湖北省專升本(高等數(shù)學(xué))模擬試卷2(題后含答案及解析)

湖北省專升本（高等數(shù)學(xué)）模擬試卷2(題后含答案及解析)題型有：1.選擇題2.填空題4.解答題5.綜合題6.證明題選擇題在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要求的。1．函數(shù)y=lnx+arcsinx的定義域?yàn)?)A．(0，+∞)B．(0，1]C．[-1，1]D．[-1，0)正確答案：B解析：要使函數(shù)有意義，須，求解得：0＜x≤1．選B2．函數(shù)f(x)=x是()A．偶函數(shù)B．奇函數(shù)C．非奇非偶D．可能是奇函數(shù)也可能是偶函數(shù)正確答案：A解析：因f(-x)=-x=f(x)．3．極限=()A．2／3B．3／2C．0D．∞正確答案：B解析：用等價(jià)無窮小代換簡單些，4．已知=6，則a，b取值為()A．a(chǎn)=-2，b=-3B．a(chǎn)=0，b=-9C．a(chǎn)=-4，b=3D．a(chǎn)=-1，b=-6正確答案：B解析：因?yàn)楫?dāng)x→3時(shí)，分母→0必有分子→0，否則一定無極限，即有9+3a+b=0，應(yīng)用洛必達(dá)法則，左端=(2x+a)=6+a=6，所以a=0，這時(shí)b=-9．5．要使函數(shù)f(x)(n為自然數(shù))在x=0處的導(dǎo)函數(shù)連續(xù)，則n=()A．0B．1C．2D．n≥3正確答案：D解析：A錯(cuò)，因函數(shù)在x=0處不連續(xù)；B錯(cuò)，雖然函數(shù)在x=0處連續(xù)，但不可導(dǎo)；C也錯(cuò)，函數(shù)在x=0處可導(dǎo)，進(jìn)而函數(shù)在(-∞，+∞)上均可導(dǎo)，但導(dǎo)函數(shù)在x=0處不連續(xù)，下面證明所以當(dāng)x→0時(shí)，f’(x)不存在，所以f’(x)在x=0處不連續(xù)；僅D正確，當(dāng)n≥3時(shí)，f’(x)=當(dāng)x≠0時(shí)，f’(x)=nxn-1sin，此時(shí)有f’(x)→f’(0)=0x→0所以導(dǎo)函數(shù)f’(x)在x=0處連續(xù)．6．曲線y=的漸近線有()A．1條B．2條C．3條D．4條正確答案：B解析：當(dāng)x→0時(shí)，y→∞，所以x=0為垂直漸近線，當(dāng)x→∞時(shí)，y→π／4，所以y=π／4為水平漸近線，當(dāng)x→1或x→-22時(shí)，y∞，所以在x=1，x=2處無漸近線．7．函數(shù)f(x)=(x2-x-2)|x3-x|不可導(dǎo)點(diǎn)個(gè)數(shù)是()A．0B．1C．2D．3正確答案：C解析：因f(x)=(x-2)(x-1)|x||x+1||x-1|，可知函數(shù)在x=0，x=-1處不可導(dǎo)，而在x=1處函數(shù)可導(dǎo)，原因是函數(shù)g(x)=(x-1)|x-1|在x=1處左、右導(dǎo)數(shù)存在且相等，即g’(1)=0．8．函數(shù)f(x)在[a，b]上連續(xù)是積分∫abf(x)dx存在的()A．充分條件B．必要條件C．充要條件D．既不充分又不必要正確答案：A解析：連續(xù)為條件，積分存在為結(jié)論，顯然由|f(x)dx存在連續(xù)，肯定不是必要條件，但成立，所以連續(xù)為可積的充分條件，不是必要條件．9．若f(x)=∫0xsin(t-x)dt，則必有()A．f(x)=-sinxB．f(x)=-1+cosxC．f(x)=sinxD．f(x)=1-sinx正確答案：A解析：令t-x=u，dt=du，t=0，u=-x，t=x，u=0所以f(x)=[-∫0-xsinudu]=-sin(-x)．