高等數(shù)學(xué)數(shù)1期末復(fù)習(xí)題

選擇題

Jxy+1-1

A.不存在；B.0；C.-2；D.2.

答案：D

知識(shí)點(diǎn)：8.2.1

難度：2

2.設(shè)I是球面x2+y2+z2=1的外側(cè)，則積分Rudydz-2ydzdx+zdxdy=.

2

A.1；B.2；C.0；D.3.

答案：C

知識(shí)點(diǎn)：10.6.1

難度：2

fr—”<尤<0

3.設(shè)/(x)以2用為周期，在［-xQ上的表達(dá)式為/(%)=「,則/(%)的

[0,OVxVJF

傅里葉展開式中的系數(shù)幻為.

“1R-COS演,

A.1;B.--------------；C.-1;

n

答案：B

知識(shí)點(diǎn)11.5.1

難度：2

4.二次積分J:y)dy交換積分順序后為.

A.fody\^f(x,y)dx-,B.\Qdy\^f(x,y)dx；C.\Qdy\^f(x,y)dx；D.

f0力，.

答案:A

知識(shí)點(diǎn)：9.2.1

難度：2

5.微分方程產(chǎn)="的通解為

x2x

A.y=e+C^+C2x+C3；B.y=c"+G；C.y=e；D.y=e'+G+G+G?

答案：A

知識(shí)點(diǎn)：12.6.1

難度:2

6.設(shè)/(x,y)在。上連續(xù)，且/(x,y)=1+xy^f(x.y)dxdy\,其中積分域

I。)

。為0?元41,04y41,則於,')=.

A.4xy+l；B.2盯+1；c,xy+1；D.3xy+l.

答案：A

知識(shí)點(diǎn)：9.2.1

難度：2

7.設(shè)曲面七為上半球面z=Jl一爐-之，則02ds=.

Z

A.2#；B.4索；C.-2靂；D.0.

答案：B

知識(shí)點(diǎn)：10.4.1

難度：2

8.設(shè)/（無）以2用為周期，在[-x城上的表達(dá)式為/（X）=，'，則/（X）的

[0,0VxVJF

傅里葉級(jí)數(shù)在點(diǎn)X=--處收斂于.

A.0;B,~；C.--;D.<.

22

答案;c

知識(shí)點(diǎn)：11.5.1

難度：2

9?級(jí)數(shù)益,.

A.發(fā)散；B.可能收斂，也可能發(fā)散；C不收斂，也不發(fā)散；D.收斂.

答案：D

知識(shí)點(diǎn)：11.2.1

難度：2

io.微分方程了=0的通解為.

2

A.y=0；B.y=C；C,y=Cj+C2+C3；D.y=C^+C2x+C3.

答案：D

知識(shí)點(diǎn)：12.6.1

難度：2

11.基級(jí)數(shù)空11的收斂域?yàn)?-----.

n=l

A.(0,2]；B.[0,2)；C.[0,2]；D.(0,2).

答案：c

知識(shí)點(diǎn)：11.3.2

難度：2

■11

12.級(jí)數(shù)盲①方)--------

A.發(fā)散；B.可能收斂，也可能發(fā)散C其它；D.收斂.

答案：D

知識(shí)點(diǎn)：11.1

難度：2

13.設(shè)2是球面x2+y2+z2=1的外側(cè)，則積分。xdydz+2ydzdx+3zdxdy=-------.

E

A.3x；B.4不；C.8<；D.6<.

答案：c

知識(shí)點(diǎn)：10.6.1

難度：2

14.設(shè)/(x)以2#為周期，在［一用,用)上的表達(dá)式為/(x)=F'-則/(x)的

|0,0<x<<

傅里葉級(jí)數(shù)在點(diǎn)x=4<處收斂于.

A.0;B.；C.一；D.開.

22

答案：A

知識(shí)點(diǎn)：11.5.1

難度：2

15.微分方程y?=/的通解為.

A.y=/+Gx?+Q,尤+C3；B.y=/+G；C.y=ex；D.y=e*+G+C2+C3.

