程：3）空間曲面切平面與法線1）切平面：法線：2）類似地切平面：法線：3）* （參數(shù)方程形式）切線 方向?qū)?shù)（梯度在方向投影）梯度、散度、旋度 6.3.2例題 例1求曲線上與平面平行的切線方程。 解切向量，由，則，即 ，當(dāng)時(shí) ，切線方程為當(dāng)時(shí) ，切線方程為 例2求空間曲線在點(diǎn)處的切線方程和法平面方程。 解確定了，對(duì)x求導(dǎo)，于點(diǎn)：切線方程為 法平面方程為，即 例3求曲面的切平面。使之與平面垂直，同時(shí)也與垂直。 解切平面法向量，，，依題意 既有 （1） （2）聯(lián)立（1）（2）和原方程 得解， ，切平面 即得 即例4求在點(diǎn)沿的外法線方向的方向?qū)?shù)。解令，于點(diǎn)， 例5設(shè)在點(diǎn)可微，，試確定使。 解，，則 設(shè)從而 即，解得或此時(shí)或 即或 例6，求。 解。 ，，由對(duì)稱性 ，從而 例7設(shè)a,b,c為常數(shù)，有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)。 證明上任一點(diǎn)切平面都通過(guò)某定點(diǎn)。 證，，則切平面方程為 取，則對(duì)任一的點(diǎn)上式均滿足，即過(guò)任一點(diǎn)的切平面都過(guò)點(diǎn)。例8設(shè)為常數(shù)，證明曲面上任一點(diǎn)切平面都通過(guò)某定直線平行（F具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)）。證，，，即，取，則，，曲面平行l(wèi)，取直線，則曲面上任一點(diǎn)的切平面都與上述直線平行。例9求二元函數(shù)在點(diǎn)沿方向的方向?qū)?shù)，并指出在該點(diǎn)沿哪個(gè)方向的方向?qū)?shù)最大？這個(gè)最大的方向?qū)?shù)值是多少？沿那個(gè)方向減少得最快，沿哪個(gè)方向的值不變？ 解，在點(diǎn)沿方向的方向?qū)?shù)為 ，方向?qū)?shù)取得最大值的方向?yàn)樘荻确较?，其最大值為，沿?fù)梯度方向減少最快。為求使變化的變化率為零的方向，令，則 ，令，得或，故在點(diǎn)處沿和函數(shù)得值不變化。例10一條鯊魚(yú)在發(fā)現(xiàn)血腥味時(shí)，總是沿血腥味最濃的方向追尋。在海上進(jìn)行試驗(yàn)表明，如果血源在海平面上，建立坐標(biāo)系味：坐標(biāo)原點(diǎn)在血源處，坐標(biāo)面為海平面，軸鉛直向下，則點(diǎn)處血源的濃度C（每百萬(wàn)份水中所含血的份數(shù)）的近似值。（1）求鯊魚(yú)從點(diǎn)（單位為海里）出發(fā)向血源前進(jìn)的路線的方程；（2）若鯊魚(yú)以40海里/小時(shí)的速度前進(jìn)，鯊魚(yú)從點(diǎn)出發(fā)需要用多少時(shí)間才能到達(dá)血源處？解（1）鯊魚(yú)追蹤最強(qiáng)的血腥味，所以每一瞬時(shí)它都將按血液濃度變化最快，即C的梯度方向前進(jìn)。由梯度的計(jì)算公式，得設(shè)曲線的方程為，，，則的切線向量必與平行，從而有 解初始值問(wèn)題 得解初始值問(wèn)題 得，所以所求曲線的方程為 ，，) （2）曲線的長(zhǎng)度 （海里）因此到達(dá)血源處所用的時(shí)間為（小時(shí)）。 6.4多元函數(shù)的極值無(wú)條件極值限于二元函數(shù)求駐點(diǎn)駐點(diǎn)于駐點(diǎn)P處計(jì)算，，。是極值點(diǎn)，可取得極小值，可取極大值。條件極值：，令求無(wú)條件極值。例1求內(nèi)接于橢球面，且棱平行對(duì)稱軸的體積最大的長(zhǎng)方體。 解設(shè)橢球面方程為，長(zhǎng)方體于第一卦限上的點(diǎn)的坐標(biāo)為，則 ，s.t.，令 及由（1）（2）（3）得，代入（3）得，從而 ，，，此時(shí)。 例2求由方程所確定的二元函數(shù)的極值。 解方程兩邊對(duì)求偏導(dǎo)數(shù)得： … （1） … （2） 令，，得和原方程聯(lián)立得駐點(diǎn)，。 方程（1）對(duì)再求偏導(dǎo)，方程（2）對(duì)求偏導(dǎo) … （3） … （4） … （5）將駐點(diǎn)代入（此時(shí)）