(-1)=-sinx．10．已知f’(x)連續(xù)，且f(0)=0，設(shè)φ(x)=則φ’(0)=()A．f’(0)B．f’(0)C．1D．1／3正確答案：B解析：為求φ’(0)，先判斷φ(x)在x=0處連續(xù)，考慮=f(0)=0=φ(0)，所以φ(x)在x=0處連續(xù)，而11．已知向量a、b的夾角為π／4，且|a|=1，|b|=則|a+b|=()A．B．C．D．正確答案：D解析：因?yàn)閨a+b|2=(a+b)2=a2+b2+2a．b=12+12．曲面x2+y2=1+2x2表示()A．旋轉(zhuǎn)單葉雙曲面B．旋轉(zhuǎn)雙葉雙曲面C．圓錐面D．橢球面正確答案：A解析：該曲面可看做由雙曲線繞x軸旋轉(zhuǎn)而成．13．極限=()A．e-1B．eC．1D．0正確答案：A解析：14．設(shè)z=f(x，y)可微，且當(dāng)y=x2時(shí)，f(x，y)=1及=x，則當(dāng)y=x2(x≠0)時(shí)()A．1／2B．-C．0D．1正確答案：B解析：15．利用變量替換u=x，v=y／x，一定可把方程x=z化成()A．B．C．D．正確答案：A解析：16．曲面xy+yz+zx=1在點(diǎn)P(1，-2，-3)處的切平面方程為()A．5x+2y+z+2=0B．5x-2y+z+2=0C．5x+2y-z+2=0D．5x+2y-z-4=0正確答案：A解析：令F(x，y，z)=xy+yz+zx-1，則曲面上任一點(diǎn)處的切平面的法向量為：n=(Fx，F(xiàn)y，F(xiàn)z}={y+z，x+z，y+x}于是點(diǎn)P(1，-2，-3)處的切平面的法向量為：n1={-5，-2，-1}故切平面方程為：-5(x-1)-2(y+2)-(z+3)=0即5x+2y+z+2=0．17．設(shè)D由y2=x，y=x圍成，則xydxdy=()A．B．C．D．正確答案：C解析：觀察被積函數(shù)先積誰都一樣，再看積分區(qū)域D，應(yīng)先積x，否則，會(huì)出現(xiàn)根號(hào)18．設(shè)D由x≥0，y≥0及x2+y2≤1所圍成，則xy2dxdy=()A．B．C．D．正確答案：C解析：用極坐標(biāo)19．L為y=x3，y=x所圍邊界線第一象限部分，f(x，y)連續(xù)，則∫Lf(x，y)ds=()A．B．C．D．正確答案：C解析：因?yàn)镮=∫L=+∫AO=+∫OA當(dāng)沿y=x3從O到A時(shí)，y’=3x2這時(shí)ds=dx當(dāng)沿y=x從O到A時(shí)，y’=1，這時(shí)ds=dx所以∫Lf(x，y)dx=∫01f(x，x3)20．L是沿y=1-|1-x|從點(diǎn)O(0，0)到點(diǎn)B(2，0)的折線段，則曲線積分∫L(x2+y2)dx-(x2-y2)dy=()A．5／3B．2／3C．4／3D．1正確答案：C解析：∫L=∫OA+∫AB=∫012x2dx+∫12[(x2+(2-x)2-(x2-(2-x)2]dx=21．A．收斂于0B．收斂于C．發(fā)散D．?dāng)可⑿詿o法確定正確答案：B解析：22．已知冪級(jí)數(shù)在點(diǎn)x=2處收斂，則實(shí)數(shù)“的取值范圍為()A．1＜a≤3B．1≤a＜3C．1＜a＜3D．1≤a≤3正確答案：A解析：由冪級(jí)數(shù)的系數(shù)可得其收斂半徑為1，所以其收斂域?yàn)閇a-1，a+1]，因?yàn)?∈[a-1，a+1)，即a-1≤2，2＜a+1，所以1＜a≤3．23．已知anx2n的收斂域是()A．[-1，3]B．[-2，2]C．D．