答案：A

知識(shí)點(diǎn)：12.6.1

難度：2

16.設(shè)Q為三個(gè)坐標(biāo)面與平面x+y+z=1所圍閉區(qū)域，則jj|(x+y+z)dxdydz=.

a

A.1；B.—；C.1；D.以上答案都不對(duì).

6128

答案:c

知識(shí)點(diǎn)：9.3.2

難度：2

17.微分方程型滿足條件y*=0的特解為------.

0X

答案：C

知識(shí)點(diǎn)：12.2

難度：2

18.下列級(jí)數(shù)中條件收斂的是

-1-1-1-1

C.y（-1）"—；D.Z（T）丁

n=\nn=lUn

答案：D

知識(shí)點(diǎn)：11.2

難度：2

19.設(shè)平面曲線L為圓周x2+y2=2x,則曲線積分,ds=.

A.1；B.2；C.K；D.2..

答案：D

知識(shí)點(diǎn)：10.1.1

難度：1

20.函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)(尤0,%))處偏導(dǎo)數(shù)存在，則在該點(diǎn)處函數(shù)f(x,y).

A有極限B必連續(xù)C必可微D以上結(jié)論都未必成立

答案:D

知識(shí)點(diǎn)：8.3.1,8.4.2

難度：2

21.設(shè)￡是球面9+;/+z?=1的夕卜側(cè)，貝ij積分好xdydz+ydzdx+zdxdy=.

1

A.n；B.2jr；c.3r；D..

答案：D

知識(shí)點(diǎn)：10.6.1

難度：2

22.若事級(jí)數(shù)￡a.(x-1)"在x=-l處收斂，則該級(jí)數(shù)在x=2處.

n=0

A.條件收斂；B.絕對(duì)收斂；C,收斂性不確定；D.發(fā)散.

答案：B

知識(shí)點(diǎn)：11.3.2

難度：2

填空題

1.設(shè)z(x,y)=x2+(y-l)arcsinJ’,則

(2,1)

答案：4.

知識(shí)點(diǎn)：8.3.1

難度：2

2.設(shè)平面曲線L為y=x（04冗41）,貝11lyds=

答案；—

2'

知識(shí)點(diǎn)：10.1.2

難度：2

3.曲面/+〉2-2=0在（1,1,2）處的切平面為.

答案：2x+2y—z—2=0

知識(shí)點(diǎn)：8.7.2

難度:2

4.幕級(jí)數(shù)的收斂半徑為

答案：1.

知識(shí)點(diǎn)：11.3.2

難度：2

5.微分方程色=町2的滿足條件yko=1的特解為

dx

答案：1'=止.

y2

知識(shí)點(diǎn)：12.2

難度：2

JR

6.設(shè)Z=%3丁+sin(%y),貝I-=

QX

答案：3X2y+ycOSXy.

知識(shí)點(diǎn)：8.3.1

難度：2

7.曲線》=北丁=2/,2=3/在對(duì)應(yīng)于r=1的點(diǎn)處的切線方程為.

知識(shí)點(diǎn)：8.7.1

難度:2

[2

8.二次積分fdx[Q/(x,y)dy交換積分順序后為.

答案：1//J.f(x,y)dx.

知識(shí)點(diǎn)：9.2.1

難度：2

9.設(shè)z=/(x+y,孫)，其中/(M,V)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則全微分dz

答案：(/；+<)dx+(f；+xf^dy.

知識(shí)點(diǎn)：8.5.1

難度，2

10.微分方程段=必的滿足條件y11=0的特解為------

OX

33

答案：丫=工(寫成工也可)

-3-3

知識(shí)點(diǎn)：12.2

難度：2

11.設(shè)z=ysin(x+y),則豆.

答案：sin(x+y)+ycos(x+y).

知識(shí)點(diǎn)：8.3.1

難度：2

12.二次積分f:dqj/(x,y)dy交換積分順序后為

答窠：f'dy\^fix,y)dx.

2

知識(shí)點(diǎn)：9.2.1

難度：2

13.設(shè)z=￡+/,貝Udz=.

答案：2x/+^dx+2y/+'dy.

知識(shí)點(diǎn)：8.4.1

難度:2

14.微分方程迎=x的滿足條件yg=0的特解為

dx

22

答案：y=：!（寫成立也可）

-2-2

知識(shí)點(diǎn):12.2

難度：2

15.設(shè)z(x,y~)=x1+(y-l)arcsin

答案：2.

知識(shí)點(diǎn)：8.3.1

難度：2

16.設(shè)平面曲線L為圓周/+〉2=4（4>0）,則曲線積分I公

答案：

知識(shí)點(diǎn)：10.1.2

難度：2

17.曲面/+〉2-2=0在（11,2）處的切平面為.

答案：2x+2y—z—2=0

知識(shí)點(diǎn)：8.7.2

難度：2

18.累級(jí)數(shù)"￡紀(jì)工

n的收斂半徑為

答案：1.

知識(shí)點(diǎn)：11.3.2

難度：2

?(x-iy

19.嘉級(jí)數(shù)>"尸”的收斂域?yàn)開____.

看訴

答案：［0,2).

知識(shí)點(diǎn)：11.3.2

難度:2

20.微分方程=-COSX的通解為.

答案：y=sinx+C］九2+。2%+。3.

知識(shí)點(diǎn)：12.7.1

難度：2

21.設(shè)Z=%2y-xy1,則材(ij)=.

答案：dx—dy.

知識(shí)點(diǎn)：8.4.1

難度：2

22.曲面犬+丁2-2=0在(1,1,2)處的切平面方程為.

答案:2x+2y—z—2=0.

知識(shí)點(diǎn)：8.7.2

難度：2

23.設(shè)n是由曲面Z="Zy及平面Z=1所圍閉區(qū)域，則川(x2+/)dv=

知識(shí)點(diǎn)：9.4.1

難度：2

24.塞級(jí)數(shù)￡上的收斂域?yàn)?/p>

”=0"+1

答案：［-1,1).

知識(shí)點(diǎn)：11.3.2

難度：2

25.設(shè)L為犬+y2Ml的正向邊界，由格林公式可得積分2ydx+3xdy=

踝X-

知識(shí)點(diǎn):10,3.1

難度：1

計(jì)算題

~62z

1.設(shè)2=於,%)),其中/(%V)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求靛仆

答案：乎=力'+比'段=必2"+%治"+外

dx3應(yīng))

知識(shí)點(diǎn)：8.5.1

難度：3

生

2.設(shè)函數(shù)z=z(x,y^eZ-xyz=0所確定，求aJ

一―fizyz

答案：一一二------

dxez-xy

知識(shí)點(diǎn)：8.6.1

難度：2

3.計(jì)算Uxyda,其中D為04xMl,0My=2.

D

答案：原式=j產(chǎn)Moydy=1

知識(shí)點(diǎn)：9.2.1

難度：2

4.計(jì)算JJln(l+x2+y)dxdy,其中積分域D為x?+y2Ml.

D

答案：原式=jo；ln(l+r2)rdr=2jrIn2~x=<(21n2-1)

知識(shí)點(diǎn)：9.2.2

難度：2

5.計(jì)算HfzdV,其中Q是由曲面z=Jl+y2及平面z=l所圍成的閉區(qū)域.

1

答案：原式=［；*。8［()0401：2/=月］($-p}d?再

4

知識(shí)點(diǎn)：9.4.1

難度：2

2

6.計(jì)算［L(X+y)dx+(x+y)dy,其中L為區(qū)域%+y2Ml的正向邊界.

答案：運(yùn)用格林公式，原式=*1-l)dxdy=0

D

知識(shí)點(diǎn)：10.3.1

難度：2

7.計(jì)算JJdS,其中￡為曲面2=必+，介于平面z=0與z=l之間的部分.

E

答案：原式=0J1+4X5+4-Y1dxdy=\^dO\［pJl+A^d~~-

Dry6

知識(shí)點(diǎn)：10.4.2

難度：2

8.將/(x)=」)展開成X的塞級(jí)數(shù).

1-X

*9

3,,+1

答案：——7=￡x-1<x<1

1—Xn=O

知識(shí)點(diǎn)：11.4.2

難度：2

9.求微分方程y'-2xy=滿足y|戶。=0的特解.

答案：通解y=(x+c)e-特解y=xe'

知識(shí)點(diǎn):12.4.1

難度：2

10.求微分方程2y'-3y=0的通解.