[-4，4]正確答案：C解析：由已知條件知，冪級(jí)數(shù)的收斂半徑為2，且在端點(diǎn)處收斂，所以級(jí)數(shù)antn收斂域?yàn)閇-2，23，即-2≤t≤2，令t=x2，則-24．設(shè)連續(xù)函數(shù)f(x)滿足f(x)=∫02xf(t／2)dt+ln2，則f(x)=()A．exln2B．e2xln2C．ex+ln2D．e2x+ln2正確答案：B解析：f’(x)=f(x)．2，即y’=2y，所以y=Ce2x，當(dāng)x=0時(shí)，y=ln2，所以C=ln2，所以f(x)=e2xln2．25．微分方程y”+y’=2x2ex的特解應(yīng)設(shè)為y*=()A．(Ax2+Bx+C)exB．(Ax3+Bx2+Cx)exC．(Ax2+Bx+C)e-xD．(Ax3+Bx2+Cx)e-x正確答案：B解析：因?yàn)榕c方程對(duì)應(yīng)的齊次方程y”+y’=0的通解為Y=C1+C2e-x，由于齊次方程中不含有ex，且原方程缺函數(shù)y，于是特解應(yīng)設(shè)為：y*=(Ax2+Bx+C)．x．ex．26．求極限=()A．1B．0C．1／2D．2正確答案：C解析：(其中當(dāng)x→1時(shí)，lnx～x-1)．27．若un滿足()A．收斂B．發(fā)散C．?dāng)可⑿圆淮_定D．收斂于0正確答案：A解析：28．微分方程y”+xy’=1的通解為()A．y=-x+C1ln|x|B．y=x+C1ln|x|+C2C．y=x+C2D．y=C1ln|x|+C2正確答案：B解析：微分方程變形(xy’)’=1，所以xy’=x+C，即y’=1+，所以通解為y=x+C1ln|x|+C2．29．函數(shù)f(x)在點(diǎn)x=1處可導(dǎo)，且，則f’(1)=()A．B．C．D．正確答案：B解析：∴f’(1)=1／4．30．函數(shù)f(x)是連續(xù)函數(shù)，則∫-aax2[f(x)-f(-x)]dx=()A．1B．2C．-1D．0正確答案：D解析：被積函數(shù)x2[f(x)-f(-x)]是奇函數(shù)，故∫-aax2[f(x)-f(-x)3dx=0．填空題31．設(shè)f(x)+f()=2x,其中x≠0，x≠1，則f(x)=_______．正確答案：解析：32．極限=8，則a=_______，b=_______．正確答案：-1；-4解析：聯(lián)立①，②得a=-1，b=-4．33．曲線y=1／x上的切線斜率等于-的點(diǎn)的坐標(biāo)為_______．正確答案：解析：設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)34．設(shè)y=則dy|x=2=_______．正確答案：解析：該題若直接求較麻煩，可先利用對(duì)數(shù)性質(zhì)展開．35．函數(shù)y=2x3-9x2+12x-3在區(qū)間(3，10)上為單調(diào)遞_______．正確答案：增解析：y=2x3-9x2+12x-3，y’=6x2-18x+12=6(x-1)(x-2)駐點(diǎn)x=1；x=2．x＜1，y’＞0；1＜x＜2，y’＜0；x＞2，y’＞0．故在區(qū)間(3，10)上曲線單調(diào)遞增．36．曲線y=4-的拐點(diǎn)為_______．正確答案：(1，4)解析：y=4-，x＞1，y”＞0；x＜1，y”＜0，所以曲線拐點(diǎn)為(1，4)．37．曲面z-ez4-2xy=3在點(diǎn)(1，2，0)處的切平面方程為_______．正確答案：2x+y-4=0解析：令F(x，y，z)=z-ez+2xy-3，則曲面上任一點(diǎn)處的切平面的法向量為：n=(Fx，F(xiàn)y，F(xiàn)z}={2y，2x，1-ez}于是，點(diǎn)(1，2，0)處的切平面的法向量為n1={4，2，0}，故所求切平面方程為：4(x-1)+2(y-2)+0(z-0)=0即2x+y-4=0．