2x3x

答案:特征方程r-2r-3=0勺=一l,r2=3,y=Qe-+C2e

知識(shí)點(diǎn)：12.8

難度：2

立Z.

11.設(shè)Z=InQ+Y+y2),求3為丫，

dz_2xd2z4xy

答案：一_~=—

dx1+x2+y2dxdv(l+x2+v)22

知識(shí)點(diǎn)：8.3.2

難度：2

12.設(shè)函數(shù)z=z(x,y)由x+y^+z-4z=0所確定，求z關(guān)于y的偏導(dǎo)數(shù)zy.

答案：至=上

dy2-z

知識(shí)點(diǎn)：8.6.1

難度：2

13.計(jì)算||x2dtr，其中。是由y=x,y=2及x=2所圍成的閉區(qū)域.

D*

答案：原式=j]dx|_]凝白

知班點(diǎn)：9.2.1

難度：2

14.計(jì)算。-J^+/dxdy,其中積分域。為"r+,244.

D

答案：原式=102.如「02姐=?算

知識(shí)點(diǎn)：9.2.2

難度：2

15.計(jì)算jj|ydxdydz,其中C是由三個(gè)坐標(biāo)面與平面x+y+z=1所圍成的閉區(qū)域.

答案：.原式=ffdxdy\Q"X-yydz=（1一冗一y）dx=-

Dxy24

知識(shí)點(diǎn)：9.3.2

難度：2

16.計(jì)算|Xds,其中L為y=ln%(14%4e).

2

答案：JLxds=j：x-S+4dx=1[(1+e)5-2^]

知識(shí)點(diǎn)：10.1.2

難度：2

17.計(jì)算ffzdxdy,其中￡是錐面z=J'+歹在平面z=0與z=1之間部分的上側(cè).

2

答案：原式=1J#tpdxdy=工氧

Dxy3

知識(shí)點(diǎn)：10.5.3

難度：2

18.求幕級(jí)數(shù)￡(n+l)Z的收斂域及和函數(shù).

n=0

Y]

答案：收斂域：—1<xd和函數(shù)：S(%)=(----)』-------

1-X(1-X)

知識(shí)點(diǎn)：11.3.2,11.3.3

難度：2

19.求函數(shù)/(x)=—關(guān)于x的幕級(jí)數(shù)展開式.

1-X

答案：=-1<x<i

1-Xn=0

知識(shí)點(diǎn)：11.4.2

難度：2

20.求微分方程y+5y+6y=/的通解.

答案：特征方程廠2+5廠+6=0,o=-2r2=-3,

2x3xx

齊次方程通解丫(尤)=。1"2'+。20-3'通解y=C}e-+C2e-+e/12

知識(shí)點(diǎn)：12.8,12.9.1

難度：2

21.計(jì)算jjxdxdy,其中積分域D為x=l,y=x,y=2x所圍成的閉區(qū)域.

D

答案：原式=f：dxj、

知識(shí)點(diǎn)：9.2.1

難度：2

22.計(jì)算jjdxdy,其中D-|(x,y)|15x2+j2<；4|.

D

答案：原式=L.姐L，。如"雙不―e)

知識(shí)點(diǎn)：9.2.2

難度：2

23.計(jì)算jjxyda，其中。是由九軸、y軸及直線%+y=1所圍成的閉區(qū)域.

D

答案：原式=1xdxfoydy--

知識(shí)點(diǎn)：9.2.1

難度：2

24.計(jì)算［jdx+xdy,其中L為區(qū)域爐+y2Ml的正向邊界.

答案：運(yùn)用格林公式，原式=。(1一l)dxdy=O

D

知識(shí)點(diǎn)：10.3.1

難度：1

25.計(jì)算jJdS,其中￡為曲面2=必+,介于平面z=()與Z=1之間的部分.

E

答案：原式=011+4胃+4?公6=］：卻］他p=&后—-r

Dv6

知識(shí)點(diǎn)：10.4.2

難度：2

26.將/(無)=-^3展開成尤的嘉級(jí)數(shù).

1-X

答案：==/，+1-1<X<1

1~Xn=0

知識(shí)點(diǎn)：11.4.2

難度：2

27.求微分方程y"-2y'-3y=0的通解.

2x3x

答案:特征方程r-2r-3=0rY=-l,r2=3,y=C.e-+C2e

知識(shí)點(diǎn)：12.8

難度：2

28.設(shè)z=/(x+y,xy),其中/(M,v)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求dz.

答案：位=2公+在dy=(//+m)dx+(/：+或)辦

Atdxdy

知識(shí)點(diǎn)：8.5.1

難度：2

29.設(shè)函數(shù)z=z(x,y)由函數(shù)x2+y2+z2-4z=0所確定，求—與《彳

dySv

答案：絲=—匕，色(2z)2+y

dy2-z3y2(2-z)3

知識(shí)點(diǎn):8.6.1

難度：3

30.計(jì)算jjxyda，其中。是由直線y=1,x=2及y=x所圍成的閉區(qū)域

D

原式=1］對(duì)］xydy=:

答案:

知識(shí)點(diǎn):9.2.1

難度：2

31.計(jì)算｛1|(必+產(chǎn)刀丫，其中0是由錐面z=『+爐與平面z=2所圍成的閉區(qū)域.

C

答案：利用柱面坐標(biāo)變換可得I爪1+加公=/網(wǎng)0)皿：宓=樂.

知識(shí)點(diǎn)：9.4.1

難度：2

32.計(jì)算￡(x2-y2)dx,其中L為y=/上從點(diǎn)。(0,0)到A(l,l)的一段弧.

]2

答案：原式==—

知識(shí)點(diǎn)：10.2.2

難度：2

33.計(jì)算jj(2x+z)dydz+zdxdy,其中￡是有向曲面z=x2+y2(O^z5l),其法向量

與z軸夾角為銳角.

(Z=1

答案，補(bǔ)充曲面￡：■!22，并取向下的一面，則

[x+y=1

西+i,(2x+z)dydz=-Hfdv=-3￡rdr￡2dz=-3*又由于

D

(2x+z)dydz+zdxdy=dxdy=-<，所以

知識(shí)點(diǎn)：10.6.1

難度：3

34,將函數(shù)/(x)=-展開成(x-3)的幕級(jí)數(shù).

答案」=1^=它(一D"與二0<x<5

x3+X-3餐3

知識(shí)點(diǎn)：11.4.2

難度：2

35.求微分方程y-2y1-3y=d的通解.

答案：r--2r-3=0,r,=-1,r2=3,齊次通解Rx)=。/一工+C2e3x

通解)=。傳7+。203'-J

4

知識(shí)點(diǎn)：12.8,12.9.1

難度：2

、、由

36.設(shè)z=/y-y2x,而x=rcosQ,y=rsin。求3r.

答案：—=——=(2xy-y2)cos9+(x2-2xy)sin9

drdr3ydr

=3/cosSsin9(cos&-sin6>).

知識(shí)點(diǎn)：8.5.1

難度：2

,匿a三

37.設(shè)函數(shù)z=z(x,y)由以-2xz+y=0所確定，求一與一

Svdydx

答案：名=-———,鏟z4x

Jy3會(huì)-2xdydx(3z2-2x)2

知識(shí)點(diǎn)：8.6.1

難度：3

38.計(jì)算0xd。，其中。是由y=Inx,y=21nx及x=e所圍成的閉區(qū)域.

D

答案：原式=「對(duì):xdy=

知識(shí)點(diǎn)：9.2.1

難度：2

39.計(jì)算U(1+x2+y2)dxdy，其中積分域。為尤？+y?41.

D

答案：原式=上"如jo(l+r2)rrfr=—<

知識(shí)點(diǎn)：9.2.2

難度：2

40.計(jì)算曲線積分|￡yds,其中平面曲線L為y=x(OVxMl).

_jj

答案：原式=fJlxdx=---

Jo-2

知識(shí)點(diǎn)：10.1.2

難度：2

41.求jjzdxdy,其中E是錐面z=1片+上在0&z?之間部分的下側(cè).

答案:J|zdxdy=—JJ-Jk+V*dxdy——

￡D^-^+y2fl

知識(shí)點(diǎn)：10.5.3

難度：2

42.將函數(shù)/（無）=^^3展開成了的募級(jí)數(shù).