38．已知f(x)的一個(gè)原函數(shù)為(1+sinx)lnx，則∫xf’(x)dx=_______．正確答案：x(cosxlnx+)-(1+sinx)lnx+C解析：由于∫xf’(x)dx=xf(x)-∫f(x)dx，又(1+sinx)lnx為f(x)的一個(gè)原函數(shù)，因?yàn)閒(x)=[(1+3sinx)lnx]’=coslnx+則∫f(x)dx=(1+sinx)lnx+C．故∫xf’(x)dx=(x)dxxlnx+)-(1+sinx)lnx+C．39．函數(shù)y=∫0x(t-1)(t+1)2dt的極值點(diǎn)是_______．正確答案：x=1解析：y’=(x-1)(x+1)2，令y’=0．得x=0，x=1，x=-1．由于y的定義域?yàn)閇0，+∞)，因此，有唯一駐點(diǎn)x=1，當(dāng)0＜x＜1時(shí)，y’＜0，當(dāng)x＞1時(shí)，y’＞0．所以x=1為極小值點(diǎn)．40．不定積分∫正確答案：ln|lnsinx|+C解析：41．已知點(diǎn)A(0，0，0)，B(1，0，-1)，C(0，1，2)則△ABC中BC邊上的高為_______．正確答案：解析：42．設(shè)z=z(x，y)是由方程z-y-x+xez-y-x=0所確定，則dz=_______．正確答案：解析：F=z-y-x+xez-y-xFx=-1+ez-y-x-xez-y-x，F(xiàn)y=-1-xez-y-x，F(xiàn)z=1+xez-y-x因此，dz=(1-)dx+dy．本題也可方程兩端取微分來做．43．設(shè)區(qū)域D由x=2，y=dxdy=_______．正確答案：解析：44．將函數(shù)y=展開為(x-5)的冪級(jí)數(shù)是_______．正確答案：)(n-5)2(2＜x＜7)解析：45．微分方程y”+y=xcos2x的特解應(yīng)設(shè)為y*=_______．正確答案：y*=(ax+b)cos2x+(cx+d)sin2x解析：微分方程y”+y=xcos2x所對(duì)應(yīng)的齊次方程為y”+y=0．特征方程為r2+1=0．特征根為r=±i，齊次方程的通解為Y=C1cosx+C2sinx．對(duì)于y”+y=x，由于方程含y．所以特解可設(shè)ax+b對(duì)于y”+y=cos2x考慮到齊次方程通解，所以特解可設(shè)ccos2x+dsin2x故原方程特解可設(shè)為y*=(ax+b)(ccos2x+dsin2x)即y*=(ax+b)cos2x+(cx+d)sin2x．解答題解答時(shí)應(yīng)寫出推理、演算步驟。46．正確答案：47．函數(shù)y=y(x)由方程arctan確定，求y’．正確答案：方程兩端y對(duì)x求導(dǎo)有即xy’-y=x+yy’，所以y’=48．計(jì)算廣義積分∫0+∞dx．正確答案：令=t，x=t2，dx=2tdt，x=0，t=0；x→+∞，t→+∞所以∫0+∞dx=2∫0+∞te-tdt=-2∫0+∞tde-t=-2te-t|0+∞+2∫0+∞e-tdt=-2e-t|0+∞=2．49．求函數(shù)z=exy．sin(x+y)的全微分．正確答案：因z=exysin(x+y)，于是dz=d[exysin(x+y)]=d(exy)．sin(x+y)+exyd[sin(x+y)]=exy．(ydx+xdy)．sin(x+y)+exy．cos(x+y)(dx+dy)=exy{[ysin(x+y)+cos(x+y)]dx+[xsin(x+y)+cos(X+y)]dy}(注：或先求偏導(dǎo)，再求全微分)．50．計(jì)算dxdy，其中區(qū)域D