1-X

X0

答案：—=￡?duì)t用-1<x<1

1—Xn=0

知識(shí)點(diǎn)：11.4.2

難度：2

43.求微分方程y-2y+y=e-工的通解.

答案：特征方程廠2—2廠+1=0々=r2=1，

x

齊次方程通解：y(x)=(G+xC2)e

特解y*=e~x/4通解y=(C1+xC,)ex+r/4

知識(shí)點(diǎn)：12.8,12.9.1

難度：2

應(yīng)用題

1.求函數(shù)z=4a-y)-x2-y2的極值.

答案：應(yīng)=4-2x,在=-4-2y駐點(diǎn)(2,-2)極大值為8.

知識(shí)點(diǎn)：8.9.1

難度：2

2.求柱面%2+/=1和必+Z2=1所圍立體的體積.

答案:V=8,0dx41-Vdy=3

知識(shí)點(diǎn)：9.2.1

難度：2

3.已知曲線過點(diǎn),其上任意點(diǎn)(x,y)的切線斜率等于自原點(diǎn)(0,0)到該切點(diǎn)連線斜

率的兩倍，求此曲線方程.

答窠：y'=2―,y(l)=->所求方程y=Lv2

X33

知識(shí)點(diǎn)：12.2

難度:2

4.求平面3x+2y+z=1含在橢圓柱面2x?+/=1內(nèi)的那部分面積.

答案：A=J1++Adxdy=J-Jiidxdy=/用

DD

知識(shí)點(diǎn)：9.5.1

難度：2

5.已知曲線y=y(x)上任意點(diǎn)(x,y)處的切線垂直于該點(diǎn)與原點(diǎn)的連線，求該曲線方程.

答案：>彳=一1，x2+/=c

知識(shí)點(diǎn):12.2

難度：2

6.求錐面z=-Jx2+y2被柱面z?=2x所割下部分的曲面面積.

答案：A=及JJdxdy=2-聞何皿rdr-』x

D

知識(shí)點(diǎn)：9.5.1

難度：2

7.求曲面z=-x-y與曲面必+>2=4z所圍成的立體的體積.

答案:V=口八dv=Io'""rdrdz=4)

知識(shí)點(diǎn)：9.3

難度:2

8.用鐵板制作一個(gè)體積為2的有蓋長(zhǎng)方體水箱，問當(dāng)長(zhǎng)、寬、高各取多少時(shí)表面積最小.

22

答案：設(shè)長(zhǎng)為x,寬為y,則A=2(xy+-+-)(x>0,y>0)

駐點(diǎn)唯一(近,直)，長(zhǎng)、寬、高均為近

知識(shí)點(diǎn)：8.9

難度：2

證明題

1.證明函數(shù)f(x,y)=7Rs(0,0)處連續(xù)、偏導(dǎo)數(shù)存在但不可微.

答案：lim/(x,y)=0=/(0,0),加0,0)=啟0,0)=。

二重極限好…(。，。的-八3=lim

J(AV)2+(AV)2Ax—022

Ay—O(^)+(Ay)

因lim二重極限不存在，故不可微.

Axf?12

出=tjr^OJ做)2+(A)

知識(shí)點(diǎn)：8.2.2,8.31,8.4.1

難度：2

-1-1

2.證明級(jí)數(shù)Zln(l+—)發(fā)散，并由此證明調(diào)和級(jí)也一也發(fā)散.

n=l"n=l"

n1-1

答案：S“=?i(l+I)=ln(l+")-8,故]》(1+或發(fā)散

11-1

—>la(l+7),而2Jta(l+—)發(fā)散，由比較審斂法即證

知識(shí)點(diǎn)：11.1.1,11.2.1

難度：2

XV

3.證明二重極限lim-^—5不存在.

二％+V

kx

答案：lim于(x,y)=lim.4\4-=—二重極限不存在

晨黑2—0戶。X+%%\+k

知識(shí)點(diǎn)：8.2.1

難度：2

C23)

Ja。(x+y)dx+(x-y)dy在整個(gè)xoy平面內(nèi)與路徑無關(guān)，并計(jì)算積分

值.

答